Một số mô hình phân tích chuỗi thời gian và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIấN
KHOA TON -C- TIN HOC

ắNG VN THOAI

MđT SO Mễ HÌNH PHÂN TÍCH
CHUOI THèI GIAN VÀ ÚNG
DUNG
LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - 2013


ắNG VN THOAI

MđT SO Mễ HèNH PHN TCH
CHUOI THốI GIAN VÀ ÚNG
DUNG
LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC
Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat và thong kê toán HQC

Mã so: 60460106

Ngưài hưáng dan: GS.TSKH ắNG HNG THANG

H Nđi - 2013


LèI CÁM ƠN

Trưác khi trình bày n®i dung chính cua Lu¾n văn em xin đưac
bày tõ lịng biet ơn sâu sac tái GS.TSKH. Đ¾NG HÙNG THANG ngưài đã t¾n tình hưáng dan đe em có the hồn thành khóa lu¾n này.
Em cũng xin bày tõ lòng biet ơn chân thành tái tồn the các thay
cơ giáo trong khoa Tốn - Cơ - Tin HQC, Đai HQC Khoa HQC Tn Nhiên,
Đai HQC Quoc Gia Hà N®i đã tham gia giãng day và giúp đã em
trong suot q trình HQC t¾p tai khoa.
Nhân d%p này tác giã cũng xin đưac gui lài cãm ơn chân thành tái
gia đình, ban bè đã ln ã bên, cő vũ, đ®ng viên, giúp đã em trong
suot q trình HQC t¾p và thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p.


PHAN Mé ĐAU

Nhân loai đã bưác sang th¾p niên thú hai cua the ki 21. Cùng vái
sn phát trien không ngùng cua các lĩnh vnc kinh te- xã h®i, các môn
khoa HQC CƠ bãn cũng đã đat đưac rat nhieu thành tnu đáng ke. Đ¾c
bi¾t là trong lĩnh vnc Tốn HQC, rat nhieu ket quã thu đưac
không nhung giúp nhân loai giãi quyet các bài tốn có tính chat lý
thuyet mà cịn góp phan giãi quyet các đưac bài tốn thnc te cua
cuđc song ắt ra. Trong ú phói ke en bđ mụn Xỏc suat- Thong kờ.
Xỏc suat-Thong kờ hiắn nay đang là m®t trong nhung ngành Tốn
HQC thu hút đưac rat nhieu sn quan tâm cua không chi các nhà khoa
HQC mà cịn có cã các nhà qn lý, nhà đau tư...
Dn báo là lĩnh vnc ra đài tù rat sám, gan lien vái cu®c song thnc
tien cua con ngưài tù xa xưa. Các quan sát trong thnc te thưàng đưac
thu th¾p dưái dang chuői du li¾u. Tù nhung chuői du li¾u này ngưài
ta phân tích và rút ra nhung quy luắt cua mđt quỏ trỡnh ac mụ tó
thụng qua chuői du li¾u, tù đó có the đưa ra nhung dn báo hay
nhung quyet đ%nh đúng đan, k%p thài. Ví dn như dn báo thài tiet, dn
báo chi so chúng khoán, múc tăng dân so, dn báo nhu cau su dnng

đi¾n, dn báo so lưang sinh viên nh¾p HQC CUA m®t trưàng đai HQC...
Các ket quã úng vái tùng thài điem đưac ghi lai tao thành
m®t chuői thài gian . Chuői thài gian đang đưac su dnng như m®t
cơng cn huu hi¾u đe phân tích trong nhieu lĩnh vnc cua kinh
te, xã h®i cũng như trong nghiên cúu khoa HQC. Chính do tam
quan TRQNG đó mà nhieu tác giã đã đe xuat nhung mơ hình khác
nhau đe phân tích chuői thài gian như là các mơ hình hoi qui, phân
tích Furie... Trong đó mơ hình ARIMA cua Box-Jenkins là mơ hình
đưac đánh giá rat cao.


iii

Mơ hình cho ket q khá tot trong phân tích du li¾u. Tuy nhiên, sn
phúc tap cua thu¾t tốn đã gây ra nhung khó khăn trong q trình
phân tích, nhat là khi chuői so li¾u có nhung thay đői phãn ánh sn
phi tuyen cua mơ hình như chuői thài gian tài chính.
Trong khn khő cua Lu¾n văn, tác giã đã trình bày ve mơ hình
phương sai có đieu ki¾n cua sai so thay đői tn hoi quy (ARCH) và
m®t so mơ hình mã r®ng cua nó (GARCH, GARCH − M,
TGARCH). Sau đó, các mơ hình này đưac áp dnng vào viắc %nh giỏ
quyen CHQN cua c phieu IBM. Nđi dung chính cua lu¾n văn đưac
trình bày trong 6 chương có nđi dung tng ỳng nh sau:
ã Chng 1: Nhung khỏi niắm ban au
ã Chng 2: Mụ hỡnh ARCH
ã Chng 3: Mơ hình GARCH
• Chương 4: Mơ hình GARCH − M
• Chương 5: Mơ hình TGARCH
• Chương 6: Úng dnng cua các kieu mơ hình ARCH trong vi¾c đ
%nh giá quyen CHQN

Trong các chương 2, 3, 4, 5 tác giã lan lưat trình bày ve van đe: cau
trúc , tính chat, ưác lưang, kiem đ%nh cua các mơ hình và cuoi cùng
là áp dnng vào ví dn thnc te. Trong chương 6, tác giã đã áp
dnng các kieu mơ hình đưac trình bày trong các chương trưác vào đ
%nh giá quyen CHQN cua cő phieu IBM và so sánh chúng vái giá
quyen cHQN bang mơ hình Black-Scholes. Các ví dn đưac trình bày
trong lu¾n văn đeu su dnng phan mem R đe phân tích. Đây là phan
mem hồn tồn mien phí nhưng các ket quã thu đưac lai rat tot cho
vi¾c phân tích và dn báo. Phan mem R có the chay trên nhieu h¾
đieu hành, su dnng ngơn ngu l¾p trình hi¾n đai và đang đưac su
dnng rat phő bien trên the giái.


Mnc lnc
Lài cám ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.........
Phan má đau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......
Chương 1. Nhung khái ni¾m ban đau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
1.1. Quá trình dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...

i
ii
2
2

1.1.1. Quá trình ngau nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2. Hàm trung bình và hàm hi¾p phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Quá trình dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Hàm tn tương quan và hàm tương quan riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
3
4

1.2. Mơ hình ARMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
......
1.2.1. Quá trình trung bình trưat tn hoi quy ARMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Đánh giá ve mơ hình ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Lai suat cő phieu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
Chương 2. Mơ hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....
2.1. Cau trúc cua mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..
2.2. Tính chat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...

6

9
9
10

2.2.1. Sn bieu dien tn hoi quy và hi¾p phương sai dùng. . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.2. Moment khơng có đieu ki¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3. Ưác lưang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
...
2.4. Kiem đ%nh hi¾u úng ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
.


2.5. Dn báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
....
2.6. Ví dn áp dnng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
..
2.7. Ưu và nhưac điem cua mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
.
iv


v

Chương 3. Mơ hình GARCH.............................................................30

3.1. Cau trúc mơ hình.............................................................30
3.2. Tính chat.................................................................................31
3.2.1. GARCH đưac bieu dien như là ARCH (∞)................................31
3.2.2. Đieu kiắn dựng....................................................................................32
3.2.3. Moment khụng cú ieu kiắn.................................................................34
3.2.4. đ NHQN cua mơ hình..........................................................................36

3.3. Ưác lưang..................................................................................37
3.4. Kiem đ%nh mơ hình..................................................................38
3.5. Dn báo....................................................................................38
3.6. Ví dn áp dnng.........................................................................39
3.7. Ưu điem và nhưac điem cua mơ hình..............................44
Chương 4. Mơ hình GARCH-M........................................................47
4.1. Cau trúc mơ hình.............................................................47
4.2. Tính chat.................................................................................48
4.3. Ưác lưang..................................................................................49
4.4. Kiem đ%nh mơ hình..................................................................50
4.5. Ví dn..........................................................................................50
4.6. M®t vài lưu ý khi áp dnng.....................................................54
Chương 5. Mơ hình TGARCH...........................................................55
5.1. Cau trúc mơ hình.............................................................55
5.2. Tính chat.................................................................................56
5.2.1. Sn bieu dien hoi quy............................................................................57
5.2.2. Đieu ki¾n dùng....................................................................................57
5.2.3. Moment khơng có đieu ki¾n.................................................................57
5.2.4. Dáng đi¾u cua đi mơ hình................................................................58

5.3. Ưác lưang và kiem đ%nh mơ hình........................................58
5.4. Ví dn..........................................................................................58
5.5. Ưu và nhưac điem cua mơ hình TGARCH...............................62

vi

Chương 6. Úng dnng cúa các kieu mơ hình ARCH trong vi¾c đ%nh giá
quyen CHQN .....................................................................................................64
6.1. Hap đong quyen CHQN...........................................................64
6.2. Du li¾u và phương pháp........................................................66
6.3. Ket quã......................................................................................68
Tài li¾u tham kháo.........................................................................74


Danh sách hình ve
1.1 Giá cő phieu IBM hàng tuan (3/1/2000 - 21/10/2013) . . .4
1.2

Bieu đo phân bo lai suat hàng tuan và phân phoi chuan . .7

1.3

Bieu đo lai suat hàng tuan.....................................................7

2.1

Đo th% ACF cua lai suat hàng tuan (IBM)..............................18

2.2

Đo th% PACF cua bình phương lai suat...................................18

2.3

Sai so chuan có đieu ki¾n........................................................20

2.4

Lai suat thnc te vái 2 đưàng giái han tin c¾y.......................20

2.5

Phan dư và phan dư chuan hóa........................................21

2.6

Các h¾ so tương quan cua phan dư chuan hóa và bình
phương phan dư chuan hóa
21

2.7

Đo th% QQ-norm cua phan dư.............................................22

2.8

Sai so chuan có đieu ki¾n........................................................24

2.9

Lai suat thnc te và 2 đưàng giái han tin c¾y........................24

2.10 Phan dư và phan dư chuan hóa........................................25
2.11 Các h¾ so tương quan cua phan dư chuan hóa và bình
phương phan dư chuan hóa
25
2.12 Đo th% QQ-std cua phan dư tiêu chuan..................................26
2.13 Giá tr% dn báo cua ARCH trong 10 bưác................................27
2.14 Đo th% mô phõng chuői lai suat..............................................29
2.15 Phân bo cua chuői mô phõng................................................29


vii


viii

3.1

đ lắch chuan cú ieu kiắn......................................................41

3.2

Lai suat thnc te v 2 đưàng giái han tin c¾y........................41

3.3

Đo thì QQ-std cua phan dư...................................................42

3.4

Phan dư và phan dư chuan hóa........................................42

3.5

Các h¾ so tương quan cua phan dư chuan hóa và bình
phương phan dư chuan hóa
43

3.6

Ket quã dn báo cua GARCH trong 10 bưác.........................44

3.7

Chuői lai suat thnc te và chuői mô phõng............................46

3.8

Phân bo cua chuői mơ phõng................................................46

4.1

Sai so chuan có đieu ki¾n........................................................51

4.2

Lai suat thnc te và 2 đưàng giái han tin c¾y........................52

4.3

Đo th% QQ-std cua phan dư trung bình.................................52

4.4

Phan dư và phan dư chuan hóa........................................53

4.5

Các h¾ so tương quan cua phan dư chuan hóa và bình
phương phan dư chuan hóa
53

4.6

Ket q dn báo GARCH-M trong 10 bưác...........................54

5.1

Sai so chuan có đieu ki¾n........................................................60

5.2

Lai suat thnc te và 2 đưàng giái han tin c¾y........................60

5.3

Đo th% QQ-std cua phan dư....................................................61

5.4

Phan dư và phan dư chuan hóa........................................61

5.5

Các h¾ so tương quan cua phan dư chuan hóa và bình
phương phan dư chuan hóa
62

5.6

Chuői lai suat thnc te và chuői mô phõng............................63

5.7

Phân bo cua chuői mô phõng................................................63


Danh sách báng
6.1

Dn báo giá quyen CHQN vái giá thnc thi $190 bang các
kieu mơ hình ARCH...............................................................70

6.2

Dn báo giá quyen CHQN vái giá thnc thi $195 bang các
kieu mơ hình ARCH...............................................................70

6.3

Dn báo giá quyen CHQN vái giá thnc thi $200 bang các

kieu mơ hình ARCH...............................................................71

6.4

Dn báo giá quyen CHQN vái giá thnc thi $205 bang các
kieu mơ hình ARCH...............................................................71

6.5

Dn báo giá quyen CHQN vái giá thnc thi $210 bang các
kieu mơ hình ARCH...............................................................72

6.6

Dn báo giá quyen CHQN bang mơ hình Black-Scholes........72

1


Chương 1
Nhung khái ni¾m ban đau
1.1.Q trình dùng
1.1.1.Q trình ngau nhiên
Cho
(Ω, 1.1.
F, PM®t
) là khơng
xácngau
suat; nhiên
BR là {

σX
−(ttrưàng
R hàm
Đ
%nh
nghĩa
q trình
); t Borel
R} ltrờn
mđt
hai bien xỏc %nh trờn R ì và là hàm đo đưac đoi vái σ− trưàng BR
×F

(t),gian.
t Tắp
T lchi
mđt
quỏ
nhiờn),
ú RT =
l
tắpGió
chisu
so Xthi
so T
cú trỡnh
the l(ngau
tắp thi
gian trong
liờn tnc

(−∞; +∞); R+ = [0; +∞) ho¾c rài rac Z = {0; ±1; ±2; ...}
Đ%nh nghĩa 1.2.
2 Quá trình X ( t), t ∈ R đưac GQI là m®t quá trình cap
2 neu E| X (t)| < ∞; ∀t ∈ R

1.1.2.Hàm trung bình và hàm hi¾p phương sai
Đ%nh nghĩa 1.3. Hàm trung bình cua quá trình ngau nhiên X (t) kí hi¾u là
m(t) và đưac tính theo cơng thnc m(t) = EX (t).
Hàm
sai cua q trình ngau nhiên kí hi¾u là r(s, t) và
đưac
tínhhi¾p
theo phương
cơng thnc
r (s; t) = Cov [X (s) ; X (t)] = E [(X (s) − m (s)) (X (t) − m (t))]
.


3

Đ%nh
lí 1.1.
khơng âm,
tncHàm
là hi¾p phương sai r(s; t) là đoi xnng và xác đ%nh
1. r(s; t) = r(t; s), ∀s, t ∈ T
2. ∀n ∈ N, ∀t1; t2; ...tn ∈ T, ∀b1, b2,
...bn ∈ R thì i∑

n

n
∑

bi b j r

.

Σ
ti ; t j ≥ 0

=
1 j=

1.1.3.Quá trình dùng

1

Đ%nhdnng
nghĩa
su Xbình
(t) là
trình
capso2.vàXhàm
(t) ac
GQI l quỏ
trỡnh
neu1.4.
hmGió
trung

mquỏ
(t) l
hang
hiắp phng
sai
r (s; t) chi phn thuđc vào s − t hay r (s; s + h) khơng phn thu®c và s vái
mői h ∈ R Nói cách khác quá trình X (t), t ∈ R là q trình dùng
neu nó có
cùng hàm trung bình và hàm hi¾p phương sai vái q trình Y(t) =
X ( t + h ) , ∀h ∈ R
Đ%nh
nghĩa
trình thài
X (t)cua
, t {∈X (R
manh thì
hàm 1.5.
phân Quá
phoi đong
t đưac
+ h);GQI
X (là
t quá
+ htrình
); ...; dnng
X (t
+ h)} và (hay dnng theo nghĩa hep) neu vái1 MQI h ∈ R,2 và vái MQI t1 t2 < .. < tn cua { X (t1 ); X (t2 ); ...; X (tn )} là như nhau.
ta đó
t%nh

tien là
b®phân
chiphoisohuuthài
(t1; thay
t2; đői
..; khitn)
Đieu
có nghĩa
han gian
chieu khơng
Đ%nh nghĩa 1.6. Chuői thài gian {X(t), t ∈ T} hay X(t), t ∈ T là t¾p hap
các giá tr% quan sát theo thài gian t, t ∈ T ve cùng m®t đoi tưang. Neu T là
t¾p rài rac thì X (t) đưac GQI là chuői thài gian rài rac. Neu T là liên tnc thì
X (t) đưac GQI là chuői thài gian liên tnc.
Đ%nh
nghĩa
1.7. Chuői thài gian X (t) đưac GQI là dnng neu X (t) là
q trình
dnng.
Ví dn ve chuői thài gian


Hình 1.1: Giá cő phieu IBM hàng tuan (3/1/2000 - 21/10/2013)
(So li¾u đưac lay tù )

1.1.4.Hàm tn tương quan và hàm tương quan riêng
Đ%nh
1.8. Cho
X(tre
t)}hlà

chuői
phươngnghĩa
sai (ACVF)
vái {đ®
cua
{X(thài
t)} gian
là dnng. Hàm tn hi¾p
r(h) = Cov(X(t); X(t + h))
Hàm tn tương quan ( ACF ) cua {X(t)} vái đ® tre h là
r (h)
ρ ( h ) = r (0)
Hàm tương quan riêng (PACF) kí hi¾u là ρkk và đưac tính theo cơng thnc

ρkk = Corr(Yt, Yt−k|Yt−1, Yt−2, .., Yt−k+1)


1.2.Mơ hình ARMA
1.2.1.Q trình trung bình trưat tn hoi quy ARMA
Đ%nh nghĩa 1.9. Quá trình ngau nhiên { Zt ; t ∈ T } đưac GQI là dãy
.
on trang, kí hi¾u { Zt } ∼ WN 0; σ
neu nó thõa mãn các đieu ki¾n
sau:
Σ2
tZs = 20, ∀t 2ƒ= s
EZt EZ
= 0;
EZ = σ ; ∀t
∈T

tn
hoinghĩa
quy cap
p, kíQ
hi¾utrình
Xt ∼ngau
AR nhiên
( pt ) neu
} thõa
mãn
Đ
%nh
1.10.
{ X{;Xtt ;∈t T∈} Zđưac
GQI là quá trình
t

Xt = a0 + a1.
Xt−1 + a2Xt−2 + ... + apXt−p + Zt; ap ƒ= 0
Trong đó {Zt} ∼ WN 0; σ2
Σ
Đieu ki¾n đe q trình AR(p) dùng là các nghi¾m cua phương
p
trình đ¾c trưng 1 ∑
−
ai Li = 0 nam ngồi vịng trịn đơn v%.
i=
1

trung

bình trưat
kí hi¾u
Xt ∼
MA{(Xq), tneu
thõa
mãnGQI là quá trình
Đ
%nh nghĩa
1.11. cap
Quáq, trình
ngau
nhiên
∈T
} đưac
t
Xt = Zt + b1 Zt−1 + b2 Zt−2 + ... + bq Zt−q
.
Trong đó {Zt} ∼ WN 0; σ2 ,bi ∈ R, bq ƒ= 0
Σ
Đieu ki¾n đe q trình MA(q) khã ngh%ch là các nghi¾m cua phương
q
∑
trình đ¾c trưng 1

i=

+

1

bi Li = 0 nam ngồi vịng trịn đơn v%.

(p;q),
kí hi¾u
∼ ARMA(p; q) neu {Xt} thõa mãn Đ
t
%nh nghĩa
1.12. X
{X
t} là m®t q trình trung bình trưat tn hoi quy cap
Xt − φ1 Xt−1 − φ2 Xt.
−2 − ... − φ p Xt−p = φ0 + Zt + θ1 Zt−1 + θ2 Zt−2 + ... + θq
Σ
Zt−q
Trong đó {Zt} ∼ WN 0; σ2
Q trình ARMA(p, q) dùng khi và chi khi các nghi¾m cua phương
p
trình đ¾c trưng 1 ∑
−
i= 1


φi Li = 0 nam ngồi
vịng trịn đơn vi.


1.2.2.Đánh giá ve mơ hình ARMA
Mơ hình ARMA thu đưac thành công lán khi áp dnng cho
các chuői thài gian xuat phát tù các lĩnh vnc khoa HQC tn nhiên
và ky thu¾t nhưng that bai khi áp dnng cho các chuői thài gian

kinh te và tài chính. Nguyên nhân chính là giã thiet ve m¾t
tốn HQC phương sai cua các chuői thài gian tài chính khơng thay
đői theo thài gian là khơng phù hap. Vì v¾y mơ hình ARMA có the
dn báo đưac kỳ vQNG nhưng that bai khi dn báo phương sai cua
chuői thài gian tài chính như dãy lai nhuắn cua mđt ti són (c
phieu). ó cú nhieu ví dn the hi¾n rõ sn khơng phù hap cua mơ hình
ARMA đoi vái chuői thài gian tài chính.
M¾c dù mơ hình ARMA tõ ra khơng phù hap vái chuői thài gian
tài chính nhưng nhung ky thu¾t mà nó cung cap là m®t cơ sã rat
quan TRQNG và mang lai nhieu gai ý cho các cơng trình nghiên cúu ve
chuői thài gian sau Box-Jenkins. Chính Box-Jenkins là nhung ngưài
đau tiên đưa ra các ky thu¾t lay sai phân đe khu khuynh hưáng tat đ
%nh nham tăng khã năng dùng cua mđt chui thi gian. Vỏi nhung
vắn dnng sỏng tao khỏi ni¾m khuynh hưáng này, nhung ngưài
nghiên cúu đi sau Box - Jenkins đã cho ra đài hai láp mơ hình rat
quan TRQNG đoi vái chuői thài gian tài chính. Đó là mơ hình c®ng
tích, Cointegration (Granger,1981) và mơ hình phương sai có đieu
ki¾n thay đői tn hoi quy ARCH. Mơ hình ARCH là cong hien mang
tính khai phá cua Engle, nó có the giãi thích sn bat thưàng cua
phương sai mà chi su dnng nhung thông tin quá khú cua bãn thân
nhieu. Mơ hình ARCH và m®t so mã r®ng cua nó se đưac tác giã lan
lưat trình bày trong các chương tiep theo cua lu¾n văn.

1.3.Lai suat co phieu
Trong thnc te, có rat nhieu du li¾u tài chính như chuői lai suat cő
phieu đưac coi như m®t là chuői thài gian . Tuy v¾y, vi¾c nam bat
đưac các đ¾c trưng cua chuői thài gian tài chính là đieu rat khó
khăn. Trong

mnc này tác giã se trình bày m®t so tính chat đ¾c trưng cua lai suat
và co gang minh HQA đieu đó bang nhung ví dn.
• Chuői lai suat có phan đi n¾ng hơn chuői có phân phoi chuan.
So sánh o th% mắt đ cua chui lai suat vỏi mắt đ® phân phoi
chuan có cùng trung bình và phương sai, ta có the thay rang
chuői lai suat có phân bo cao hơn và gay hơn nhưng có phan
đe r®ng hơn so vỏi mắt đ phõn bo chuan.

Hỡnh 1.2: Bieu o phân bo lai suat hàng tuan và phân phoi chuan

Hình 1.3: Bieu đo lai suat hàng tuan


ã Mắc dự nhung bien đng cua tắp cỏc giỏ tr% lai suat ta khơng
quan sát đưac nhưng chúng có nhung tính chat đ¾c trưng là xu
hưáng bay đàn. Túc là lai suat có the bien đ®ng cao trong nhung
thài kì này và thap trong các thài kì khác.
Nhìn vào bieu đo 1.3 ta thay, lai suat hàng tuan cua cő phieu
IBM cao vào giai đoan (2000-2003) và (2007-2009)- khi cu®c
khung hỗng kinh te bat đau. Trong suot tùng thài kì nhung sn
thay đői lán thưàng đưac xuat hi¾n theo sau nhung sn thay đői
lán. Lai suat IBM tương đoi őn đ%nh (ít có sn thay đői lán)
trong giai đoan (2003-2007)
ã Nhung bien đng cua lai suat cú tớnh chat địn bay. Đieu đó có
nghĩa là đ® bien đ®ng cua lai suat thng xuat hiắn e tỏc
đng tró lai sn tng hay gióm cua giỏ có.
ã Lai suat bien đng theo thài gian theo cơ che liên tnc, túc là ớt
cú cỏc bỏc nhóy cua đ bien đng lai suat
ã Lai suat khơng phân kì đen vơ vùng, nghĩa là lai suat bien thiên
trong m®t mien xác đ%nh nào đó. Ve m¾t tốn HQC thì lai suat

tài sãn thưàng là m®t chuői dùng.


Chương 2
Mơ hình ARCH
Các mơ hình kinh te truyen thong thưàng giã đ%nh rang phương
sai ã các thài kì dn báo là bat bien. Tuy nhiên, trong thnc te đieu này
khơng th¾t sn đúng đan. Vì the Robert Engle đã đe xuat m®t mơ hình
mái đe phù hap vái các quỏ trỡnh cú gia so đc lắp m ó ú phương
sai có the thay đői theo thài gian nhưng van thõa mãn phương sai
khơng có đieu ki¾n là hang so. Mơ hình này đưac ơng giái thi¾u lan
đau tiên vào năm 1982 [15] và đưac GQI là mơ hình phương sai có
đieu ki¾n cua
sai so thay đői tn hoi quy ( ARCH ) .

2.1. Cau trúc cúa mơ hình
Cho { Xt} là chuői thài gian
quy
b¾c 2.1.
p, Mơ
kí hình
hi¾uphương
ARCH
là ki¾n
mơ cua
hình
dang
%nh nghĩa
sai( p
có) đieu

sai socóthay
đői Đ
tn
hoi
Xt = g(Ft−1; b) + at, at = εt.σt
σ2 t= Var (at|Ft−1) = h(at−1; ..; at−p; α)
đó thơng
g( Ft−1tin
; bcó
) làđưac
hàm cho
cua tái
Ft−thài
vectơ ttham
Ft−1GQI
là
1 và điem
t¾pTrong
hap các
− 1;sop b;đưac
là b¾c
cua mơ hình ARCH


10

(akhông
t |Ft −1) là phương sai cua at vái đieu kiắn Ft1 v l hm
xỏcVar
%nh

õm, phn thuđc vo thi gian v tham so
t l dóy đc lắp cựng phõn phoi vái trung bình = 0, phương sai =1
at đưac GQI là cú soc hay phan dư cua Xt tai thài điem t
hi¾u
p) neu
Đ kí
%nh ARCH
nghĩa (2.2.
Mơ hình ARCH đưac GQI mơ hình tuyen tính b¾c p,
p
; α0 > 0; αi ≥ 0, ∀i ≥ 1
(2.1.1)
2
σ = α0 + ∑
α ia 2
t−i

t

i =1

Đ%nh nghĩa 2.3. Mơ hình ARCH đưac GQI là mơ hình tuyen tính b¾c vơ
cùng, kí hi¾u ARCH(∞) neu
σt2 = α0 +∞
∑ αia2
t−i

; α0 > 0; αi ≥ 0, ∀i ≥ 1

i =1

Mơ hình ARCH ( p ) tuyen tớnh ac su dnng rđng rói trong viắc
mụ hỡnh hóa chuői tài chính vì có khã năng nam bat cỏc tớnh chat cua
bien đng v the hiắn nú mđt cách đơn giãn .

2.2. Tính chat
2.2.1.Sn bieu dien tn hoi quy và hi¾p phương sai dùng
Giã su at Ft−1 ∼ N. 0; σ2 túc là phân bo cua at vái đieu ki¾n Ft−1
.
Σ t
2
là phân bo chuan có trung bình 0 và phương sai σ2. Đ¾t
ηt = a2t − σ
.
t
t
Ta có Eηt = 0 và ηt là khơng tương quan (Tsay, 2005, trang 107). Khi
đó phương trình (2.1.1) có dang
p

at2 = 0 +



i a2
ti

+ t

(2.2.1)

i=1

Nh vắy at2 l mđt quỏ trình tn hoi quy b¾c p ( AR( p)) . Tính chat này
rat huu ích trong vi¾c xác đ%nh b¾c p phù hap vái mơ hình ARCH cũng


giong như vi¾c xác đ%nh các giá tr% quan TRQNG khác là trung bình và
phương sai.
Đ%nh lí 2.1. Q trình ARCH(p) có hi¾p phương sai dnng neu và chi neu
p
∑
tat cã các nghi¾m cua phương trình đ¾c trưng 1
i
i= αiz = 0 nam ngồi
−
1

đưàng trịn đơn v%. Khi đó, phương sai (khơng đieu ki¾n) cua dãy phan dư at
là
t
p αi
1 ∑
Var ( at ) = E .a2 Σ = −

i

Chúng minh 2.1.

=1

.
Đ¾t WJ t = .a2t; at2− ; ..; ta−2 Σ ; bJ = (α0 ; 0; ...; 0) và
1

A
=

1 0 ..
 α1 α2 ...
0 .

0 1 ..
.
.. .. ..

p

 là ma tr¾n cap ( p + 1).( p + 1)
0
0
αp


0 0

.. ..


Khi

E (wt |Ft−1 ) = b +
Awt−đó
1 E (wt |Ft−k ) = b + AE
(wt1 |Ftk ) Thnc hiắn mđt cách
liên tiep ta có:
= b + A (b + AE (wt−2 |Ft−k ))

= b + Ab + A2 ((b + AE (wt−3 |Ft−k ))
= ...
.
= .I + A + A2 + ... + Ak−1 Σ b + Ak wt−k
phương
sai.
Giáinày
han
cua
(wMQI
t | Ft k ) khi k tien ra vụ
cựng Bieu
thỳc
đc
lắpbieu
vỏi thỳc
t nên Evái
giá tr% cua t ta đeu có
cùng m®t ton tai khi và chi khi các giá tr% riêng cua A nam phía trong
đưàng trịn
đơn v% hay các nghi¾m cua phương trình đ¾c trưng nam ngồi vịng
trịn đơn v% (Anderson (1994) trang 177 [7])