Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán trung học phổ thông

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI
HOC KHOA HOC TU NHIÊN
------------------

VŨ TH± KIM NGAN

M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI
Hfi PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TỐN TRUNG HOC PHO THƠNG

Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP

Mã so: 60 46 01 13

LU¼N VĂN THAC SY KHOA HOC

Ngưài hưáng dan khoa

HQC:

TS. PHAM VĂN QUOC

HÀ N®I - 2015


Mnc lnc
Lài cam ơn

2

Ma đau

3

1 M®t so kien thÉc cơ ban
1.1 H¾ phương trình cơ ban. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 H¾ phương trình b¾c nhat hai an . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 H¾ phương trình đoi xúng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 H¾ phương trình đang cap . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 H¾ phương trình dang hốn v% vòng quanh . . . . . . . .
1.2 Phương pháp cơ ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phương pháp c®ng đai so . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Phương pháp the . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
.4
.4
.4
.6
.7
.9
.9
.10

2 M®t so phương pháp giai h¾ phương trình
2.1 Phương pháp đ¾t an phu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp phân tích thành nhân tu . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp su dung hang đang thúc . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Phương pháp su dung tính đơn đi¾u cna hàm so . . . . . . . . .
2.5 Phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2 Phương pháp lưong giác hóa. . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Phương pháp su dung so phúc. . . . . . . . . . . . . . .

13
.13
.20
.28
.34
.43
.43
.47
.49

3 Mđt so phng phỏp xõy dEng hắ phng trỡnh
54
3.1 Xây dnng h¾ phương trình bang phương pháp đ¾t an phu . . .54
..
3.2 Xây dnng h¾ phương trình tù các đang thúc . . . . . . . . . . . .
.58
3.3 Su dung tính đơn đi¾u cna hàm so đe xây dnng h¾ phương .64
trình
3.4 Xây dnng h¾ phương trình bang phương pháp đánh giá . . . . . .67
3.5 Su dung so phúc đe xây dnng h¾ phương trình . . . . . . . . . . .71
Ket lu¾n

77

Tài li¾u tham khao

78

1


Lài cam ơn
Lịi đau tiên, tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành và sâu sac nhat tói TS.
Pham Văn Quoc - ngưịi thay đã truyen cho tơi niem say mê nghiên cúu Tốn
HQc. Thay đã t¾n tình hưóng dan, giúp đõ tác gia trong suot quá trình HQ c t¾p
và hồn thi¾n lu¾n văn.
Tác gia xin chân thành cam ơn Ban giám hi¾u, Phịng Đào tao Sau đai HQc,
Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, các thay cơ giáo đã tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi
hồn thành ban lu¾n văn này.
M¾c dù có nhieu co gang, nhưng do thũi gian v trỡnh đ cũn han che
nờn luắn văn khó tránh khoi nhung thieu sót. Vì v¾y tác gia rat mong nh¾n
đưoc sn góp ý cna các thay cơ và các ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n
hơn.
Em xin chân thành cam ơn!


Ma au
Hắ phng trỡnh l mđt nđi dung c ien và quan TRQNG cna Toán HQc. Ngay
tù đau, sn ra địi và phát trien cna h¾ phương trình đã đ¾t dau an quan TRQNG
trong Tốn HQc. Chúng có súc hút manh me đoi vói nhung ngưịi u Tốn,
ln thơi thúc ngưịi làm Tốn phai tìm tịi, sáng tao. Bài tốn ve h¾ phương
trình thưịng xun xuat hi¾n trong các kỳ thi HQc sinh gioi, Olympic cũng như
kỳ thi tuyen sinh Đai HQc, Cao đang. H¾ phương trình đưoc đánh giá là bài
tốn phân loai HQc sinh khá gioi, nó địi hoi ky thu¾t xu lý nhanh và chính
xác nhat. Là m®t giáo viên Trung HQc phő thơng, tơi muon nghiên cúu sâu hơn
ve h¾ phương trình nham nâng cao chun mơn, phuc vu cho q trình giang
day và boi dưõng HQc sinh gioi cna mình.
Vói nhung lý do trên, tơi lna cHQN nghiên cúu đe tài "M®t so phương pháp

giai h¾ phương trình trong chương trình tốn Trung HQc phő thơng" làm lu¾n
văn thac sĩ cna mình.
Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương:
Chương 1. M®t so kien thúc cơ ban
Chương 2. Mđt so phng phỏp giai hắ phng trỡnh
Chng 3. Mđt so phng phỏp xõy dnng hắ phng
trỡnh.
H Nđi, ngy 01 tháng 8 năm
2015 Tác gia lu¾n văn

Vũ Th% Kim Ngan


Chng 1

Mđt so kien thẫc c ban
1.1
1.1.1

Hắ phng trỡnh c ban
H¾ phương trình b¾c nhat hai an

H¾ phương trình b¾c nhat hai an là h¾ có dang
.
a 1x + b1y =
c1 a2x + b2y
= c2.

Phương pháp giai:
Đe giai h¾ phương trình này, ta thưịng su dung các phương pháp sau:

- Phương pháp the,
- Phương pháp c®ng đai so,
- Phương pháp dùng đ%nh thúc.
Ký hi¾u: D =
. ; Dx =
. ; Dy = .
. .
.
.
. a1
. c2
a 2 b2 .
a2
Trưàng hap 1 : D ƒ= 0.

c1
b2

c2

.

a1

.

D
.

x

D
x=

H¾ phương trình có nghi¾m duy
nhat




y=
D

Dy

.

Trưàng hap 2 : D = Dx = Dy = 0.
H¾ phương trình có vơ so nghi¾m dang {(x0; y0) |a1x0 + b1y0 = c1} .
Trưàng hap 3 : D = 0; Dx ƒ= 0 ho¾c D = 0; Dy ƒ= 0 ho¾c D = 0; Dx ƒ= 0; Dy ƒ= 0.
H¾ phương trình vơ nghi¾m.


1.1.2

Hắ phng trỡnh oi xẫng

1. Hẳ phng trỡnh oi xẫng loai I

H¾ phương trình đoi xúng loai I đoi vói hai bien x và y là h¾ phương

trình mà neu ta thay x boi y, thay y boi x thì h¾ khơng thay đői.
Phương pháp giai: , đieu ki¾n S2 ≥ 4P.
.- Đ¾t

x+y=
S xy =
P

- Tìm S, P,
- Khi đó, x, y là nghi¾m cna phương trình u2 − Su + P = 0.

Ví dn 1.1. (Trích đe thi HQc vi¾n An ninh năm 2001)
Giai h¾ phương trình
.x + y = 1
(x, y ∈ R).
2
2
− 2xy x + y =
1
x+y=S
Giai. Đ¾t .
, đieu ki¾n S2 ≥ 4P.

S = 1 − 2P

xy =

Ta đưoc h¾ phương
trình . 2
P

.⇔ S − 2P = 1

S = 1 − 2P
(1 − 2P )2 − 2P
=1

.⇔

S =2 1 − 2P
4P − 6P = 0

S = 1; P = 0

3
 SΣ = 1 − 2P ⇒ Σ
⇔

P=0


3

P=
x +y=1
Vói S = 1; P = 0 ⇒ .
xy =
0.

2

S = −2; P =

2

.


Khi đó (x, y) là nghi¾m cna phương
Σ⇒ trình:
u2 Σ−u = 0
⇔
0

u=

x = 0; y = 1
x = 1; y = 0.

u=1

Vói S = −2; P =

ta loai trưịng hop này vì khơng thoa mãn đieu ki¾n S2 ≥ 4P.

3

2

V¾y h¾ phương trình có hai nghi¾m là (x; y) = (0; 1) ; (1; 0) .
2. H¼ phương trình đoi xÉng loai II

H¾ phương trình đoi xúng loai II đoi vói x và y là h¾ phương trình mà
neu ta thay x boi y, thay y boi x thì phương trình này bien thành phương
trình kia và ngưoc lai.
Phương pháp giai:
- Trù theo ve hai phương trình cna h¾, ta đưoc m®t phương trình tích dang:
(x − y) f (x; y) = 0.

- Sau đó lan lưot thay x = y; f (x, y) = 0, vào m®t trong hai phng trỡnh
cna hắ, ta oc mđt phng trỡnh ó biet cách giai và giai tiep tìm nghi¾m
cna h¾.


Ví dn 1.2. (Trích đe thi đai HQc khoi B năm 2003)
Giai h¾ phương trình
(x, y ∈ R).
 3y = 2
y +
2
x2

2

x +2


 3x =

y2

Giai. Đieu ki¾n: x > 0; y > 0.
H¾ phương trình.
tương đương vói
.

3x2y = y2 + 2
3y2x = x2 + 2
3xy (x
y) = (y x) (y +
− 2x = x2−+ 2
x) 3y
⇔

.

(x − y) (x + y + 3xy) = 0
2 x2 +
3 x=
 y x2 = y
x + y + 3xy = 0
⇔
⇔

.

Σ


3y 2

2
.x = x + 2.

x=y
x=y
⇔
⇔x=y=
2
2
3y x = x +
3x3 − x2 − 2
1.
x
=
2 + y2 + 3xy
=0
2
.Vói 0 3y x = x +
2.
Vì x + y + 3xy > 0; ∀x > 0; y > 0 nên trưịng hop này vơ nghi¾m.
V¾y h¾ phương trình có nghi¾m duy nhat (x; y) = (1; 1).

Vói

1.1.3

H¾ phương trình đang cap

H¾ phương trình .
= a

f (x, y)
g (x, y)
=b

đưoc GQI là h¾ đang cap b¾c k neu f (x, y); g(x,
y)

là các bieu thúc đang cap b¾c
k.
Chú ý : Bieu thúc f (x, y) đưoc GQI là đang cap b¾c k neu f (mx, my) = mk f (x,
y) .

Phương pháp giai:
- Xét y = 0 (ho¾c x = 0) thay vào h¾ phương trình tìm nghi¾m.
- Xét y ƒ= 0. Đ¾t x = ty, khi đó ta có
.⇒
.


f (ty, y) = ykf
(t, 1)
g (ty, y) = y kg
(t, 1)

ykf (t, 1) =
a yk g (t,
1) = b.
a

Chia theo ve hai phương trình cna h¾ ta đưoc: f (t, 1) = g (t, 1) .
b

Giai phương trình tìm t roi thay ngưoc lai ta tìm đưoc nghi¾m (x, y).


Ví dn 1.3. (Trích đe thi đe ngh% Olympic 30/4/2009)
Giai h¾ phương trình
.
3

x +3 8y −2
2x4 + 8y4 − 2x − y = 0
4xy = 1

(x, y ∈ R).

Giai.
- Xét y = 0.
. Thay vào h¾ phương trình ta đưoc:
x3 = 1
⇔ x = 1.
2x4 − 2x =
0

Suy ra (1; 0) l mđt nghiắm cna hắ.
- Xột y = 0
. Đ¾t x = ty, khi đó ta có:
.
t3y4 3 4+ 8y3 4− 4ty3 = 1

2t y + 8y − 2ty − y
=0
 3 .3
y t + 8 − 4t = 1

 Σ
.
⇔  y3 Σ2t4 + 8 = 2t + 1 (Do y ƒ= 0).
Chia theo ve hai phương trình cna h¾ ta
đưoc:

t3 + 8 − 4t
1
=
2t4 + 8
2t + 1
3
2
t
8t
+
12t
=0
⇔Σ
t
=
0
− t=2
⇔
t = 6.

Σ
1
Vói t = 0 ta có (x; y) = .0; Σ . 1
2
1
25
Vói t = 2 ta có (x; y) = .1; Σ .
. 2
3
Vói t = 6 ta có (x; y) √ ;
3
25
=

√
23

.

V¾y h¾ phương trình có bon nghi¾m là
(x; y) = (1;
0) ;

0;
.1

; 1;

1

2Σ . Σ
;
2




.

3
1
√3 ; √3

Σ

25 2 25

.


1.1.4

H¾ phương trình dang hốn v% vịng quanh

H¾ phương trình dang hốn v% vịng quanh là h¾ có dang:

 f (x1) = g (x2)
 f (x2) = g (x3)

...

f (xn−1) = g (xn)
f (xn) = g (x1) .


(Khi ta hốn v% vịng quanh các bien thì h¾ phương trình khơng
đői). Cu the, ta xét h¾ hốn v% vòng quanh ba an sau đây.
.

x = f (y)
y = f (z)
z = f (x) .

Phương pháp giai:
Gia su f là hàm so xác đ%nh trên t¾p D và có t¾p giá tr% là T , T ⊆ D và
f là hàm so đong bien trên D.
- Cách 1 : Đốn nghi¾m và chúng minh nghi¾m duy nhat. Đe chúng minh
hắ cú nghiắm duy nhat ta thũng cđng theo ve ba phương trình cna h¾,
sau đó suy ra x = y = z.
- Cách 2 : Tù T ⊆ D ta suy ra f (x), f (f (x)) và f (f (f (x))) thuđc D. e (x,
y, z) l
nghiắm cna h¾ thì x ∈ T.
Neu x > f (x) thì do f tăng trên D nên f (x) > f
(f (x)). Do đó, f (f (x)) > f (f (f (x))). Suy ra:
x > f (x) > f (f (x)) > f (f (f (x))) = x.

Đieu này mâu thuan. Chúng to khơng the có x > f (x).
Tương tn ta cũng chúng minh đưoc rang khơng the có x < f
(x) . Do đó, x = f (x).
Vi¾c giai h¾ phương trình ban đau đưoc quy ve vi¾c giai phương trình x = f
(x).

Hơn nua ta
.có:
.
.
x=f
y=f
.z = f
x=f
y=f
⇔
z =f

(y)
x = f (y)
x = f (y)
(z) ⇔
y = f (z)
y = f (z)
⇔
(x) .z = f (f (y))
z = f (f (f (z)))
(y)
x = f (y) .x = y =
(z) ⇔
z=y
⇔ zz=f
(z)
z = f (z)
(z) .

Ví dn 1.4. (Trích đe thi HSG QG 2006)
Giai h¾ phương trình
 √ 2
 x − 2x + 6log3 (6 − y)
2
√ = x y − 2y + 6log3 (6
 − z) = y z2 − 2z +
√

Giai.

6log3 (6 − x) = z

(x, y, z ∈ R).


Đe (x, y, z) là nghi¾m cna h¾ phương trình thì đieu ki¾n là x, y, z
< 6. H¾ phương trình đã cho tương đương vói




log3

x

(6 − y) = √
x2−y2x + 6
 log (6 − z) = √
3

yz2 − 2y + 6

3 (6 − x) = z2 − 2z +
.
hay  log
log3√(6 − y) =6 f
(x) log3 (6 − z) =
x
f (y) log3 (6 − x)
= f (z) .
vói f (x) = √
; g (x) = log3 (6 − x) .
x2 − 2x + 66 x
−
Ta có
(x) =
√
> 0; ∀x < 6.
fJ
(x2 − 2x + 6) x2 − 2x + 6
Suy ra f (x) là hàm tăng còn g(x) là hàm giam vói x < 6.
Neu (x, y, z) là mđt nghiắm cna hắ phng trỡnh, ta chỳng minh x = y =
z. Khơng mat tính tőng qt, gia su x = max(x, y, z). Ta xét hai trưòng hop
sau: Trưàng hap 1 : x ≥ y ≥ z.
Do f (x) là hàm tăng nên f (x) ≥ f (y) ≥
f (z) . Suy ra log3 (6 − y) ≥ log3 (6 − z) ≥
log3 (6 − x) . Do g(x) giam nên
6 − y ≤ 6 − z ≤ 6 − x ⇔ x ≤ z ≤ y ⇒ x = y = z.

Trưàng hap 2 : x ≥ z ≥ y.

Tương tn như trên ta suy ra x = y = z.
Phương trình f (x) = g(x) có nghi¾m duy nhat x = 3.
V¾y h¾ phương trình có nghi¾m duy nhat (x, y, z) = (3, 3, 3).

1.2
1.2.1

Phương phỏp c ban
Phng phỏp cđng ai so

e giai hắ phng trình bang phương pháp c®ng đai so, ta có the ket
hop hai phương trình trong h¾ bang các phép tốn cđng, trự, nhõn, chia e
thu oc phng trỡnh hắ qua đơn gian hơn, de giai hơn.
Ví dn 1.5. (Trích đe thi đai HQc an ninh nhân dân năm 1999)
Giai h¾ phương trình
.
2
2
(x, y ∈ R).
√x + x + y + 1 + x + √y + x + y + 1
x2 + x + y + 1+−y = 18
y2 + x + y + 1 − y
x+
=2
2
Giai. Đieu ki¾n: x + x + y + 1 ≥ 0; y2 + x + y + 1 ≥ 0.


Cđng, trự theo ve hai phng trỡnh cna hắ ta đưoc

.

√

x2 + x + y + 1 + y2 + x + y + 1 = 10
x+y=8
.√ √
√⇔
x2 + 9 + y2 + 9 = 10
+y=8
. x
.
√
⇔
2
x + 9 + (8 − x)2 + 9 = 10
y=8−x
. √ 2 √⇔ 2
x + 9 + x − 16x + 73 = 10
. y=8−x
x2 − 16x + 73 = 10 −
x2 + 9
y = 8 − √x
√√.
⇔
10 − x2 + 9 ≥ 0 √
2
⇔
x − 16x + 73 = 100 − x2 + 9 + x2 + 9

20
y=8−

x

.
 −9 ≤ x9≤ 9
−√9 ≤ x
x≥−
4
≤9
2
⇔
5 x + 9 = 4x + 9 ⇔
.
Σ

 y=8−
x
− ≤x≤
9
⇔ 
(x9− 4)2 =
0 

 y=8−x

y=8−
2
x

2
 25 x + 9 = (4x + 9)
x=4
⇔.
(TMĐK).
y=
4

V¾y h¾ phương
trình có nghi¾m là (x; y) = (4; 4) .
4
1.2.2

Phương pháp the

Đây là m®t phương pháp đưoc úng dung rat nhieu trong nhung phương
pháp giai h¾ phương trình sau này. Dau hi¾u nh¾n biet cna phng phỏp
ny l tự mđt phng trỡnh cna hắ ban đau, ta rút đưoc bien này theo bien
kia (cũng có the là ca m®t bieu thúc) roi thay vào phương trình cịn lai đe
giai. Trong m®t so trưịng hop, ta de dàng tìm đưoc bieu thúc liên h¾ giua
các bien nhưng đơi khi ta can bien đői h¾ đe có đưoc đieu mong muon. Cu
the, ta xét các ví du sau đây.
Ví dn 1.6. (Trích đe thi HSG năm 2014 tsnh Ngh¾ An)
Giai h¾ phương trình
. √
√
Giai. Đieu ki¾n: 5x + y ≥ 0;
√ 5x + y + 2x + y =
2x + y + x − y = 1 (2)
3

(1)

2x + y ≥ 0.

Tù phương trình (1) cna h¾
ta có:


√
√
5x + y = 3 − 2x + y

(x, y ∈ R).


.

√
3 − 2x + y ≥√0
⇔
2x + y + 2x
=9
.5x + y √

− 63 − 2x + + y 

 3−

y≥0
⇔

= 

√
2x + y




3x−
2

⇔

x≤3

√

2x + y ≥ 0

. 
 2x + y =
Σ2


3−x
2
√
3 − 2x + y ≥ 0
x≤3
⇔ 

2
 y = x − 14x + 9 .
4
2
vào
phương trình (2) ta đưoc:
Thay
y
x
−
14x
+
9
=
2
4
x − 14x + 9
3−x
+x−
=1
⇔ x22− 16x + 7 = 04
⇔ x = 8 ±√57
√
⇒ x = 8 − 57 (TMĐK).
⇒
9 −2 57
√
.
√ y=
√

9 − 57
V¾y h¾ phương trình có nghi¾m duy nhat (x; y) = .8 − 57;
Σ.
2
(x, y ∈ R).
Ví dn 1.7. Giai h¾ phương trình

.

x (x − 3y) = .
4 y2 +
Σ
2 (xy − 4) (x + y)
=8

Giai.
H¾ phương trình tương đương vói
. 2

x − 3xy − 4y2 = 8
x2y + y2x − 4x − 4y = 8.

Tù đó ta có:
x2 − 3xy − 4y2 = x2y + y2x − 4x − 4y
⇔ x2 (y − 1) + x.y2 + 3y − 4 + 4y (y − 1) = 0
⇔ x2 (y − 1) + x (y − 1) (y + 4) + 4y (y − 1) = 0

Σ

Σ

⇔ (y − 1) x2 + x (y + 4) + 4y
= 0 (y Σ 1) (y + x) (x + 4)
⇔Σ
−
=0
y=1
⇔ y=
−x x
= −4.

Vói y = 1 thay vào phương trình thú nhat cna h¾ ta có phương trình
x2 − 3x − 12 = 0 ⇔ x =

3 ± 57
2

√

.


Vói y = −x thay vào phương trình thú nhat cna h¾ ta có phương trình
0.x2 = 8 (Vơ lý).

Vói x = −4 thay vào phương trình thú nhat cna h¾ ta có phương trình
y2 − 3y − 2 = 0 ⇔ y =

3 ± 17
2

√

.

V¾y h¾ phương trình có bon nghi¾m là:
3 + 57
3 − 57
3 + 17
3 − 57
(x; y) = .
√ ; 1Σ ; .
√ ; 1Σ ; .−4;
√ Σ ; .−4;
√ Σ.
2

2

2

2

Nh¾n xét : e ví du vùa roi, ta đã su dung phép the hang so đe thu đưoc m®t
phương trình có the giai đưoc. Trong m®t so bài tốn, ngồi cách the an
này theo an kia hay the hang so, ta cịn có the su dung phép the ca m®t
bieu thúc. Chang han, xét ví du sau đây.
Ví dn 1.8. Giai h¾ phương trình
.
2

x 2+ y + xy + 1 =
y(x + y)2 = 2x2 + 7y + 2 (2)
4y
(1)

(x, y ∈ R).

Giai.
Tù phương trình (1) ta có: x2 + 1 = 4y − y2 − xy.
Thay vào phương trình (2) ta đưoc:
.
Σ
y(x + y)2 = 2 4y − y 2 − xy + 7y
Σ
Σ2
⇔y

y+ (x
+y
⇔Σ
(x
y) ++y2 3)
(x (x
+ y)
− +155)==00
y=0
−
⇔ x+y=3
x + y = −5.

Vói y = 0 thay vào phương trình (1) ta đưoc:
x2 + 1 = 0

(Vơ nghi¾m).

Vói x + y = 3 ⇔ x = 3 − y thay vào phương trình (1) ta đưoc:
y = Σ⇒
x = 1; y = 2
x = −2; y = 5.

y2 Σ−7y +⇔
10 = 0
2

y=5

Vói x + y = −5 ⇔ x = −5 − y thay vào phương trình (1) ta đưoc:
y2 + y + 26 = 0 (Vơ nghi¾m).

V¾y h¾ phương trình có hai nghi¾m là (x; y) = (1; 2) ; (−2; 5) .


Chng 2

Mđt so phng phỏp giai hắ
phng trỡnh
2.1

Phng phỏp ắt an phn

Đây là m®t phương pháp thưịng đưoc su dung khi giai h¾ phương trình. Đ¾c
điem női b¾t cna phương pháp này là can phát hi¾n ra an phu và xu lý moi liên
quan cna an phu vói các đai lưong có TRQNG h¾. Tù đó, ta đưa h¾ phương trỡnh
ban au ve mđt hắ n gian v de xu lý hơn. Có the an phu xuat hi¾n trnc tiep
trong h¾ nhưng cũng có khi ta phai bien đői h¾ e cú the ắt oc an phu.
Mđt so dang hắ có the su dung phương pháp này như:
- H¾ đoi xúng,
- H¾ có chúa căn thúc (Ta thưịng đ¾t an mói bang căn thúc đe khu căn),
- H¾ có chúa các bieu thúc dang tőng - hi¾u, tőng - tích ho¾c chúa các
bieu thúc l¾p lai trong hai phương trình.
√
Vói nhung h¾ phương trình có chúa căn thúc, ta thưịng ắt u = f (x) hoắc

u f
=
(x)e a ve mđt phương trình ho¾c h¾ phương trình đã biet cách
v = g (x)
giai. Ta xét các ví du sau đây.
.

Ví dn 2.1. (Trích đe thi HSG QG năm 2001)
Giai h¾ phương trình
. √
√
√ 7x + y + 2x +
2x + y + x − y
y=5
=2

Giai. Đieu ki¾n: 7x + y ≥ 0; 2x + y ≥ 0.

(x, y ∈ R).


.

u =

√
7x +

u2 −
v2
5

y≥0
 x =

Đ¾t:

√

v = 2x + y ≥ 0

⇒

y
2u=

7v −

2

5

2

.




Khi đó h¾ phương
trình tro
.
thành
u +uv
2 =v2
5

−

v+

5

−


−
5

7
v

=2

2

2
u
2

.

v =5−u
u2 − 15u + 37 =
.
0 v = 5 − u√
2
⇔
√
15 √77
(Loai vì v<0)
=
 u
±
15 + 77
−5 − 77
 u = 2√ ; v =
.

2√
⇔
15 − 77
−5 + 77
u
;v
2

√
.=
=
2
x = 10 − 77 (TMĐK).

u=
11 −
⇒
2√
Vói
√
√
15 − 77
77
−
⇔


 v
=

5+

77

y=

2

2


√
Σ
√
11
77−

V¾y h¾ phương trình có nghi¾m duy nhat (x; y) = .10 −

.

77;
2

Ví dn 2.2. (Trích đe thi thu đai HQc năm 2013 trưàng THPT chuyên Lê
Quý Đôn, Đà Nang)
Giai h¾ phương trình
√
.
x√+ y + x2 −

(x, y ∈ R).
x2y−
y212=
2=
y 12

Giai..Đieu √ki¾n: x2 − y 2 ≥ 0. .
Đ¾t:

x2

u
−
v
= = x 0+ y

y2

≥

⇒y=

1

Khi đó h¾ phương
trình tro thành

+ v=
u
12Σ1 . u2 u = 12

v−


v
−

Σ
u
2
v

.

2

.

⇔

v = 12 − u
u − 7u + 12 =

0 v = 12
2

 Σ

⇔ − u

⇔Σ

u=4
u=3

u = 4; v = 8 (TMĐK)
u = 3; v = 9 (TMĐK).

.
y=8−x
Vói u = 4; v = 8, ta
.
. có:
−
x2 − (8 − x)2 = 4
√
⇔

x2 y2 = 4
x+y=8

⇔

Vói u = 3; v = 9, ta .
y=9−x
. có:
−
√
.
⇔
2

x2 y2 = 3
x+y=9

x − (9 − x)2 = 3
⇔

y=8

.

x x =−5

.
⇔

x=5
y = 3.

.
.y = 9

−
xx=5

⇔

V¾y h¾ phương trình có hai nghi¾m là: (x; y) = (5; 3) ; (5; 4) .
Ví dn 2.3. (Trích đe thi Olympic 30/4/2010, láp 10)
Giai h¾ phương trình

x=5
y = 4.





 1+ 1=9
x

y

√3 +
√3 x
y

√3
+ 1x

√3 +
1 y

=
18