Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
-----------------------

THÂN NGOC THÀNH

Hfi PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC Á TUYEN TÍNH CAP HAI

Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH
Mã so:

60.46.01.02

LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:
PGS.TS. HÀ TIEN NGOAN

Hà N®i – Năm 2016


Mnc lnc
Ma đau

2

1

Các kien thÉc chuan b%
4

1.1 Không gian Sobolev.....................................................................4
1.1.1 Không gian hàm Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞.................................4
1.1.2 Không gian Wl,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)........................5
1.1.3 Không gian W0 l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)........................6
1.2 Không gian Holder.......................................................................7
1.2.1 Không gian C(Ω), Cl(Ω)..........................................................7
1.2.2 Không gian C0,γ(Ω).................................................................. 7
1.2.3 Không gian Cl,γ(Ω)...................................................................8
1.3 Đ%nh lý Leray-Schauder...................................................................8
1.3.1 Đ%nh lý Arzelá-Ascoli............................................................8
1.3.2 Đánh giá Schauder đoi vói nghi¾m cna phương trình
ellip- tic tuyen tính cap hai
8
1.3.3 Đ%nh lý Leray-Schauder ve điem bat đ®ng cna m®t HQ
các ánh xa
9
1.4 Phương trình elliptic á tuyen tính cap hai....................................10

2

Bài tốn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic á tuyen tính
cap hai
12
2.1 H¾ phương trình elliptic á tuyen tính cap hai. Bài tốn Dirichlet12
2.1.1 H¾ phương trình elliptic á tuyen tính cap hai...................12
2.1.2 Bài toán Dirichlet...............................................................12
2.2 Đánh giá chuan Holder cna đao hàm cap l cna nghiắm qua cỏc
đ lún v ao hm cap m®t cna nó.............................................13
2.3 Đánh giá chuan Holder cna an hàm.............................................14
2.4 Đánh giá đ® lón đao hàm cap m®t cna nghiắm trờn biờn..........17

2.5 ỏnh giỏ đ lún ao hm cap mđt cna nghiắm trờn ton mien. 19
2.6 %nh lý ton tai nghi¾m cna bài tốn Dirichlet.............................22

Ket lu¾n

26
2


Mnc lnc
Tài li¾u tham khao

27

3


Me
ĐAU
Muc tiêu cna Lu¾n văn là trình bày sn mo r®ng các ket qua ve tính giai
đưoc cna bài tốn Dirichlet cho m®t phương trình elliptic á tuyen tính cap
hai sang trưịng hop h¾ phương trình elliptic á tuyen tính cap hai. Dưói sn
hưóng dan cna PGS. TS Hà Tien Ngoan, tác gia đã hồn thành lu¾n văn
vói đe tài
"H¾ phương trình elliptic á tuyen tính cap hai".
Lu¾n văn đưoc chia làm hai chương:
• Chương 1: Các kien thúc chuan b%.
ã Chng 2: Bi toỏn Dirichlet cho hắ phng trỡnh elliptic á tuyen tính

cap hai.

Chương 1 trình bày m®t so kien thúc chuan b% như các không gian
Sobolev, Holder, Đ%nh lí Leray-Schauder đe làm cơ so chúng minh đ%nh lí ton
tai nghi¾m cho h¾ phương trình elliptic á tuyen tính cap hai. Chng 2 nđi dung chớnh cna Luắn vn, trình bày bài tốn Dirichlet cho h¾ phương
trình elliptic á tuyen tính cap hai. Xây dnng và chúng minh các đánh giá tiên
nghi¾m cho h¾. Cuoi cùng chi ra sn ton tai nghi¾m cna h¾ bang cách áp
dung Đ%nh lí Leray-Schauder. Tài li¾u tham khao chính cho lu¾n văn là tài
li¾u [2].
M¾c dù có nhieu co gang, song do thịi gian v trỡnh đ cũn han che nờn
luắn vn khú tránh khoi nhung thieu sót. Vì v¾y tác gia rat mong nh¾n
đưoc sn góp ý cna các thay cơ và các ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n
hơn.
Qua lu¾n văn này, em xin bày to lòng biet ơn sâu sac đen PGS.TS Hà
Tien Ngoan. Thay ln t¾n tình hưóng dan, giúp đõ em suot quá trình tìm
hieu đe tài. Sn nhiắt tỡnh ú ó đng viờn em rat nhieu e có the hồn
thành lu¾n văn này.

4


Me
Tác gia xin chân thành cam ơn Ban Giám hi¾u, Phịng Đào tao Sau đai HQc,
ĐAU
Khoa Tốn-Cơ-Tin, các thay cơ đã tao đieu ki¾n thu¾n loi cho em hồn thành
ban lu¾n văn này.
Em xin chân thành cam ơn!

5


Me ĐAU

Hà N®i, ngày 7 tháng 12 năm 2016
Tác gia

Thân NGQc Thành

6


Chương 1

Các kien thÉc chuan b%
1.1
1.1.1

Không gian Sobolev
Không gian hàm Lp(Ω),

1≤p<∞

Đ%nh nghĩa 1.1. Lp(Ω) là không gian Banach các hàm đo đưoc u xác đ%nh trên
Ω, nh¾n giá tr% thnc và p - kha tích sao cho
∫
|u(x)| pdx < +∞.
Ω

Chuan đưoc đ%nh nghĩa trong không gian Lp(Ω) là
 1p

∫

||u(x)||Lp(Ω) = |u(x)|pdx ,
Ω

trong đó |u(x)| là giá tr% tuy¾t đoi cna u(x).
Khi p = +∞, L∞(Ω) là không gian Banach các hàm b% ch¾n trên Ω vói chuan
||u||∞ = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M hau khap nơi trong Ω}.

Khi p = 2, L2(Ω) là không gian Hilbert vói tích vơ hưóng
∫
(u, v)L2(Ω) = u(x).v(x)dx,
Ω

(u, u) = ||u||2
=

∫

2

|u(x)| dx.
Ω

Nh¾n xét 1.1. Neu f ∈ L2(Ω); g ∈ L2(Ω)
thì


2

.

∫

.

∫


∫

2

1
∫

.
7

Ω

1


|fg|dx ≤

fgdx ≤

.Ω

.

Ω

|f |

Ω

2

8

dx



|g|2dx


Chương 1. Các kien thúc chuan b

(f, g là các hàm bình phương kha
tích). Neu a ∈ L∞(Ω) và f, g ∈ L2(Ω) thì
|fg| dx.

.∫ afgdx . ≤ ||a||
∞

∫

.Ω
1.1.2

.

Ω

Khơng gian Wl,p(Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)

Đ%nh nghĩa 1.2. Vói ∀l ∈ N; 1 ≤ p < +∞, ta có
Wl,p(Ω) = {u(x) ∈ Lp(Ω); Dαu(x) ∈ Lp(Ω), ∀α : |α| ≤ l},

trong đó
α = (α1, α2, . . . , αn); αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · · + αn;
Dαu = Dα1 Dα2 . . . Dαn ; Dj = ∂ .
1

∂xj

2
n

Khi đó, chuan cna u(x) ∈ Wl,p(Ω) đưoc đ%nh nghĩa boi
 p1
∫ |Σα|
||u||W l,p(Ω) =
 ≤l |Dαu|pdx .
Ω

M®t chuan tương đương là
||u||pWl,p(Ω)

Σ
=

α

|α|≤l

p
.
Lp(Ω)

|D u|
Nh¾n xét 1.2. Gia su Ω ⊂ R ; l ∈ N; 1 ≤ p < +∞ thì Wl,p(Ω) là m®t khơng
n

gian Banach.
Khi l = 1, p = 2 thì
W

.

(Ω) = u ∈ L2(Ω); D1u ∈ L2(Ω) .

1,2

Không gian W 1,2(Ω) đưoc trangΣb% tích vơ hưóng
.
Σ
Σ
(u, v) =

∂u ∂v
(u, v)

L2(Ω)

+

và chuan tương
úng

1≤l≤
n

;
∂x ∂x
l

,

L2(Ω)

l

||u||W 1,2(Ω) =∫ .
Σ
2
2
2
|∇u(x)|
+

u(x)
dx.
Ω

Khi đó W 1,2(Ω) là không gian Hilbert.
9


Chương 1. Các kien thúc chuan b

Nh¾n xét 1.3. Neu l < m thì
Wm,p(Ω) ⊂ Wl,p(Ω).

10


1.1.3

Không gian Wl,p
0 (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)

a) Không gian C0∞ (Ω)
C0∞ (Ω) = {u(x) ∈ C ∞ (Ω), u(x) có giá compact}.

b) Khơng gian W0l,p(Ω)
Đ%nh nghĩa 1.3. Khơng gian Wl,p(Ω) vói 1 ≤ p < +∞ là bao đóng cna C∞(Ω)
0

0

trong chuan cna khơng gian Wl,p(Ω).
Kí hi¾u
l,p

W (Ω) = C∞(Ω).
0

0

Khi đó,
Wl,p(Ω) = {u(x); u(x) ∈ Wl,p(Ω), Dαu|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1}.
0

Nh¾n xét 1.4.

i)Đoi vói các hàm u(x) ∈ W0 1,p (Ω), v(x) ∈ W 1,pj (Ω) ta có
∫
∫
=
1.

trong đó 1 + 1
p

uxivdx =
−

uvxidx,

Ω

Ω

pJ

ii) Hai chuan tương đương trong W
||u||W
p 1,p(Ω)

1,p

(Ω)

Σ

α

=
|α|≤l

||u||W 1,p(Ω) =

p
Lp(Ω) ,

Σ
||D u||

||Dαu||pL (Ω).

|α|≤l

Hai chuan là tương đương, neu ton tai c1 , c2 ∈ R∗+ sao cho
c1||u|| ≤ |||u||| ≤ c2||u||.
iii)Hai chuan sau là tương đương trên W0l,p(Ω)
n
Σ

||u|| = ||u||Lp(Ω) +

||Dju||Lp(Ω),

j=1

|||u||| =

n
Σ

||Dju||Lp(Ω),

j=1

trong đó Dju = Dxj u.


iv) Khi l = 1, p = 2
Chuan cna W0 1,2(Ω) xác đ%nh boi
n
Σ

2 1,2
||u||W
(Ω) = ||u||L2(Ω) +
2
u xj

||

2

||L2(Ω).

j=1

Chuan mói tương đương
là
2

∫ Σ
n

2
0

|||u|||W 1,2(Ω) = ||u||W 1,2(Ω)

i,j=
1

aij (x)uxi uxj dx,

=
Ω

Σ
trong đó aij = aji, c1|
ξ|

2

≤

n

aij(x)ξiξj ≤ c2|ξ| , (c1, c2 = const)∀ξ ∈ Rn.

i,j= 2
1

1.2

Khơng gian Holder

Cho Ω là m®t tắp mo trong Rn. Ta %nh ngha mđt so khụng gian
1.2.1

Không gian C(Ω), Cl(Ω)

Đ%nh nghĩa 1.4.
C(Ω) = {u(x); u(x) liên tuc trong Ω},

Cl(Ω) = {u(x) ∈ C(Ω) : Dαu ∈ C(Ω); ∀|α| ≤ l},

vói l ∈ N.
Trong khơng gian Cl(Ω) xác đ%nh chuan

|u|l,Ω = sup

Σ

Ω |α|
≤l

|Dαu|.
1.2.2

Không gian C0,γ(Ω)

Đ%nh nghĩa 1.5. C0,γ(Ω) là không gian Banach các hàm u(x) liên tuc trong Ω
vói |u|γ,Ω xác đ%nh


C0,γ(Ω) = {u(x) ∈ C0(Ω); |
u|

γ,
Ω

= sup
x,y∈Ω
xƒ=y

|u(x) − u(y)| ∞
γ
<+,
|x − y|
}

vói 0 < γ ≤ 1.
Chuan cna C0,γ(Ω) đưoc đ%nh nghĩa boi
|u|γ,Ω = max |u| + |u|γ,Ω.


Chú ý 1.1. Hàm u(x) ∈ C 0,γ (Ω) neu u(x) ∈ C 0,γ (ΩJ ) vói ∀Ω, ⊂ Ω.

1.2.3

Khơng gian Cl,γ(Ω)

Đ%nh nghĩa 1.6.
Cl,γ(Ω) = {u(x) ∈ Cl(Ω); Dαu ∈ C0,γ(Ω); ∀|α| = l}.

Chuan trong Cl,γ(Ω)
|u|l,γ,Ω = |u|l,Ω +

Σ

|Dαu|γ,Ω.

|α|=l

1.3
1.3.1

Đ%nh lý Leray-Schauder
Đ%nh lý Arzelá-Ascoli

Gia su (X, d) là m®t khơng gian metric compact và C(X) là không gian
vecto các hàm liên tuc f : X → R.
. x ∈ X}, chuan này
Không gian C(X) đưoc trang b% chuan ǁfǁ = max{|f (x)|
xác đ%nh khoang cách trong C(X) như sau
σ(f, g) = ǁf − gǁ = max{|f (x) − g(x)|, x ∈ X}.

Đ%nh nghĩa 1.7. HQ F các hàm so thu®c C(X) đưoc GQI là liên tnc đong
b¾c neu vói MQI s > 0, ton tai δ > 0 sao cho |f (x) − f (y)| < s đúng vói
MQI x, y ∈ X thoa mãn d(x, y) < δ và vói MQI f ∈ F.
HQ F đưoc GQi là b% ch¾n đeu neu ton tai hang so M sao cho
|f (x)| ≤ M

vói MQI x ∈ X, f ∈ F.
Đ%nh lý 1.1. (Đ%nh lý Arzelá-Ascoli). Gia su (X, d) là m®t khơng gian
com- pact. T¾p con F cua C(X) là t¾p compact tương đoi neu F b% ch¾n đeu
và liên tnc đong b¾c.
1.3.2

Đánh giá Schauder đoi vái nghi¾m cua phương trình elliptic tuyen
tính cap hai

Trong phan này se trình bày Đ%nh lý Schauder ve đánh giá chuan |u|2,γ,Ω
vói u(x) là nghi¾m cna phương trình elliptic tuyen tính cap hai. Cu the ta xét

đ%nh lý sau


Đ%nh lý 1.2. (Đ%nh lý Schauder). Gia su Ω ⊂ Rn là t¾p má b% ch¾n có biên
S ∈ C2,γ vái γ ∈ (0, 1). Xét toán tu L xác đ%nh bái
Lu = aij (x)uxi xj + bi (x)uxi + c(x)u

trong đó tù đây ve sau khi g¾p các chs so lắp trong mđt bieu thỳc, thỡ ta se hieu
l lay tőng theo chs so l¾p đó và ta gia thiet các h¾ so thóa mãn
1. aij(x)ξiξj ≥ λ|ξ|2 ∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn, λ = const
> 0; 2. |aij|0,γ,Ω, |bi|0,γ,Ω, |c|0,γ,Ω ≤ µ, µ = const >
0.

Gia su f ∈ Cγ(Ω) và φ ∈ C2,γ(Ω). Khi đó, nghi¾m u(x) ∈ C2,γ(Ω) cua bài toán
Dirichlet
Lu = f, u. = φ
S

thóa mãn đánh giá
|u|2,γ,Ω ≤ C(|u|0,Ω + |φ|2,γ,Ω + |f |
0,γ,Ω ),

trong đó C là hang so phn thu®c n, , , à, v khụng phn thuđc vo u.
1.3.3

%nh lý Leray-Schauder ve điem bat đ®ng cua m®t

HQ CÁC

ánh xa

Dưói đây trình bày đ%nh lý điem bat đ®ng Leray-Schauder đe chúng
minh sn ton tai nghi¾m. Trưóc tiên ta trình bày đ%nh nghĩa liên quan.
Đ%nh nghĩa 1.8. Cho B1 , B2 là hai không gian Banach. Ánh xa Φ : B1 → B2
đưoc GQI là hồn tồn liên tnc neu nó liên tuc và bien MQI t¾p b% ch¾n trong B1
thành t¾p compact tương đoi trong B2 .
Đ%nh lý 1.3. (Đ%nh lý Leray-Schauder). Gia su H là không gian Banach
đay đu và M là t¾p má, b% ch¾n trong H . ắt M1 = M ì [0, 1]. Khi ú
phng trỡnh
u = (u, t)
(1.1)
cú ớt nhat mđt nghiắm trong M vỏi MQI t ∈ [0, 1] neu các đieu ki¾n sau đưac thóa
mãn
(1) Φ(u, t) xác đ%nh và hồn tồn liên tnc trên M1,
(2) Φ(u, t) liên tnc đeu theo t trên M1,
(3)Vái MQI t ∈ [0, 1] thì phương trình (1.1) khơng có nghi¾m trên biên cua M,
(4)Phương trình (1.1) có nghi¾m vái t = 0.


1.4

Phương trình elliptic á tuyen tính cap hai

Trong phan này se trình bày ve bài tốn Dirichlet cho m®t phương trình
elliptic á tuyen tính cap hai.
Vói x ∈ Ω ⊂ Rn, xét phương trình dang bao tồn
d
Lu ≡

dxi

(1.2)

(ai(x, u, ux)) + a(x, u, ux) = 0

vói đieu ki¾n
biên

u.S = ϕ(x).S

(1.3)

Khi đó, bài tốn Diriclet là bài tốn tìm hàm u(x) thoa mãn (1.2), (1.3).
Đe nghiên cúu tính giai đưoc cna bài tốn, ta se nhúng nó vào HQ bài tốn sau
Lτ u =

d (ai(x, u, , τ )) + a(x,
, τ ) = 0,
u, ux
d ux
xi
u.S

= τϕ, (τ ∈ [0, 1]), (1.4)

trong đó ai(x, u, ux, τ ), a(x, u, ux, τ ) là các hàm trơn cna τ trên [0, 1] thoa
mãn
ai(x, u, ux, 1) = ai(x, u, ux), a(x, u, ux, 1) = a(x, u, ux).

Ta cũng gia su thêm các đieu ki¾n sau đoi vói các h¾ so đúng vói MQI x ∈ Ω, |u| ≤

M, τ ∈ [0, 1] và p bat kỳ
≤ µ(1 + |p|2 )m 2 |ξ|
(1.5)
λ(1 +

2

m−2

2

p|) )
|ξ| ≤
τ
ξξ

|

2

−

∂ai(x, u, p,

∂p

2

2

ij

. ∂ai
Σ
.
.
a(x,
u,
p,
τ
)|+
+|a
|
(1 + )| 2
|
i
∂
u

p|2 1

m

2 2
∂a ≤ µ(1 + |p|
)

(1.6)

i

+

∂
x

.

j

trong đó λ,µ là các hang so dương và m > 1. Khi đó, ta có các đánh giá
tiên nghi¾m
Σ
n
max |∇u(x, τ )| ≤
|uxi |β,Ω ≤ M2
(1.7)
M 1,
Ω

i=1


vói các hang so M1, M2 và β đưoc xác đ%nh tù các đai lưong n, M, m, λ,µ
trong
(1.5), (1.6). Xét đ%nh lý ton tai nghi¾m cho bài tốn (1.4).
Đ%nh lý 1.4. Gia su các đieu ki¾n sau đưac thóa mãn
(a) Vái x ∈ Ω, |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] và p bat kỳ, ai(x, u, p, τ ), a(x, u, p,
τ ) là các hàm đo đưac, ai(x, u, p, τ ) kha vi theo x, u, p và thóa mãn
đieu ki¾n (1.4), (1.5);

(b) Vái x ∈ Ω, |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] và |p| ≤ M1 (M1 là hang so trong đánh
∂ai ∂ai ∂ai
giá (1.7)), các hàm a ,
,
,
, a là các hàm liên tnc theo x, u,
p, τ và thóa
mãn đieu
i
∂pj ∂u ∂xi
ki¾n Holder theo x, u, p vái so mũ α > 0 đeu theo τ ∈ [0, 1];


(c) Các
u, p, τ ), a(x, u, p, τ ) và
∂ai hàm
∂ai a
∂a(x,
i
là các phan tu thu®c C0,γ{x ∈
,
,
i
∂pj ∂u ∂xi
Ω, |u| ≤ M,|p| ≤ M1} liên tnc đeu theo tham so τ ∈ [0, 1].
(d) S ∈ C2,γ , ϕ ∈ C2,γ .

Đong thài, gia su rang nghi¾m u(x, τ ) thóa mãn max |u(x, τ )| ≤ M

∀τ

Ω

∈ [0, 1]. Khi đó, neu vái τ = 0, bài toỏn (1.4) cú nghiắm thỡ (1.4) se cú ớt nhat

mđt nghi¾m
u(x, τ ) ∈ C2,γ(Ω) ∀τ ∈ [0, 1].
Ta viet lai phương trình (1.2) dưói dang
Lu ≡ aij (x, u, ux )uxi xj + A(x, u, ux ) = 0

trong đó

a
ij

∂ai(x, u, p)
(x, u, p) = ∂p
j

và
A(x, u, p) = a(x, u, p) +

∂ai(x, u, p)
∂u

+

∂ai(x, u, p)
∂x i

.

Gia su thêm rang
A(x, u, 0) ≤ −b1|u|2 + b2,

b1 = const > 0, b2 ≥ 0

(1.8)
(1.9)

aij(x, u, 0)ξiξj ≥ 0

Khi đó, cùng vói ket qua cna Đ%nh lý 1.4, ta có đ%nh lý ton tai nghi¾m cna bài
tốn (1.2), (1.3).
Đ%nh lý 1.5. Gia su các đieu ki¾n sau đưac thóa mãn
(a)Vái x ∈ Ω và u, p bat kỳ, các hàm ai(x, u, p), a(x, u, p) là các hàm đo
đưac,
ai(x, u, p) kha vi theo x, u, p và các bat đang thúc (1.8), (1.9) đưac thóa
mãn;
b2
(b)Vái x ∈ Ω, |u| ≤ M = max{max |ϕ|, . } và p bat kỳ, các hàm a (x, u, p),
Ω

b1

i

a(x,thóa
u, p)
mãn đánh giá (1.5), (1.6);

∂ai ∂ai ∂ai
(c) Các hàm a ,
,
,
, a liên tnc Holder vái so mũ γ > 0 theo x, u, p

trên

i

t¾p

∂pj

∂u ∂xi {x ∈ Ω, |u| ≤ M,|p| ≤ M1};


trong đó M1 có đưac tù đánh giá tiên nghi¾m max |∇u| ≤ M1.
(d) S ∈ C2,γ và ϕ ∈ C2,γ(Ω).

Ω

Khi đó, bài tốn biên (1.2), (1.3) có ít nhat mđt nghiắm thuđc C2,().


Chương 2

Bài tốn Dirichlet cho h¾ phương
trình elliptic á tuyen tính cap hai
2.1

H¾ phương trình elliptic á tuyen tính cap hai. Bài tốn
Dirichlet

2.1.1

H¾ phương trình elliptic á tuyen tính cap hai

Vói x ∈ Ω ⊂ Rn, xét h¾ phương trình dang
Lu ≡ aij(x,
u)ul

xi
xj

+ bi(x, u,
ux)ul

+ bl(x, u, ux) = 0, l = 1, 2, ..., N

(2.1)

x
i

trong đó u là hàm véc tơ N phan tu





u1
 u2 

u =

 .N 
u

,

aij(x, u), bi(x, u, p) và bl(x, u, p) là các hàm vơ hưóng thoa mãn đieu ki¾n
aij(x, u) = aji(x, u), λ|ξ|2 ≤ aij(x, u)ξiξj ≤ µ|ξ|2; λ,µ = const > 0,

(2.2)

Khi đó h¾ (2.1) là h¾ phương trình elliptic á tuyen tính cap hai.
2.1.2

Bài tốn Dirichlet

Bài tốn Dirichlet đoi vói h¾ phương trình (2.1) là bài tốn tìm hàm vecto
u(x) xác đ%nh trên Ω thoa mãn h¾ phương trình (2.1) và đieu ki¾n biên
u|S = ϕ|S,

vói ϕ(x) ∈ C2,γ(Ω), S là biên cna Ω
20

(2.3)

Chương 2. Bài tốn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic á tuyen tính cap hai

2.2

Đánh giá chuan Holder cua đao hm cap l cua nghiắm
qua cỏc đ lỏn v ao hàm cap m®t cua nó

Trong phan này ta se xét h¾ phương trình tőng qt hơn h¾ (2.1)
(2.4)

l
l
aij(x, u)u
xi + a (x, u, ux) = 0, l = 1, 2, ..., N

xj

trong đó u là hàm véc tơ N phan tu




u1
 u2 

u =

 .N 
u

,

aij(x, u) và al(x, u, p) là hàm vơ hưóng thoa mãn đieu ki¾n (2.2). Khi đó ta

có đ%nh lí
Đ%nh lý 2.1. Gia su u(x) l mđt nghiắm cua thuđc C2,0() cua hắ (2.4) v
aij(x, u) kha vi theo xk và ul trên mien
R{x ∈ Ω, |u| ≤ M = max |u(x)|, p ≤ max |∇u|}
Ω

Ω

∂aij ∂aij
(x, u),
,
, al(x, u, p) là các hàm đo đưac b% ch¾n
bái M

đong thài
a

ij

∂ul

∂x

trong
2

mien trên. Khik đó, ton tai γ ≥ 0 sao cho chuan |uxl |γ,Ω vái l = 1, 2, ..., n; ΩJ ⊂ Ω
đưac đánh giá bái hang so phn thu®c vào các đai lưang n, M1 , M2 , λ và
khoang cách tù ΩJ tái biên S .
Neu thêm đieu ki¾n u ∈ C2,0(Ω), u|S = 0 và S ∈ C2 thì các chuan |ux |γ,Ω vái l
l = 1, 2, ..., n b% ch¾n bái hang so phn thu®c vào n, N, M, M1, M2, λ và
S. Hang so γ đưac xác đ%nh bái các giá tr% n, N, M, M1, M2, λ và tính
chat cua biên S. ChÚng minh.
Do aij(x, u) là hàm kha vi theo xk và ul
nên ta có the viet lai h¾ (2.4) dưói dang bao tồn
J

trong đó

∂
(ai (x, x ) + Al(x, u, ) = 0, l = 1, 2, ..., N
(2.5)
∂
u)ul j ux
j
xi
Al(x, u, u
∂aij(x, u) l
) = al(x,
u, u
)−
u
x
x
xj

∂xi
Tù gia thiet tiên nghi¾m M = max |u(x)| và M1 = max |∇u| ta thu đưoc đánh giá
Ω

21

Ω


Chương 2. Bài tốn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic á tuyen tính cap hai

max Al(x, u, ux) c(M, M1).
x∈Ω
|
|
≤

22


Khi đó moi phương trình cna h¾ (2.5) là phương trình dang bao tồn. Theo
Đ%nh lí 15.1, Chương 3, [2] thì vói moi ul(x), l = 1, 2, ..., N ta có the đánh
giá chuan
|ul (x)|1,γ,Ω trong đó ΩJ ∈ Ω theo các đai lưong
J

M,
M

, c(M,

u,
u M ), max

1

1

x∈Ω,|u(x)|≤M

∂aij(x, u,) ∂aij(x, u,) A(x,
|a (x, u),
ij

∂xk

∂ul

)|,
x

và hang so elliptic λ(M ) xác đ%nh tù bat đang thúc
λ(|u|)|ξ|2 ≤ aij(x, u)ξiξj ≤ µ(|u|)|ξ|2.

(2.6)

Q
Bây giị ta se xét h¾ phương trình (2.4) theo tựng phng trỡnh đc lắp.
Theo ket qua cna %nh lớ 12.1, Chương 3, [2] ta có đánh giá |u(x)|k,α,Ω(k ≥
2) vói l = 1, 2, ..., N . Ta phát bieu ket qua này cho h¾ (2.4) như sau
Đ%nh lý 2.2. Gia su u(x) l mđt nghiắm cua hắ phng trình (2.4)

thu®c láp C k+2,0 (Ω) (k ≥ 0) và h¾ (2.4) thóa mãn đieu ki¾n elliptic (2.2).
Hơn nua, aij (x, u), al (x, u, p) ∈ C k,γ (R), vái R đưac mô ta như trong
phát bieu cua Đ%nh lí 2.1. Khi đó chuan |u|k+2,γ,Ω vái ΩJ ⊂ Ω đưac đánh giá
theo các đai lưang n, N, M, M1 , |u|1,γ,Ω” (ΩJ ⊂ Ω” ⊂ Ω), khoang cách tù ΩJ
tái biên cua Ω” và các chuan |aij (x, u)|k,γ,R , |al (x, u, p)|k,γ,R .
Neu thêm đieu ki¾n u(x) ∈ Ck+2,γ(Ω), u|S = 0, S ∈ Ck+2,α thì chuan |u|k+2,γ,Ω
khơng vưat q m®t hang so xác đ%nh bái
J

n, N, M, M1, |u|1,γ,Ω, |aij(x, u)|

k,γ,R

, |al(x, u, p)|
k,γ,R

và biên S.

2.3

Đánh giá chuan Holder cua an hàm

Trong phan này đe đánh giá đưoc chuan |u|γ,Ω vói u(x) là nghi¾m cna h¾
(2.1)

ta can phai gia su các đieu ki¾n sau đúng vói MQI x ∈ Ω, |u| ≤ M và p bat kì
λ(M )|ξ|2 ≤ aij(x, u)ξiξj ≤ µ(M )|ξ|2,

(2.7)

|bi(x, u, p)| ≤ µ(M )(1 + |p|),

(2.8)

2

|b(x, u, p)| ≤ [s(M ) + P (p, M )](1 + |p| ),
∂aij(x, u) ∂aij(x, u)
;
. ∂x
. ≤ µ(M ).
∂u
k

l

(2.9)
(2.10)


trong đó b(x, u, p) = (b1(x, u, p), b2(x, u, p), ..., bN (x, u, p)); s(M ) là đai
lưong đn bé đưoc xác đ%nh boi n, N, M, λ(M ) và µ(M ) trong (2.7) và
(2.8); P (p, M ) → 0 khi
|p| → ∞.
Ta đi xét đ%nh lí sau
Đ%nh lý 2.3. Gia su u(x) ∈ C 2 () l mđt nghiắm cua hắ (2.1) vỏi cỏc gia
thiet đi kèm (2.7) − (2.10) đúng vái MQI x ∈ Ω, |u| ≤ M và p bat kì, đong
thài ta có (2M + 10N )s(M ) < λ. Khi đó vái ΩJ ⊂ Ω bat kì, ton tai m®t đánh
giá cho chuan
|u|γ,Ω phn thu®c vào n, N, M, λ(M ), µ(M ), s(M ), và P (p, M ).

Neu gia thiet thêm u ∈ C 0,1 (Ω) và biên S thóa mãn : Ton tai hai so dương a0
và θ0 sao cho vái hình cau bat kì Kρ có tâm nam trên S và bán kính ρ ≤ a0
thì vái MQI phan ΩJρ cua mien giao Ωρ ≡ Kρ × Ω ta đeu có
J

mes ΩJρ ≤ (1 − θ0 ) mes Kρ

thì ton tai m®t đánh giá cho |u|γ,Ω theo các đai lưang n, N, M, λ(M ), µ(M ),
s(M ), P (p, M ), |u|β,S, a0, θ0. Chs so γ đưac xác đ%nh tù n, N, M, λ(M ),
µ(M ), s(M ), P (p, M ), β, a0, θ0.

1
.
, 1, 2, 3, γ,
δ δ δ δ, q
ChÚng minh. Đe có đánh giá .cho |u|γ,Ω theo các haΣng so trên, ta can chi ra

nghiắm u(x) thuđc lúp hm B2N1

,
M1

J

Khụng mat tính tőng quát, đe đơn gian ta gia su 0 ≤ ul ≤ 1 vói l = 1, 2, ...,
N . Đ¾t
Σ
l
+

N

l
ϕ (u) = 10Nu
+

r2

r=1

N
(u ) ,
Σ
ϕl (u) −
= 10N (1 − ul) +
(ur)2,

l = 1, . . . , N.

r=1

Đe ti¾n trình bày, ta ký hi¾u hàm so wl (x) = ϕl (u(x)) vói l = 1, 2, ..., N
.Xét tích
±

±

1,2

vơ hưóng cna h¾ phương trình (2.1) vói véc tơ −η(x) ∈ W0 (Ω). Lay tích phân

hai ve trên mien Ω và áp dung cơng thúc tích phân tùng phan cho ve trái ta thu
đưoc
∫ (x, u)u
.∂aij
Σ
a
Σ iη
+
−b
η − bη dx = 0
(2.11)
x
j
i
Σ
u


x
j

∂x
j

i

x
i

CHQN hàm η(x) = (2u + 10N el )Φ(x), trong đó Φ(x) ∈ W 1,2 (Ω) và el là véc tơ

0
đơn v% cna không gian véc tơ N − chieu có thành phan thú l khác 0.