Hình học tổ hợp với các phương pháp chứng minh

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

NGUY€N ĐÚC ĐAC

HÌNH HOC TO HeP
VéI CÁC PHƯƠNG PHÁP CHNG MINH

LUắN VN THAC S KHOA HOC

H Nđi - Nm 2018


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

NGUY€N ĐÚC ĐAC

HÌNH HOC TO HeP
VéI CÁC PHƯƠNG PHÁP CHÚNG MINH

Chun ngành:

Phương pháp tốn sơ cap

Mã so:

8460101.13

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC
PGS. TS. Nguyen Huu Đien


Mnc lnc
Lài nói đau

1

Chương 1.
Tong quan ve các phương pháp chúng minh
1.1 Phương pháp quy nap . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương pháp phãn chúng . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Nguyên lý cnc han . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

3
3
6
8
10

Chương 2.
Các phương pháp chúng minh cho các bài tốn hình
HQC to hap

2.1 Tőng quan ve hình HQC tő hap . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 V¾n dnng phương pháp quy nap . . . . . . . . . . . . . .
2.3 V¾n dnng phương pháp phãn chúng . . . . . . . . . . . .
2.4 V¾n dnng nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 V¾n dnng nguyên lý cnc han . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
13
15
18
20
24

Chương 3.
Úng dnng phương pháp theo chú đe hình HQC. Các bài
tốn thi Olympic trong và ngồi nưác
3.1 H¾ các điem và đưàng cong . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Nh¾n xét ve v¾t the loi . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Đem giao điem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Đem so tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Đem so đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Các bài tốn vái h¾ điem và đưàng thang . . . . .
3.1.6 Các bài tốn vái h¾ đoan thang . . . . . . . . . . .

28
28
28
32
35
37

39
41

i


3.2

3.1.7 Các bài tốn vái đa giác khơng loi . . . . . . . . .
H¾ các đưàng cong và mien . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

43
48


3.2.1 Chia m¾t phang bang h¾ các đưàng . . . . . . . . 49
3.2.2 Chia m¾t phang bang đưàng cong kín . . . . . . .
3.2.3 Chia m®t đa giác loi . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Chia không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Phép phu và đóng gói . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Các đoi tưang phu nhau . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Phép phu vái h¾ các hình trịn bang nhau . . . . .
3.3.3 Bài tốn ve đóng gói . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Phép tô màu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Màu cua các điem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Tô màu mien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Tô màu bàn cà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Các bài tốn thi Olympic trong và ngồi nưác . . . . . . .

53
55
59
59
62
65
67
67
70
72
74

Ket lu¾n

85

Tài li¾u tham kháo

86


Li núi au
Hỡnh HQC t hap l mđt bđ phắn cua hình HQC nói chung và là
m®t nhánh cua tő hap. Nhung bài tốn cua Hình HQC tő hap
thưàng liên quan nhieu đen các đoi tưang là các t¾p hap huu han. Vì
the các bài tốn mang đ¾c trưng rõ nét cua tốn HQC rài rac.
Các bài tốn trong hình HQC tő hap rat đa dang ve n®i dung và phương
pháp giãi. Nhieu bài tốn phát bieu đơn giãn, có the thay đúng ngay
nhưng đe giãi đưac thì can trang b% nhung kien thúc riêng ve hình HQC tő

hap và hình HQC. Khi đó bài tốn se trã nên rat de dàng. Tuy nhiên
cũng có nhung bài địi hõi kien thúc chun sâu, và th¾m chí có nhieu
bài tốn hình HQC tő hap tőng quát cho không gian van chưa có lài giãi.
Hình HQC tő hap ã nưác ta đưac coi nh nđi dung dnh cho HQC sinh
khỏ, giừi bắc Trung HQC CƠ sã và thưàng xuyên xuat hi¾n trong các đe
thi HQC sinh giõi, đe thi tuyen sinh THPT chuyên, đe thi Olympic truyen
thong 30/4, . . . và trong các đe thi Olympic Tốn quoc te. Vì v¾y trong
lu¾n văn này em xin trình bày đe tài: “Hình HQC to hap vái các phương
pháp chúng minh”.
Trong lu¾n văn này em đưa ra m®t so phương pháp chúng
minh thưàng su dnng cho các bài tốn hình HQC tő hap và úng dnng cua
các phương pháp đó vào chúng minh các bài tốn theo chu đe, có trong
các đe thi tuyen sinh vào láp 10 chuyên, thi HQC sinh giõi trong và
ngồi nưác thài gian qua.
Bo cnc cua lu¾n văn này gom ba chương:
Chương 1. Tong quan ve các phương pháp chúng minh. Chương
này trình bày các phương pháp cơ bãn đưac v¾n dnng đe giãi các bài
tốn nói chung như: phương pháp quy nap, nguyên lý Dirichlet,
nguyên
1


lý cnc han. Ngoài ra phương pháp phãn chúng cũng đưac su dnng
nhieu nhưng đan xen cùng các phương pháp khác.
Chương 2. Các phương pháp chúng minh cho các bài tốn Hình
HQC to hap. Chương này đưa ra tőng quan ve Hình HQC tő hap và ví dn
minh HQA cách áp dnng các phương pháp chúng minh cho các bài tốn
Hình HQC tő hap.
Chương 3. Úng dnng phương pháp theo chú đe hình HQC; các bài
tốn thi HQC sinh giói, thi Olympic trong và ngồi nưác. Chương này

đưa ra m®t so bài tốn Hình HQC tő hap theo chu đe như: Bài tốn ve h¾
điem và đưàng cong; bài tốn đưàng cong và mien; bài tốn phu hình
và bao hình; bài tốn tơ màu; các bài tốn có trong các đe thi HQC sinh
giõi láp 9 các tinh, các đe thi tuyen sinh THPT chun, các đe thi
Olympic Tốn.
Đe hồn thành đưac lu¾n văn này, em xin đưac gui lài cãm ơn sâu sac
tái PGS. TS Nguyen Huu Đien đã dành thài gian hưáng dan, chi bão,
t¾n tình giúp đã em trong quá trình xây dnng đe tài cũng như hồn thi¾n
lu¾n văn.
Em cũng xin đưac gui lài cãm ơn chân thành tái Ban giám hi¾u,
phịng sau Đai HQC, khoa Toán - Cơ - Tin HQC trưàng Đai HQC Khoa HQC
Tn nhiên - Đai HQC Quoc gia Hà N®i đã tao đieu ki¾n thu¾n lai cho em
trong suot q trình HQC t¾p tai trưàng.
Em xin cãm ơn gia đình, ban bè và tat cã MQI ngưài đã quan tâm, tao
đieu ki¾n, giúp đã em hồn thành lu¾n văn này.
M¾c dù đã có nhieu co gang nhưng do thài gian và khã năng có han
nên các van đe trong lu¾n văn van chưa đưac trình bày sâu sac và khơng
the tránh khõi có nhung sai sót trong cách trình bày. Rat mong đưac sn
góp ý xây dnng cua các thay cơ và các ban.
Em xin chân thành cãm ơn!
Hà N®i, ngày 28 tháng 9 năm 2018
HQC VIÊN

Nguyen Đúc Đac


Chương 1
Tong quan ve các phương pháp
chúng minh
Chương này li¾t kê các phương pháp đien hình đưac v¾n dnng đe giãi

các bài tốn trung HQC phő thơng như: phương pháp quy nap, phương
pháp phãn chúng, nguyên lý Dirichlet, nguyên lý cnc han. Mi phng
phỏp ac trỡnh by đc lắp nhng khi su dnng chúng đan xen cùng
các phương pháp khác ta giãi đưac nhieu bài t¾p hay và thú v%.

1.1

Phương pháp quy nap

Phương pháp quy nap có vai trị vơ cùng quan TRQNG trong tốn HQC,
khoa HQC Và cu®c song. Đoi vái nhieu bài tốn trong chương trình tốn
phő thơng là nhung bài tốn logic, túc nhung bài tốn khơng mau mnc,
phương pháp quy nap cho ta nhieu cách giãi huu hi¾u.
Suy dien là q trình tù “tính chat” cua t¾p the suy ra tính chat cua cá
the, nên ln ln đúng, cịn q trình ngưac lai, túc q trình quy nap: đi
tù “tính chat” cua m®t so các the suy ra “tính chat” cua t¾p the thì khơng
phãi lúc nào cũng đúng, mà quá trình này chi đúng khi nú thừa món mđt
so ieu kiắn no ú, tỳc thừa mãn nguyên lý quy nap: Neu
khang đ%nh S(n) thõa mãn hai đieu ki¾n sau:
(a) Đúng vái n = k0 (so tn nhiên nhõ nhat mà S(n) xác đ%nh).
(b) Tù
cuat)S
n can
= t chúng
(ho¾cminh
đoi vái
MQI giá tr%
cuatính
n (đúng
k0 ≤đan

n ≤
) ((n
t )≥đoi
k0vái
), ta
tính
đúng đan
cua


S(n) đoi vái n = t + 1.
Khi S(n) đúng vái MQI n ≥ k0 .
Giã∀su
khang
đ%nh
S(n
) xác
đ%nhthnc
vái MQI
≥ thai
0 . Đe chúng minh S ( n )
đúng
n≥
t0 bang
quy
nap
ta can
hi¾n ntheo
bưác sau:
1. Cơ sá quy nap: chúng minh rang S(n) đúng vái so tn nhiên n = t0.

2. Quy
nap:
su nkhang
đã đúng
= này
t (ho¾c
đoi
vái MQI
n (giã
t0 ≤
≤ t)đ%nh
) (t ≥St(0n
).)Trên
cơ sãđen
giã n
thiet
ta chúng
minh tính đúng
đan cua S(n) đoi
vái n = t + 1, túc S(t + 1)
đúng.
Neu
thìquy
theo
nguyên
lý quy
n)
đúng cã
váihai
∀nbưác

≥ t0trên
. Giã thõa
thiet mãn,
ã bưác
nap
rang m¾nh
đe nap
đúngS(vái
n = t đưac GQI là giã thiet quy nap.
Ví dn 1.1.1. Chnng minh rang m¾nh đe S(n) sau đúng vái tat cã so tn nhiên
n
n(n + 1)
0+1+2+···+n=
.
Giãi. 1. Cơ sã quy nap: Ta có S(0) bang
0 · (0 + 1 ) 2
2
0=
.
Hai ve bang nhau nên m¾nh đe đúng vái n = 0. Vì v¾y S(0) đúng.
2.
Quytúc
nap:
S(k + 1) cũng
đúng,
là Giã su S(k) đúng, ta phãi chúng(kminh
+ 1)((k + 1) + 1)
0+1+2+···+k+k+1=
.
2

Su dnng giã thiet quy nap rang S(k) đúng, ve trái có the viet thành
k(1
k)+
k(k + 1) + 2(k + 1)
+ (k + 1)
2
2
=
(k + 1)(k + 2)
2
=
(k + 1)((k + 1) + 1)
.
2
=
V¾y S(k + 1) cũng đúng. Vì cã bưác cơ sã quy nap và bưác quy nap đã
đưac thnc hi¾n, m¾nh đe S(n) đúng vái MQI so tn nhiên n.

Q


Ví dn 1.1.2. Cho x +
so nguyên dương n, so

1
, xƒ = 0 là m®t so nguyên. Chnng minh rang vái MQI
x
1
T(n, x) = xn +
xn

cũng là so nguyên.
Giãi. Bài toán đưac giãi quyet bang quy nap.
1. Cơ sã quy nap: Vái n = 1, theo giã thiet ta có T(1, x) = x +

1

là so

x

nguyên, nên khang đ%nh đúng.
2.Quy nap: Giã su vái n = k khang đ%nh đúng, nghĩa là
1
T(k, x) = xk +
xk
là so nguyên. Vái n = k + 1 so 1
T(k + 1, x) = xk+1 +
xk+1
1
1
1
= .x + x Σ.xk + x Σ − .xk−1 + xk− Σ.
1
1
1
1
Theo giã thiet quy nap, các so x + , xk−1 +
, xk + đeu nguyên
x

xk−1
xk
nên T (k + 1, x ) là so nguyên và khang đ%nh đúng vái MQI so nguyên
dương n.
Q
n
Ví
dn 1.1.3. Chnng minh rang A(n) = 7 + 3n − 1 chia het cho 9 vái
MQI so tn nhiên n.
Giãi. Bài toán đưac giãi quyet bang quy nap.
1.
Cơ sã
quy nap:
khang
đ%nh
đúng.Vái n = 0, ta có A(0) = 0 chia het cho 9, nên
2. Quy nap: Giã su A(k) chia het cho 9 vái k ∈ N. Ta se chúng minh
A(k + 1) cũng chia het cho 9. Th¾t v¾y, ta có
A(k + 1) = 7k+1 + 3(k + 1) − 1

= 7A(k) − 9(2k − 1).
Theo
giã9.thiet
thìhet
A(cho
k) chia
cho 9, do dó A(k + 1) cũng chia
het cho
V¾y quy
A(nnap

) chia
9 váihet
MQI so tn nhiên n.
Q


1.2

Phương pháp phán chúng

Đe chúng minh m®t bài tốn bang phương pháp phãn chúng gom 3
bưác:
Bưác 1 (Phú đ%nh ket lu¾n): Ta giã su ket lu¾n cua bài tốn là không
đúng.
Bưác 2 (Đưa đen mâu thuan): Tù đieu giã su trên và tù giã thiet cua
bài toán, ta suy ra mđt ieu mõu thuan vỏi gió thiet hoắc mõu
thuan vỏi kien thúc đã HQC.
Bưác 3 (Khang đ%nh ket lu¾n): Như v¾y ket lu¾n cua bài tốn là đúng.
Ưu điem cua phương pháp này là ta đã tao thêm đưac m®t giã thiet
mái (giã thiet phãn chúng) vào các giã thiet cua bài tốn.
Ví dn 1.2.1 ([4]). Ngưài ta đon rang ã m®t ngơi đen NQ rat thiêng do ba v%
than ngn tr%: than Th¾t Thà (ln ln nói th¾t), than Doi Trá (ln ln
nói roi) và than Khơn Ngoan (khi nói th¾t, khi nói doi). Các v% than đeu ngn
trên b¾ thà và san sàng trã lài câu hõi khi có ngưài thinh cau. Nhưng hình
dang cua ba v% than giong h¾t nhau nên ngưài ta khơng biet v% than nào trã
lài đe mà tin hay khơng tin.
M®t hơm, m®t HQC giã tn phương xa đen g¾p các v% than đe xin thinh cau.
Bưác vào mieu, HQC giã hõi than ngoi bên phãi:
- Ai ngoi canh ngài?
- Đó là than Doi Trá.

Tiep đó hõi than ngoi giđa:
- Ngài là than gì?
- Tơi là than Khơn Ngoan.
Cuoi cùng ơng ta quay sang hõi than ngoi bên trái:
- Ai ngoi canh ngài?
- Đó là than th¾t thà.
Nghe xong HQC giã khang đ%nh mői v% than là gì. Ban hãy cho biet HQC giã
đó đã suy lu¾n như the nào?


Giãi. Câu hõi cua HQC giã cho ba v% than nhưng đeu nam mnc đích: than
ngoi giua là than gì? HQC giã đã nh¾n đưac ba câu trã lài vái thơng tin
hồn tồn khác nhau ve v% than ngoi giua. HQC giã có the suy lu¾n như
sau (có the vì có nhieu cách suy lu¾n khác cũng giãi đưac bài toán này):
1. Neu than ngoi bên trái là than Doi Trá thì than bên phãi là than
Th¾t Thà ho¾c Khơn Ngoan.
- Neu than ngoi bên phãi là Th¾t Thà thì ngoi giua là than Doi Trá
(do câu trã lài cua than Th¾t Thà). Đieu này vơ lý, vì bên trái cũng là
than Doi Trá.
- Neu than ngoi bên phãi là Khơn Ngoan, thì ngoi giua là than Th¾t
Thà. Đieu này cũng vơ lý, vì ngài đã nói: “Tơi là than Khơn Ngoan”.
V¾y bên trái khơng phãi là than Doi Trá.
2.Neu than ngoi bên phãi là than Doi Trá thì than ngoi giua là than
Th¾t Thà ho¾c Khơn Ngoan.
- Than ngoi giua khơng phãi là Th¾t Thà, vì ngài đã nói: “Tôi là
than Khôn Ngoan”.
- Neu than ngoi giua là Khôn Ngoan, thì than ngoi bên trái là Th¾t
Thà. Đieu này cũng vơ lý, vì ngài đã nói: “Ngoi giua là than Th¾t
Thà”.
V¾y bên phãi khơng phãi là than Doi Trá.

3.
V
¾y chi cịn ngoi giua là than Doi Trá. Như v¾y bên trái khơng phãi là
than Th¾t Thà, vì ngài đã nói: “Ngoi giua là than Th¾t Thà” The thì
bên trái là Khơn Ngoan. Cuoi cùng, bên phãi là than Th¾t Thà.
Q
Ví dn 1.2.2 ([4]). Neu g, h, k là ba đưàng thang phân bi¾t trong m¾t phang
sao cho g và h song song vái k, thì g song song vái h.
Chnng minh. Ta giã su ngưac lai g không song song vái h. Vì g và h
nam trên cùng m¾t phang, mà khơng song song vái nhau thì chúng cat
nhau tai m®t điem P. Trong trưàng hap này tù P có hai đưàng thang
song song vái k. Đieu này khơng the đưac vì ã phő thơng ta cơng nh¾n
m¾nh đe sau ln đúng: Qua m®t điem đã cho chi ton tai duy nhat m®t


đưàng thang song song vái m®t đưàng thang đã cho. Như v¾y đieu giã
su là sai, do đó ket lu¾n cua bài toán là đúng.


1.3

Nguyên lý Dirichlet

Ngưài đau tiên đe xuat nguyên lý này đưac cho là nhà toán HQC ngưài
Đúc Johann Dirichlet (1805–1859) khi ơng đe c¾p tái ngun lý vái tên
GQI “ngun lý ngăn kéo” (The Drawer Principle). Ngoài ra nguyên lý
này còn đưac biet đen như nguyên lý chim bo câu ho¾c nguyên lý nhung
cái long nhot thõ.
Nguyên lý Dirichlet cơ bán: Nhot n + 1 thõ vào n long thì ton tai m®t

long có ít nhat hai thõ.
Chnng minh. Giã su ngưac lai mői long chi nhot nhieu nhat m®t con thõ,
như v¾y so thõ nhõ hơn ho¾c bang so long n, mà theo giã thiet so thõ là
n + 1 nhieu hơn so long, đieu này dan đen vô lý. Tù đó suy ra có ít nhat
2 con thõ trong cùng m®t long.
Dù mã r®ng bat cú cách nào, nguyên lý này đeu đưac chúng minh
bang phương pháp phãn chúng.
Ngun lý Dirichlet tong qt: Neu có N đo v¾t ac ắt vo trong k
N
hđp, N khụng chia het cho k, thì se ton tai m®t h®p chúa ít nhat Σ k Σ + 1
đo v¾t.
Ngun lý Dirichlet vơ han: Neu chia mđt tắp hap vụ han cỏc quó tỏo
vo huu han ngăn kéo thì phãi có ít nhat m®t ngăn kéo chúa vơ han các
q táo.
Ngun
lý IDirichlet
đoim¾t
váiphang.
đoan thang:
kí hi¾u
(I) là đ®
đoan thang
nam trong
Cho A Ta
là m®t
đoandthang,
A1, dài
A2,cua
. (. A. ,) A
n là các đoan thang sao cho Ai ⊂ A vái i = 1, n và d ( A ) <

d
1 + d ( A 2 ) + . . . + d ( A n ) . Khi đó ít nhat có hai đoan thang trong
so các đoan thang trên có m®t điem trong chung.
Chnng minh. Giã su khơng có hai đoan thang nào trong các đoan thang đã
cho có điem trong chung. Khi đó
d(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = d(A1) + d(A2) + . . . + d(An) > d(A).
Mà tù Ai ⊂ A, i = 1, n, ta có d(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) ≤ d(A).


Hai bat đang thúc trên mâu thuan vái nhau nên đieu giã su là sai. V¾y
có ít nhat có hai đoan thang trong so các đoan thang trên có m®t điem
trong chung.
Ví dn 1.3.1. Trong kỳ thi HQC sinh giõi, điem bài thi đưac đánh giá bãi m®t
so nguyên trong khỗng tn 0 đen 40. Hõi rang có ít nhat bao nhiêu HQC sinh
dn thi đe cho chac chan tìm đưac hai HQC sinh có ket quã thi như nhau?
Giãi. Theo nguyên lý Dirichlet, so
quã điem thi khác nhau.

HQC

sinh can tìm là 42 vì ta có 41 ket
Q

Ví dn 1.3.2. Trong m®t phịng HQP n ngưài, bao già cũng tìm đưac 2 ngưài
có so ngưài quen trong so nhđng ngưài dn HQP là như nhau.
Giãi. So ngưài quen cua mői ngưài trong phịng HQP nh¾n các giá tr% tù 0
đen n − 1. Rõ ràng trong phịng khơng the đong thài vùa có ngưài có so
ngưài quen là 0 (túc là khơng quen ai) và vùa có ngưài có so ngưài quen
là n − 1 (túc là quen tat cã). Vắy theo nguyờn lý Dirichlet ton tai mđt
nhúm cú ớt nhat 2 ngưài, túc là ln tìm đưac ít nhat 2 ngưài có ngươi

quen là như sau.
Q
Ví dn 1.3.3. Trong m®t tháng 30 ngày, m®t đ®i bóng chuyen thi đau mői
ngày ít nhat 1 tr¾n nhưng chơi khơng q 45 trắn. Chnng minh rang tỡm
ac mđt giai oan gom mđt so ngày liên tnc nào đó trong tháng sao cho
trong giai oan ú đi chi ỳng 14 trắn.
Giói. GQI a j l so trắn m đi chi tự ngy au tháng đen het ngày j. Khi
đó
1 ≤ a1 < a2 < · · · < a30 ≤ 45.
Hay
15 ≤ a1 + 14 < a2 + 14 < · · · < a30 + 14

≤ 59.
Sáu mươi so nguyên a1, a2, . . . , a30, a1 + 14, a2 + 14, . . . , a30 + 14 nam
giua
bang
nhau.
tonnguyên
tai i vàlýj sao
cho aiphãi
+ 14
aj (i 2j). Đieu
nàynày
có
1 và 59.
DoVìđóv¾y
theo
Dirichlet
có =

ít nhat
so 60


nghĩa là tù ngày i + 1 đen het ngày

Q

j đ®i đã chơi đúng 14 lan.


1.4

Nguyên lý cnc han

Ví dn 1.4.1 ([4]). Ngày xua ngày xưa có m®t ơng vua có rat nhieu ngưài con
và có so vàng rat lán. Trưác khi chet ơng vua muon chia so vàng cho các
con, nhưng ông vua không muon chia đeu cho các con mà đ¾t ra lu¾t l¾: Mői
ngưài nh¾n đưac so vàng lán hơn ho¾c bang trung bình c®ng cua hai ngưài
anh em nào đó cua HQ. Hãy chi ra rang có ít nhat ba ngưài con đưac chia cùng
so lưang vàng.
Giãi. Bài tốn có the dien đat lai: Mői m®t ngưài con đưac chia so lưang
vàng ký hi¾u là a thì có hai ngưài anh em có so lưang vàng là b và c
sao
b+c
cho a ≥
.
2
Bây già ta GQI a là so lưang vàng nhõ nhat cua m®t ngưài con đã đưac
chia (đieu này ln ln xãy ra vì so con vua là huu han) và cũng có hai

ngưài anh em có so lưang vàng b và c như ã trên. Ta thay ngay a ≤ b và
a ≤ c. Công
theo ve hai bat đang thúc này ta nh¾n đưac 2a ≤ b + c,
b+c
hay là a
. Ta có ket quã
2
≤
≤b + c ≤ a.
a
2
b+c
Suy ra a =
. Nhưng đieu này chi xãy ra khi nhung bat đang thúc
2
a ≤ b và a ≤ c xãy ra dau bang. Nghĩa là a = b = c.
Q
Ta chú ý rang đe giãi bài toán trên phãi dùng đen “phan tu nhõ nhat”
a. Chi có phan tu này cho ta thêm thông tin là nhõ hơn các phan tu
khác von bình đang. Tuy thêm đưac chút thơng tin như v¾y nhưng bài
tốn đã đưac giãi nhà chính nhung phan tu này.
Trong toán HQC thưàng thưàng ngưài ta nghiên cúu nhung t¾p hap
nhung đoi tưang đưac xác đ%nh theo m®t nghĩa nào đay bình đang nhau,
nhưng nhung tính chat cua chúng biet rat ít. Trong trưàng hap như v¾y
đe giãi nhung bài tốn ngưài ta xem xét nhung phan tu trong t¾p hap
có nhung tính chat đ¾c bi¾t nào đó như “tính cnc tieu” ho¾c “tính cnc
đai”. Bãi vì ngồi nhung tính chat đưac cho trong đe bài tốn, nhung
phan tu cnc tieu ho¾c cnc đai có thêm nhung tính chat mà chúng cho

phép đưa ta đen ket lu¾n bài tốn cho chính các phan tu này ho¾c cho
phan tu cịn lai nói chung.
Nguyên lý cnc han có dang đơn giãn sau:
Nguyên lý 1 ([7]). Trong t¾p hap hđu han và khác rőng các so thnc ln
có the cHQN đưac so bé nhat v so lỏn nhat.
Nguyờn lý 2 ([7]). Trong mđt tắp hap khác rőng các so tn nhiên ln ln
có the cHQN đưac so bé nhat.
Nguyên lý cnc han thưàng đưac su dnng ket hap vái các phương pháp
khác, đ¾c bi¾t là phương pháp phãn chúng, đưac v¾n dnng trong trưàng
hap t¾p các giá tr% can khão sát chi là t¾p hap huu han (ngun lý 1)
ho¾c có the vơ han nhng ton tai mđt phan tu lỏn nhat hoắc nhừ nhat
(ngun lý 2).
Ví dn 1.4.2. Vái nhđng so dương x, y và z biet rang
2y
2z
2x
x=
,y=
,z=
.
1+y
1+z
1+x
Chnng minh rang x = y = z = 1.
2xy và z tương đương, ta lay x là so nhõ nhat trong
Giãi.
trịđó
cácx so x,
các so.Vai
Khi

≤1 + x = z. Ta chia hai ve bat đang thúc sau 2
cùng cho
x, đieu này có the làm đưac do x > 0, và ta nh¾n đưac 1
. Tù
≤1 + x
đây suy ra x ≤ 1. Trong trưàng hap này
2y
2y
= x ≤ 12y⇔ 2y ≤ 1 + y ⇔ y ≤ 1.
Suy ra 1 + y 2,1 vì
+ the
y x =
≤
≥
1 + y 2 = y. Bat đang thúc này chi có
khã năng khi neu x = y, vì x là so nhõ nhat trong các so x, y, z. Đieu ki¾n
2y
2x
x=
trã thành dang x =
, tù đây tìm đưac x = 1. Như v¾y
1+

z=

2x 1 + x

= 1, y =
1+x

y

2z
1

= 1.
Q


Ví dn 1.4.3. Tai cu®c da h®i, khơng có m®t ngưài đàn ơng nào khiêu vũ vái
tat cã nhđng ngưài đàn bà có m¾t, nhưng mői ngưài đàn bà khiêu vũ vái ít
nhat m®t ngưài đàn ơng. Chnng minh rang ton tai hai c¾p khiêu vũ bg và
bJ gJ , ã đó b khơng khiêu vũ vái gJ và đong thài g khơng khiêu vũ vái bJ .
Giãi. Ký hi¾u b là ngưài đàn ông khiêu vũ vái so lưang đàn bà lán nhat.
Cịn gJ là ngưài đàn bà khơng khiêu vũ vái b, và bJ là ngưài đàn ông
khiêu vũ vái gJ . Giua nhung ban khiêu vũ cua b, phãi ton tai ít nhat m®t
ngưài đà bà g, mà ngưài này không khiêu vũ vái bJ (neu ngưac lai thì so
ban khiêu vũ cua bJ se lán hơn cua b). Như v¾y c¾p bg và bJ gJ là lài giãi
cua bài toán.
Q


Chương 2
Các phương pháp chúng minh cho các
bài tốn hình HQC to hap
Các bài tốn ve Hình HQC tő hap thưàng khơng địi hõi v¾n dnng q
nhieu đ%nh lý, nhieu tính tốn phúc tap mà địi hõi l¾p lu¾n ch¾t che,
chính xác, hap logic. Đe giãi nhung bài tốn này, có nhieu cách tiep c¾n
riêng. Sau đây là tőng quan ve Hình HQC tő hap và m®t so phương pháp

thưàng dùng đe giãi các bài tốn ve Hình HQC tő hap.

2.1

Tong quan ve hình HQC to hap

Th¾t khó đe đ%nh nghĩa chính xác the nào là Hình HQC tő hap vỡ bđ
mụn ny cú liờn quan chắt che chi vỏi m®t so n®i dung, chang han như
hình HQC rài rac, topo tő hap, và đ¾c bi¾t là lý thuyet ve các hình loi.
Theo nhà tốn HQC Thny Sĩ Hugo HadWiger (1908–1981, là ngưài đã đ¾t
ra tên cho mơn HQC này), đoi tưang cua Hình HQC tő hap là nghiên cúu
các van đe liên quan đen vi¾c tìm ra cách “toi ưu” các hình.
Trong cuon sách “M®t so chun đe hình HQC tő hap” cua thay
Nguyen Huu Đien ([6]) cho rang “Khơng de đe phân bi¾t rach rịi Hình
HQC tő hap trong hình HQC nói chung. Nhưng trong đó, ta xét các bài tốn có
liên quan đen vi¾c tìm và đ¾c trưng hóa toi ưu theo nghĩa nào đó so lưang
điem hoắc mđt so dang hỡnh. Vớ dn nh cho mđt đa giác đưac phu bãi nhđng
đa giác khác, m®t so hình vng nam trong m®t hình vng đã cho, ... Tat
cã nhđng bài tốn này đeu liên quan đen vi¾c nghiên cnu và so sánh nhñng tő
hap khác nhau cua nhđng phan tu mà chúng thõa mãn nhđng đieu ki¾n đã
cho. Đe giãi nhñng bài


tốn này, ngưài ta su dnng nhđng kien thnc tốn
cho hình HQC.”

HQC

có tính chat tő hap

Trong cuon sách “Các bài tốn hình HQC tő hap” cua giáo sư Phan
Huy Khãi ([7]) chi nhan manh “Các bài tốn hình HQC tő hap thưàng liên
quan đen các đoi tưang là các t¾p hđu han. Các bài tốn này mang đ¾c trưng
rõ nét cua tốn HQC rài rac (ít khi su dnng đen tớnh liờn tnc - mđt tớnh chat ắc
trng cua bđ mơn Giãi tích)”.
Trong cuon sách “Hình HQC tő hap” cua thay giáo Vũ Huu Bình ([1])
cũng chi khang đ%nh “Nói m®t cách nơm na, m®t bài tốn hình HQC tő hap
là m®t bài tốn mà trong đó có nhieu thành phan (nhieu điem, nhieu góc,
nhieu hình) và đe giãi quyet bài toán chúng ta can dùng các phương pháp tő
hap, tnc là phương pháp phân chia và ket hap các thnh phan vỏi nhau.
Mđt ắc trng khỏc khi nghiờn cỳu Hình HQC tő hap là nhieu bài tốn
phát bieu đơn giãn, có the de dàng hình dung và thay đúng ngay nhưng
đe giãi đưac thì can trang b% nhung kien thúc riêng ve hình HQC tő hap
và hình HQC. Khi đó bài tốn se trã nên rat de dàng. Tuy nhiên cũng có
nhung bài địi hõi kien thúc chun sâu, và th¾m chí có nhieu bài hình
HQC tő hap tőng qt cho khơng gian van chưa có lài giãi. Nhung bài
toán này đã tao nên sn hap dan cho các nhà toán HQC nghiên cúu, cho cã
HQC sinh và sinh viên u tốn tìm hieu. Đưac the hi¾n là trong các cu®c
thi cho HQC sinh phő thơng, nhung bài tốn Hình HQC tő hap xuat hi¾n
khá nhieu.
Các bài tốn hình HQC tő hap thưàng nghiên cúu các tő hap
khác nhau cua m®t hình đe CHQN ra nhung hình có cùng tính chat nào
đó. Nhung tính chat đó có the liên quan đen các điem (điem nam
trong m®t hình, sn ton tai các điem khá gan nhau, các đinh là đinh cá đa
giác đ¾c bi¾t. . .), các đưàng thang (các đưàng thang giao nhau, đong
quy, tao lưái ô vuông. . .), các hình (hình nam trong m®t hình, hình phu
m®t hình, cat ghép cá hình. . .), các góc (đánh giá góc, ton tai góc đu lán
hay đu nhõ. . .).
Các bài tốn ve Hình HQC tő hap thưàng khơng địi hõi v¾n dnng q
nhieu đ%nh lý, nhieu tính tốn phúc tap mà địi hõi l¾p lu¾n ch¾t che,

chính xác, hap logic. Đe giãi nhung bài tốn này, có nhieu cách tiep c¾n


riêng. Sau đây là m®t so phương pháp thưàng dùng đe giãi các bài tốn
ve Hình HQC tő hap.

2.2

V¾n dnng phương pháp quy nap

Ví dn 2.2.1. Chnng minh rang trên mắt phang n ng thang khỏc nhau
cựng i qua mđt điem, chia m¾t phang thành 2n phan khác nhau.
Giãi. Bài toán đưac giãi quyet bang quy nap.
1.
Cơ sã
quyhai
nap:
Vái nên
n =
1, ta%nh
cú mđt
ng thang. Nú chia mắt
phang
thnh
phan,
khang
ỳng.
2.
Quy
nap: Xột

Gió ksu+vỏi1 nng
= kthang
khangkhỏc
%nh
ó tùy
đúng,
nghĩa đi
là qua
k đưàng
khác
nhau.
nhau
ý cùng
m®t
thang tùy ý cùng đi qua mđt iem M ó chia mắt phang thnh 2k phan
iem. Kí hi¾u các đưàng này lan lưat bang δ1, δ2, . . . , δk, δk+1. Theo
giã
thiet quy nap k đưàng thang δ1, δ2, . . . , δk đã chia m¾t phang thành 2k
phan khác nhau.

Hình 2.1

chi sothang
s, t đeu
(1 ≤
s, tnhau
≤ kvà
) đecùng
δk+đi
đưàng

duyton
nhattrong
nam
1 là
Vì tai
cáccác
đưàng
khác
qua
điemthang
M, nên
góc đưac l¾p nên bãi δs và δt. Khi đó δk+1 chia hai phan m¾t phang đưac
giái han bãi δs và δt thành bon phan. Bãi v¾y k + 1 đưàng thang δ1, δ2,
. . . , δk, δk+1 chia m¾t phang thành
2k − 2 + 4 = 2k + 2 = 2(k + 1)


phan khác nhau. Khang đ%nh đưac chúng minh.
Q
Ví dn 2.2.2 ([5]). Cho nua đưàng trịn H bán kính 1 và đưàng kính AB.
Trong nó ve đưàng trịn n®i tiep k1 vái bán kính 1 . Dãy nhđng đưàng trịn
k1, k2, . . . vái các bán kính tương nng r1, r2, . . .2đưac xác đ%nh như sau: đưàng
tròn kn+1 tiep xúc vái nua đưàng tròn H, đưàng tròn kn và vái đoan thang
AB, k = 1, 2, 3, . . . Chnng minh rang vái

MQI

n = 1, 2, . . . so
r an =
n

so
nguyên. Chnng minh rang khi n là so chan, thì an là so chính phương. Khi n
là so le thì an là 2 lan so chính phương.

Hình 2.2

Giãi. Ký hi¾u M, M1, M2, . . . là tâm cua các đưàng tròn H, k1, k2, Lay
x và y là hai bán kính cua đưàng trịn k n và k n+1 (hình 2.2), cịn MnJ và
MnJ +1 là nhung điem tiep xúc cua k n và k n+1 vái AB. Khi đó
2
2
MnJ MJn2 1 = (x + y) + (x − y) ,
+
MMJn2 = MS · MT = 1 − 2x,

J

2

MMn+ = 1 − 2y,
1

MnJ MnJ +1 = MMnJ +1 − MMnJ .
Tù nhung đang thúc trên ta nh¾n đưac
√

√

√

1 − 2y − 1 − 2x = 4xy.
Bình phương hai ve đang thúc ta tìm đưac
6xy = x2 + y2 + 4x2y2 + 4x2y + 4xy2.
Đ¾t a =
x

1

,b=
y

1

. Nhân hai ve đang thúc trên vái a2b2 ta nh¾n đưac

1

là


6ab = a2 + b2 + 4 + 4(a + b),
nghĩa là
8ab = (a + b + 2)2.

(2.1)

Đang thúc sau cùng cho ta moi liên h¾ an+1 = b và an = a. Vì đang thúc
trên đoi xúng đoi vái a và b và de thay đang thúc trên là phương trình
b¾c

danghai đoi vái a có hai nghi¾m an−1 và an+1, ta viet phương trình dưái
a2 + (4 − 6b)a + (b + 2)2 = 0.
Theo công thúc Viet ta có
an+1 + an−1 = 6an − 4 và an+1an−1 = (an + (2.2)
2)2 .
Nhưng a1 = 2, còn tù (2.1) suy ra a2 = 4. Khi đó tù đang thúc thú nhat
cua (2.2) bang quy nap ta nh¾n đưac tat có an eu l so nguyờn.
Ngoi
thỳc
(2.2)phng
ta nhắn
ac
anhai
v amđt
n1 hoắc l đong thài là
+1 lan
so ra thú
a2 hai
là socua
chính
cịn
a1 là
so chính phương. Tù
đang chính
phương, ho¾c đong thài
là 2 lan so chính phương. Mưài so
đau
tiên cua dãy này là: 2 · 12, 4 · 12, 2 · 32, 4 · 52, 2 · 172, 4 · 292, 2 · 992,
4 · 1692, 2 ·
3772, 4 · 9852.

Q
Ví dn 2.2.3. Trên m®t đưàng thang có n điem màu xanh và n điem màu đõ.
Chnng minh rang tőng tat cã các khỗng cách giđa các c¾p điem cùng màu
bé hơn ho¾c bang tőng tat cã các khỗng cách giđa các c¾p điem khác màu.
Giãi. Giã su n điem màu đõ trên trnc so có tQA đ® x1 , x2 , . . . , xn , cịn
n điem màu xanh trên trnc so có tQA đ® là y1 , y2 , . . . , yn . GQI An là tőng
các khoãng cách cua nhung điem cùng màu, cịn Bn là tőng các khỗng
cách cua nhung điem khác màu. Ta se chúng minh bang quy nap.
Neu n = 1, khi đó A1 = 0, còn B1 = |x1 − y1| ≥ 0. Rõ ràng A1 ≤ B1.
V¾y ket lu¾n cua bài tốn đúng khi n = 1.
Giã su ket lu¾n cua bài tốn đúng khi n = k − 1, túc là
A k −1 ≤ Bk −1 .

(2.3)

Xét khi n = k. Không mat tính tőng qt ta có the CHQN xk = max{ x1 , . . . ,
x k }, y k =


max{y1, . . . , y k} (vì neu khơng thì đánh so lai). Ta có
A

k−1