Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng graphene hai lớp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƢU THỊ PHƢỢNG

CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG
CỦA SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI
LỚP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------------

LƢU THỊ PHƢỢNG

CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG
CỦA SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI
LỚP

Chuyên ngành

: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán

Mã số

: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn

HÀ NỘI, 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố
trong bất kỳ cơng trình nào.
Tác giả luận văn

Lƣu Thị Phƣợng

iii


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản thân, tôi luôn
nhận được sự quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện từ gia đình, thầy cơ và bạn bè. Xin
được lưu vào trang đầu tiên của luận văn sự tri ân và lời cảm ơn chân thành nhất.
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lịng biết ơn và sự kính trọng tới thầy, GS.TSKH
Nguyễn Văn Liễn, người đã trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành luận văn này. Thầy
đã tận tình hướng dẫn và tạo cho tôi những điều kiện tốt nhất để tôi học tập và
nghiên cứu khoa học.
Đặc biệt tôi xin cảm ơn bạn Phạm Công Huy, bạn đã trực tiếp hướng dẫn tơi
phần tính tốn của luận văn và kiểm tra lại các kết quả tính tốn đó.
Tơi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý trường Đại học Khoa học

Tự nhiên – Đaị học Quốc Gia Hà Nội, thầy cơ phịng sau đại học,…những người đã
trực tiếp giảng dạy, truyền đạt các kiến thức về vật lý và xác nhận các thủ tục hành
chính trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng tơi xin cảm ơn bố mẹ, chồng và em trai luôn nhắc nhở động viên
và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tơi có thể học tập.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày

tháng

năm 2015

Tác giả

Lƣu Thị Phƣợng


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN...............................................................................................i
LỜI CẢM ƠN........................................................................................................... ii

DANH SÁCH HÌNH VẼ................................................................................. iv
LỜI MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN................................................................................... 4
1.1. Cấu trúc vùng năng lượng.................................................................................4
1.2. Phương trình Dirac............................................................................................7
1.3. Giả spinor và Chirality.................................................................................... 12
1.4. Truyền dẫn ballistic......................................................................................... 14
1.4.1. Chui ngầm Klein...................................................................................... 14

1.4.2 Giới hạn độ dẫn lượng tử.......................................................................... 17
1.5. Hiệu ứng Hall lượng tử khác thường...............................................................19
1.6. Một số cấu trúc nano graphene....................................................................... 22
1.7. Ứng dụng Graphene........................................................................................ 22

CHƢƠNG 2. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA GRAPHENEHAI LỚP
.................................................................................................................................. 27
2.1. Cấu trúc tinh thể............................................................................................. 27
2.2.Cấu trúc vùng năng lượng...............................................................................28
2.3. Sự khác biệt giữa graphene đơn lớp và graphene hai lớp............................... 32
CHƢƠNG 3. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA SIÊU MẠNG
GRAPHENE HAI LỚP: KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN......................................38
3.1. Siêu mạng bán dẫn......................................................................................... 38
3.2. Phương pháp T-ma trận..................................................................................40
3.3. Siêu mạng Graphene hai lớp.......................................................................... 43
3.4.Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp...........................47
3.4.1. Mơ hình thế điện dạng Kronig- Penney................................................... 47
3.4.2. Kết quả và thảo luận:...............................................................................50
KẾT LUẬN............................................................................................................. 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................... 59
v


DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 1.1. Các vecto cơ sở của vùng Brillouin của Graphene.....................................7
Hình 1.2.(a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic.

14

Hình 1.3. Mơ hình chui ngầm Klein.........................................................................15

Hình 1.4: Hệ số truyền qua phụ thuộc vào độ rộng bờ thế: đường màu đỏ ứng với
mẫu graphene đơn lớp, đường màu xanh đậm ứng với mẫu graphene hai lớp và
đường màu xanh lá cây ứng với bán dẫn thơng thường có vùng cấm.......................16
Hình 1.5. Độ dẫn suất tổng quát phụ thuộc vào tỉ số W/L. Đường liền nét biểu diễn
độ dẫn theo công thức (1.4.43) , các điểm hình trịn và hình vng là số liệu thực
nghiệm tương ứng của nhóm Miao( 2007) và nhóm Danneau (2008)......................19
Hình 1.6. Hiệu ứng Hall lượng tử cho (a) hệ bán dẫn hai chiều thông thường (b)
graphene đơn lớp, (c) graphene hai lớp, (d) graphene đơn lớp ở nhiệt độ T= 4K,
B=14 T..................................................................................................................... 21
Hình 2.1 : Cấu trúc tinh thể Graphene đơn lớp và Graphene hai lớp.....................27
Hình 2.2 : Cấu trúc vùng năng lượng của graphene đơn lớp...................................33
Hình 2.3. (a) Cấu trúc vùng năng lượng của graphene hai lớp.................................34
Hình 2.3 (b): Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene hai lớp khơng đối xứng.

34

Hình 2.4.Sự xuất hiện khe vùng khi có điện trường ngồi trong lớp kép graphene. 36
Hình 3.1.Mơ hình thế điện Kronig- Penney cho graphene hai lớp............................44
Hình 3.2. Hệ thức tán sắc với 3 siêu mạng khác nhau cho ta thấy mối liên hệ giữa E
với kx, ky................................................................................................................... 46
Hình 3.3.Mơ hình siêu mạng điện.............................................................................47
Hình 3.4. Cấu trúc vùng của siêu mạng điện Graphene trong khơng gian 3D với....48
Hình 3.5. Vận tốc nhóm phụ thuộc vào góc tới trong trường hợp độ lớn tĩnh điện đặt vào
là khác nhau: Φ = 4 (đường chấm gạch), Φ = 8 (đường liền đỏ), Φ = 18 (đường gạch
xanh)50


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn luận văn
Cơng nghệ bán dẫn hiện đại với transistor truyền thống đã phát triển hết sức

mạnh mẽ trong nửa cuối thế kỷ 20. Bằng chứng cho sự phát triển đó chính là định
luật Moore với sự tăng theo hàm mũ của mật độ transistor trên chip điện tử silicon.
Tuy nhiên, mật độ transistor sẽ đạt đến giới hạn mà tại đó các nguyên lý hoạt động
của transistor cổ điển khơng cịn đúng nữa, đó chính là vấn đề mà các nhà vật lý và
cơng nghệ lo ngại khi tiếp tục giảm kích thước của „bóng bán dẫn‟.
Carbon, nguyên tố cơ bản của sự sống, với những tính chất độc đáo của nó được
kỳ vọng là vật liệu cơ sở cho nền công nghệ trong tương lai. Nhiều người tin rằng,
carbon có thể thay thế silic, công nghệ bán dẫn truyền thống sẽ được thay thế bằng
cơng nghệ nano dựa trên ngun tắc hồn tồn mới. Các cấu trúc nano của nguyên
tố carbon như quả cầu Fullerenes C 60 (Fullerenes carbon ball C 60 ), ống nano carbon
(carbon nanotube), dải nano carbon ( carbon nanoribbon ), đã và đang được nghiên
cứu sôi nổi trong lĩnh vực vật lý nano, mấy thập kỷ qua. Mà, Graphene có thể xem
là cơ sở cấu thành các cấu trúc đó.
Graphene có nhiều tính chất đặc biệt so với các vật liệu thông thường.
Thứ nhất, ở năng lượng thấp các electron biểu hiện như những hạt tương đối tính
khơng khối lượng, mặc dù vận tốc của nó chỉ khoảng 1/300 lần vận tốc ánh sáng.
Hàm sóng của electron có cấu trúc spinor hai thành phần và hướng của spinor có
liên quan đến hướng của xung lượng là nguyên nhân tính chirality.
Thứ hai, khả năng truyền dẫn đặc biệt tốt của Graphene. Độ linh động của electron
trong Graphene ( tiêu chí để xác định một vật liệu dẫn điện tốt) có thể đạt tới
������/�� cao hơn hẳn so với độ linh động của electron trong silicon ( cỡ
���� ���/��) hay GaAs( cỡ ���� ���/��). Ngoài ra, graphene là vật
liệu dẫn cực mỏng, trong suốt, rất bền về mặt cơ học, dẫn nhiệt rất tốt. Do đó,
Graphene được kỳ vọng sẽ thay thế cho các vật liệu bán dẫn thông thường trong
nhiều ứng dụng, từ sản xuất bộ vi xử lý tốc độ cao đến cảm biến sinh học.

7


Việc nghiên cứu ứng dụng graphene được bắt đầu bằng nghiên cứu tính chất

electron trong các cấu trúc khác nhau của Graphene : carbon nanoribbon, quantum
dot, p-n junction, hay siêu mạng...Thông thường người ta chế tạo siêu mạng bằng
cách điều chỉnh thế gian cầm đối với electron bằng công nghệ tương tự như công
nghệ hút bám nguyên tử trên một bề mặt Graphene. Ngày nay công nghệ hiện đại
hơn được sử dụng đó là kính hiển vi qt đường ngầm STM để quan sát cấu trúc bề
mặt của vật rắn với độ phân giải lên tới cấp độ nguyên tử, người ta có thể đặt vào và
điều chỉnh tạp chất hợp lý để tạo ra những cấu trúc siêu mạng như ý muốn, với độ
chính xác cực cao. Bên cạnh đó, có một phương pháp đơn giản đã từng làm là tạo ra
những điện áp địa phương ( tức là đặt vào những điện áp không đổi với một chu kỳ
tuần hồn nào đó), do vậy đối với electron thế là tuần hoàn như một siêu mạng.
Ngoài ra, một phương pháp rất độc đáo cũng được sử dụng, đó là ban đầu người ta
tạo một lớp chất nền có hình dạng như một thế siêu mạng muốn tạo thành. Sau đó,
người ta cấy lên trên những bề mặt này những lớp graphene bằng cách này cũng tạo
ra được siêu mạng graphene.
Ngày nay, người ta sử dụng kính hiển vi quét đường ngầm STM để điều chỉnh
tạp chất trong graphene được đặt lên trên một lớp chất tạo nền và có thể đạt được
cấu trúc siêu mạng như mong muốn. Với cơng nghệ này, người ta có thể tạo được
các siêu mạng graphene có chu kỳ nhỏ hơn 5nm. Mơ hình siêu mạng phổ biến hay
được quan tâm nhất là mô hình thế Kronig- Penney ( tức là mơ hình thế gồm các bờ
thế vng góc sắp xếp tuần hồn theo một phương nào đó). Với mơ hình KronigPenny cho siêu mạng điện Bai và Zhang [6] đã khảo sát sự phụ thuộc hệ số truyền
qua vào góc tới và năng lượng tới của hạt, đồng thời đã tính độ dẫn của hệ. Nhóm
của Abedbour cũng đã tính độ dẫn của hệ siêu mạng mất trật tự graphene. Nhóm
của Park đã chỉ ra rằng với mơ hình Kronig- Penney vận tốc nhóm có tính dị hướng
cao do tính chirality. Trong khi vận tốc nhóm theo phương tuần hồn của thế vẫn
khơng đổi( bằng vận tốc Fermi), thì vận tốc nhóm xét theo phương vng góc với
nó nhỏ hơn vận tốc Fermi. Với một siêu mạng graphene sử dụng thế có dạng hàm
sin, Brey và Fertig [10] chỉ ra rằng tính chirality dẫn tới điều đặc biệt là sự xuất hiện
những trạng thái năng lượng khơng trong phương trình Dirac, đây chính là sự xuất

hiện thêm của nhiều điểm Dirac nằm đối xứng qua điểm Dirac chính theo phương
xung lượng ngang. Ngồi ra siêu mạng cịn có thể tạo thành bằng các bờ thế từ. Siêu
mạng từ graphene có thể được cấu thành bằng cách áp các thanh sắt từ lên bề mặt
tấm graphene theo một phương nhất định tạo thành một thế tuần hoàn.
Trong luận văn này sử dụng phương pháp Transfer (T) matrix quen thuộc, chúng
tơi bước đầu tìm hiểu cấu trúc năng lượng của siêu mạng graphene hai lớp ( bilayer
graphene) với thế tĩnh điện tuần hồn dạng Kronig- Penney. Vì vậy tôi chọn tên
luận văn: “Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp”.
2. Mục tiêu luận văn
Tìm hiểu các tính chất vật lý của graphenevà bước đầu học cách tính tốn cấu trúc
vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu của luận văn
Luận văn chủ yếu sử dụng lý thuyết bloch kết hợp với phương pháp T-ma trận .
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của luận văn
-Đối tượng nghiên cứu : Graphene hai lớp dưới tác dụng của thế tĩnh điện tuần hoàn
dạng Kronig- Penney.
- Phạm vi nghiên cứu : Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp.
5. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn chia làm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan các tính chất điện tử của Graphene đơn lớp
Chương 2: Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene hai lớp
Chương 3: Trình bày kết quả và thảo luận về cấu trúc vùng năng lượng của siêu
mạng Graphene 2 lớp với thế điện dạng Kronig - Penney.


CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
CÁC TÍNH CHẤT ĐIỆN TỬ CƠ BẢN CỦA GRAPHENE ĐƠN LỚP
Để làm rõ hơn các tính chất đặc biệt của graphene được giới thiệu ở phần mở
đầu, đồng thời làm cơ sở cho những tính tốn và giải thích các hiện tượng vật lý ở
trong siêu mạng graphene sẽ trình bày ở phần tiếp theo, tơi xin giới thiệu một vài

đặc trưng cơ bản nhất của graphene như cấu trúc vùng năng lượng và các tính chất
điện tử.
1.1. Cấu trúc vùng năng lƣợng
Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene được tính tốn bằng phương pháp
gần đúng liên kết mạnh và so sánh kết quả nhận được với phương pháp ab- initio.
Hàm sóng của electron trong gần đúng liên kết mạnh được viết dưới dạng:
�� �, � = �=�
1

�� ,� � �� (�, �)(1.1.1)

�� ,� là hệ số khai triển. Có M dãy năng lượng khác nhau và năng lượng của trạng
thái điện tử E của dãy thứ j được tính :
�� � = �� � �� / �� ��
Dưới dạng đơn giản nhất, năng lượng �� với hệ số khai triển �� tạo thành :
��� = �� ���
Trong đó: �� là vecto cột, �� � = (�� 1 , �� 2 , … , ��� )

(1.1.2)

Ma trận tích phân chuyển đổi H và ma trận tích phân chéo S là MxM với các nhân
tố được xác định như sau :
� ��

′

=

�� � ��′ ��� ′ = �� ��′
(1.1.3)

Dãy năng lượng �� được xác định bởi phương trình giá trị riêng suy rộng
(1.1.2) bằng cách giải phương trình :
�� � � − �� � = 0

(1.1.4)

Ở đây „det‟ được gọi là định thức của ma
trận.
Các yếu tố ma trận sẽ được tính trực tiếp theo định nghĩa :
� − �) � (� − � )
� = 1 � � (�

(1.1.5)


��

� �=1

�

,

�

,


Đặt tham số ��= ��(� − ��,� ) � � �(� − ��,� ) . Đây được coi như

phép tổng của các tham số �� . ��mang giá trị như nhau trong mỗi ơ đơn vị.
Do đó ngun tố ma trận có thể có thể được diễn đạt
là
như vậy, ma trận chéo

H AA =.є A Tương tự

HB đối với orbital ở vị trí B được viết là HBB =є B . Trong
B

khi với Graphene tinh khiết є A = є B khi hai mạng con giống nhau. Việc tính tốn
những phần tử chéo trong ma trận tích phân chéo S thì phương trình (1.1.4) được
thực hiện theo cách tương tự như đối với ma trận H với nghịch đảo của một orbital
với phần tử đơn vị của nó.
φ j (r − R j,i )φ j (r − R j,i ) = 1

Do đó : SBB = SAA
= 1.
Phần tử ngồi đường chéo góc

H

của ma trận tích phân chuyển đổi H mô tả khả

AB

năng di chuyển linh hoạt giữa những orbital ở các vị trí A và B. Thay hàm Bloch
�
� 1

�, �

=

�
�=
1

.
�� � �

��

�

vào ma trận (1.1.3) tạo ra phép tốn của

�−
��,�

� .�

những vị trí tại A và những phép tốn của những vị trí tại B.
Ta giả sử những vị trí phát sinh từ sự linh hoạt giữa các điểm lân cận . Nếu ta xem
xét vị trí A được cho trước sau đó tính tốn khả năng di chuyển đến 3 vị trí gần B
nhất , kí hiệu l= 1, 2, 3: 1
H

=

AB

N

3

N ∑∑
i =1 l =1

eik.δ x φ

(r
R−

1

A

−δ)

)Ηφ (r
R−
A,i
B

A,i

l

Ở đây, δ1 là vị trí của 3 nguyên tử B gần nhất so với nguyên tử A cho trước
−a −a
a
a−a
δ = (0, ),δ =
),δ = (
,
).
1

3

2

( ,
2 2 3

3

2 23

Phép tốn đối với 3 vị trí gần điểm B nhất thì giống hệt điểm A , tham số này được
tính như sau:


γ 0 = − φA(r − RA,i ) ΗφB (r − RA,i −
δ1)
với γ 0 > 0 . Do đó phần tử ma trận được viết lại thành :
H AB ≈ −γ 0. f (k);

(1.1.6)


f (k) = ∑ e

(1.1.7)
ik.δ 1

l =1

Phần tử ma trận ngồi đường chéo góc cịn lại được
tính:

HBA

*

=

A
B

≈ −γ f *(k).
0

H
f chỉ sự dịch
à(
chuyển của
mk

điểm gần
)
nhất
,phương
trình (7)
được viết :
3 3

x

k
=
(k
x,
ky
)

là
v
e
ct
o
s
ó
n
g
.

co

+ s(
k
a/
2 2)
e (1.
−
i
k

1.
8)

y

a
/
2

Việc
tính
tốn
nhữ
ng


phần tử ngồi đường chéo góc của ma trận tích
phân
chéo S tương tự như ma
s0 φA (r − RA,i )
trận H. Hàm số

mô tả các
khả

= φB (r − RB,l

năng của các phần tử chéo có thể >0 hoặc < 0 giữa
các orbital trên những vị trí lân cận. Khi đó
SAB

BA

=

=

f (k)

*

s0

Tập hợp các phần tử ma trận ,
các ma trận tích phân lớp được
viết như sau :

��
�� =
(1.1.9)
− ∗()

H
m
và

−� 0�(�)

s0 f (k) 

Sm =  f * (k) 
 0s

1

Sm của Graphene
đơn

�0�
(1.1.10)

Năng lượng tương ứng được xác định bằng cách
giải phương trình (4) . Ví dụ đối với Graphene
tinh khiết є A = є B =0 , ta có :
Ef =

± γ 0 f (k)
1 ± f (k)
s0

(1.1.11)

Ở phương
trình (1.1.8)
khơng
tương đương
nhau.

γ 0 = 3.033eV , s0 = 0.129
f (k) = 0 tại góc của vùng Brillouin, hai

trong số chúng


Hình 1.1. Các vecto cơ sở của vùng Brillouin của Graphene
với vecto sóng
được kí hiệu trong bảng
4π
K = ±(
,0)
Ví dụ : góc K+ ,
±
3a
K−
1(b). Những vị trí như vậy được gọi là điểm lồi và lõm K và ta sẽ sử dụng chỉ số
lõm

ξ = ±1 để phân biệt những điểm

Kξ . Tại những điểm này , các kết quả của

phương trình (15) có cùng mức năng lượng, đánh dấu điểm chéo nhau và năng
lượng vùng cấm bằng 0 giữa vùng hoá trị và vùng dẫn. Ma trận chuyển đổi

Hm gần

giống với phương trình Dirac- Hamilton ở lân cận của điểm K, mơ tả các hạt khơng
có khối lượng với mối tương quan về độ tán sắc dài. Các điểm này đặc biệt quan
trọng vì mức fermi được đặt gần chúng trong lớp Graphene tinh khiết.
1.2. Phƣơng trình Dirac
a) Phương trình tựa Dirac
Thực tế trong các bài tốn truyền dẫn, ta chỉ quan tâm đến các electron gần bề
mặt Fermi, như thông thường, ta sẽ dùng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu
dụng. Kết quả phép gần đúng khối lượng hiệu dụng đối với Graphene chính là
phương trình tựa Dirac hai chiều cho electron trong mạng Graphene.
Sử dụng khai triển K.P tại lân cận điểm K. Bằng cách viết hàm song đầy đủ
(là tích của hàm vỏ và hàm lõi), thay vào phuwogn trìng Schr� dinger, khai
triển
và giữ lại hạng bậc nhất của k sẽ thu được phương trình tựa Dirac cho electron
trong Graphene. Việc này đã được DI Vincenzo và Mele thực hiện năm 1984 [9]. Ở


đây tơi tóm tắt lập luận ngun văn của các tác giả để rút ra phương tình tựa Dirac
hai chiều.


“… Khi khơng có thế tạp, khai triển gần đúng khối lượng hiệu dụng tương
đương với khai triển K.P tại lân cận điểm K . Trong lý thuyết khai triển K.P hàm
song của electron tại vector song k = K + k được cho bởi:
�( �

, � ) = � (� )� �
1

k, r

Ψ (K, r) + f (K) ��

1

k, r

2

Thế Ψ vào phương trình Schrodinger, giữ lại số hạng cáp một của k và
lấy EF =0 ta đượpc phương trình trị riêng:

P


P

11

12

K

f 1 (K

= E(K )

)

f 1 (K

(1.2.12)

)

f 2 (K
)

m

P

P 22

f 2 (K )

21

Trong đó P ij = Ψ *i (K, r ) p ψ j(K, r )d r . Có thể chỉ ra bằng lý thuyết nhóm

∫

hoặc trực tiếp từ phương trình gần đúng liên kết mạnh, rằng ma trận của tốn tử
xung lượng có dạng:
p

0

e +� e �

e −� e �
0

(1.2.13)

Trong đó e x , e y là vector đơn vị của mặt phẳng, p la hệ số liên quan đến cấu
trúc vùng của Graphene. Từ đó có ta có thể chéo hóa dễ dàng ma trận trên và thu
được:
E (K ) =±� ‫ ׀‬k 2.1) ‫)׀‬

P = (2π / m) p .

Như vậy thực chất của kết quả của phép khai triển K.P là thay thế câu trúc
vùng Graphene bằng hệ thức tán sắc hình nón tại mặt Fermi.
Khi đặt trường ngoài liên hệ, đối xứng tịnh tiến nói chung bị phá vỡ va trạng
thái lượng tử của electron khơng cịn được đặc trưng bởi k . Do đó chúng ta sẽ dùng
đến một sự mở rộng nhỏ của hàm thử:


Ψ ( k , r) = � k
(1.2.14)

f 1 (K ) �

� k,

rψ

(K, r )+ � k

(K ) � �

k, r

ψ 2 (K, r )


Đặt hàm thủ vào phương trình Schrodinger ta đi đến phương trình tích phân:

P

0
��+��

‟ 
‟
(K ) ( 1.2.15)
(K )
 1
+ � K U( K - K  f1
f

 =E 
)

(K )

f (K )

f 1 (K

��−��

)

�0

 2


f 2 (K )

Trong đó : U (q) = ∫ dz ρ (z)

(∫ d qe

−i qr

U (r)




f

2





) chính là biến đổi Fourier của thế tạp

U( r lấy trung bình theo trục Oz. Để rút ra phương trình này chúng ta đã áp dụng
)

gần đúng tiêu chuẩn của lý thuyết khối lượng hiệu dụng là thế tạp biến thiên chậm
so với khoảng cách đặc trưng của ơ mạng.
Để hồn tất việc rút ra phương trình Dirac ta thực hiện biến đổi Fourier phương
tình trên, kết quả là phương trình tích phân chuyển thành phương trình vi phân:
∂

0

∂x

�
�

∂
∂�

−i
∂y

∂

+�

∂y

0

∂

�1( � )

� ( �)
= �− �( � ) ( 1
) (1.2.16)
�2 (� )
�2 (�
)

Và phương trình sóng trong biêủ diễn tọa độ là:
Ψ(r) = �1(� ) Ψ 1 (�, � ) + �2(� )

(1.2.17)

Ψ2 (K, r)

Phương trình sóng có dạng tích của hàm vỏ (envelope- function) biến đổi
chậm và hàm Bloch như quen thuộc trong vật lý chất rắn….”
Hàm sóng thu được ở trên chính là nghiệm của phương trình tựa Dirac ( sở dĩ
gọi là phương trình tựa Dirac vì trong phương trình vo là vận tốc Fermi, có giá trị
v0 106). Hai trạng thái của electron trên hai mạng thành phần đóng vai trị là thành
phần Spin và tên gọi giả Spin (pseudo-spin)( gọi là giả spin vì chúng khơng liên

quan đến spin thật của electron).


Khi các điểm Dirac bị tách suy biến như đề cập đến trước đây, tức là có
một khe năng lượng nhỏ giữa vùng dẫn và cùng hóa trị, như đã nói việc hiệu
chỉnh phương trình tựa Dirac chỉ đơn giản là thêm vào số hạng khối lượng nghỉ


của electron. Kết quả là ta có dạng đầy đủ của phương trình Dirac sẽ được sử
dụng như sau:
HD

=

Trong đó

(1.2.18)

ο = (σ x ,σ y

,

)

z

là các ma trận Pauli quen thuộc trong cơ

học lượng tử.
Một vấn đề khác cần nói đến là trong Graphene ta có một mặt Fermi sáu

điểm với hai điểm không tương đương K và K‟. Khai triển K.P tại điểm K và K‟
là tương đương nhau, qua một phép biến đổi biểu diên, điểm này có thể biến đổi
thành điểm kia.
b) Lời giải với thế không đổi trên từng đọan
Thơng thường trong các bài tốn ta chỉ xét trường hợp là electron chỉ chịu tác
dụng của thế khơng đổi trên từng đoạn. Khi đó phương trình Dirac sẽ có lời giải giải
tích đơn giản.
Như đã nói ở trên ,phương trình Dirac có dạng:

H D Ψ(x, y) =

(1.2.19)

 0 1

0 − i
1 0 

ο = (σ x ,σ y ) vàσ x =  ,σ y = 
,σ z = 

10
0
0 −
i






1

 Ψ1 

Ta viết lại hàm sóng dưới dạng hai thành phần spinnor Ψ =   và thay vào
Ψ

2



phương trình trên ta được:


 ∂Ψ2 ∂Ψ2 
2

− ∂y  + mν + U (x, y) Ψ = EΨ

0
1
1
∂Ψ ∂Ψ 
1
2
1

ν
(−i
)

+
−
m
ν
+
U
(x,
y)
=
EΨ
x
∂
Ψ
+

[



Hay


0

∂x
∂

∂y

∂

 − i − Ψ2 =
∂x ∂y
ν

[

]
]

0
1

2

2

2
0

1

(1.2.20)


[
[

]
]

E − U (x, y) − mν Ψ


10

∂
E − U (x, y) + mν 2 Ψ
+ ∂ Ψ =
− i

 1
0
2
 0
∂ 
 ∂

ν

(1.2.21)


Đặt ε = E / ν , ε = mv2 /
ν 0
0
0

,u(x, y) = U (x, y) /
ν 0
0

(2.8)
(thực chất đây là
một phép đổi đơn vị),
đồng thời rút thế Ψ 2 từ
phương trình thứ hai
vào phương trình thứ
nhất trong hệ ta có:


∂1
∂ 
∂
∂ 

  − i + Ψ
1
−
x ∂y)
y −
]= [ε −∂u(x,
i ε 0 ]Ψ1
∂
x
−
∂
y


[

ε

−
u
(
x
,
y
)
+




Ψ
=



ε
0


1



(1.2.
22)


∂

]




∂ +

[ε − u(x, y) + ε 0 
2
∂x


∂y
1


Quay trở

1 1

riêng của ta:


i 
χ∂ y


thế u(x,y)



lại trường hợp

không đổi dọc

[ε

khi đó nghiệm

u(
+ε
∂x

có thể tìm



theo trục Oy,

t

trên trục

r
ì

Ox, khi đó + k

χ
phương

n

trình đơn

h

giản thu về:

]

2


i
k

[(

2

y



[
ε

−
u
(



]Đ
ặt

x n

∂
x
−
=
0

n

u
n

ta có:


∂2χ
1
 2
+k χ=0

+ P ơ

h n
ε
ư g

2

∂x
n i1

ơ

ổ

Và
do
đó:

k

]

k


∂ n đ
x g

1

)

h



dạng:
B1

 
 χi ++kχ

 [ −
ε∂
=ε 

ạ

∂

được cho duới
χ (1.2.26)

un

á n
c g

x


, é
y t
)

0

ε−

+ ik 
1 χ = [ε −
u(x, y)− u ) 222
  k0y
ε ]χ (
n t

đ
−
a o
i
∂




nghiệm tổng quát

1+

k t

hừ

ta có
phương
trình cho
:

phương trình kiểu


y
−k
−ε2 χ=0
2
 χ

trục Oy:
=

đơn giản là

dao động điều hịa,

ặ ê
t n

lượng theo

n

(1.2.25)

cho ta
1

)
r

riêng của xung



Phuơng trình

−

t


dưới dạng hàm

+ k y  χ1

i của thế

y 0



χ 2 = [ε

−u
+ε



]

∂
−

∂x

n

n