Luận văn thạc sĩ phân tích cartan trong đại số lie và cài đặt một số thuật toán lượng tử

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Đ¾NG ĐÌNH SƠN

PHÂN TÍCH CARTAN TRONG ĐAI SO LIE
VÀ CI ắT MđT SO THUắT TON LeNG TU

Chuyờn ngnh: ai so và lí thuyet
so Mã so: 60.46.01.04

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC
GS.TSKH ĐO NGOC DI›P

Hà N®i - 2014


LèI CAM ƠN

Tác gia xin chân thành gui lòi cam ơn sâu sac tói
GS. TSKH. Đo NGQ c Di¾p,
Vi¾n Tốn

HQc,

Vi¾n Hàn lâm Khoa

Ngưịi thay đáng kính, đã tao

MQI

HQc

và Cơng ngh¾ Vi¾t Nam

đieu ki¾n giúp đõ, dày cơng hưóng dan

đe tác gia hồn thành lu¾n văn này.
Tác gia xin chân thành cam ơn các thay cơ trong khoa Tốn - Tin - Cơ
HQc,

trưịng Đai

HQc

Khoa HQc Tn Nhiên Hà N®i nói chung và các thay cơ

trong b® mơn Đai so - Hình

HQc

chúng tơi nhieu kien thúc khoa
cho chúng tơi trong q trình

- Tơ Pơ. Các thay cơ đã truyen đat cho

HQc

HQ c

mói bő ích và tao

MQI

đieu ki¾n tot nhat

t¾p và nghiên cúu.

Xin chân thành cam ơn ban bè, đong nghi¾p, nhung ngưịi thõn ó đng
viờn giỳp ừ trong suot quỏ trỡnh

HQc

tắp thnc hiắn luắn vn.

H Nđi, thỏng 11 nm
2014
Sn

1

ắng

ỡnh


MUC LUC
Lịi cam ơn.............................................................................................1
Muc luc.................................................................................................. 2

Danh muc các ký hi¾u, các chu viet tat.................................................4
Me ĐAU.............................................................................................. 5
Chương 1 - TŐNG QUAN.....................................................................8
1. Tőng quan ve thu¾t tốn lưong tu.....................................................9
1.1. Các khái ni¾m cơ ban cna tính tốn lưong tu................................9
1.1.1.Thanh ghi lưong tu.......................................................................9
1.1.2.Đo lưong tu.................................................................................10
1.1.3.Cőng lưong tu.............................................................................12
1.2. Thu¾t tốn lưong tu......................................................................15
1.2.1 Thu¾t tốn lưong tu múc tőng qt...........................................16
1.2.2. Mơ hình dây............................................................................... 17
2. M®t so kien thúc chuan b%...................................................................21
2.1. Giói thi¾u ve nhóm Lie và Đai so Lie cna m®t nhóm Lie..............21
2.2. Cau trúc cna su(N ) và so(N )................................................27
2.2.1.H¾ nghi¾m cna nhóm Lie.........................................................27
2.2.2. Cau trúc cna su(N )...........................................................29
2.2.3.Cau trúc cna so(2N )..........................................................31
3. Ket lu¾n.......................................................................................... 33


Chương 2 - PHÂN TÍCH CARTAN....................................................... 34
1. Mo đau.............................................................................................34
2. Phân tích Cartan chuan................................................................... 37
2.1. Phân tích khơng gian nghi¾m....................................................... 37
2.2. Phân tích Cartan chuan................................................................ 40
3. Phân tích su(N ).....................................................................42
4. Phân tích so(2N )...................................................................46
5. Ket lu¾n........................................................................................... 50
Chương 3 - CÀI Đ¾T MđT SO THUắT TON LeNG TU...............51
1. Phộp bien i hoỏn v%..............................................................................51

2. Cài đ¾t phép chuyen đői d%ch bít..................................................53
3. Cài đ¾t phép bien đői Fourier..........................................................57
4. Ket lu¾n........................................................................................... 58
KET LU¾N.......................................................................................... 59
TÀI LI›U THAM KHAO................................................................60


Danh mnc các ký hi¾u, các chE viet tat
Trong lu¾n văn này, chúng tôi dùng thong nhat sE dnng các kí
hi¾u và viet tat sau:
Ký hi¾u
U (n): nhóm unita cap n;
SU (n): nhóm unita cap n có đ%nh thúc bang đơn v%;
SO(n): nhóm trnc giao cap n có đ%nh thúc bang đơn v
%; u(n): đai so Lie cna U (n);
su(n): đai so Lie cna SU (n);
so(n): đai so Lie cna SO(n) ;
Pr(A): xác suat xay ra bien co A;
G và g : nhóm Lie và đai so Lie tương úng;
T và t : xuyen toi đai chuan và đai so Lie tương úng;
H :phép bien đői Hadamard;
F : phép bien đői Fourier lưong tu ;
Uf : h®p đen lưong giá hàm mau f ;
Viet tat
Qubit: Bit lưong tu.


Me ĐAU
Lí do cHQN đe tài.
Lí thuyet Lie ra địi như m®t tương tn liên tuc cho lí thuyet nhóm Galois.

Nó đưoc úng dung trưóc het vào lí thuyet phương trình vi phân. Moi bieu
thúc bat bien dưói tác đ®ng cna nhúm Lie cho mđt tớch phõn au
cna hắ phng trình vi phân do v¾y cho ta phép ha b¾c cna hắ. Núi mđt
cỏch khỏc khi hắ mụ ta chuyen đng c

HQ c

hay vắt lớ thỡ tớch phõn au cho

ta các đ%nh lu¾t bao tồn. Tìm đưoc càng nhieu đ%nh lu¾t như v¾y h¾ càng
de dàng đưoc giai tri¾t đe. M®t úng dung khác cna lí thuyet Lie là lí thuyet
đoi xúng trong cơ
vai trị quan
Moi h¾ cơ

HQ c

và v¾t lí. Các h¾ cơ

TRQNG trong

HQc

HQc

và v¾t lí có đoi xúng đóng

vi¾c nghiên cúu các h¾ cơ

HQ c

và v¾t lí nói chung.

có nhóm đoi xúng tương úng vói m®t đa tap symplectic có

đoi xúng, như khơng gian thuan nhat. Moi h¾ lưong tu có đoi xúng, tương
úng vói m®t bieu dien unita cna nhóm đoi xúng đó. Lí thuyet nhóm lưong
tu ra địi như m®t úng dung cna nhóm Lie.
Năm 1982, Feynman ó khang %nh mđt hắ c

HQc

long tu khụng the

oc mơ hình boi các h¾ cő đien, mà chi có the oc mụ hỡnh boi mđt hắ c
HQc

long tu khỏc và lan đau tiên đe xuat su dung h¾ lưong tu thnc hi¾n


vi¾c tính tốn, khai sinh ý tưong su dung các hi¾u úng cơ

HQc

lưong tu đe

làm tính tốn. Kha năng lưu tru theo cap so nhân, ket hop vói m®t so hi¾u
úng như roi lưong tu (quantum entanglement), đã dan các nhà nghiên cúu
thăm dò sâu hơn vào súc manh cna máy tính lưong tu.
Tính tốn lưong tu có kha năng có kha năng cách mang hóa lĩnh vnc khoa

HQc

máy tính tuy nhiên, tính tốn lưong tu van đang o trong giai đoan phơi

thai, kha năng cna nó có the đat bao xa van cịn m®t câu hoi mo. Có ba hoat
đ®ng đang cùng dien ra trên ba ngành khoa

HQ c

khác nhau. Các nhà v¾t lý

tìm cách che tao ra máy tính lưong tu; các nhà tốn
hình tính tốn lưong tu; và các nhà tin

HQ c

HQc

xây dnng các mơ

tìm kiem các thu¾t tốn lưong

tu và xây dnng ngơn ngu mơ phong tính tốn lưong tu. Trong lúc chị đoi
các nhà v¾t lý khac phuc đưoc các rào can cơng ngh¾ đe xây dnng máy tính
lưong tu, các nghiên cúu ve thu¾t tốn van phai đưoc tien hành. e Vi¾t
Nam, có the xem vi¾c nghiên cúu ve tính tốn lưong tu đưoc khoi đau
vào năm 2004 vói m®t so bài báo tőng quan trên Tap chí Úng dung Tốn
hQc cna Đo NGQ c Diắp (2004), Cao Long Võn (2005, 2006); mđt so báo cáo
h®i thao cna các thành viên nhóm Phan Trung Huy (2004, 2005, 2006);
Lu¾n văn Tien sĩ Cơng ngh¾ thơng tin cna Huỳnh Văn Đúc (2012).

Như v¾y, xây dnng thu¾t tốn lưong tu là m®t lĩnh vnc rat mói me và
có súc hút, cơ h®i và tam quan

TRQNG.

Mnc đích nghiên cẫu.
Tự cau trỳc cna mđt so ai so Lie ắc bi¾t các nhóm bien đői unita, phân
tích Cartan cna đai so Lie nua đơn, huu han chieu xây dnng m®t so thu¾t
tốn phân tích các phép bien đői. Tù đó ci ắt mđt so thuắt toỏn long
tu


(Phan chớnh cna mđt thuắt toỏn long tu l cỏc phép bien đői unita).
Đoi tưang, pham vi nghiên cÉu.
Đoi tưong nghiên cúu cna lu¾n văn là các phép bien đői unita. Pham vi
nghiên cúu cna lu¾n văn giói han trong h®p đen và phép bien đői trnc
giao.
Phương pháp nghiên cÉu.
Nghiên cúu thơng qua các tài li¾u, sách báo, internet. Trình bày h¾ thong
lai các kien thúc và tưịng minh các chúng minh. Trao đői các nghiên cúu
vói giáo viên hưóng dan.
Ý nghĩa khoa

HQC.

Áp dung thành công công cu lý thuyet nhóm cho thay có the su dung đưoc
các ket qua cna tốn

HQ c

hi¾n đai trong xây dnng thu¾t tốn lưong tu.

Cau trúc cua lu¾n văn.
Lu¾n văn gom 3 chương
- Chương 1. Tőng quan.
- Chương 2. Phân tích Cartan.
- Chương 3. Ci ắt mđt so thuắt toỏn long tu.


CHƯƠNG 1 - TONG QUAN
Có the xem khác bi¾t cơ ban cna máy tính lưong tu so vói máy tính cő
đien nam o 2 điem chính: qubit so vói bit, và cőng lưong tu so vói phép tốn
logic. Trong lúc bit chi lu mđt giỏ tr% 0 hoắc 1, thỡ qubit lưu đong thòi hai
giá tr% này o dang chong chat trang thái mà khi ket hop lai thành m®t thanh
ghi, thanh ghi cő đien van chi lưu m®t giá tr% cịn thanh ghi lưong tu có kha
năng lưu tat ca các giá tr% quan tâm, cũng dưói dang chong chat trang thái.
Ngồi ra trong lúc các phép tốn logic nh¾n các bit đau vào và tra ket qua
cho bit đau ra, thì các cőng lưong tu tác đ®ng lên qubit làm thay đői chính
nó, nghĩa là xu lý đong thòi các giá tr% nam trong thang thái chong chat.
Như v¾y máy tính lưong tu ưu vi¾t hơn máy tính cő đien o cho nó có kha
năng lưu tru và xu lý đong thịi các giá tr% quan tâm. M®t thuắt toỏn long
tu ban chat l mđt phộp bien i unita, ci ắt mđt thuắt toỏn long tu l
phõn tớch phân tích các phép bien đői unita thành các cőng lưong tu (là các
phép bien đői unita cho trưóc). Đai so Lie so(n) và su(n) là các đai so
các phép bien đői tuyen tính đ¾c bi¾t có vai trị rat quan

TRQNG

trong vi¾c cài

đ¾t các thu¾t tốn lưong tu. Trong chương này chúng tơi giói thi¾u tőng
quan ve


thuắt toỏn long tu v mđt so kien thỳc c ban ve đai so Lie so(n) và su(n).
1 Tong quan ve thu¾t tốn lưang tE
1.1 Các khái ni¾m cơ ban cua tính tốn lưang tE
Các khái ni¾m cơ ban cna tính tốn lưong tu bao gom: thanh ghi lưong tu,
đo lưong tu, cőng lưong tu. Trong muc này chúng tôi cng giúi thiắu mđt so
phộp bien i unita quan

TRQNG

thũng oc dùng trong xây dnng các thu¾t

tốn lưong tu.
1.1.1 Thanh ghi lưang tE
Tai m®t thịi điem, trong lúc bit cő đien nhắn mđt trong hai giỏ tr% 0 hoắc
1, thỡ bit lưong tu (đưoc

GQI

là qubit) lai nh¾n đong thịi ca hai giỏ tr% ny.

Dựng ký hiắu bra-ket (Paul Dirac, 1902-1984), mđt qubit l mđt hắ vắt lý
gom cỏc trang thỏi
|b) = α0 |0) + α1 |1)
2
2

vói α0, α1 là các so phúc
2 thoa mãn |α0| + |α1| = 1 và {|0) , |1)} là m®t
cơ so chính tac cna C .
Thanh ghi lưong tu lưu tru đong thòi các giá tr% tính tốn hình thành
m®t phân bo xác suat xác đ%nh. Mđt thanh ghi n qubit l mđt hắ vắt lý
gom các trang thái
|ψ)
=
vói các so phúc αk thoa mãn

k=
0

Σ
2Σn −1


αk |k)

(1.1)

2n−1
k=0
2

n

|αk| = 1 và {|k)} k=− là m®t cơ so
2 ⊗n
chính

tac trong (C ) . Trang thái tőng quát (1.1) đưoc GQI 0là trang
thái chong chat
,|αk |
2n 1
vói phân bo xác suat
.
k=0
bang
,
−2

Hai trang thái |ψ1) và |ψ2) đưoc
xem là m®t neu |ψ1) = eiθ |ψ2) , θ ∈ R.
n
Trang thái |k), k = 0, 1, ..., 2 − 1 đưoc GQi là trang thái thuan.
Đ%nh nghĩa 1.1
Các trang thái |k), k = 1, 2, ..., 2n − 1, đưoc GQI là các trang thái tính tốn.
Ví dn 1.1 Trang thái chong chat cna m®t thanh ghi 2 qubit.
1
|ψ) = √ {i|0) + (1 − i)|1) + 2|3)}
7
7

Xác suat k = 1 là Pr(k = 1) =

2

.

Hình 1.1 Trang thái chong chat cna m®t thanh ghi 2 qubit

1.1.2 Đo lưang tE
Tính tốn lưong tu làm vi¾c trên nhieu qubit, trong đó m®t so qubit
đưoc nhóm lai thành các thanh ghi đe thu¾n ti¾n trong vi¾c mơ ta, xu lý.
Muon xác %nh ket qua chỳng ta phai thnc hiắn mđt phộp đo trên m®t


ho¾c nhieu thanh ghi này. Ket qua đo thu đưoc m®t trang thái thuan trên
các thanh ghi đưoc đo trong lúc thay đői trang thái trên h¾ con các thanh
ghi còn lai.


Trong cơ

HQ c

lưong tu, trang thái cna hat (vi mô) đưoc mơ ta boi hàm

sóng, là m®t véc tơ đơn v% trong không gian Hilbert phúc, đưoc

GQI

là không

gian Hilbert liên ket vúi hat. Mđt ai long vắt lý oc mụ ta boi m®t tốn
tu Hermite là tốn tu tuyen tính tn liên hop vói các tr% riêng là các giá tr% đo
đưoc cna đai lưong này. Ket qua đo se làm suy sup hàm sóng, đưa trang thái
cna hat ve trang thái riêng là véc tơ riêng đơn v% úng vói tr% riêng vùa đưoc
đo. Ký hi¾u |ψ) là trang thái cna hat và |a) là véctơ riêng đơn v% úng vói tr%
riêng a, khi ay xác suat đo đưoc a là
pa = |(a| |ψ)|

Xét đai lưong v¾t lý có hai giá tr%, tốn tu mơ ta nó có 2 tr% riêng úng vói 2
véc tơ riêng đưoc cHQN làm cơ so chính tac cna khơng gian Hilbert liên ket
bieu dien tat ca các trang thái cna hat. Hai véc tơ riêng này đưoc ký hi¾u
là |0) và |1) . Đe mã hóa du li¾u cho tính tốn lưong tu, chúng ta quy
ưóc tr% riêng đo đưoc úng vói chúng là 0 và 1 tương úng. Nhị đó chúng ta
khơng quan tâm đen hat nào đưoc cHQN làm qubit và đai lưong nào đưoc
cHQN đe đo. Ket qua ta có mơ hình tốn

HQc

thuan túy.

Xác suat đo đưoc m®t trang thái thuan đưoc tính như sau. Trưóc het,
neu đo trên tat ca các qubit cna h¾, o trang thái (1.1), như đã đe c¾p o
trên, ta có
2

P r(k = j) = pj = |αj|
(1.2)
Neu h¾ phân tích thành 2 thanh ghi m và n qubit thì (1.1) đưoc viet lai:
2m−1 2n−1

|ψ) =
Σx=0

Σ ),
α
x
y

|x
) y=0
|y


ket qua đo trên thanh thú nhat nh¾n đưoc giá tr% j:
Pr(x = j)
=

2n−1

Σ

n
2
−1
Σ

|α
=jy| , ψj
2

αjy |j) |y)

(1.3)

y=0

y=0

Ví dn 1.2 Xét h¾ 3 qubit, phân tích thành 2 thanh ghi, thanh ghi thú
nhat gom 1 qubit đau, thanh ghi thú 2 gom 2 qubit còn lai.
1
1
1
|ψ) = |0) |1) + |1) |2) − √ |1) |3)
2
2
2
Ket qua đo trên thanh ghi thú nhat:
Giá tr% đo đưoc

0

1

1

1

4

4

|0) |

|1) ( 2 |2) − √2 |3))

Xác suat
1

Trang thái sau đo

2

1

1

1)

1.1.3. Cong lưang tE
Trong tính tốn lưong tu trang thái h¾ đưoc thay đői bang các phép bien
đői unita. Các phép bien đői unita đưoc phân tích thành tích cna các phép
bien đői tác đ®ng lên khơng q 2 qubit,

GQI

là cőng lưong tu.

1. Cőng Hadamard, ký hi¾u là H
H |k) = 1

|1))

(1.4)

k

√ (|0) +

(−1)
2
2. Các cőng chuyen pha 1 và 2 qubit, ký hi¾u là
Pϕ

Pϕ |
eiϕk


Pϕ |x) |y) = eiϕxy |x) |y)
(1.5)


3. Các cőng Pauli, ký hi¾u là σx, σy, σz, trong đó σx cịn đưoc GQI là
cőng XOR
1−k
σ
|k) ==|1 (−1)
σyx |k)
− k) = i|1|1
⊕ k)−= k)
|1 +,
k) ,
σz |k) = (−1)k |k)

(1.6)

4. Cőng
CNOT
CNOT |x) |y) = |x) |x ⊕ y)

(1.7)

SWAP |x) |y) = |y) |x)

(1.8)

5. Cőng SWAP
6. Cőng Toffoli, ký hi¾u là T
T |x) |y) |z) = |x) |y) |z ⊕ xy)
Trong đó
1 1

1 

 1 0

 01

(1.9)
 0

i


H=√

=

2




1 −1


−i 0

,

, Pϕ = 


iϕ

0 e

, σx = 


1 0

, σy


σ
P =
z




1 0
,



ϕ

0 −
1

 1

=

 0 0 1 0 
 0 0 0 eiϕ 

0 0 0
0 0 1 0

Pϕ =
0

1 0 00 
 1 0 0 0





0 1 0
0 1 0
 , CNOT =0
 ,
 0



 I

0 0 

,T=
0 I 0

1 0 0  

0 0 σx 
0 0 1



0



0 0 0 1

0 0 1 0




M®t so phép bien đoi quan

TRQNG

M®t so phép bien đői unita đóng vai trị quan

TRQNG

trong tính tốn lưong

tu:
1. Phép bien đői Hadamard, ký hi¾u H⊗n , ho¾c H (neu khơng so nham
lan)
nΣ−1

H |x)
=

n
Σ
2
−1

(−1)

|y)

(1.10)

x.y
y=0

trong đó x.y
vàhi¾u
(yj) làF các bieu dien nh% phân cna x và
j y j , (x j) ký
đőixFourier,
= 2. Phép bien j=
0 y.
2n−1
Σ
F |x) =
e2n2πix.y |y)
(1.11)
y=0

3. Phép bien đői tách pha, ký hi¾u Uϕ
2n−1

Uϕ |0) =

√

1

Σ
k
=0

n2

eki |k)
ϕ

4. Phép bien đői đieu khien, ký hi¾u ΛU
 |x) |y) , x ƒ=
−1
x
y
Λ
=
| ) | ) 
U
|x) U |y) , x =
−1
5. Phép bien đői lưong giá hàm, cịn

(1.12)

GQI

(1.13)

là h®p đen, ký hi¾u Uf

Uf |x)|y) = |x)|y + f (x))

(1.14)

e đây, phép bien đői đieu khien đóng vai trị như cau trúc re nhánh
trong tính tốn cő đien, cịn h®p đen thưịng dùng đe bieu dien du li¾u


bi toỏn. Trong hau het ti liắu phộp toỏn cđng o (1.14) là phép XOR
theo tùng bit;


cng cú ti liắu coi õy l phộp cđng mod 2m, vói m là so qubit cna thanh
ghi thú 2.
1.2 Thu¾t tốn lưang tE
Có the xem sn khác bi¾t cơ ban giua thu¾t tốn lưong tu và thu¾t tốn
cő đien là o cách quan lý và su dung bien đe lưu tru và xu lý du li¾u. Qua
đó l¾p trình viên cũng thay đői cách tư duy l¾p trình cna

HQ.

Trong thu¾t

tốn cő đien l¾p trình viên thoai mái su dung các bien mà kha năng lưu tru
và xu lý du li¾u cna chúng đưoc xác đ%nh qua các kieu du li¾u khác nhau
đưoc xây dnng san ho¾c do

HQ

tn đ%nh nghĩa lay. Vói phép gán và các

cau trúc đieu khien tuan tn, l¾p và re nhánh, l¾p trình viên kiem sốt các
bien cna chương trình mang ít nhieu trnc giác. Ngưoc lai, trong thu¾t tốn
lưong tu l¾p trình viên chi dùng duy nhat m®t bien, là ket hop cna nhieu
qubit lưu tru đong thịi các giá tr% thu®c lĩnh vnc bài tốn can giai, và xu
lý nó bang cách áp dung các cőng lưong tu ho¾c các phép bien đői unita đưoc
chap nh¾n lên các qubit thích hop. Khơng có phép gán, chi có phép đo. Bien
đưoc khoi tao, đưoc xu lý boi các phép bien đői unita, và đưoc đo đe rút ra
giá tr% giúp tìm lịi giai cna bài tốn. Cau trúc re nhánh cũng khác, dưói
tác dung cna các phép bien đői đưoc đieu khien, chi các giá tr% cna bien
thu®c m®t khơng gian con nào đó b% thay i. e xõy dnng thnh cụng mđt
thuắt toỏn long tu, l¾p trình viên lúc này can có kien thúc ve tốn
v¾t lý

HQ c

HQ c

và

hi¾n đai. Như v¾y thu¾t tốn lưong tu chi ưu vi¾t hơn thu¾t tốn

cő đien khi nú oc hiắn thnc trờn mđt mỏy tớnh long tu th¾t sn. Trong
muc này chúng tơi giói thi¾u thu¾t tốn lưong tu o múc tőng qt, đơn gian
nhat; giói thi¾u mơ hình


dõy v minh

HQA

mđt so thuắt toỏn.

1.2.1 Thuắt toỏn lang tE mÉc tong qt
đưa
h¾tính
tù trang
thái |ψtu
0) ve trang thái |ψ) , chúa nhieu thơng tin cho
phép
Trong
tốn lưong
bài tốn chính là tìm m®t phép bien đői unita
giai quyet m®t bài tốn nào ú. Sau ú, chỳng ta se thnc hiắn mđt phộp
o
trờn trang thái |ψ) đe có thơng tin ve lịi giai. Ket qua o se nhắn oc
mđt giỏ tr% nguyờn v đe lai h¾ vói trang thái tương úng; giá tr% thu
đưoc là ngau nhiên vói phân bo xác suat xác đ%nh theo cơng thúc đã
biet (1.3).
Ví dn 1.3 Xét h¾ 3-qubit vói trang thái ban đau là m®t trang thái tính
tốn |ψ0) = |011) . Tác đ®ng phép bien đői Hadamard lên 2 qubit đau:
1
1
1
|ψ) √ (|0) + |1)) √ (|0) − |1)) |1) = (|1) − |3) + |5) − |7))
=
2
2
2
Đo trên 2 qubit cuoi thu đưoc các giá tr% 1 ho¾c 3 vói xác suat bang

nhau và đe lai trang thái cna h¾ tương úng như sau
Giá tr% đo đưoc

1

3

Xác suat

0.5

0.5

√1

Trang thái sau đo 1)

(|0) + |1)) |

2

√−1

|3)

(|0) + |1))

2

Nh vắy mđt thuắt toỏn long tu se gom ba bưóc chính:

1. Chuan b% trang thái đau cna thanh ghi |ψ0 ).
2. Thnc hi¾n phép bien đői unita |ψ) = U (|ψ0)).
3. Đo trên thanh ghi (con) đe nh¾n giá tr% tính tốn.


e cú mđt thuắt toỏn long tu cu the, phộp bien đői unita U se phai
đưoc tưịng minh boi m®t dãy các cőng lưong tu; cũng cho phép dùng
các phép đői đưoc xây dnng trưóc, xem như các chương trình con.
1.2.2 Mơ hình dây
M®t mơ hình trnc quan, đưoc giói thiắu boi Deutsch, oc

GQI

l mụ hỡnh

dõy, l mđt mụ hỡnh máy tính lưong tu đơn gian tương đương vói mơ hình
máy Turing lưong tu. Trong mơ hình này có nhieu dõy ắt song song nhau,
moi dõy bieu dien mđt thanh ghi, trên đó phép bien đői unita tác đ®ng lên
thanh ghi nào se đưoc gan lên dây tương úng. Như v¾y, bang cách gan tuan
tn các cőng lưong tu lên các dây, chúng ta xây dnng các phép bien đői unita
tác đ®ng trên nhieu qubit. So cőng dùng đe xây dnng m®t phép bien đői đưoc
GQI

là đ® phúc tap tính tốn. Cũng v¾y muon đo thanh ghi nào chúng ta gan

thiet b% đo lên dây tương úng.

Hình 1.2 Minh

HQA

thu¾t tốn lưong tu tőng qt (bang mơ hình dây).

Sau đây là mơ hình dây cua m®t so cong lưang tE

Hình 1.3 Cőng Hadamard.


Hình 1.4 Các cőng chuyen pha 1 và 2 qubit.

Hình 1.5 Các cőng Pauli.

Hình 1.6 Cőng CNOT.

Cài đ¾t các thu¾t tốn lưang tE
M®t trong nhung bài tốn chính cna tính tốn lưong tu là phân tích
phép bien đői unita U o trên thành các cőng lưong tu, trong đó phép bien
đői unita úng vói m®t cőng lưong tu đưoc xây dnng nhị vào tích tensor.