Luận văn thạc sĩ về ước lượng metric bergman

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

TONG VĂN QUÁN

VE ƯéC LƯeNG METRIC BERGMAN

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - Năm 2017


TONG VĂN QUÁN

VE ƯéC LƯeNG METRIC BERGMAN

Chuyên ngành: Toán giai tích
Mã so:

60460102

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC
TS. Ninh Văn Thu

Hà N®i - Năm 2017


3

Mnc lnc
Lài cam ơn

2

Danh mnc ký hi¾u

3

Ma đau

4

Chương 1. Kien thÉc chuan b%

6

1.1 Hàm chinh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Hàm đieu hịa, đa đieu hịa dưói . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Nhân Bergman, metric Bergman......................................................... 12

1.3.1

Nhân Bergman.......................................................................... 12

1.3.2

Metric Bergman........................................................................ 16

1.4

Các tính chat cna metric Bergman......................................................17

1.5

Hàm peak chinh hinh........................................................................... 19

1.6

Hàm peak đa đieu hịa dưói.................................................................19

1.7

Mien gia loi, gia loi ch¾t......................................................................... 19

Chương 2. Dáng đi¾u a biên cua metric Bergman
21
2.1 Dỏng iắu o biờn cna metric Bergman...............................................21
2.2
2.3
2.4

Mđt so ưóc lưong L2 cho tốn tu ∂........................................23
Chúng minh Đ%nh lý 2.1.5.....................................................................24
Chúng minh cho Đ%nh lý 2.1.1, 2.1.3....................................................26

2.5

Ví du và nh¾n xét................................................................................30

Ket lu¾n

33

Tài li¾u tham khao

34


Lài cam ơn
Lu¾n văn này đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nhi¾t tình và nghiêm
khac cna TS. Ninh Văn Thu. Thay đã dành nhieu thịi gian, cơng súc đe hưóng
dan cũng như giai đáp các thac mac cna tơi trong suot q trình làm lu¾n văn.
Tơi muon bày to lòng biet ơn sâu sac và chân thành đen thay.
Qua đây, tơi xin gui lịi cam ơn sâu sac tói q thay cơ Khoa Tốn - Cơ Tin HQc, Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, cũng
như các thay cơ tham gia giang day khóa cao HQc 2015 - 2017, đã có cơng lao
day do tơi trong suot q trình HQc t¾p tai Nhà trưịng.
Tơi xin cam ơn gia đình, ban bè và các ban đong nghi¾p thân men đã quan
tâm, tao đieu ki¾n và cő vũ, đ®ng viên tơi đe tơi hồn thành tot nhiắm vu cna
mỡnh.
Tụi xin chõn thnh cam n.

H nđi, tháng 11 năm 2017
Tác gia lu¾n văn

Tong Văn Quán


Danh mnc ký hi¾u
KΩ(Z)

Nhân Bergman

BΩ(z, X) Metric Bergman
ρ

Hàm peak đa đieu hịa dưói

L2(Ω)

T¾p các hàm bình phương kha tích trên Ω

ǁ·ǁ

Chuan L2

H2(Ω)
Khơng gian con các hàm chinh hình trong L2(Ω)
gΩ(z, w) Hàm Green đa cnc
H(Ω)

T¾p các hàm đieu hịa trên Ω

SH(Ω)

T¾p các hàm đieu hịa dưói trên Ω

PH(Ω)

T¾p các hàm đa đieu hịa trên Ω

PSH(Ω)

T¾p các hàm 2đa đieu hịa dưói trên Ω
∂u
Σnj,k=1
j
k
Lu(a; X) := ∂z ∂z
k (a)X X là dang Levi
j
D
:= B1 = {z ∈ C : |z| < 1} là đĩa đơn v%


Ma au
Cho l mđt mien b% chắn trong Cn, ký hi¾u KΩ(z) là nhân Bergman trên
Ω. Metric Bergman đưoc xác đ%nh boi
.
Xj
K
∂2Ωlog (z Xk Σ1/2

BΩ(z, X)
Σ
)
n
=
trong đó X
=

n

Σ

Xj∂/∂zj ∈ T

j=

j·k=1
1,0

∂zj∂zk
). Gan đây, ngưòi ta chi ra rang metric

(C

1
n

Bergman cna mđt mien siờu loi b% chắn tựy ý l ay đn. Đieu này tra lịi m®t
phan nhưng thoa đáng ve bài toán cő đien cna Kobayashi: Mien gia loi b% ch¾n
nào là Bergman đay đn? Van đe này đã đưoc nghiên cúu r®ng rãi. Tuy nhiên,

tính Bergman đay đn khơng đam bao rang metric Bergman dan đeu vô cnc khi
z dan tói biên.
M®t
hàm
ρΩ
đưoc
peakzhịa
đa đieu
hịa
dưói
m®ttuc
điem
biên w
cna
m®t
mien
neuGQI
ρ là0làhàm
đa cna
đieu
dưói
trong
Ω,tai
vói
ρ(w
)=
0 và
ρ(z)
<
vói

MQI
Ω\{w
M®t
cách
nhiên,
ta0
0
0 }. loi
hoi xem
liắu
Bergman
mđtmien
gia
b%liờn
chắn tn
cútrờn
dan eu
en
vụ
cnc
taimetric
mđt iem
biờn neu ton tai hm peak a ieu hũa dúi tai iem ny. Nđi dung chớnh cna
luắn văn này là đưa ra ket qua riêng như sau:
n
Cho
Ω l
mđt
gia
loi ieu

b% chắn
trong
v
cho
w0(z)
Gia
su
ton tai
mđt
peak
a
hũa so
dúi
C>
trong
cho
tai
w0 .
m
liờn
tuc
taivúi
whm
, mien
ngha
l,
ton
tai
hang
c,

0 sao
c|z
0MQI
wHolder
|
đúng
z
∈
Ω.
Khi
đó,
ta
có
0
inf
BΩ(z; X)
→∞
khi z → w0 trong
|X|
0ƒ=X∈T

Ω.
1,0

(Cn)

Ket qua trên đưoc trình bày trong bài báo “Boundary behavior of the
Bergman metric” cna B.-Y. Chen trên tap chí Nagoya Math. J., Vol. 168, pp.

27–40 [4], khang đ%nh metric Bergman cna m®t mien gia loi b% chắn dan eu
en vụ cnc tai mđt iem biên neu ton tai hàm peak đa đieu hịa dưói tai điem
này. Lu¾n văn “Ve ưóc lưong metric Bergman” trình bày lai ket qua trong bài
báo cna B.-Y. Chen.
Ngoài phan Mo đau, Ket lu¾n, Tài li¾u tham khao, lu¾n văn gom hai
chương.
Chương 1. Kien thÉc chuan b%. Trong chương này chúng tơi trình bày
các khái ni¾m cơ ban trong giai tích phúc bao gom các đ%nh nghĩa và m®t so
ví du ve hàm chinh hình, hàm song chinh hình, hàm đieu hòa, hàm đa đieu hòa,
nhân Bergman, metric Bergman, các tính chat cna metric Bergman, hàm peak
chinh hình, hàm peak đa đieu hịa dưói, mien gia loi, mien loi ch¾t.
Chương 2. Dáng đi¾u a biên cua metric Bergman. Chương này đưoc
giành đe trình bày ket qua ve dáng đi¾u o biên cna metric Bergman cùng vói
ket qua ve m®t so ưóc lưong L2 cho tốn tu ∂.
M¾c dù đã het súc co gang nhưng do van đe nghiên cúu khá phúc tap và
kinh nghi¾m nghiên cúu cịn han che nên lu¾n văn có the van cịn nhieu khiem
khuyet. Trong q trình ĐQc d%ch tài li¾u, viet lu¾n văn cũng như xu lý văn
ban chac chan không tránh khoi nhung sai sót nhat đ%nh. Tác gia rat mong
nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna q thay cơ và các ban đe lu¾n văn đưoc
hồn thi¾n hơn.


Chương 1
Kien thÉc chuan b%
Trong chương này chúng tơi trình bày các khái ni¾m cơ ban trong giai tích
phúc bao gom các đ%nh nghĩa và m®t so ví du ve hàm chinh hình, hàm song
chinh hình, hàm đieu hịa, hàm đa đieu hịa, nhân Bergman, metric Bergman,
các tính chat cna metric Bergman, hàm peak chinh hình, hàm peak đa đieu
hịa dưói, mien gia loi, mien loi ch¾t. Kien thúc cna Chương 1 đưoc tham khao
tù các tài li¾u [1, 2, 3].

1.1

Hm chinh hỡnh

Gia su l mđt mien cna mắt phang phúc C và f là hàm bien phúc z
= x+iy
xác đ%nh trong Ω.
Đ%nh
1.1.1 ([1]). Hàm f đưoc GQI là C-kha vi tai điem z0 ∈ Ω neu
ton tainghĩa
giói han
f J (z0
f (z0 + h) − f (z0)
) := lim
.
h →0
h
h=0

Trong trưịng hop này, ta nói rang f có đao hàm theo bien phúc tai điem z0.
Xét vi phân
df = ∂f dx ∂f dy.
(1.1)
+
∂y
∂x
Đoi vói các hàm z = x + iy và z = x − iy, ta có
dz = dx + idy, dz = dx − idy
và do đó

1
1
dx(dz
= −(dz
+
dz),
(1.2)
2 dz).
2i

dy =


The (1.2) vào (1.1), chúng ta thu đưoc h¾ thúc
1
∂f
Σ
df =
∂f
1
+i
Σdz.
−i
dz +
.
2
∂
∂f
x . ∂f

2 ∂
∂
∂
y
x
y
Bang cách đ¾t
∂f
∂f
1
1
Σ
∂f
+
i
Σ
=
=
.
.
−i
,
∂f
∂f
∂f
∂z
2 ∂x
∂z
2 ∂x
∂y

∂y
ta thu đưoc
∂f
Σ
∂f
− ∂f
=
∂f
.
∂f
=
∂f
∂
∂ +∂ , ∂ i
∂
∂
x
z
z
y
z
z
và ta có the viet bieu thúc vi phân (1.1) dưói dang
df = ∂f

∂f
dz
dz.
+
∂z

(1.3)

(1.4)

∂z
Đ%nh
lý 1.1.2 ([1]). Hàm f là C-kha vi tai m®t điem nào đó khi và chs khi
nó
là R2-kha vi tai điem đó và

∂f

= 0.
∂z
Đ%nh nghĩa 1.1.3 ([1]). Gia su D là m®t mien cna m¾t phang phúc C.
(i) Hàm
: Dlân
→ c¾n
C đưoc
chsnh
vi tai fm®t
nàoGQI
đó là
cnahàm
điem
z0. hình tai điem z0 neu nó là C-kha
(ii) Hàm f : D → C đưoc GQI là hàm chsnh hình trong mien D neu nó chinh
hình tai MQI điem cna mien ay. T¾p hop MQI hàm chinh hình trong mien
D đưoc ký hi¾u là O(D).

1
(iii)Hàm f (z) chsnh hình tai điem vơ cùng neu hàm ϕ(z) = f . Σ chinh hình
z
tai điem z = 0.
Ví dn 1.1.4. • Hàm f (z) = z là chinh hình trong t¾p mo bat kỳ trong
C, và f J (z) = 1.
n
ã ton
Hm bđ
a thỳc
k p(z)
mắt bat
phang
phỳc=va0 + a1z + · · · + anz chinh hình trong

pJ (z) = a1 + · · · + nan z n−1 .


Ví dn 1.1.5. Hàm f (z) = z khơng chinh hình. Th¾t v¾y, ta có
f (z0 + h) − f (z0) h
=
h
h
khơng có giói han khi h → 0 vì neu cho h dan tói 0 theo truc thnc và cho h
dan tói 0 theo truc ao ta thu đưoc hai giá tr% khác nhau.
Đ%nh lý 1.1.6 ([1]). Neu f và g là chsnh hình trong Ω thì:
(i) f + g là chsnh hình trong Ω và (f + g)J = f J + gJ.
(ii) fg là chsnh hình trong Ω và (fg)J = f J g + fg J .
(iii)Neu g(z0) ƒ= 0 thì f/g là chsnh hình tai z0 và

. f ΣJ (z

f J (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g J (z0 )
)=
.
0
g2(z0) thì quy tac đao hàm hàm
Ngoài ra, neu f : Ω → U
g và g : U → C chsnh hình
hap đúng
(gf )J (z) = g J (f (z))f J (z)

vái MQI z ∈ Ω.

Đ%nh nghĩa 1.1.7. Cho Ω và ΩJ là các mien cna m¾t phang phúc. Hàm
f : Ω → ΩJ đưoc GQI là song chinh hình neu nó là m®t song ánh chinh
hình tù Ω vào ΩJ . T¾p hop MQI hàm song chinh hình tù Ω vào ΩJ đưoc
ký hi¾u boi O(Ω, ΩJ ).

1.2

Hàm đieu hòa, đa đieu hòa dưái

Đ%nhGQI
nghĩa
1.2.1
Hàm mien
thnc Ωu(x,
y) đơn
tr% Ωtrong

Ω ⊂hàm
R2
đưoc
là hàm
đieu ([1]).
hịa trong
neu trong
mien
nó cómien
các đao
riêng
cap hai liên tuc và thoa mãn phương trình
∂2u ∂2u
∆u :=
+
= 0.
2 boi H(Ω)
T¾p hop các hàm đieu hịa trên Ω đưoc
hi¾u
∂x2ký ∂y

(1.5)

2
Ví
dn
1.2.2.
Hàm
(x, y) = tuc
ln(xtrên

+ y22) là hàm
đieu
R2\{(0,
2 hịa
0)}.
Th¾t
v¾y,
f f
(x,
0)},
các trên
đao hàm
riêng
liên
tuc:
∂f y) liên
2x
∂2fR \{(0,
2y2 −
2xcó

∂x

=

,
,
=
x2 + y2 ∂x2 (x2 + y2)2

∂f
và

∂y

∂2f

2y
=

,

x2 + y2

∂y2

2x2 − 2y2
=

(x2 + y2)2

∂2f

∂2f
∂x2

+

∂y2

= 0.

V¾y f (x, y) = ln(x2 + y2) là hàm đieu hòa trong R2\{(0, 0)}.
Đ%nh lý 1.2.3 ([1]). MQI hàm chsnh hình đeu là hàm đieu hịa.
Chúng minh. Th¾t v¾y, ta có tốn tu Laplace
∂2

∂2

∆=
+
.
∂x2 ∂y 2
Áp dung phép vi phân hình thúc
.∂
∂
∂
∂
∂
∂ Σ
=
i
=
+ ,
− ∂z
∂x
∂z
∂z
ta thu đưoc

∂z

∂y

∂2
Do đó phương trình
∆ (1.5)
= 4 có the ,đưoc
z = viet
x +dưói
iy, dang
z = x − iy.
∂z∂z
∂2
(1.6)
∂z∂z = 0.
∂f
∂
= 0. Áp dung phép vi phân
ta thu
Đieu này đúng vì f chinh hình
∂z
nên
đưoc (1.6).

∂z

H¾ qua 1.2.4 ([1]). Phan thnc và phan ao cua các hàm chsnh hình là đieu
hịa.

Ví dn 1.2.5. Tìm hàm đieu hịa dang

u = ϕ(x +

√

x2 + y2).

√

t thì
Giai.
hàm đieu
dang
tai
tìm khi
tù phương
J
Jxđã nêu
trình Neu
Laplace.
TaJhịa
đ¾t
+J tonx2
+ nóy2se đưoc
= t,
đó
ux = ϕ (t)tx = ϕ (t)√

x2 + y2

;


JJ

t2

JJ

uxx = ϕ (t)

J

x2 + y2

J

J

y2

J

+ ϕ (t) √
;
2
2
3
( x +y )

J

y

uy = ϕ (t)ty = ϕ (t)√
;
2
2
2
x +y 2
JJ

JJ

y

x
J
uyy = ϕ (t)

Tù đó,

JJ

JJ

x2 + y2

y 2 + t2

JJ

√

uxx + uyy = ϕ (t)

JJ

2

2

x 2 + y2

√

y + x + 2x

+ ϕ (t) √
.
2
2
3
( x +y )

J

+ ϕ (t)√

1

x2

+ y2

x2 + y 2 + x2 + y 2

ϕ (t)

√ x2 + y 2

=0

J

+ ϕ (t) = 0

ϕJJ (t)[2 x2 + y 2 + 2x] + ϕJ (t) = 0,
2ϕ(t)t + ϕ(t) = 0,
2ϕJJ (t) 1
= 0,
ϕJ (t)
t
+
1
2 ln ϕJ (t) + ln t = 2 ln C,
2
C
J

ϕ (t) =

√ ,
2 t

Như v¾y,
√
ϕ(t) = C t + C1.
u(x, y) = C .x + √x2 + y 2 + C1 .
Đ%nh nghĩa 1.2.6 ([1]). Neu các hàm đieu hịa u(x, y) và v(x, y) thoa
mãn các đieu ki¾n Cauchy-Riemann, túc là
∂u
∂x

=

∂v
,
∂y

Q

∂u

∂v
=− ,
∂y
∂x

thì hàm v(x, y) đưoc gQI là hàm đieu hịa liên hop vói u(x, y).
Đ%nh lý 1.2.7 ([1]). Đe m®t hàm là chsnh hình trong mien Ω đieu ki¾n can
và đu là phan ao cua nó là hàm đieu hịa liên hap vái phan thnc cua nó trong
mien Ω.


Đ%nh nghĩa 1.2.8. Gia su X là không gian tôpô. Hàm u : X → [−∞, +∞)
đưoc gQI là nua liên tnc trên trên X neu vói moi a ∈ R, t¾p
Xa = {x ∈ X : u(x) < a}
là mo trong X. Hàm v : X → [−∞, +∞) đưoc GQI là nua liên tnc dưái trên
X
neu −v là nua liên tuc trên trên X.
Đ%nh nghĩa 1.2.9 ([3]). Cho Ω ⊂ C là t¾p mo. Hàm u : Ω → [−∞, +∞) đưoc
GQI là đieu hòa dưái trong Ω neu:
• u là nua liên tuc trên trong Ω,
• vói moi mien S ⊂⊂ Ω và vói MQI hàm h ∈ C(S) ∩ H(S), neu u ≤ h
trên
∂S thì u ≤ h trong S.
T¾p các hàm đieu hịa dưói trong Ω đưoc ký hi¾u là SH(Ω).
Đ%nh nghĩa 1.2.10 ([3]). Cho Ω là t¾p con mo trong Cn. Hàm u ∈ C2(Ω, R)
đưoc gQI là đa đieu hòa trên Ω neu
∂ 2u
∂zj

∂z

(z) = 0, ∀z ∈ Ω, ∀j, k = 1, . . . , n.

(1.7)

k

T¾p các hàm đa đieu hịa trong Ω đưoc ký hi¾u là PH(Ω).
Nh¾n xét 1.2.11.
(a) Neu n = 1 thì PH(Ω) = H(Ω).
(b) PH(Ω) là m®t khơng gian vectơ.
(c) Đieu ki¾n (1.7) tương đương vói h¾ phương trình sau ∀z ∈ Ω, j, k =
1, . . . , n
(z)
(z)
(z)
(z) = 0.
2
2
2
2
∂ u =
∂ u ,
∂ u +
∂ u
∂x
∂x
∂x
∂ykj∂y
ykj∂
xkj∂
ykj ∂
Đ%nh nghĩa 1.2.12 ([3]). Cho Ω ⊂ Cn là t¾p mo. Hàm u : Ω → [−∞, +∞)
đưoc gQI là đa đieu hịa dưái trên Ω neu:

• u là nua liên tuc trên trên Ω,


• vói MQI c¾p điem a ∈ Ω, b ∈ Cn, hàm λ ›→ u(a + λb) là hàm đieu
hòa dưói ho¾c bang −∞ trên MQI thành phan liên thơng cna t¾p {λ ∈ C
: a + λb ∈ Ω}.
T¾p các hàm đa đieu hịa dưói trong Ω đưoc ký hiắu l PSH().
Ta cú mđt so tớnh chat cna hm đa đieu hịa dưói như sau.
M¾nh đe 1.2.13 ([3]). Cho u : Ω → [−∞, +∞) là nua liên tnc trên. Khi
đó, u ∈ PSH(Ω) khi và chs khi vái bat kỳ a ∈ Ω, X ∈ Cn, và r > 0 sao
cho a + rD · X ⊂ Ω, ta có
∫ 2π u(a + X)dθ.
1
reiθ
u(a) ≤
0
2π

1.3

Nhân Bergman, metric Bergman

1.3.1

Nhân Bergman

Cho M l mđt tắp tựy ý, ký hiắu Abb(M, C) là t¾p tat các hàm giá tr%
phúc trên M . Ngồi ra, gia su khơng gian con tuyen tính H ⊂ Abb(M, C) đưoc
trang b% m®t tích vơ hương (·, ·)H sao cho H tro thành m®t khơng gian
√ ǁxǁH := (x, x)H, x ∈ H.

Hilbert. Như thơng thưịng, ký hiắu
%nh ngha 1.3.1 ([2]). Hm K : M ì M → C đưoc GQi là hàm nhân cna
H
neu
(i) K(·, y) ∈ H, y ∈ M.
(ii) f (y) = (f, K(·, y))H ,

f ∈ H, y ∈ M.

Nh¾n xét 1.3.2 ([2]). Cho M, H xác đ%nh như bên trên và gia su K là m®t
hàm nhân cna H. Khi đó ta có các tính chat sau cna K:
H

(i) 0 < K(y, y) = ǁK(·, y)ǁ2 , y ∈ M.
(ii) K(x, y) = K(y, x),x, y ∈ M .
(iii) |K(x, y)|2 ≤ K(x, y)K(y, y),
(iv) |f (y)| ≤ ǁf ǁH

√

K(y, y),

x, y ∈ M .

f ∈ H, y ∈ M.


Tính chat (ii) kéo theo nhân đưoc xác đ%nh m®t cách duy nhat và tính chat
(iv) kéo theo tính liên tuc cna phiem hàm H s f → f (y) ∈ C (y ∈ H).
Bo đe 1.3.3 ([2]). Cho M và H như bên trên. Neu ta gia su rang bat kỳ phiem

hàm H s f → f (y) ∈ C, y ∈ M, liên tnc thì H có m®t nhân (duy nhat) K.
Chúng minh. Su dung đ%nh lý bieu dien Riesz.
2
Cho
Ω là
mien2b%
ch¾n trong
Cn . Ký hi¾u H 2 (Ω) là khơng
gian các 2
hàm
chinh
-kha
trong
là
hịađieu
dưói
vàhình
do đóLvói
B(z,tích
r) ⊂
Ω Ω. Nói riêng, vói f ∈ H (Ω), hàm |f |

1

∫|f (z) |2 ≤

|f |2 dλ.

λ(B(z, r))

B(z,r

)

Do đó

và

cn
|f (z)| ≤

ǁf ǁ
(dist(z, ∂Ω))2
sup |f | C(K, )f , K ô ,

(1.8)

2
trong
ú f
lhđi
chuan
L2 cna
. Tự õyvsuy
-hđi
tu trong
H2()
kộo
tớnh
tu eu

%a fphng,
doraútớnh
H2L
()
l khụng
gian
con
úngtheo
cna
L2().
Do vắy, H2() l mđt khụng gian Hilbert tách đưoc vói tích vơ hưóng
(f, g) = ∫ fgdλ.

Theo (1.8), vói w ∈ Ω co đ%nh, phiem hàm
Ω

H2(Ω) s f ›→ f (w) ∈ C
liênhi¾u
tuc. boi
Do K
đó,
theo
1.3.3 ton tai duy nhat m®t phan tu trong H2(Ω),
ký
w),Bő
saođecho
Ω(·,
hay tương đương

f (w)∫= (f, KΩ(·, w)),

f (w) =
Ω

f (z)KΩ(z, w)dλ(z),


vói MQI f ∈ H 2 (Ω).

KΩ : Ω × Ω → C

Hàm
đưoc gQI là nhân Bergman cna mien Ω.
Đ¾c bi¾t, vói f = KΩ(·, z) ta thu đưoc
KΩ(w, z) = (KΩ(·, z), KΩ(·, w)) = KΩ(z, w).
Cho
nênFK
(z,→
chinh
hình
theo
z và
Neu
:ΩΩ
là song
chinh
hình
thìkhơng
ánh
xachinh
Hartogs,

hàm
Kw)
(·,¯·)
chinh
hình
và
do
đó
KΩ
∈ C ∞hình
(Ω ×theo
Ω). w. Theo đ%nh lý
ΩD
H2(D) s f ›→ f ◦ F Jac F ∈ H2(Ω)
là m®t đang cau cna không gian Hilbert và
∫ f KD(·, F (w))dλ
f (F (w)) = = ∫
2
D
Ω f ◦ FK D (·, F (w)) ◦ F| Jac F| dλ.
Do v¾y,
KΩ(z, w) = KD(F (z), F (w)) Jac F (z)Jac F (w).
Ví dn 1.3.4. Trong đĩa đơn1v% O ta có
∫
f (0) =

Cho nên,

πr2

fdλ, f ∈ H2(O), r < 1.
O(0,

r)

∫

f (0) =
1

O

π

túc là

KO(·, 0) =

fdλ,
1

.
π
Vói bat kỳ w ∈ O ta su dung tn đang cau cna O
Tw(z) =
sao cho Tw−1 = T−w
J

z−w
1 − zw

,

1 − |w|2

và
Khi đó, theo (1.9),

Tw(z) =

(1 − zw)2

.

(1.9)


K (z, w) =
K
O

(z,
T−
O
w

(0)) =
K

(T (z), 0)T J (z)T J (w) =

O

w

w

1

.

π(1 − zw)2


Tőng qt hơn, vói hình cau đơn v% B trong Cn , tương tn ta có
1
KB(·, 0) = ,
λn
trong đó λn = λ(B) = πn/n!. Vói w ∈ B ta có the dùng tn đang cau cna B
.

√
trong đó sw =
Do đó,

Tw(z) =

(z,w)
−
1+s
w

1Σ w + swz
,
1 − (z, w)

1 − |w|2 . Khi đó Tw−1 = T−w
và
(1 − |w|2)(n+1)/2
Jac Tw(z)
=
.
(1 − (z, w))n+1
1

n
!

KB(z, w) =
λn

Jac Tw(z)Jac Tw(w) =

Neu {φk} là m®t cơ sơ trnc giao trong H2(Ω) thì

πn(1 − (z, w))n+1

.

Σ

f =

(f, φk)φk,

f ∈ H2(Ω),

k

và sn h®i tu cũng là sn h®i tu đeu đ%a phương. Cho nên
KΩ (z, w) =

Σ

(KΩ (·, w), φk )φk (z) =

k

và

Σ

φk (z)φk (w)

k

k |φk(z)|2.
KΩ(z, z) = Σ

Ví dn 1.3.5. Vói hình khun P = {r < |ζ| < 1} ta có vói j, k ∈ Z


j

∫

(ζ , ζ )
=

2π

∫

ei(j−k)t
j+k+1

1
0

r

ρ
ρ=

0,

(1 − r2j+2),

π

d

j ƒ= k
j=k

j+



ƒ= −1
−2π log r,

j = k = −1.

Do đó {ζ j }j∈Z là m®t cơ so trnc giao và ta thu đưoc
Σ j(zw)j 
1  1

KP (z, w) =
πzw

2 log(1/r)

+

.
j∈
Z

1−

(1.10)


Ta có the thu đưoc nhieu ví du khác tù cơng thúc nhân:

.

1
2
= K1 2
KΩ1×Ω2 (z Ω, z ), (w , w )

1
Σ (z
, Ω
w1)K
1

2

(z2, w2)

o đây Ω1 ⊂ Cn và Ω2 ⊂ Cm.
Trên đưịng chéo ta có
2
2
z) =(z,
ǁKz)
z)ǁ
=

sup{|f
(z)|
: ftrơn
∈ H 2 (Ω), ǁf ǁ ≤ 1}.
Ω (z,
Ω (·,
Ta
suyK
ra
log
hàmđa
đađieu
đieuhịa
hịa
dưói
Ω nó
minh
sau
đây K
rang
làlàhàm
dưói
manh.trong Ω. Ta se chúng

1.3.2

Metric Bergman

Ký hi¾u B2 là dangΣ
Levi

2 cna log KΩ(z, z), túc là
= ∂
2Ω
.
n ∂2(log KΩ(z,
X k , z ∈ Ω, X ∈ Cn.
z))
j,k=1
X
∂z jK∂z
BΩ(z; X) :=
log
k + ζX, z +
Ω(z
∂ζ∂ζ
j
Đ%nh lý 1.3.6 ([5]). Ta có
1
ζX).ζ=0

z)
∈H

Ω(z,

BΩ(z; X) =

sup{|fX (z)| : f

2

(Ω), ǁfǁ ≤ 1, f (z) =
0},

n

Σ

√
K
trong đó

fX =

∂f

j=1

Xj.
∂zj

Chúng minh. Co đ%nh z0 ∈ Ω, X ∈ Cn và đ¾t H := H2(Ω),
H J := {f ∈ H : f (z0 ) = 0}
H JJ := {f ∈ H J : fX (z0 ) = 0}.
Khi đó H JJ ⊂ H J ⊂ H và trong ca hai trưòng hop đoi chieu là 1. GQI φ0 , φ1 ,
...
là m®t cơ so trnc chuan trong H sao cho φ1 ∈ H J và φk ∈ H JJ vói k ≥ 2.
Do
kΩ = Σ p≥0 |φk2|Σ
, ta có

2
B (·, X) .
|
Ω

=

φ p|

Σ

Σ−1

|φp,X| − .
φ p|

Σ

2
p

2
p
p

|

Σ
2 −2
..

φp,Xφp. .

Σ
.

p

.


Do đó,
2

K0
(z00)|
, z 0) = |
φ
Ω(z

2

, BΩ
X)
=(z0,

|φ1,X (z0)|2

| (z )|2

.

φ0 0
Ta thu đưoc bat đang thúc ≤. Vói bat đang thúc ngưoc lai lay f ∈ H J
vói
ǁfǁ ≤ 1. Khi đó (f, φ0) = 0 và Σ
f =
(f, φp)φp.
p≥1

Do đó,

|fX (z
0 )| = |(f, φ1 )φ1,X (z0 )| ≤ |φ1,X (z0 )|
suy ra đieu phai chúng
minh.
Tù đó
suy ra Bđưịng
(z; X) >∈0 và
1cho nên log KΩ là đa đieu hòa dúi
manh.
cna
C
([0, 1],
metric
ny đ
l
Do ú nú
tiemmđt
nngl mđt metric

Kăahler
v ta)
GQI trong
l metric
Bergman.
di
1
B (γ(t), γ J (t))dt
l(γ) =
0

∫ boi
và khoang cách Bergman xác đ%nh
Ω

distB (z, w) = inf{l(γ) : γ ∈ C1([0, 1], Ω), γ(0) = z, γ(1) = w}.
Neu F : Ω → D là m®t song chinh hình thì
BΩ (z; X) = BD (F (z); F J (z).X)
và

distB (z, w) = distB (F (z), F (w)),
Ω

D

túc là metric Bergman là bat bien song chinh hình.

1.4

Các tính chat cua metric Bergman

Ta có m®t so tính chat cna metric Bergman như sau.
Tính chat 1.4.1 ([2]).

(i) BΩ(z; λZ) = |λ|BΩ(z; X), z ∈ C, X ∈ Cn,

(ii) BΩ(z; X1 + X2) ≤ BΩ(z; X1) + BΩ(z; X1), z ∈ Ω, X1, X2 ∈ Cn,


(iii) B : Jì CJJn .R+ liờn tuc.
ắt b (z , z ) := BΩ (z J , z JJ ), z J , z JJ ∈ Ω; bΩ đưoc GQI là gia khoang

Σ

cách
Bergman trên Ω.

(iv) bΩ liên tuc trên Ω × Ω.
Metric Bergman là bat bien dưói các ánh xa song chinh hình.
Đ%nh lý 1.4.2 ([2]). Neu F : G → D là m®t ánh xa song chsnh hình giua hai
mien G, D ⊂ Cn thì
(a) BD(F (z); F J (z)X) = BG(z; X), z ∈ G, X ∈ Cn,
(b) bD(F (zJ), F (zJJ)) = bB (zJ, zJJ), zJ, zJJ ∈ G.
Ví dn 1.4.3. Đ¾t
2 : (49/50)|z |2/3
2/5 + |z2|2 < 1},
G
:= {z ∈ C2
G1
+ (1/49)|z2|2 < 1}.

2 := {z ∈ C : (49/50)|z1
1|
G1, G2 là các mien Reinhardt. Boi vì

49(1 − (49/50)x

2/5

) ≥ 1 − (49/50)x

1

2/3

neu 0 ≤ x1 ≤ (50/49)3/2,

1

ta suy ra G1 ⊂ G2.
M¾t khác, ta có
3/2
5/2
z
G
GF
F32z)(D
vói
) Fvói
(zF12,(z
z1

=2((50/49)
)=
z 1,
21) =
2 1=(D
1).
2,) z
((50/49)
, 57z
1
2
Nên ta thu đưoc
7
2
(0; X) = (49/50)3 X
| 1 |2+ 5|X2|2,
BG1
2
2
2

Nói riêng,
B

X

G2

(0; X) =

11

(49/50)3
|

3

2

| + 5|X2| .

1

G
B1

7 49
11 49
(0; (1, 0)) = 2. .50 Σ3 < . 3. 50
Σ5 = B

G2 (0;

(1, 0)).


Mắnh e 1.4.4 ([2]). Ta cú
B1 ì2 ((z1 , z2 ); (X1 , X2 )) =
trong đó zj ∈ Ωj ⊂ Cnj s Xj .

√

BΩ1 (z1 ; X1 ) + BΩ2 (z2 ; X2 ),

Đ%nh lý 1.4.5 ([2]). Gia su Ω là mien trong Cn có tính chat KΩ(z, z) > 0, z ∈
Ω. Khi đó,
1
J
2
BΩ(z; X) =
√K
Ω
n X ∈
z ∈C
Ω,
.

(z, z)

sup{|f (z)X| : f ∈ Lh (Ω), ǁf ǁL2 (Ω) = 1, f (z) =

0},
H¾ qua 1.4.6 ([2]). Cho Ω như trong Đ%nh lý 1.4.5, z ∈ Ω. Khi đó BΩ(z; ·)
xác đ%nh dương khi và chs khi vái bat kỳ X ∈ Cn, X ƒ= 0, ton tai f ∈ L2h(Ω) vái
f J (z)X ƒ= 0.

1.5

Hàm peak chinh hinh

Cho Ω là m®t mien trong Cn có biên trơn (túc là, biên C∞). Neu 0 ≤ α ≤
∞
α hi¾u A(Ω) thay cho A0(Ω), ký hi¾u Aw(Ω) là khơng gian cỏc

trờn
.
Ta ký
ta
ký
hiắu
A
()trong
l khụng
cỏc hm
v thuđc
hm
chinh
hỡnh
mđt gian
lõn cắn
cna chinh
. Tahỡnh
núi trờn
rangiem
p ∈ lóp
∂ΩClà
m®t
điem peak liên ket vói Ω cna Aα(Ω) neu ton tai m®t hàm f ∈ Aα(Ω) sao
cho
f (p) = 1 và |f | < 1 trên Ω\{p}. Ta GQI f là hàm peak.

1.6

Hàm peak đa đieu hòa dưái

điem biên w0 cna m®t mien Ω neu ρ là đa đieu hịa dưói trong Ω, liên tuc
trên
m®tNhac lai rang m®t hàm ρ đưoc GQI là hàm peak đa đieu hịa dưói tai
Ω vói ρ(w0 ) = 0 và ρ(z) < 0 vói MQI z ∈ Ω\{w0 }.

1.7

Mien gia loi, gia loi ch¾t

Đ%nh nghĩa 1.7.1. Mien Ω ⊂ Cn vói biên trên lóp C 2 đưoc GQI là gia loi

tai
p ∈ ∂Ω neu ton tai hàm xác đ%nh biên ρ, túc là Ω ∩ U = {ρ < 0} vói U là
m®t


lân c¾n cna p, sao cho
L
Σ(p)(w) =

n

ρ

∂2ρ(p)

ww≥0
∂z i ∂z j

i j

i,j=

vói MQI w ∈ Cn thoa
mãn

1
n

Σ ∂ρ(p)
w
∂zj

= 0.

j=1 j

mCho
m mien Ω = {(z , z ) ∈ C2 : |z |2 + |z |2m < 2
∗1.7.2.
trong
đó
Ví
dn
2m
1 đ%nh

2gia biên
1
1
=∈
z
z
+
z
z
− 1 là
hàm
xác
cna .
Bang
tớnh
n
1
1
m
N
.
De
thay
mien
l
mđt
mien
loi. Thắt
vắy,
GQI 2

= toỏn
|z1 | 1},
+ |zgian
2|
ta

cú

2

2


2
= z1,
= 1,
∂z1
∂z1
∂z
1
∂ρ
m−1
∂2
m
ρ

2

2(m−1)

= m(z2 z2 ),
=
m
∂z ∂z
∂z2
|z2|
.
Khi đó ma tr¾n cna dang Levi tai (z1, z2) ∈ ∂Ω có dang
Σ1
0
2
0
m |z2|
2(m−1)
Σ.
Do ma tr¾n (1.11) xác đ%nh khơng âm nên Ω là mien gia loi.

(1.11)

Đ%nh nghĩa 1.7.3. Mien Ω ⊂ Cn đưoc GQI là gia loi ch¾t tai p ∈ ∂Ω neu Ω
gia loi tai p và neu ton tai hàm xác đ%nh biên ρ, túc là Ω ∩ U = {ρ < 0}
vúi U l mđt lõn cắn cna p, sao cho
L
(p)(w) = n ∂2ρ(p)w w > 0
ρ

∂z i ∂zj

i j

i,j=

vói MQI w Cn \{0} thoa món
n


1

(p)
w
zj

n
Vớ
dn 1.7.4.
CholoiBchắt.
= {z
l
mien gia
Bnmđt

j=1 j
Cn : |z1|2

= 0.

+ |z2|2 + · · · + |zn|2 < 1}. Khi đó,


Chng 2

Dỏng iắu a biờn cua metric
Bergman
cna metric
cựngevúi
ket by
quaket
ve qua
mđttrong
so ưóc
L2 đi¾u
cho tốn
tu
∂. Chương
nàyBergman
đưoc giành
trình
[4] lưong
ve dáng
o biên

2.1

Dáng đi¾u a biờn cua metric Bergman

w
.
Gia
su([4]).
ton
tai

mđt
hm
peak
aso
ieu
hũa
dỏi
trong
C
tain
wv
liờn
0 Holder
0
%nh
lý 2.1.1
Cho
ton
l mđt
mien
giac,loi
b%
chắn
trong
cho
tnc
tai
w
,
ngha

l,
tai
hang

>
0
sao
cho
(z)
c|z
0
w
|
ỳng0 vỏi MQI z ∈ Ω. Khi đó, ta có
inf
)

khi z → w0 trong
Ω.

BΩ(z; X)/|X| → ∞

(2.1)

0ƒ=X∈T (C

1,0

n

◦

H¾ qua 2.1.2 ([4]). Cho l mđt mien b% chắn trong C vỏi = Ω. Khi đó,
metric Bergman khơng the má r®ng đưac ra ngồi Ω.
Nhân Bergman và metric Bergman cna Ω\A có the đưoc mo r®ng thơng
qua A neu A là m®t đa tap con giai tích phúc có so chieu ≤ n − 1. Đoi vói bat
◦

kỳ mien gia loi Ω b% ch¾n trong Cn vói Ω = Ω, P. Flug đã chúng minh rang
nhân Bergman khơng the mo r®ng đưoc qua bat kỳ điem biên nào. Tuy nhiên,
hi¾n tưong này khơng ln xay ra đoi vói metric Bergman trong trưịng hop
n ◦≥ 2. Ví du, tam giác Hartogs Ω = {(z1, z2) ∈ C 2 : |z1| < |z2| < 1} thoa
mãn
Ω = Ω; tuy nhiên, ngưòi ta van biet rang metric Bergman có the thác trien