Luận văn thạc sĩ về ước lượng metric kobayashi

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

NGUYEN VĂN QUANG

VE ƯéC LƯeNG METRIC KOBAYASHI

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - Năm 2017


NGUYEN VĂN QUANG

VE ƯéC LƯeNG METRIC KOBAYASHI

Chuyên ngành: Toán giai tích
Mã so:

60460102

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC
TS. Ninh Văn Thu

Hà N®i - Năm 2017


3

Mnc lnc
Lài cam ơn

2

Danh mnc ký hi¾u

3

Lài nói đau

4

Chương 1. Kien thÉc chuan b%

6

1.1 Hàm chinh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Hàm đieu hòa, đa đieu hòa dưói . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Mien gia loi, gia loi ch¾t..................................................................11
1.4 Hàm Green, Green đa cnc..............................................................12
1.5 Kieu huu han, vơ han......................................................................13
1.6 Mien C-loi, C-loi hóa.......................................................................14
1.7 Metric Kobayashi, khoang cách Kobayashi.....................................14

Chương 2. So sánh hàm Green thEc vái hàm Green phÉc và ưác
lưang ch¾t cua khoang cách Kobayashi
19
2.1 Ký hi¾u và các đai lưong bő tro......................................................19
2.2 Ti so cna hàm Green.......................................................................20
2.3 C¾n trên cna hàm Lempert............................................................21
2.4 Ưóc lưong dưói cna khoang cách Kobayashi.................................24
2.5 Chúng minh cna Đ%nh lý 2.2.1, 2.2.2 và 2.2.3...............................27
Ket lu¾n

34

Tài li¾u tham khao

35


Lài cam ơn
Lu¾n văn này đưoc hồn thành tai trưịng Đai hQc Khoa hQc Tn nhiên, Đai
HQ c

Quoc gia Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS. Ninh Văn Thu. Nhân d%p này,

tơi cũng xin bày to lịng biet ơn sâu sac và chân thành nhat tói thay.
Thay đã dành nhieu thịi gian, cơng súc đe hưóng dan, kiem tra và giúp đõ tơi
hồn thành lu¾n văn này.
Tơi cũng xin gui lòi cam ơn đen lãnh đao và các thay cơ trong khoa Tốn Cơ - Tin HQc, trưịng Đai HQ c Khoa HQc Tn nhiên ve nhung kien thúc, nhung
đieu tot đep mà tơi đã nh¾n đưoc trong suot q trình HQc t¾p tai khoa. Tơi
cũng xin gui lịi cam ơn đen Phòng Sau Đai HQ c cna nhà trưịng đã tao đieu
ki¾n cho tơi hồn thành các thn tuc trong HQc t¾p và bao v¾ lu¾n văn này.

Cuoi cùng, tơi muon bày to lịng biet ơn đen gia đình, ngưịi thân và ban
bè. Nhung ngưịi ln bên canh đng viờn nng hđ tụi ca ve vắt chat v tinh
than trong cuđc song v HQ c tắp.
Mắc dự ban thân tơi đã có nhieu co gang nhưng ban lu¾n văn này van
khó tránh khoi nhung thieu sót. Vì v¾y, tơi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp
ý kien cna quý thay, cô và các ban.
Tôi xin chân thành cam n.
H nđi, thỏng 11 nm 2017
Tỏc gia luắn vn

Nguyờn Vn Quang


Danh mnc ký hi¾u
GD(z, w)

Hàm Green tai cnc w ∈ D

gD(z, w)

Hàm Green đa cnc tai cnc w ∈ D

SH−(D)

T¾p các hàm đieu hịa dưói trên D

PSH − (D)

T¾p các hàm đa đieu hịa dưói

trên D δD(z)

Khoang cách tù z tói biên D

lD(z, w)

Hàm Lempert

κD(z; X)

Metric Kobayashi-Royden

kD(z, w)

Khoang cách Kobayashi

O(E, G)

T¾p các ánh xa song chinh hình tù E vào G


Lài nói đau
Trong tốn HQ c và đ¾c bi¾t trong hình HQ c phúc, metric Kobayashi là m®t
gia metric liên quan tói đa tap phúc. Nó đưoc giói thi¾u boi Shoshichi
Kobayashi vào năm 1967. Đa tap hyperbolíc là m®t lóp quan TRQNG cna đa
tap phúc, xác đ%nh boi tính chat rang gia metric Kobayashi l mđt metric.
Cỏc khỏi niắm ban đau cna metric Kobayashi nam trong bő đe
Schwarz trong giai tích phúc. Cu the, neu f là m®t hàm chinh hình trên đĩa
đơn v% mo D trong t¾p so phúc C sao cho f (0) = 0 và |f (z)| < 1 vói MQI
z thu®c D thì đao hàm f J (0) có giá tr% tuy¾t đoi lón nhat bang 1. Tőng

qt hơn, vói ánh xa chinh hình f bat kỳ tù D vào chính nó (khơng nhat
thiet gui 0 vo 0), ton tai mđt cắn trờn phỳc tap hn cna đao hàm cna f
tai điem bat kỳ trong D. Tuy nhiên, c¾n này có cơng thúc đơn gian trong
metric Poincare, m®t metric Riemann đay đn trên D vói đ® cong bang −1.
Đieu này là khoi đau cho sn liên hắ giua giai tớch phỳc v hỡnh HQc vúi đ
cong âm. Vói bat kỳ khơng gian phúc X, gia metric Kobayashi kX đưoc đ%nh
nghĩa là gia metric lón nhat trên X sao cho
kX (f (x), f (y)) ≤ ρ(x, y),
vói MQI ánh xa chinh hình f tù đĩa đơn v% D lên X, trong đó ρ(x, y) ký
hi¾u khoang cách trong metric Poincare trên D. Theo m®t nghĩa nào đó, cơng
thúc này tőng qt hóa bő đe Schwarz cho tat các các khơng gian phúc. M®t
khơng gian phúc X đưoc GQI là hyperbolíc neu gia metric Kobayashi kX là m®t
metric, có nghĩa là kX (x, y) > 0 vói MQI x ƒ= y trong X.
Lý thuyet ve khoang cách Kobayashi càng ngày càng tro nên thú v% khi
có nhieu ví du ve đa tap hyperbolíc đưoc tìm ra cùng vói các tính chat giai
tích, tính chat tơpơ, ưóc lưong đánh giá cna gia khoang cách Kobayashi và
ánh xa chinh hình. Các ket qua trong nhung trưịng hop ngoai l¾ như trên
các đa tap


Banach giai tích, nhung khoi cau, mien Reinhardt, mien đoi xúng, nhung ánh
xa song chinh hình giua m®t vài dang cna nhung mien khơng gia loi vói biên
giai tích thnc.
Trong lu¾n văn này chúng tơi trình bày khái ni¾m gia khoang cách
Kobayashi và trình bày m®t so ket qua ve ưóc lưong ch¾t cna khoang cách
Kobayashi dna trên bài báo “Comparison of the real and the complex Green
functions, and sharp estimates of the Kobayashi distance” cna N. Nikolov và
P.J. Thomas đăng trên arXiv: 1608.06615v1 năm 2016.
Cu the, ngồi phan Lịi nói đau, Ket lu¾n và Tài li¾u tham khao, lu¾n
văn gom hai chương.

Chương 1: “Kien thúc chuan b%”. Trong chương này ta trình bày m®t so
kien thúc ve hàm chinh hình, hàm đieu hịa, hàm đa đieu hịa dưói, hàm
Green, hàm Green đa cnc, mien C-loi, C-loi hóa đưoc, gia khoang cách
Kobayashi, metric Kobayashi.
Chương 2: “So sánh hàm Green thnc vói hàm Green phúc và ưóc lưong
ch¾t cna khoang cách Kobayashi”. Trong chương này chúng tơi trình bày ve
ti so so sánh giua hàm Green thnc vói hàm Green phúc, sau đó chúng tơi
trình bày ưóc lưong c¾n trên cna hàm Lempert và ưóc lưong dưói cna
khoang cách Kobayashi
Vì trình đ cũn han che nờn luắn vn khụng the trỏnh khoi nhung sai sót,
tơi hy vQNG se nh¾n đưoc nhieu ý kien đóng góp tù các thay cơ giáo và ban ĐQ c
đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n hơn.


Chương 1
Kien thÉc chuan b%
Chương 1 trình bày m®t kien thúc chuan b% bao gom các đ%nh nghĩa
và m®t so ví du ve hàm chinh hình, hàm song chinh hình, hàm đieu hịa,
hàm đa đieu hịa dưói, hàm Green, hàm Green đa cnc, mien C-loi, C-loi hóa
đưoc, gia khoang cách Kobayashi, metric Kobayashi.

1.1

Hàm chinh hình

Gia su D là m®t mien cna m¾t phang phúc C và f là hàm bien phúc
z = x + iy xác đ%nh trong D.
Đ%nh
1.1.1 ([1]). Hàm f đưoc GQI là C-kha vi tai điem z0 ∈ D neu
ton tainghĩa

giói han
f (z 0 + h ) − f ( z 0 )
limh→0
.
h
hƒ=0

Trong trưịng hop này,
dfta nói rang f có đao hàm theo bien phúc tai điem z0 và
ký hi¾u là

) hay

(z0):
dz

f J(z0
f J (z ) = df
f (z0 + h) − f (z0)
.
0) = lim
(z
0

Xét vi phân

dz
df =

h→0

∂f

∂f

h

dx
dy.
+
∂y
∂x

Đoi vói các hàm z = x + iy và z = x − iy, ta có
dz = dx + idy, dz = dx − idy

(1.1)


và do đó, chúng ta thu đưoc
dx =

1

(dz + dz),dy =

1

(dz − dz).
2

2i
The (1.2) vào (1.1), ta thu đưoc h¾ thúc
1
∂f
Σ
df =
∂f
1 +i
Σdz.
−i
dz +
.
∂f 2 ∂ .
x ∂f
2 ∂
∂
∂
y
x
y
Bang cách
đ¾t
∂f
∂f
1
1
Σ
∂f
+
i

Σ
=
=
.
.
−i
,
∂f
∂f
∂f
∂z
2 ∂x
∂z
2 ∂x
∂y
∂y
ta thu đưoc
∂f
∂f
∂f
=
−
Σ
∂f
.
∂f
=
∂f
∂
∂ +∂ , ∂ i

∂
∂
x
z
z
y
z
z
và ta có the viet bieu thúc vi phân (1.1) dưói dang
df = ∂f

∂f
dz
dz.
+
∂z

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

∂z
Đ%nh lý 1.1.2 ([1]). Hàm f là C-kha vi tai m®t điem nào đó khi và chs khi nó
là R2-kha vi tai điem đó và

∂f

= 0.
∂z
Đ%nh nghĩa 1.1.3 ([1]). Gia su D l mđt mien cna mắt phang phỳc C.
(i) Hm
f : Dlõn
cắn
C oc
l hm
chsnh
vi tai mđt
no GQI
ú cna
iem
z0. hỡnh tai điem z0 neu nó là C-kha
(ii) Hàm f : D → C đưoc GQI là hàm chsnh hình trong mien D neu nó chinh
hình tai MQI điem cna mien ay. T¾p hop MQI hàm chinh hình trong mien
D đưoc ký hi¾u là O(D).
1
(iii) Hàm f (z) chsnh hình tai điem vô cùng neu hàm ϕ(z) = f . Σ chinh hình
tai điem z = 0.
z
Đ%nh nghĩa 1.1.4. Gia su D, E là các mien cna m¾t phang phúc. Hàm f
: E → D đưoc GQI là song chinh hình neu nó là m®t song ánh chinh hình tù
E vào D. T¾p hop các hàm song chinh hình tù E vo D oc ký hiắu l O(E,
D).
Vớ dn 1.1.5. Mđt so hàm chinh hình sơ cap là


• hàm đa thúc

P (z) √
= a0zn + a1zn−1 + · · · + an,
n
n
• hàm w = z và z
w, n ∈ N,
=
• hàm ez,
• hàm lơgarit,
• hàm lũy thùa zα, α ∈ R,
• hàm lưong giác sin z, cos z, tan z, cot z.
Đ%nh lý 1.1.6 ([1]). Neu f và g chsnh hình trong D thì:
(i) f + g chsnh hình trong D và (f + g)J = f J + gJ.
(ii) fg chsnh hình trong D và (fg) J = f J g + fg J .
(iii) Neu g(z0) 0 thì f/g chsnh hình tai z0 và
. f ΣJ (z
f J (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g J (z0 )
)=
.
g2(z0)
0
Đ%nh lý 1.1.7 ([1]). Neu
g f (w) là hàm chsnh hình trong mien E ⊂ C và
neu g : D → E là hàm chsnh hình trong mien D ⊂ C thì hàm hap f [g(z)]
chsnh hình trong D.
Chúng minh. Th¾t v¾y, de thay rang
∂[f (g)]
∂z
Theo gia thiet
D.

1.2

∂f
= 0,
∂w

∂f
=

∂g
∂w

∂f
·

∂z

+

∂w

∂g
·

∂z

.

∂g

= 0, ta suy ra f [g(z)] là hàm chinh hình trong
∂z

Hàm đieu hịa, đa đieu hịa dưái

Lóp hàm thnc liờn quan mđt cỏch chắt che vúi cỏc hm chinh hình là lóp
các hàm đieu hịa.


Đ%nh nghĩa 1.2.1 ([1]). Hàm thnc u(x, y) đơn tr% trong mien D ⊂ R2 đưoc
GQI là hàm đieu hòa trong mien D neu trong mien D nó có các đao hàm riêng
cap hai liên tuc và thoa mãn phương trình
∂2u

∂2u

∆u :=
+
= 0.
2
∂ylà
Lóp các hàm đieu hịa trên D đưoc∂x
ký2 hi¾u
H(D).

(1.6)

Ví dn
1.2.2.
(x, tuc:

y) = x2 − y2 là hàm đieu hịa trong R2 vì nó có
các
đao
hàmHàm
riêngf liên
∂f
∂ 2f
∂f
∂ 2f
= 2,
= −2y,
= −2
∂x2
∂y
∂y 2
∂2f
∂2f
∆f =
+
= 2 − 2 = 0.
∂x2 ∂y2
Ví dn 1.2.3. Hàm f (x, y) = ex sin y là hàm đieu hịa trong R2 vì nó có các
đao hàm riêng liên tuc thoa mãn
∂x

và

∂f
ex
∂x

=

sin
y,

= 2x,

∂2f

sin
y,

∂f
ex
∂y

x

∂x2

cos
y,

=

∂2f

sin y.

x

=

∂y 2

e

=

−e

Tù đó, chúng ta thu đưoc
∂2f
∂x
e

+
2

∂2f
∂y

x

=
2

x

sin
e y − sin y = 0.

Phương trình vi phân đao hàm riêng (1.6) đưoc GQI là phương trình Laplace
và tốn tu vi phân
∂2
∂2
∆=
+
∂x2 ∂y 2
đưoc GQi là toán tu Laplace. Bang cách áp dung phép vi phân hình thúc (1.4)
de dàng thay rang
∂2
∆ =(1.6)
4 có the
, z = x + iy, z = x − iy.
Do đó, phương trình
∂z∂z đưoc viet dưói dang
∂2
∂z∂z = 0.

(1.7)


Đ%nh lý 1.2.4 ([1]). MQI hàm chsnh hình đeu là hàm đieu hịa.
Chúng minh. Th¾t v¾y, MQI hàm chinh hình f đeu kha vi vô han lan và
theo Đ%nh lý 1.1.2, ta có
∂f
= 0.
∂z

2 =
∂
Do đó, ∆f
0.
=
f
∂z∂
z
Đ%nh nghĩa 1.2.5 ([1]). Neu các hàm đieu hòa u(x, y) và v(x, y) thoa mãn
các đieu ki¾n Cauchy-Riemann, túc là
∂u ∂v
∂u
∂v
=
,
=− ,
∂x ∂y ∂y
∂x
thì hàm v(x, y) đưoc gQI là hàm đieu hịa liên hop vói u(x, y).
Đ%nh lý 1.2.6 ([1]). Đe m®t hàm là chsnh hình trong mien D đieu ki¾n can
và đu là phan ao cua nó là hàm đieu hịa liên hap vái phan thnc cua nó trong
mien D.
Đ%nh nghĩa 1.2.7. Gia su X là không gian tôpô. Hàm u : X → [−∞, +∞)
đưoc gQI là nua liên tnc trên trên X neu vói moi a ∈ R, t¾p
Xa = {x ∈ X : u(x) < a}
là mo trong X. Hàm v : X → [−∞, +∞) đưoc GQI là nua liên tnc dưái trên X
neu −v là nua liên tuc trên trên X.
Đ%nh nghĩa 1.2.8 ([3]). Cho D ⊂ C là t¾p mo. Hàm u : D → [−∞, +∞)
đưoc gQI là đieu hịa dưái trong D neu:
• u là nua liên tuc trên trong D,

• vói moi mien S ⊂⊂ D và vói MQI hàm h ∈ C(S) ∩ H(S), neu u ≤ h trên
∂S thì u ≤ h trong S.
T¾p các hàm đieu hịa dưói trong D đưoc ký hi¾u là SH(D).
Đ%nh nghĩa 1.2.9 ([3]). Cho D là t¾p con mo trong Cn. Hàm u ∈ C2(D, R)
đưoc gQI là đa đieu hòa trên D neu
∂ 2u
∂zj ∂z (z) = 0, ∀z ∈ D, ∀j, k = 1, . . . , n.
k

(1.8)


T¾p các hàm đa đieu hịa trong D đưoc ký hi¾u là PH(D).


Nh¾n xét 1.2.10. (a) Neu n = 1, thì PH(D) = H(D).
(b) PH(D) l mđt khụng gian vect.
(c) ieu kiắn (1.8) tương đương vói h¾ phương trình sau
∂2
u

∂2
u

∂2
u

∂ 2u

(z) =

(z),
(z) +
(z) = 0, z ∈ D, j, k = 1, . . . ,
∂
∂y
∂y
∂x
∂y n.
∂
∂y
∂x
xj
k
x
j

k

j k

j

k

Đ%nh nghĩa 1.2.11 ([3]). Cho D ⊂ Cn là t¾p mo. Hàm u : D → [−∞, +∞)
đưoc gQI là đa đieu hòa dưái trên D neu:
• u là nua liên tuc trên trên D,
• vói MQI c¾p điem a ∈ D, b ∈ Cn, hàm λ ›→ u(a + λb) là hàm đieu
hịa dưói ho¾c bang −∞ trên MQI thành phan liên thơng cna t¾p {λ ∈
C : a + λb ∈ D}.

T¾p các hàm đa đieu hịa dưói trong D đưoc ký hi¾u là PSH(D).
Ví dn 1.2.12. Hàm u = x2 + y2 là hàm đa đieu hịa dưói.
M¾nh đe 1.2.13 ([3]). Tính đa đieu hịa dưái có tính chat đ%a phương, túc là
m®t hàm u : D → [−∞, +∞) là đa đieu hòa dưái trong D khi và chs
khi MQI điem a D nhắn mđt lõn cắn mỏ Ua D sao cho u|Ua ∈
P SH(Ua ).
M¾nh đe 1.2.14 ([3]). Cho u : D → [−∞, +∞) là nua liên tnc trên. Khi đó,
u ∈ PSH(D) khi và chs khi vái bat kỳ a ∈ D, X ∈ Cn, và r > 0 sao
cho a + rD · X ⊂ D, ta có
X)dθ.
∫
2π u(a +
1
u(a) ≤
0 reiθ
2π

1.3

Mien gia loi, gia loi ch¾t

Đ%nh nghĩa 1.3.1. Mien G ⊂ Cn vói biên trên lóp C 2 đưoc GQI là gia loi tai
p ∈ ∂G neu ton tai hàm xác đ%nh biên ρ, túc là G ∩ U = {ρ < 0} vói U l mđt
lõn cắn cna p, sao cho
n


L (p)(w) =

∂ 2ρ ( p )


ww≥0

∂zi∂
zj

i

j


n

vói MQI w ∈ Cn thoa
mãn

Σ∂ρ(p)
w∂zj

= 0.

j
j=1
m m

2m tốn

∗1 + z Cho
2 n
2m ú
1
z1Nz1.3.2.
z
1 lDhm
xỏc
biờn
cna
gian
Vớ
dn
mien
Dl =mđt
{(zmien
, z2gia
)
C2Thắt
: |zD.
|2Bang
+GQI
|z2
|tớnh
trong
1%nh
1vắy,
m=
. De thay
mien

loi.
=<
|z1 |1},
+ |z
−ta
2|
2 2
có

∂ρ= z1, ∂2ρ
= 1,
∂z1
∂z1
∂z
1
∂ρ
m−1
∂2
m
ρ

2

2(m−1)

= m(z2 z2 ),
=
∂z2 m
|z2|
.

∂z ∂z
Khi đó, ma tr¾n cna dang Levi tai (z1, z2) ∈ ∂D có dang
0
Σ1
2
0 m |z2|
2(m−1)
Σ.
Do ma tr¾n (1.9) xác đ%nh không âm nên D là mien gia loi.

(1.9)

Đ%nh nghĩa 1.3.3. Mien G ⊂ Cn đưoc GQI là gia loi ch¾t tai p ∈ ∂G neu
G gia loi tai p và neu ton tai hàm xác đ%nh biên ρ, túc là G ∩ U = {ρ <
0} vói U l mđt lõn cắn cna p, sao cho
L
(p)(w) = n ∂2ρ(p)
Σ
ww>0
ρ

∂z i ∂z j
vói MQI w ∈ Cn \{0} thoa món

i

j

i,j=
n

1

(p) j
zj w = 0.

j=1
n

l
mienCho
gia loi
Vớmđt
dn 1.3.4.
B chắt.
= {z ∈ C : |z1|2 + |z2|2 + · · · + |zn|2 < 1}. Khi đó, Bn
n

1.4

Hàm Green, Green đa cEc

n ∼
2n
Hai
loai
hàm
Green
có the

đưoc
đ%nh
nghĩa
trên
mien
D ⊂quan
C
R2n
,đa
n
=hàm
≥
2:
coi
là
mien
con
trong
R
,
và
hàm
Green
đa
cnc
liên
tói
đieu
hịa
loai

thơng
thưịng
liên
quan
tói
hàm
đieu
hịa
(ho¾c
đieu
hịa
dưói)
khi D đưoc dưói.


Đ%nh nghĩa 1.4.1 ([4]). Hàm Green thơng thưịng tai cnc w ∈ D ⊂ Rm,
m ≥ 3, ký hi¾u boi GD, đưoc xác đ%nh boi
GD(z, w) = sup{u(z) : u ∈ SH−(D), u = | · −w|−m+2 + O(1)}.
Đ%nh nghĩa 1.4.2 ([4]). Hàm Green đa cnc tai cnc w trong D ⊂ Cn, n ≥ 2,
ký hi¾u boi gD, đưoc xác đ%nh boi
gD(z, w) = sup{u(z) : u ∈ PSH−(D), u = log | · −w|−m+2 + O(1)}.
e đây SH−(D) và PSH−(D) lan lưot ký hi¾u hàm đieu hịa dưói và hàm
đa đieu hịa dưói trên D.
Laplacian
R2.
Chúthưịng
ý rang vói n = 1 cna
bài toán cnc tr%
thú hai cũng sinh ratrên
hàm Green thơng

Dáng đi¾u tương úng cna hai hàm này đưoc so sánh boi M. Carlehed và
B.-Y. Chen. Trong lu¾n văn này, chúng tơi trình bày lai ket qua mo r®ng cna
HQ

cho lóp mien r®ng hơn và đưa ra m®t so ưóc lưong cai tien cho nhieu bat

bien chinh hình như khoang cách Kobayashi trong lóp mien đó đưoc trình bày
trong bài báo [4].

1.5

Kieu hEu han, vơ han

Đ%nh nghĩa 1.5.1. M®t điem p ∈ ∂D đưoc GQI là điem tu quy đao neu ton
tai dãy {fj } ⊂ Aut(D) và ton tai q ∈ D sao cho fj (q) → p khi j → ∞.
Đ%nh nghĩa 1.5.2. Cho D ⊂ Cn là m®t mien trơn C ∞ và điem p ∈ ∂D. Khi
đó, kieu D’Angelo τ cna ∂D tai p đưoc đ%nh nghĩa như sau:
ν(ρ ◦ γ )
τ (∂D, p) := sup
,
(1.10)
ν(γ)
γ
trong đó ρ là m®t hàm xác đ%nh biên cho D trong mđt lõn cắn cna p,
supremum oc lay trờn tat ca các đưịng cong chinh hình khác hang γ :
(C, 0) → (Cn, p). Ta nói rang p là điem huu han neu τ (∂D, p) < ∞ và điem
vơ han neu ngưoc lai.
2
2
2m

Ví
1.5.3.
Cho
Drang
z2,) (1,
∈ C
+ |z
cókieu
the
chúng
minh
đưoc
(∂D
0)) :=|z
2m.
v¾y,
có Ta
biên
1,m
1,1,m
2| Vì
1| D<
1,m1}.
huudn
han
tai p
= (1,
0). =τ{(z

2

2

Ví dn 1.5.4. Cho D1,∞ = {(z1, z2) ∈ C : |z1| + e

−
|z2|2

1

< 1}. De thay,

τ (∂D1,∞, (1, 0)) = +∞. Vì v¾y, D1,∞ có biên kieu vơ han tai p = (1, 0).

1.6

Mien C-loi, C-loi hóa

Đ%nh nghĩa 1.6.1. M®t mien D đưoc GQI là C-loi neu bat kỳ giao khác
rong cna D vói m®t đưịng thang phúc là liên thơng và đơn liên.
Trong tính,
trưịng
hop
D b%
ch¾n
vàD,
C1ton
-trơn,
làphang

C-loi khi
vàHchiqua
khiznó
loi
tuyen
túc
là,
vói
bat
kỳ
z
∈/
tai D
siêu
phúc
sao
cho
D ∩ H = ∅.
Đ%nh nghĩa 1.6.2. Mien D đưoc GQI là C-loi hóa đưac neu D là song
chinh hình vói m®t mien C-loi.
Đ%nh nghĩa 1.6.3. Mien D là C-loi hóa đưac đ%a phương neu vói bat kỳ
a ∈ ∂D, ton tai lõn cắn U cna a v mđt phộp nhỳng chinh hình Φ : U → Cn
sao cho Φ(D ∩ U ) là mien C-loi.

1.7

Metric Kobayashi, khoang cách Kobayashi

Đ%nh nghĩa 1.7.1. Khoang cỏch d trờn tắp X l mđt hm
d:XìXR

(x, y) ›→ d(x, y)
thoa mãn các đieu ki¾n sau vói MQI x, y, z thu®c X:
(i) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) > 0 ∀x ƒ= y;
(ii) d(x, y) = d(y, x);
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Neu d chi thoa mãn (ii), (iii) và d(x, y) ≥ 0 thì d đưoc GQI là gia
khoang cách trên X.
Trong phan này ta se nghiên cúu tính chat hình HQ c cna khơng gian (G,
dG ), trong đó dG là m®t gia khoang cách thích hop trên G. Gia
khoang cách


Kobayashi là m®t lna cHQN huu ích đe nghiên cúu. Ta ln gia su rang
bat kỳ h¾ như trên là giam chinh hình theo nghĩa rang MQI ánh xa chinh
hình là giam chinh hình:
Đ%nh nghĩa 1.7.2 ([2]). Cho hai mien G ⊂ Cn, D ⊂ Cm. Ánh xa chinh hình
F : G → D đưoc gQI là giam chsnh hình tù (G, dG ) vào (D, dD ) neu
dD (F (z J ), F (z JJ )) ≤ dG (z J , z JJ ),

z J , z JJ ∈ G.

Nói riêng, bat kỳ ánh xa song chinh hình F : G → D là m®t đang cn giua
(G, dG) và (D, dD).
, Ω2đơn
) là v%
khơng
tat ca
ánh gia
xa chinh
hình

F : trờn
1
2.
Ký hiắu
hiắu O(
Dkhi
l1a
a
mo gian
trong
dDcỏc
l
mđt
khoang
cỏch
D.Ký
Trúc
%nh
ngha
chớnhC,thỳc
cna
gia khoang
cỏch
Kobayashi,
ta cú
nhắn xột sau.
J
JJ
Nhắn
xột

1.7.3.
G
l tai
mien
batũng
k trong
Cnαvà: co
đ%nh
haiGđiem
z0các
,
J G.
JJ KhiCho
z
trong
đó,
ton
m®t
cong
[0,
1]
→
noi
điem
z0 :, [0,
z0 1]
. Su
đ%nh lý xap xi Weierstrass ta tìm ánh xa đa
0
thúc

P
→ dung
G
vói P (0) = z0J và P (1) = z0JJ . Khi đó, de cHQN đưoc mien đơn liên D ⊂ C,

[0,
1] ⊂ D,
sao
cho
P (λ) ∈ G vói J λ ∈ JJD. Theo ngun lý ánh xa
Riemann
ta =
cózthe
J ket lu¾n rang z0 , z0 nam trên m®t đĩa giai tích ϕ : D →
G vói ϕ(0)
0
và ϕ(σ) = z0JJ (0 ≤ σ < 1).
Cho z J , z JJ ∈ G, đ¾t
k˜G (z J , z JJ ) = inf{p(λJ , λJJ ) : λJ , λJJ ∈ D, ∃ϕ ∈ O(D, G), ϕ(λJ ) = z J , ϕ(λJJ ) =
z JJ }
= inf{p(0, λJJ ) : λJJ ∈ D, ∃ϕ ∈ O(D¯ , G), ϕ(0) = z J , ϕ(λJJ ) = z JJ },
k˜∗ = tanh k˜G ,
G

và ta GQI k˜G là hàm Lempert cna G.
Nh¾n xét 1.7.4 ([2]). (a)

k˜G : G × G → [0, ∞) là hàm đoi xúng;

(b) (k˜G )G là HQ giam chinh hình, túc là neu F ∈ O(G, D) thì k˜D (F (z J ), F (z JJ )) ≤

k˜G (z J , z JJ ), z J , z JJ ∈ G;
(c) đ¾t bi¾t, ta có k˜D (F (z J ), F (z JJ )) = k˜G (z J , z JJ ) neu F : G → D là
ánh xa song chinh hình;


(d) k˜D = p.
Tóm tat lai, neu có lóp (dG)G các hàm dG : G × G → [0, ∞) giam
chinh hình vói dD = p thì
dG ≤ k˜G .
Nhưng o đây, nói chung hàm Lempert khơng phai m®t gia khoang cách.
Ví dn 1.7.5. Vói v ∈ N đ%nh nghĩa mien Gv ⊂ C2 boi
, ) ∈ C2 : | | < 1, j = 1,

Gv :=
{(z1

z2 zj
J

1

z2| <

v

}.

2, |z1
JJ

Ngoài ra, co đ%nh z := (1/2, 0) và z = (0, 1/2) và chú ý rang các điem này
đeu nam trong Gv . Do tính giam chinh hình cna h¾ (k˜G ) ta de dàng thu đưoc
k˜G

(z J , 0) +
v
k˜G

1
(0, z JJ )≤ 2p(0, ) =: A.
v
2

Neu ta gia su có bat đang thúc tam giác
k˜Gv (z J , z JJ ) ≤ k˜Gv (z J , 0) + k˜Gv (0, z JJ ),
thì ta có the tìm đưoc các ánh xa chinh hình ϕv ∈ O(E, Gv) sao cho
ϕv (0) = z J , ϕv (σv ) = z JJ vói 0 < σv < 1, và p(0, σv ) < A + 1.
Áp dung đ%nh lý Montel, ta có the gia su rang
ϕv ⇒

K

ϕ, ϕ(0) = z J , ϕ(σ) = z JJ vói σ = σv ∈ [0, 1).
lim
v→∞

Viet ϕ = (g, h) và vì ϕv ∈ O(E, Gv), ta suy ra
g ◦ h ≡ 0, g(0) =

1

2

1
, và h(σ) =

2

,

mâu thuan. Do đó, vói v đn lón thì bat đang thúc tam giác khơng đúng
vói hàm Lempert k˜Gv .
Nh¾n xét 1.7.6 ([2]). Tuy nhiên, trong trưàng hap G ⊂ Cn là t¾p loi, bat đang
thúc tam giác luôn luôn đúng đoi vái hàm Lempert k˜G . õy l hắ qua cua mđt

ket qua rat sõu cua L. Lempert, cn the k˜G = cG trên các mien G loi. Ngồi ra,
ta cũng có the chúng minh trnc tiep ket qua này.


Đe vưot qua khó khăn ve bat đang thúc tam giác, ta chinh sua hàm k˜G
theo cách mà hàm mói tro thành m®t gia khoang cách.
Vói z J , z JJ ∈ G, ta đ¾t


 ,
 N k˜ (z , z ) : N ∈ N, z = z J , z , . . . , z
∈
j−1
j
0
1

G
N
−1

Σ
J
JJ
JJ
kG (z , z ) := 
G, zN = z
j=

inf

1

kG∗ := tanh kG.
Hàm kG đưoc gQI là gia khoang cách Kobayashi cna G.
Nh¾n xét 1.7.7 ([2]). Các tính chat sau đúng cho h¾ (kG)G:
(a) kG là hàm non lón nhat thoa mãn bat đang thúc tam giác và kG ≤ k˜G ;
(b) kG là m®t gia khoang cách trên G;
(c) neu F ∈ O(G, D) thì kD(F (zJ), F (zJJ)) ≤ kG(zJ, zJJ), túc là h¾ (kG)G
giam chinh hình;
(d) kD = k˜D = p.
(e) Th¾m chí ta có: neu (dG)G là h¾ các gia khoang cách dG : G× G → [0, ∞)
có tính chat (c) và (d) thì dG ≤ kG.
Ví dn 1.7.8. Cho q là m®t nua chuan trên Cn. Ký hi¾u G = {z ∈ Cn : q(z)
< 1} là q-hình cau đơn v% mo. Vói z ∈ G, ta khang đ%nh rang các công
thúc sau là đúng
kG (0, z) = k˜G (0, z) = p(0, q(z)).

Đe chúng minh các đang thúc này ta su dung công thúc tương tn cho gia
khoang cách Carathéodory. Tù đó, ta chi can kiem tra rang k˜G (0, z) ≤
p(0, q(z)). Neu q(z) ƒ= 0, đ¾t ϕ(λ) := λz/q(z) ta thu đưoc đĩa giai
tích ϕ ∈ O(E, G) vói ϕ(0) = 0 và ϕ(q(z)) = z, đieu này kéo theo k˜ (0,
z) ≤ p(0, q(z)). Trong trưòng hop q(z) = 0 ta xét HQ các đĩa giai tích ϕt
∈ O(E, G), ϕt := λtz vói t > 0,
ϕt(0) = 0 và ϕt(1/t) = z. Do đó ta thu đưoc
t → ∞.

k˜G (0, z) ≤ p(0, 1/t) → 0 khi

Ví dn 1.7.9 ([2]). (a) kDn (0, z) = k˜Dn (0, z) = max{p(0, |zj |) : 1 ≤ j ≤ n},


(b) kBn (0, z) = k˜Bn (0, z) = p(0, ǁzǁ), trong đó Bn = B(0, 1)
⊂C
n

là hình cau

đơn v% trong Cn.
Hắ qua 1.7.10 ([2]). Hm kG : G ì G → [0, ∞) liên tnc.
Chúng
theo
bat
đang
thúc
tamĐe
giác
ta chi

G
liên0Dna
tuc
z0 và
∈đánh
G co
đ%nh.
thay
đieucan
này,chita ra
laykGw(z00,∈·) G:
+B(w
và →
wR
∈minh.
, R)vói
⊂
G
giá
|kG(z0, w) − kG(z0, w0)| ≤ kG(w0, w)
≤ kB
(w , R)
0

, w) = p(0,

ǁw − w0ǁ
R
R

)

(w0

≤ Cǁw − w0ǁ neu ǁw − w0ǁ <

.
2
phép
nhúng
R) chinh
→ hình
G cna gia
và khoang
Ví cách
du
0, tính giam
1.7.9.
e đây
ta đã suB(w
dung
Kobayashi
qua
Cho G là m®t mien trong Cn. Hàm ξG : G × Cn → [0, ∞) xác đ%nh boi
ξG (z; X) := inf{γ(λ)|α| : ∃ϕ ∈ O(E, G), ∃λ ∈ E, ϕ(λ) = z, αϕJ (λ) = X}
đưoc gQI là gia khoang cách Kobayashi-Royden trên G.


Chương 2
So sánh hàm Green thEc vái hàm

Green phÉc và ưác lưang ch¾t cua
khoang cách Kobayashi
Trong chương này chúng tơi trình bày ve ti so so sánh giua hàm Green
thnc vói hàm Green phúc. Sau đó, chúng tơi trình bày các ket qua ve ưóc
lưong c¾n trên cna hàm Lempert cùng vói m®t so ket qua ve ưóc lưong
dưói cna khoang cách Kobayashi. Các ket qua trong Chương 2 chn yeu
đưoc trích dan tù bài báo [4].

2.1

Ký hi¾u và các đai lưang bo tra

Ta se su dung m®t cách có h¾ thong các ký hi¾u sau: A “ B nghĩa là
ton tai m®t hang so C > 0 sao cho A ≥ CB, A ≈ B nghĩa là A “ B và B “
A, và A ∼ B nghĩa là A/B → 1. Các hang so phu thu®c đieu gì và giói han
đưoc lay theo nghĩa nào se đưoc làm rõ sau.
Hàm Green mà chúng ta khao sát nh¾n giá tr% âm, và khi ∂D đn trơn,
hàm Green dan ve 0 tai biên. M®t hàm đa đieu hịa dưói âm thơng thưịng là
log |f |, trong đó f là hàm chinh hình, b% ch¾n boi 1, nên đe cho đơn gian
ta xét egD . Vi¾c
−1 .
−1 egp
D trong đĩa đơn v% D, p(w, z) = tanh
khaocho
sát vi¾c
khoang
cách
thu¾n ti¾n
giúp
khao

sátPoincare
tanh
hơn.
Quy ưóc: Cho hàm liên tuc bat kỳ f : D → (−∞, 0), ta viet

1−z z−w

f ∗ := ef . Do đó, f ∗ : D → (0, 1).

.,


˜

−1

−1 f

1

1 + ef

∗

Do
tanhf := tanh f =

e =

2

log

1 − ef

˜
, nên f : D → (0, ∞). Ngưoc

˜

e2f − 1
∗
˜
lai, f ∗ = tanh f˜ 1
e2f + , và f = log f . Tính tốn thơng thưịng, ta nh¾n
=
đưoc bő đe sau đây:
Bo đe 2.1.1 ([4]). (i) Gia su rang f → 0− , hay tương đương f ∗ → 1− ,
hay tương đương
f˜ → ∞. Khi đó, 1 − f ∗ ∼ −f, f˜ ∼2 − 1 log(−f ), và
˜
f ∼−

. Nói riêng, neu f˜ = log t thì f ∼t2 −

2

.

−2f

(ii) Gia2e
su f → −∞, hay tương đương f ∗ → 0+ , hay tương

f˜ → 0+.

đương
Khi đó, f˜ ∼ f ∗ và f = log f˜ + O(1).

2.2

Ti so cua hàm Green

Ket qua chính đau tiờn cna luắn vn l mo rđng cho trũng hop mien Cloi hóa đưoc đ%a phương cna m®t đ%nh lý chúng minh cho trưịng hop
mien loi hóa đưoc đ%a phương [3, %nh lý 1].
2m
n
%nh
lý 2.2.1.
C
mđt
chắn,
%a phng
kieuCho
2m.DKhi
ú, lton
taimien
C >b%
0 sao
choC -trn, C-loi hóa đưac đ
gD(z, w)

GD(z, w)
≤ C|z − w|2(n−2m), z, w ∈ D, z ƒ= w.

Vói z ∈ D, đ¾t δD (z) := min{|z − w| : w ∈/ D} (khoang cách tói biên).
Bat tai
kỳ
-trơn
Dvói
đưoc
GQI
đat
reach),
neu
ton
δmien
> C 1,1
0∈sao
bat
kỳπ(z)|
zlà ∈
vóidương
δ (z)(positive
< δ0 , ton
tai duy
0 π(z)
nhat
điem
∂Dcho
sao
cho

|z −
=Dδtái
D (z). D
Nhac lai ưóc lưong sau cna GD, khi D là mien b% ch¾n, C1,1-trơn trong Rn,
n ≥ 3:
δD(z)δD(w)
1
c1 GD (z, w) ≤ − min .
,
Σ ≤ 2c DG (z, w), (2.1)
|z −
|z − w|
w|n
trong đó c1, c2 > 0 là hang so, và z, w ∈ D.
Chúng minh cna Đ%nh lý 2.2.1 se dna trên bat đang thúc thú hai trong (2.1),
và ưóc lưong chính xác sau cna hàm Green đa cnc gD mà de b% hong
trong ca hai trưòng hop cnc tr%: gD → 0 và gD → −∞.