Luận văn thạc sĩ về hàm triệt tiêu cấp vô hạn

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

NGUYEN TH± THU HÀ

VE HÀM TRIfiT TIÊU CAP VƠ HAN

LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - 2016


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

NGUYEN TH± THU HÀ

VE HÀM TRIfiT TIÊU CAP VÔ HAN

Chuyên ngành:

PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP

Mã so:

60460113

LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:
TS. NINH VĂN THU


LèI CAM ƠN
Lu¾n văn này đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna TS. Ninh Văn Thu.
Nhân d%p này, tơi cũng xin bày to lòng biet ơn sâu sac và chân thành nhat tói
Thay. Ngưịi đã cho tơi biet muon làm khoa HQc thì phai HQc, phai ĐQc như the
nào. Đưoc làm vi¾c dưói sn hưóng dan cna Thay, tơi thay mình trưong thành
hơn rat nhieu. Thay cũng là Ngưịi đã dành nhieu thịi gian, cơng súc đe hưóng
dan, kiem tra và giúp đõ tơi hồn thành lu¾n văn này.
Tơi cũng xin gui lòi cam ơn đen lãnh đao và các thay cơ trong khoa Tốn Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i ve
nhung kien thúc, nhung đieu tot đep mà tơi đã nh¾n đưoc trong suot q trình
HQc t¾p tai Khoa. Tơi cũng xin gui lịi cam ơn đen Phịng Sau Đai HQc cna nhà
trưịng đã tao đieu ki¾n cho tơi hồn thành các thn tuc trong HQc t¾p và bao v¾
lu¾n văn này.
Cuoi cùng, tơi muon bày to lịng biet ơn đen gia đình, ngưịi thân và ban bè.
Nhung ngưịi ln bên canh đ®ng viên nng h® tơi ca ve vắt chat v tinh than
trong cuđc song v HQc t¾p.
M¾c dù ban thân tơi đã có nhieu co gang nhưng ban lu¾n văn này van
khó tránh khoi nhung thieu sót. Vì v¾y, tơi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp
ý kien cna q thay, cơ và các ban.

Hà N®i, ngày 24 tháng 10 năm 2016

Nguyen Th% Thu Hà

1

Mnc lnc
1 Tính duy nhat biên cua ánh xa chinh hỡnh
4
1.1 Mđt so khỏi niắm trong giai tớch phỳc.............................................4
1.1.1 Khỏi ni¾m hàm chinh hình....................................................4
1.1.2 Khái ni¾m ve chi so cna đưịng cong...................................4
1.2 Khái ni¾m hàm tri¾t tiêu cap vơ han...............................................5
1.3 Gia thuyet Huang, Krantz, Ma và Pan..............................................6
1.4 M®t so đ%nh nghĩa và bő đe kĩ thu¾t.............................................6
1.5 Tính duy nhat biên cna ỏnh xa chinh hỡnh.....................................12
2 Mđt so lỏp hm triắt tiêu cap vơ han và Éng dnng
14
2.1 M®t so ket qua bő tro.....................................................................14
2.2 Sn khơng ton tai trưịng vectơ chinh hình tiep xúc.........................19
2.2.1 Các bő đe kĩ thu¾t..............................................................20
2.2.2 Chúng minh Đ%nh lí 2.1.....................................................21


Danh mnc cỏc kớ hiắu
ã P (z) := Pz(z)
=
J

P
z

(z): ao hàm theo bien z cna hàm P .

• ∆r := {z ∈ C : |z| < r} vói r > 0 và ∆ = ∆1.
• ∆˜ r := {z2 ∈ ∆r : P (z2 ) ƒ= 0} vói r > 0.

ã Kớ hiắu v : Kớ hiắu bat ang thỳc sai khỏc mđt hang so dng.
ã Kớ hiắu ket hop hai kớ hiắu v .
ã Ck(): Khụng gian các hàm kha vi đen cap k trên mien Ω ⊂ Cn;
• C∞(Ω): Khơng gian các hàm kha vi cap vơ han (hàm nhan) trên mien
Ω ⊂ Cn;

• ΓC := {z ∈ C : |Im(z)| ≤ C|Re(z)|}, C > 0;
• Γ∞ := {z ∈ C : Re(z) ƒ= 0} ∪ {0};
• ∆+ := {z ∈ C : |z| < 1, Im(z) > 0};
• ∆+ := {z ∈ C : |z| ≤ 1, Im(z) ≥ 0};
• Hol(∆+ ) := {f : ∆+ → C}, trong đó f là hàm chinh hình;
• R+ := {x ∈ R : x > 0};
• I(r) := Ind(f ◦ γr) (r > 0), o đó γr := {z ∈ C : |z| = r, Im(z) ≥ 0}.
Đ¾t f, g : A → C là các hàm xác đ%nh trên A ⊂ C vói 0 ∈ A sao cho
limz→0 f (z) = limz→0 g(z) = 0. Chúng ta viet:
• f ∼ g tai 0 trên A neu limz→0 f (z)/g(z) = 1;
• f ≈ g tai 0 trên A neu vói C > 0 thì 1/C|g(z)| ≤ |f (z)| ≤ C|g(z)| vói
MQI

z ∈ A.
2


Ma đau
Trong giai tích thnc, chúng ta đã biet hàm f : R → R xác đ%nh boi

ex2
neu x ƒ= 0
f (x) =

−

1

0

neu x = 0

kha vi cap vô han trên R và f (n) (0) = 0 vói MQI n ∈ N. Tuy nhiên, hàm f
không khai trien đưoc thành chuoi Taylor tai điem 0. Nhung hàm so như trên
đưoc GQI là các hàm tri¾t tiêu cap vơ han.
Muc ớch cna bi luắn vn l nghiờn cỳu mđt so tính chat cna lóp các hàm so
tri¾t tiêu cap vơ han và úng dung cna chúng trong bài toán ve sn ton tai trưịng
vectơ chinh hình tiep xúc. Lu¾n văn trình bày lai m®t so ket qua trong
bài báo"A note on uniqueness boundary of holomorphic mappings" cna các tác
gia Ninh Văn Thu, Nguyen NGQc Khanh ([8]) và tien an pham"On the
nonexistence of nontrivial tangential holomorphic vector fields of a certain
hypersurface of infinite type" cna tác gia Ninh Văn Thu ([9]).
Bo cuc bài lu¾n văn gom hai chương:
Chương I: Tính duy nhat biên cna ánh xa chinh hình.
N®i dung cna chương này là trình bày m®t so kien thúc cơ ban cna giai
tích phúc như khái ni¾m hàm chinh hình, chi so cna đưịng cong, khái ni¾m
ve hàm tri¾t tiêu cap vơ han. Ngồi ra, chúng tơi cịn giói thi¾u gia thuyet
cna Huang, Krantz, Ma, Pan ([4]) và chúng minh đ%nh lí ve tính duy nhat
biên cna ánh xa chinh hình.
Chương II: Mđt so lúp hm triắt tiờu cap vụ han và úng dung.
Trong chương này, chúng tơi trình bày khái ni¾m hàm thoa mãn đieu
ki¾n (I), các bő đe kĩ thu¾t và úng dung cna lóp các hàm tri¾t tiêu cap vơ
han trong chúng minh sn khơng ton tai trưịng vectơ chinh hình khơng tam
thưịng tiep xúc vói siêu m¾t kieu vô han trong C2.

Chương 1

Tính duy nhat biên cua ánh xa
chinh hình
1.1
1.1.1

M®t so khái ni¾m trong giai tích phÉc
Khái ni¾m hàm chinh hình

Gia su Ω là mien cna m¾t phang phúc C và f là hàm bien phúc z = x + iy
xác đ%nh trong Ω.
Đ%nh nghĩa 1.1. Hàm f đưoc GQI là C - kha vi tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai
giói han
f (z0 + h) − f (z0)
lim
h→0
h

. Ta nói rang f có đao hàm theo bien phúc tai điem z0 và kí hi¾u là f J (z0 ).
Đ%nh nghĩa 1.2. Hàm f đưoc GQI là chsnh hình tai điem z0 neu nó là C kha vi tai m®t lân c¾n nào đó cna điem z0 . Hàm f đưoc GQI là chinh hình trong
mien Ω neu nó chinh hình tai MQI điem cna mien ay.
1.1.2

Khái ni¾m ve chi so cua đưàng cong

Đ%nh nghĩa 1.3. Cho γ : [a, b] → C∗ là đưòng cong trơn tùng khúc. Khi đó,
chi so cna γ đoi vói 0 là m®t so thnc

∫
dt.
∫ b
Ind(γ) :=
Re

dz

1

2πi

γ

z

=
Re

1

γ J (t)
2π
i

a

γ(t)

Tính chat 1.1. (M®t so tính chat cna chi so)


• Ind(γ) := Ind(γ/|γ|).
• Ind(γ) := 0 neu γ nam trờn tia xuat phỏt tự goc TQA đ.
ã Ind() < 1/2 neu γ ⊂ Γ∞ \ {0}, trong đó Γ∞ := {z ∈ C : Re(z) ƒ= 0} ∪ {0}.
• Ind(γ) < 1 neu γ ⊂ C∗ \ {iy : y > 0}.

1.2

Khái ni¾m hàm tri¾t tiêu cap vơ han

Đ%nh nghĩa 1.4. Cho Ω là mien trong Rn vói a ∈ Ω. Hàm liên tuc f : Ω → C
đưoc gQI là tri¾t tiêu cap vơ han tai a neu vói MQI N ∈ N, ta có
lim

Ω3x→a |x

f (x)
− a| N

Ví dn 1.1. Hàm f : C → R xác đ%nh
boi

−e 1α
f (z) =

= 0.

neu z ƒ= 0

|z|

0

neu z = 0,

trong đó α > 0, tri¾t tiêu cap vơ han tai 0.
Ví dn 1.2. Hàm f đưoc xác đ%nh boi
√
f (z) = exp(−eiπ/4 / z),

là hàm chinh hình trong ∆+, thác trien nhan lên ∆+ và tri¾t tiêu cap vơ han tai
0.
Nh¾n xét 1.1. Cho ∆+ = {z ∈ C : |z| < 1, Re(z) > 0} và gia su hàm f : ∆+
→ R xác đ%nh trên ∆+ . Khi đó, hàm f tri¾t tiêu cap vơ han tai 0 neu
và chi neu f (z) = o(|z|n ) vói MQI n ∈ N.
Đ%nh nghĩa 1.5. Hàm f : ∆G0 → C (s0 > 0) đưoc GQI là phang (flat) tai z
= 0 neu vói MQI n ∈ N, ton tai hang so C, s > 0 (chi phu thu®c vào n)
thoa mãn 0 < s < s0 sao cho
|f (z)| ≤ C|z|n ,

vói MQI z ∈ ∆G .
Nh¾n xét 1.2. Trong đ%nh nghĩa trên ta khơng can đen tính trơn cna hàm f
. Ví du hàm f đưoc cho dưói đây
−
 1 e 12 neu 1 < |z| ≤ 1 , n = 1, 2, . . .
0n |z|
n
neu zn+1

= 0,
f (z)
=


là phang tai z = 0 nhưng không liên tuc trên ∆. Tuy nhiên neu f ∈ C ∞ (∆G0 )
thì theo đ%nh lí Taylor ta có f phang tai z = 0 neu và chi neu
∂m+n
∂z m ∂z¯n

f (0) = 0,

vói MQI m, n ∈ N, i.e., f tri¾t tiêu cap vơ han tai 0. V¾y nên, neu f ∈ C ∞ (∆G0 )
f
∂
phang tai 0 thì ∂z
m+n
cũng phang tai 0 vói moi m, n ∈ N.
m ∂z¯
n

1.3

Gia thuyet Huang, Krantz, Ma và Pan

Năm 1991, M. Lakner [6] đã chúng minh đưoc ket qua sau.
Đ%nh lý 1.1. ([6]) Gia su f ∈ Hol(∆+ ) ∩ C 0 (∆+ ), vói ∆+ := {z ∈ C : |z|
< 1, Im(z) > 0} sao cho f (−1, 1) ⊂ ΓC := {z ∈ C : |Im(z)| ≤ C|Re(z)|} vói C
> 0 nào đó. Neu f |(−1,1) có khơng điem cơ l¾p tai goc TQA đ thỡ f triắt tiờu
cap huu han tai 0.

Ta biet rang hàm

√
f (z) = exp(−eiπ/4 / z),

là chinh hình trên ∆+, thác trien nhan trên ∆+ và tri¾t tiêu cap vơ han tai 0
[6]. Do đó, ví du trên cho thay đieu ki¾n ánh xa f bien (−1, 1) vào nón ΓC là
can thiet.
Năm 1993, M. Baouendi and L. Rothschild [1] thu đưoc ket qua dưói đây,
trong đó đieu ki¾n f |(−1,1) có khơng điem cơ l¾p tai 0 là không can thiet.
Đ%nh lý 1.2. ([1]) Cho f ∈ Hol(∆+ ) ∩ C 0 (∆+ ). Gia su Ref (x) ≥ 0 vói MQI
x = Re(z) ∈ (−1, 1). Khi đó, neu f tri¾t tiêu cap vơ han tai 0 thì f ≡ 0.
Trong [4], Huang, Krantz, Ma và Pan đã đưa ra gia thuyet sau.
Gia thuyet. (Gia thuyet cna Huang, Krantz, Ma và Pan ) Cho ∆+ là nua
đĩa trong C. Gia su f ∈ Hol(∆+) ∩ C0(∆+) sao cho f (−1, 1) ⊂ ΓC , vói C
> 0 nào đó. Neu f tri¾t tiêu cap vơ han tai 0 thì f ≡ 0.
Chú ý rang neu C = 1 thì Re[f 2 (x)] ≥ 0 vói MQI x ∈ (−1, 1). Như v¾y,
theo Đ%nh lí 1.2 thì gia thuyet trên đúng trong trưịng hop C 1.

1.4

Mđt so %nh ngha v bo e k thuắt

Gia su rang f là hàm chinh hình trên ∆+ := {z ∈ C : |z| < 1, Im(z) > 0} và
thác trien nhan lên (−1, 1). T¾p hop khơng điem cna f trên (−1, 1) là ròi rac
và


có điem giói han là 0. Gia su moi khơng điem cna f trên (−1, 1) \{0} có cap
huu han.

Cho {rn } ⊂ R+ là dãy tăng vô han sao cho MQI không điem cna f trong
∆+ nam trên ∪n γrn , o đó γr := {z ∈ C : |z| = r, Im(z) ≥ 0} là nua đưòng
tròn trên vúi bỏn kớnh r > 0.
Kớ hiắu:
ã (n) l so các khơng điem cna f trênn γr ∩ ∆+ tính ca bđi.
ã (n) l so cỏc khụng iem cna f trờn rn (1, 1) tớnh ca bđi.
ã J(n) l so các không điem cna f trên γrn ∩ (−1, 1) khụng tớnh bđi.
ã An := {rei : rn+1 < r < rn, 0 ≤ θ ≤ π}.
Bo đe 1.1. Gia su rang f ∈ Hol(∆+) ∩ C∞(∆+) và f (−1, 1) ⊂ Γ := C \ iR+. Ta
gia su t¾p hop khơng điem cna f |(−1,1) là rịi rac, có điem giói han là 0 và
moi khơng điem cna f trên (−1, 1) \ {0} có cap huu han. Khi đó, chúng
ta có:
(i) I(rn+ ) − I(rn− ) = κ(n) + κ˜2(n) ;
(ii) |I(r) − I(rJ )| < 2, rn+1 < r, rJ < rn .
Chúng minh. (i) Vói moi n ta bieu dien f dưói dang sau:
f (z) = (z − α1)l1 · · · (z − αm)lmϕ(z),

trong đó α1, . . . , αm là các khơng điem cna f trên γrn và ϕ là hàm liên
tuc, khơng có khơng điem trên An−1 ∪ An ∪ γrn , chinh hình trong phan
trong cna nó.
M¾t khác, chúng ta có:
f J (z)
f (z)

m

=Σ
j=1
α

lj

+

z−

ϕJ (z)
,
ϕ(z)

j

và
I(r) =

m
Σ

ljInd(γr − αj) + Ind(ϕ ◦ γr).

j=1

Lay điem a ∈ vói |a| = rn. Khi đó, limr→r+ Ind(γr−a) = 3/4 và limr→r− Ind(γr−
∆+

n

n

a) = −1/4.

Hơn nua, vói điem b ∈ γrn∩(−1, 1) ta có limr→r+ Ind(γr−b) = 1/2 và limr→r− Ind(γr−
n

b) = 0.

n


I(r+ ) = lim IndI(r) = 3κ(n)/4 + κ˜(n)/2 + Ind(ϕ ◦ γr ),

Do
đó

n

n

r→r+

I(rn− ) =
lim

IndI(r) = −κ(n)/4 + Ind(ϕ ◦ γrn ).

n

r→rn−

Vì v¾y, ta ket lu¾n đưoc rang I(r+ ) − I(r− ) = κ(n) + κ˜(n)/2.

n
n
(ii) Co đ%nh rn+1 < rJ < r < rn và xây dnng chu tuyen đóng γ = γr+(−γr )
+l++l−, trong đó l+ = [rJ, r] và l− = [−r, −rJ]. Áp dung đ%nh lí Cauchy cho
∫
f J/f ta có
J

1
0 = Re
2πi

f
j dz = I(r) + Ind(f ◦ l+ ) − I(r J ) + Ind(f ◦ l− ).
f
γ

Hơn nua, do f ◦ l ⊂ Γ nên |Ind(f ◦ l± )| < 1. Tù đó, ta suy ra |I(r) − I(rJ )| < 2.
.
Bo đe 1.2. Gia su f ∈ Hol(∆+) ∩ C∞(∆+) và f (−1, 1) ⊂ Γ := C \ iR+ ∪ {0}.
Ta gia su t¾p hop khơng điem cna f |(−1,1) là rịi rac và có điem
giói han là 0
Σ
và moi không điem cna f trên (−1, 1) \ {0} có cap huu han. Khi đó, I(r) b
% ch¾n trên neu mđt trong cỏc ieu kiắn sau oc thoa món


(i) Γ là nón (C \ L) ∪ {0}, trong đó L là đưịng thang đi qua goc TQA đ®.
(ii) Moi khơng điem cna f trên (−1, 1) có cap ít nhat
Σ

Σ∞
Σ1 ∞
∞
J
là 2. (iii)
n=1 κ(n) +
n=1 κ˜(n) − n=1 κ (n)
2
= +∞.

(iv) Γ là nua không gian {z ∈ C: Re(az) ≥ 0} vói a ∈ C∗.
Chúng minh. Trong trưịng hop goc TQA đ l mđt khụng iem cụ lắp cna f ,
de thay I(r) b% ch¾n. Boi v¾y, ta xét trưịng hop t¾p các khơng điem cna f
trong
∆+ là dãy h®i tu đen goc TQA đ®.
Cho {rn } ⊂ R+ là dãy tăng vô han sao cho MQI không điem cna f trong ∆+
nam trên
. Vói s > 0 đn nho, ta xét chu tuyen đóng nγ G = n−G + (−γr n+1 +G ) +
∪γrn

γr
l + l N,, o đó l N=, [rn+1 + s, rn − s] và l−
+
N,
G

−

+

G

G

đ%nh lí Cauchy cho f J /f , ta có
1 ∫
0 = Re
2πi

fJ
γs

n

dz =
f
−I(r

n+1

N,
G

= [−rn + s, −rn+1 − s]. Khi đó, áp dung

+ s) + Ind(f ◦ l+ ) +
I(rn

− s) + Ind(f ◦ lN−,G ).

N,
G

Cho s → 0+, ta có

I(rn− ) −
I(r+

n+1

) + s(n) = 0,

trong đó s(n) := limG→0+ ΣInd(f ◦ lN+, ) + Ind(f ◦ Nl,− )Σ.
G

Tù bő đe 1.1 (i), ta có

G

+
κ(n) + κ˜(n)/2 = I(r
n )−
I(r+

(1.1)

) + s(n).
n+1

Lay tőng N phương trình (1.1) vói N = 1, . . . , N , ta thu đưoc
N

I(r1+ ) − I(rN+

Σ
)=

+1

n=1

N

1Σ

κ(n) +
2

n=1

n=1

hop f (−1, 1) ⊂ C \ iR+ và

s(n) ≤ 1/2

κ˜(n) −

Σn=1

N

Σ

s(n).

(1.2)

n=1

s(n) ≤

Co đ%nh N ≥ 1. Ta se chúng minh rang
ΣN
=1
ΣnN

N

ΣN

κJ (n) vói trưịng

n=1

κJ (n) vói trưịng hop f (−1, 1) ⊂


(C \ L) ∪ {0}, trong đó L là đưịng thang i qua goc TQA đ. Thắt vắy, gia su ton
tai i, j ∈ N∗ vói i < j sao cho f (ri ) = f (rj ) = 0 và f (rk ) ƒ= 0 vói MQI i < k

< j.

Khi đó, neu f (−1, 1) ⊂ C \ iR+ thì
j−1

Σ

Ind(f ◦ l+k,) = lim Ind(f ◦ [rj + s, ri − s]) ≤ 1

lim

G→0+

G→0+

G

k=
i

vì f ◦ [rj, ri] ⊂ C \ iR+. Tương tn, neu f (−1, 1) ⊂ (C \ L) ∪ {0}, thì
j−1

Σ
lim

G→0+

k=
i

+
Ind(f ◦ lk,
) = lim Ind(f ◦ [r j+ s, ri − s]) ≤
2
G→0+
G

1

vì f ◦ [rj, ri] đưoc chúa trong nua m¾t phang. Hơn nua, ta có the thay the
dãy điem {−rj} boi {rj} và như v¾y ta thu đưoc ưóc lưong tương tn.
∞
∞
J
Do đó, neu Σ ∞ κ(n) + 21 Σ ∞Σ κ˜(n)
κ(n) +
Σ− κ (n) = + thì
Σ∞
Σ∞
1
κ˜(n)
−
=n=1
+∞ và như v¾y
tù (1.2) tancó I(r+n=1
) → −∞. V¾y,
2
n=1
n=1 s(n) ∞

n=1
theo
Bő đe 1.1 (ii), I(r) b% ch¾n trên. Ta có the chúng minh tương tn cho trưịng hop
(iii).
ΣN
ΣN
Vói trưịng hop (ii), do n=1 κ˜(n) ≥ 2 n=1 κJ (n) và (1.2)ta có ho¾c {I(rn+ )}
n + ) → −∞ khi n → ∞. Boi v¾y, theo Bő đe 1.2 suy ra I(r) b%
là b% chắn hoắc I(r
chắn trờn.
Tiep theo, neu l mđt nón vơ han (C \ L) ∪ {0}, trong đó L là đưịng
thang đi qua goc TQA đ® thì
N

Σ

s(n) ≤

n=1

N

1Σ
2

N

κJ (n) ≤

n=1

1Σ
2

κ˜(n).

n=1

Boi v¾y, tù (1.2)và Bő đe 1.2 ta cũng có I(r) b% ch¾n trên. Do đó (i) đưoc chúng
minh.


ΣN
ΣN J
Cuoi cùng, neu Γ là nua m¾t phang thì
s(n)
≤
1/2
n=1
n=1 κ (n) vói MQI
N ≥ 1. Vì the, tù (1.2) ta thay I(r) b% ch¾n trên. Như v¾y (iv) đưoc chúng
minh.
Bo đe 1.3. Gia su f ∈ Hol(∆+) ∩ C∞(∆+) và f (−1, 1) ⊂ Γ := C \ iR+. Ta gia
su rang t¾p hop khơng điem cna f |(−1,1) là rịi rac và có điem giói han là
0. Neu f tri¾t tiêu cap vơ han duy nhat tai điem 0 thì
∫ 1
lim sup 1
r→0+ ln(1/r)

r

I(t)
dt =
t+∞.

Chúng minh. Khơng mat tính tőng quát, chúng ta gia su rang ton tai dãy khơng
điem cna f h®i tu đen goc TQA đ®. Cho {rn } ⊂ R+ là dãy vơ han vói rn → 0+ ,
sao cho MQI không điem cna f nam trên ∪γrn .
Kí hi¾u An := {reit : 0 ≤ t ≤ π, rn+1 < r < rn}. Khi đó, trên moi An ton tai
m®t hàm chinh hình Φ(z) := u n (z)+ ivn(z) sao cho f (z) = eΦ(z). Có the thay
rang un (z) = ln |f (z)| trên An . Vì v¾y, ta có
I(r) := Ind(f ◦ γr)
f J (z)
1
1
dz = Re
= Re ∫
∫
2π
i
=
. Re
v

1.

Σ2π 1 γ
γ fiπ
Φ(re
) − Φ(r) i = r

(z)
r

2πi

∫

π

= 1
2
π1 ∫0 π
=
2π 0

ΦJ (z)dz

d

1
vn(r, t)dt =

dt
2π
∂
r un(r, θ)dθ.
∂r

∫ 2π
π

(1.3)
(reiπ) − (r)
Σ
v

n

n

∂

0

vn(r,
∂θ
θ)dθ

Tù Bő đe 1.1, I(r) liên tuc tùng khúc trên (0, 1] và như v¾y nó là hàm kha
tích trên [r, 1]. Do đó, ta kí hi¾u
∫ 1
dt.
J (r) =

I (t )

1

ln 1/r

r

t

Khi đó, tù (1.3) chúng ta có
∫ 1
J (r)
=
= lim

1
I (t)
d t
ln
r
t
1/r Σ Σ ∫ r e−s
n−1
1
I(t)

0

dt +

∫

rn e

−s I(t)

dtΣ
G→0+

ln 1/r

= lim
G→0+

∫

ΣΣ
1
ln 1/r

t

rnes

r
r
rn−1e

−s

∫

1

π

t

0

(t,
∂u θ)dθdt + ∫

n

t

rn e
s

t

r

rn

e−s

π

0

∫

t
n

∂u (t, θ)dθdtΣ

(1.4)

t 0
∂t

r

∂t

1

Do đó, ta có
∫

ΣΣ
1

J (r) =
lim
G→0+

ln 1/r

π

+

G→0+

∫

0
ΣΣ
1

= lim

ln 1/r

r∫ π

+.

rn−1e

−s

(t, θ)dtdθ

∂u

r

∫

n

π∫

0 −s
rn e

∫
.

∂t

rnes

r
π

∂u n (t, θ)dtdθΣ

(1.5)

∂t
Σ
un (rn−1 e−G , θ) − un (rn eG , d
θ)
θ

0

Σ

un (rn0 e , θ) − un (r, dθΣ,
θ)
−G

0

trong đó n0 là so nguyên thoa mãn
. rn0+1 < r < rn0 .
Ta se chúng minh rang limG→0+ un (rn eG , θ) − un (rn e−G , θ) = 0, 0 ≤ θ ≤ π .
Th¾t v¾y, vói moi n ta bieu dien fΣdưói dang sau
f (z) = (z − α1)l1 · · · (z − αm)lmϕ(z),

trong đó α1, . . . , αm là các không điem cna f trên γrn và ϕ là m®t hàm liên
tuc, khơng có khơng điem trên An−1 ∪ An ∪ γrn , chinh hình trong phan trong
cna nó. Như v¾y, ta có
m

un(r
n

Σ
eG , θ) − (r e−G , θ) =
un
n
lj

G

iθ

iθ

|ϕ((rn + s)e )|
|(rne )e − αj|
ln |(rn e−G )eiθ − + ln |ϕ((rn − s)eiθ)|
αj |
iθ

j=1
m

=
|(rn e )e −αj |
G

Σ

j=1

l js + ln

|ϕ((rn + s)e )|
|ϕ((rn −
.
s)eiθ)|

G

→0
−G

Σ


s iθ

=
,
khi s → 0
u(rne , θ) −
= e . Do
đó,
−s )eiθ
G −αj |
−G
|(ru(r
ne
.
Tù
lim
e
,
θ)
−
u(r
e

,
θ)
=
0
vói
MQI
n
∈
N
và
theo
đ%nh
G→0+ lim
n
n
+
θ)
π
0. lí giá
u(rne
vì
G→0
1 ∫
Σ
=
tr% trung bình, (1.5) troJ (r)
thành
Σ
dθ
ln 1/r . 0 u(1, θ) −

=

O(1)
ln
1/r

u(r, θ)
u(r, θr)
−
,
ln 1/r

vói θr ∈ [0,
π].
Bây giị ta se chúng minh lim supr→0+ J (r) = +∞. Th¾t v¾y, gia su phan chúng
J (r) b% ch¾n trên. Khi đó, ton tai C > 0 sao cho
−u(r, θr)
ln 1/r ≤ C.

Do đó, ta có

1
= e−u(r,θr ) ≤ eC ln 1/r.
|f (reiθr )|

Vì v¾y |f (reiθr )| ≥ rC . Đieu này mâu thuan vói gia thiet f tri¾t tiêu cap vơ
han tai 0.

1.5

Tính duy nhat biên cua ánh xa chinh hình

.
Đ%nh lý 1.3. Gia su f ∈ Hol(∆+) ∩ C∞(∆+) và f (−1, 1) ⊂ Γ∞ := C \ iR ∪
{0}. Ta gia su t¾p hop khơng điem cna f |(−1,1) là rịi rac vàΣcó điem giói
han là 0. Neu f tri¾t tiêu cap vơ han tai 0 thì f ≡ 0.
Nh¾n xét 1.3. Đ%nh lí van đúng neu Γ đưoc thay the boi mien (C \ L) ∪
{0}, trong đó L l mđt ũng thang trong mắt phang phỳc i qua goc TQA đ.
Nhắn xột 1.4. Cho f l hm chinh hình như trong Đ%nh lí 1.3. Gia su f
tri¾t tiêu cap vô han tai b ∈ (−1, 1) \ {0} vói mơđun cnc đai trong so các
khơng điem cna f trên (−1, 1). Chú ý rang b là m®t khơng điem cơ l¾p cna
f . Như v¾y, theo [6] và Bő đe 1.2 (ho¾c Bő đe 1.3 trong Muc 1.4), ton tai
m®t dãy vơ han
{γn } cna nua đưịng trịn trên vói tâm b và bán kính sn sao cho sn → 0+
và Ind(f ◦ γn ) → +∞ khi n → ∞. Hơn nua, ta có the cHQN m®t dãy vơ han
{γnJ } cna đưịng trịn trên vói tâm −b và bán kính sJn sao cho sJn → 0+ và
{Ind(f ◦ γnJ )}

b% ch¾n trên. Co đ%nh r, r > 0 vói rJ < |b| < r và |r − rJ | đn nho. Ta
có the
Σ4
xây dnng chu tuyen đóng γ = γr + (−γr ) + (−γn ) + (−γnJ ) + j=1 ln,j , trong đó
ln,1 = [−r, −b − sJn ], ln,2 = [−b + sJn , −rJ ], ln,3 = [rJ , b − sn ] và ln,4 = [b + sn , r].
Khi đó, áp dung đ%nh lí Cauchy cho f J /f ta có
∫
J


1
0 = Re

2πi

γ

f J (z)
dz
f (z)
4
Σ

= Ind(f ◦ γr ) − Ind(f ◦ γ ) +
rJ

Ind(f ◦ lj ) − Ind(f ◦ γn ) − Ind(f ◦ γnJ ).

j=1

Tù nhung l¾p lu¾n o trên, ta có Ind(f ◦ γn ) + Ind(f ◦ γnJ ) → +∞. Hơn nua, vì
f ◦ ln,j ⊂ Γ∞, vói 1 ≤ j ≤ 4 ta có
|

4
Σ

Ind(f ◦ ln,j)| < 2.

j=1

Đieu này là mâu thuan vì |Ind(f ◦ γr ) − Ind(f ◦ γr )| là vô han.
J

Vì v¾y, khơng mat tính tőng qt, ta gia su rang f tri¾t tiêu cap vơ han
duy nhat tai 0.
Nh¾n xét 1.5. Trong Đ%nh lí 1.3, đieu ki¾n f ∈ C ∞ (∆+ ) chi là đieu ki¾n
ky thu¾t nhưng nó rat quan TRQNG đe chúng minh sn ton tai giói han trái và
giói han phai cna I(rn± ) .
Chúng minh Đ%nh lí 1.3. Gia su ton tai m®t hàm f khác 0 thoa mãn đieu
ki¾n như trong Đ%nh lí 1.3. Tù Nh¾n xét 1.4, ta có the gia su f chi tri¾t tiêu
cap vơ han tai 0. Vì v¾y, tù Bő đe 1.2 ta có I(r) b% ch¾n trên. Do đó J (r) cũng
b% ch¾n trên. Đieu này mâu thuan vói Bő đe 1.3. Như v¾y, đ%nh lí đưoc
chúng minh.
Tù Đ%nh lí 1.3, ta có h¾ qua sau đây, h¾ qua khang đ%nh rang gia thuyet
cna Huang, Krantz, Ma và Pan đúng đoi vói trưịng hop f nhan trên biên.
H¾ qua 1.1. Gia su f là hàm chinh hình trên ∆+, nhan, thác trien lên (−1,
1) sao cho ánh xa f đi tù (−1, 1)vào trong ΓC vói hang so C > 0 nào đó.
Ta gia su t¾p hop khơng điem cna f |(−1,1) là rịi rac và có điem giói han là
0. Neu f tri¾t tiêu cap vơ han tai 0 thì f ≡ 0.


Chng 2

Mđt so lỏp hm triắt tiờu cap vụ
han v Éng dnng
2.1

M®t so ket qua bo tra

Trong phan này, chúng ta se giúi thiắu ieu kiắn (I) v mđt so ví du cna
các hàm xác đ%nh trên đĩa đơn v% mo trong m¾t phang phúc và tri¾t tiêu cap vơ

han tai goc TQA đ®
Đ%nh nghĩa 2.1. Ta nói rang m®t hm thnc trn f xỏc %nh trong mđt lõn
cắn
U cna goc TQA đ® và f (0) = 0 trong C thoa mãn đieu ki¾n (I) neu
(I.1) lim
supU˜ 3z→0

(z)

|Re(bz k ff j
f (z)
J

(I.2) lim

)| = +∞;

(z)

| f (z)| = +∞

supU˜ 3z→0

vói MQI k = 1, 2, . . . và vói MQI b ∈ C∗ , trong đó U˜ := {z ∈ U : f (z) ƒ=
0}.
α

Ví dn 2.1. Hàm P (z) = e
neu Re(z) ƒ= 0 và P (z) = 0 trong các trưịng
hop cịn lai, trong đó C, α > 0, thoa mãn đieu ki¾n (I). Th¾t v¾y, bang các

phép tính tốn chúng ta có
−C/|Re(z)|

Cα
P J (z) = P (z)
2|Re(z)|α+1

vói MQI z ∈ C vói Re(z) ƒ= 0. Do đó, de thay |P J (z)/P (z)| → +∞ khi z → 0
trong mien {z ∈ C : Re(z) ƒ= 0}.
Bây giò chúng ta chúng minh P thoa mãn đieu kiắn (I.1). Thắt vắy, vúi k
l mđt so nguyờn dng tùy ý. Vói zl := 1/l +i/lβ , trong đó 0 < β < min{1, α/


(k −1)} neu k > 1 và β = 1/2 neu k = 1, vói MQI l ∈ N∗ . Ta có zl → 0
khi l → ∞ và


Re(zl ) = 1/l ƒ= 0 vói MQI l ∈ N∗ . M¾t khác, vói moiα−β(k−1)
b ∈ C∗ chúng ta có
.
Σ
J
k P (zl )
l1α+

De thay

|Re b
zl P
(zl)

|“

lβ(k−1)+1

=l

.

P (zl )
lim |Re.bz kl j
Σ| = +∞.
l→
P
∞
(z )
Như v¾y, hàm P thoa mãn đieu ki¾n (I)l .

Nh¾n xét 2.1. i) Bat kì hàm đoi xúng P , túc là P (z) = P (|z|) vói MQI z ,
khơng thoa mãn h¾ đieu ki¾n (I.1) boi vì Re(izP J (z)) = 0 (xem [5] ho¾c [2]).
ii) Theo [5, Lemma 2] neu P là hàm khụng tam thũng C1-trn xỏc %nh trong
mđt lõn cắn U cna goc TQA đ® trong C, P (0) = 0 và U˜ := {z ∈ U : P (z) ƒ=
0}

chúa m®t đưịng cong C 1 -trơn γ : (0, 1] → U˜ sao cho γ J b% ch¾n trên (0, 1]
và
limt→0− γ(t) = 0 thì P thoa mãn đieu ki¾n (I.2).
Bo đe 2.1. Gia su rang g : (0, 1] → R là hàm C 1 -trơn và không b% ch¾n. Khi
đó, ta có lim supt→0+ tα |g J (t)| = +∞ vói so thnc α < 1.
Chúng minh. Vói so thnc α < 1 tùy ý. Gia su phan chúng rang lim supt→0+ tα |g J (t)|

<
+∞. Khi đó ton tai hang so C > 0 sao cho
|g J (t)| ≤

∫

M¾t khác, ta có

C
, ∀ 0 < t < 1.
tα

∫

1

−
g (τ )dτ = g(1)

1

J

Chúng ta có đánh giá
sau

g(t)
t

∫

1

|g J (τ )|dτ ≤ |g(1)|
+C

C
≤ |g(1)| +
(1 − t1−α) “ 1.
1−
α

|g(t)| ≤ |

t

t

dτ
τ
α


Tuy nhiên đieu trên khơng the xay ra vì g khơng b% ch¾n trên (0, 1]. Như
v¾y, bő đe đưoc chúng minh.
Bo đe 2.2. Ton tai hàm thnc nhan g : (0, 1) → R thoa mãn
(i) g(t) ≡ −2n trên đoan đóng Σ
n+
2 4, 5, . . .;
1

ΣΣ vói MQI n =
−1
(ii) g(t) ≈
, ∀ t ∈ (0,
t
1);

1
3n

.1 +

n+1

1

Σ,

3n

1

.1 +


(iii) Vói moi k ∈ N ton tai C(k) > 0 (chi phu thu®c vào k), sao cho
|
g

.

(k)

C(k)
(t)| ≤

t3k+1

, ∀ t ∈ (0, 1)

Nh¾n xét 2.2. Ta đ%nh nghĩa hàm P (z) boi
exp(g(|z|2 )) neu 0 < |z|
P (z) :=


<01

neu z = 0.

Khi đó, hàm P là nhan trên nua đĩa đơn v% ∆, tri¾t tiêu cap vơ han
tai goc TQA đ®. Hơn nua, ta thay rang 2n(n+1)
P J ( 2n+1 ) = 0 vói MQI n ≥ 4.
Do đó
lim inf z→0 |P J (z)|/P (z) = 0.
Chúng minh Bő đe 2.2. Cho G : (0, +∞) → R là hàm tuyen tính tùng khúc
sao cho G(an − sn) = G(bn + sn) = −2n và G(x) = −8 neu x ≥ 9 , trong
đó
40
1
1

1
2
1
an = n+1 (1 +3 ), nb =
) vàn s n=3
vói MQI n ≥ 4.
n+1 (1 +
3
n
n
Cho ψ là hàm nhan trên R đưoc xác đ%nh boi
1
 1−|x|
2
neu |x| < 1
e
ψ(x) = C − 
0
neu |x| ≥
∫
trong đó C > 0 đưoc cHQN sao cho
ψ(x)dx = 1. Vói s > 0, đ¾t ψG := 1 ψ( x ). Vói
1,
R

G

n ≥ 4, cho gn là hàm nhan trên R đưoc xác đ%nh boi tích ch¾p sau

∫ +∞

Bây giị chúng ta
khang
đ%nh
dưói
gnse
(x)chúng
:= G ∗minh
ψG nhung
(x)
G(y)ψ
(y
− đây.
G
n+1

−
(a) gn(x) = G(x)== −2n neu an ≤ x ≤∞bn; x)dy.

n+1

(b) gn(x) = G(x) = −2(n + 1) neu an+1 ≤ x ≤ bn+1;
neu

(k)

(c) |g (x)| ≤
2(n+1)ǁψ
n (k)ǁ1

Gkn+1

a

≤x≤b.
n+1

n

Th¾t v¾y, vói an+1 ≤ x ≤ bn ta có G(y)ψGn+1 (y − x)dy
∫ +
∞

gn(x) =

=

−∞

1

∫
+∞

G(y
)ψ( y − x

G


)dy

s

=

∫ n+1
+1

−1G(x

+
tsn+1)ψ(t)dt,

sn+1