Luận văn thạc sĩ tính ổn định của một số mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TỐN - CƠ - TIN HỌC

TRẦN THU NGÀ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MƠ HÌNH DỊCH
TỄ TRONG MƠI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.01.06

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TỐN - CƠ - TIN HỌC

TRẦN THU NGÀ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MƠ HÌNH DỊCH
TỄ TRONG MƠI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.01.06

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS. TS. Nguyễn Hữu Dư


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới GS. TS. Nguyễn Hữu Dư người thầy đáng kính đã trực tiếp hướng
dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt thời gian qua.
Em xin phép được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy cô giáo, các
anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Tốn - Cơ - Tin
học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp đỡ em trong thời gian
em học tập, nghiên cứu tại trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Nguyễn
Thanh Diệu đã giúp đỡ em trong suốt q trình làm luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản
thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất
mong nhận được sự góp ý của thầy, cơ và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 28 tháng 07 năm 2015.
Học viên
Trần Thu Ngà

1


Mục lục

Mở đầu

4

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1 Vi phân Itô và công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1 Vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2 Công thức Itô tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2 Lý thuyết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1
1.2.2

Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Một số kết quả về tính ổn định của phương trình vi phân
ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Mơ hình bệnh lây truyền trực tiếp do vector bị nhiễu loạn ngẫu
nhiên

19

2.1

Giới thiệu................................................................................................. 19

2.2

Mơ hình.................................................................................................... 19

2.3

Phân tích tính ổn định của mơ hình ngẫu nhiên................................. 23

2.4

Phân tích tính ổn định của mơ hình ngẫu nhiên có trễ......................28

2.5

Mơ phỏng số liệu..................................................................................... 33


3 Tính ổn định tồn cục của mơ hình SIR hai nhóm bị nhiễu loạn

ngẫu nhiên

39

3.1

Giới thiệu................................................................................................. 39

3.2

Mơ hình dịch ngẫu nhiên...................................................................... 39

3.3

Tính ổn định ngẫu nhiên của điểm cân bằng địa phương...................43

3.4

Mô phỏng số liệu..................................................................................... 49

Kết luận

53

Phụ lục

54

Tài liệu tham khảo

55


Mở đầu
Dịch tễ học là khoa học nghiên cứu về tình trạng sức khỏe và các yếu tố
liên quan ảnh hưởng đến tình trạng sức khỏe, giúp xác định các yếu tố nguy
cơ của bệnh, phát triển và tối ưu hóa phương thức điều trị. Dịch tễ học có thể
nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực từ thực hành: như trong thời kỳ có bệnh dịch
bộc phát, ảnh hưởng trong mơi trường sinh sống, . . . , đến lý thuyết: như thống
kê, tạo mơ hình tốn học dự đốn sức khỏe cộng đồng trong tương lai, sự phát
triển của bệnh dịch, triết học y tế, sinh học và tâm lý học Nghiên cứu dịch
tễ học dựa trên quan sát và thí nghiệm, mục đích là để tìm ra liên hệ giữa căn
bệnh và các yếu tố không thay đổi được như bẩm sinh, di truyền và những
yếu tố có thể "sửa chữa" như thực phẩm, môi trường, giáo dục, vi sinh học,
tâm lý học, v.v... .
Ngày nay với sự biến đổi về khí hậu, tình trạng ơ nhiễm mơi trường

là

một trong những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sự phát triển của các loại
bệnh gây ảnh hưởng tới sức khỏe của con người. Vậy nên việc nghiên cứu
các mơ hình dịch tễ ngày càng phát triển, nó giúp tìm ra nguyên nhân và các
yếu tố góp phần tạo nên bệnh dịch. Từ đó định nghĩa căn bệnh, liên hệ từ
nguyên nhân đến triệu chứng và tạo kế hoạch điều trị hay phịng ngừa. Tuy
nhiên việc biến đổi khí hậu hay tình trạng ơ nhiễm mơi trường, hoặc tác
động khách quan cũng


như chủ quan ... cũng gây những biến động. Do đó việc nghiên cứu tính ổn
định của các mơ hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên cũng không kém

phần quan trọng. Ở đây luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định của một
số mơ hình dịch tễ trong mơi trường ngẫu nhiên thơng qua các mơ hình tốn
học, từ đó tìm ra được các điều kiện thích hợp giúp để kiểm sốt được bệnh
dịch.
Nội dung chính của luận văn là trình bày và làm rõ các kết quả của hai bài
báo [11, 12]. Cấu trúc của luận văn bao gồm:
⋄ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Nhắc lại một số khái niệm cơ bản của vi phân Itô, công thức Itơ tổng qt,
hai định lý của Lyapunov về tính ổn định và một số kết quả ổn định của
phương trình vi phân ngẫu nhiên.
⋄ Chương 2: Mơ hình bệnh lây truyền trực tiếp do vector bị nhiễu ngẫu

nhiên. Bệnh dịch lây truyền do vector (vector-borne disease) là bệnh gây
ra bởi
một loại vi khuẩn truyền nhiễm, được lây truyền khi một động vật chân
đốt hút máu một động vật có xương sống đang bị nhiễm bệnh và lây truyền
sang một cá thể dễ bị nhiễm bệnh. Từ góc nhìn của các bệnh truyền nhiễm,
vector là cá thể truyền dẫn của các sinh vật gây bệnh có mang mầm bệnh
từ một vật chủ khác. Các vector thường gặp nhất là động vật không xương
sống thường là động vật chân đốt, động vật có xương sống (ví dụ như cáo,
gấu trúc, chồn hơi), tất cả đều có thể truyền virus cho con người. Sức khỏe
con người có thể bị ảnh hưởng hoặc trực tiếp qua các vết cắn, đốt, phá


hoại của các mô) hoặc gián tiếp thông qua sự lây nhiễm bệnh. Đặc biệt là
mơ hình bệnh sốt rét, đã được nghiên cứu qua các mơ hình xác định trong


nhiều tài liệu ([4, 7-10]).

Trong chương này ta tập chung nghiên cứu mơ hình dịch tễ ngẫu nhiên của
bệnh do sinh vật sinh ra với cách thức truyền trực tiếp và điều chỉnh sự
cản trở của nó. Chính xác hơn, ta mở rộng mơ hình dịch tễ xác định bằng
cách đưa ra các nhiễu ngẫu nhiên xung quanh điểm cân bằng địa phương.
⋄ Chương 3: Tính ổn định tồn cục của mơ hình SIR hai nhóm bị nhiễu

ngẫu nhiên.
Ở chương này, ta đi nghiên cứu tính ổn định tồn cục của điểm cân bằng
địa phương trong mơ hình SIR hai nhóm, bị nhiễu ngẫu nhiên xung quanh
điểm cân bằng địa phương. Và chứng minh điểm cân bằng địa phương của
mô hình bị nhiễu ngẫu nhiên là ổn định tiệm cận toàn cục ngẫu nhiên.
Ngoài ra, ta thu được điều kiện ổn định bằng cách xây dựng các hàm
Lyapunov.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc
trình bày các kết quả chính của luận văn.
Ký hiệu N 1(0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và
.∫
Σ
T

E

|f (t, ω)|dt < ∞,
0

N 1(0, T ) là không gian Banach với chuẩn

.∫

T

||f || = E

|f (t,
ω)|

Σ
dt.

0

Ký hiệu N (0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và
.∫
Σ
2

T

E
0

|f 2(t, ω)|
dt

<∞,

N 2(0, T ) là không gian Banach với chuẩn
2

||f || = E

.∫
0

1.1

T2

f (t,
ω)

Σ
dt.

Vi phân Itô và công thức Itô


Đầu tiên, ta nhắc lại khái niệm quá trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động
Brown tiêu chuẩn.


Định nghĩa 1.1. Quá trình W = (Wt, t ∈ [0, T ]) xác định trên không
gian xác suất (Ω, F , P) được gọi là quá trình Weiner tiêu chuẩn
(hay chuyển động Brown tiêu chuẩn) nếu:
1. W0 = 0.
2. (Wt) là q trình có số gia độc lập tức là t1 < t2 < t3 < t4

các biến ngẫu nhiên Wt4 − Wt3 và Wt2 − Wt1 độc lập.
3. Biến ngẫu nhiên Wt − Ws, (0 ≤ s < t) có phân phối chuẩn N (0, t −
s).
4. Với hầu hết ω các quỹ đạo Wt(ω) là liên tục.

1.1.1

Vi phân Itô

Giả sử rẳng X = (Xt, t ∈ [0, T ]) có dạng
∫
Xt = X(r) +

∫

t

t

f (s,
ω)ds +

g(s, ω)dW (s)
r

r

trong đó f ∈ N 1(0, T ); g ∈ N 2(0, T ) và với mọi (s, t) : 0 ≤ r < t ≤ T. Khi đó ta nói
X có vi phân Itơ
dXt = f (t, ω)dt + g(t, ω)dWt

và viết gọn là
dX = fdt + gdW.

1.1.2

Công thức Itô tổng quát

Công thức Itô thực chất là một công thức đổi biến trong giải tích ngẫu nhiên.
Định lý 1.1. Cho u(t, x1, x2, ...., xd) là các hàm liên tục xác định trên [0; T
] ×


Rd với các đạo hàm riêng ut , uxi , uxixj liên tục với mọi i, j ≤ d. Đặt
X(t) =


(X1(t), ..., Xd(t)).

Xét hàm ngẫu nhiên Y = Y (t), t ∈ [0; T ] xác định bởi
Y (t) = u(t, X(t)).

Khi đó vi phân ngẫu nhiên
Σ

Σd

d

1Σ

dY (t) = ut(t, X(t)) +
uxi (t, X(t))fi (t) +
2 i=
i=1
.
1
Σ dW
Σ
n
uxi (t, X(t))gi (t) (t).
+

Σ

Σd

uxi xj (t, X(t))gi (t)gj (t) dt

j=1

i=
1

Công thức trên được viết gọn dưới
dạng:

1Σ

d

Σd

Σ
d

dY (t) = ut(t,
X(t))dt +

1.2
1.2.1

i=
1

uxi (t, X(t))dXi (t) +
2

i=
1

j=1

uxixj (t, X(t))gi(t)gj (t)dt

Lý thuyết ổn định
Hàm Lyapunov

Xét hệ phương trình vi phân tổng qt có dạng:
.
x′(t) = f (t, x(t)), t

(1.1)

≥0
x(0) = x0

trong đó f : R+ × Rd → Rd là hàm vector cho trước, x(t) ∈ Rd là vector trạng
thái của hệ với giả thiết f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Ký hiệu H là tập các hàm liên tục
tăng chặt a(.) : R+ → R+, a(0) = 0. Với mỗi hàm V (t, x) : R+ × Rd → Rd, ta ký
hiệu :


Σ
V ′(t, x(t)) := Vt .
+f
Vx; f (t, x(t)) ,
là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V (t, x(t)) dọc nghiệm x(t) của hệ (1.1).


Định nghĩa 1.2. Hàm V (t, x) : R+ × Rd → R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 khả vi
liên tục được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu:
1. V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa :
∃a(.) ∈ H : V (t, x) ≥ a(|x|), ∀t ∈ R+ × Rd.

2. V ′(t, x(t)) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1).
f

Xét hàm

V (t, x) ∈ họ các hàm liên tục Ctx(Z0),

trong đó Z0 = {0 < t < ∞, |x| < h}.
Ta đưa ra một số định nghĩa cơ bản về hàm khơng đổi dấu và có dấu xác định.
Định nghĩa 1.3. Hàm vô hướng thực liên tục V (t, x) được gọi là
khơng đổi dấu (có dấu dương hoặc có dấu âm) trong Z0 nếu:
V (t, x) ≥ 0(V (t, x) ≤ 0),

với (t, x) ∈ Z0 .
Định nghĩa 1.4. Hàm V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0
nếu tồn tại một hàm vô hướng W (x) ∈ C(|x| < h) sao cho:
V (t, x) ≥ W (x) > 0 với |x|
0, và V (t, 0) = W (0) = 0.

Hàm V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z0 nếu tồn tại một hàm vô
hướng
W (x) ∈ C(|x| < h) sao cho :
V (t, x) ≤ −W (x) < 0 với |x|

0

10


và V (t, 0) = W (0) = 0.
Hàm xác định âm hay xác định dương gọi là có dấu xác định về phía W
(x).
Hai định lý của Lyapunov về tính ổn định .
Định lý 1.2. (Định lý thứ nhất của Lyapunov về tính ổn
định) Nếu hệ (1.1) tồn tại một hàm vô hướng xác
định dương,

V (t, x) ∈ Ct (1,1)(Z0), (Z0 ∈ Z)
x

và hàm này có đạo hàm theo thời gian V ′(t, x) ≤ 0 với mọi (t, x) ∈
Z0 thì nghiệm tầm thường x(t) = 0, (0 < t < ∞) của hệ là ổn định

theo Lyapunov khi t → ∞.
Ví dụ 1.1. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường đối với hệ:

= −(x − 2y) − (1 − x2 − 3y2)
dx



dt


dy



= −(x + y) − (1 − x2 − 3y2)
d
Chọn hàm V (x, y) = x2 +t 2y2 là hàm xác định dương, đạo hàm của hàm này

theo t là

= −2(1 − x2 − 3y2)(x2 + 2y2) ≤ 0 với x, y đủ bé.

dV

dt

Do đó nghiệm tầm thường x = 0, y = 0 của hệ đã cho là ổn định.
Định lý 1.3. (Định lý thứ hai của Lyapunov về tính ổn định)
Giả sử hệ (1.1) tồn tại hàm xác định dương V (t,t x) ∈ C(1,1)(Z0) có
x

giới hạn vơ cùng bé bậc cao x → 0 và có đạo hàm theo thời gian V

11

′


(t, x) < 0 với mọi (t, x) ∈ Z0 . Khi đó nghiệm tầm thường x(t) = 0 ổn

định tiệm cận theo Lyapunov khi t → ∞.
Ví dụ 1.2. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường đối với hệ:

= −5y + 2x3
dx



dt


dy



dt

= 5x + 2y3

12


Chọn hàm V (t, x) = x2 + 2y2 thỏa mãn điều kiện của định lý 1.3.
Thật vậy V (x, y) ≥ 0 và V (t, 0, 0) = 0;
dV
4
4
dV = (4x + 6y )
dt−
dt

0 và
= 0 khi x = 0, y = 0 .

Vậy nghiệm tầm thường của hệ là ổn định tiệm cận.

1.2.2

Một số kết quả về tính ổn định của phương trình vi
phân ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên là phương trình vi
phân có một hoặc nhiều số hạng là một q trình ngẫu nhiên.

Định nghĩa 1.6. Cho trước các hàm ngẫu nhiên f ∈ N 1[0, T ], g ∈ N
2

[0, T ] và biến ngẫu nhiên X0. Ta nói rằng hàm ngẫu nhiên X =

X(t), t ∈ [0, T ] là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ

với điều kiện ban đầu X(0) = X0:
dX(t) = f (t, X(t))dt + g(t, X(t))dW (t),
X(0) = X0,

nế
u

∫

t

f (s,
X(s))ds +

X(t) = X0 +

∫

t

g(s, X(s))dW (s).
0

0

Phương trình cịn được viết dưới hình thức:
dX(t)
dt

= f (t, X(t)) + g(t, X(t))ξ(t),

X(0) = X0,

trong đó ξ(t) =

được gọi là nhiễu trắng
và Wt

dW (t)

là chuyển động Brown hay

dt

quá trình Wiener.
Giả sử (Ω, F , {Ft}t≥0, P ) là một không gian xác suất đầy đủ với {Ft}t≥0 là bộ
lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường và giả sử W (t) là một chuyển động


Brown xác định trên không gian xác suất.
Sau đây, ta sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định của phương
trình vi phân ngẫu nhiên thường.
Xét các phương trình vi phân ngẫu nhiên d - chiều có dạng:

dx(t) = f (t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t),

t ≥ t0, (1.2)

với điều kiện ban đầu x(0) = x0, x0 ∈ Rd0. Ta giả sử rằng với điều kiện ban
đầu phương trình (1.2) tồn tại một nghiệm tồn cục duy nhất được ký hiệu là
x(t, t0, x0). Hơn nữa giả sử có:
f (t, 0) = g(t, 0) ≡ 0

với mọi t ≥ t0.

Vậy phương trình (1.2) có nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 tương ứng với điều kiện
ban đầu x0 ≡ 0, nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường hay vị trí cân bằng.
Định nghĩa 1.7. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.2) được
gọi là ổn định ngẫu nhiên ( ổn định theo xác suất ) nếu với
mỗi ε ∈ (0, 1) và r > 0 thì tồn tại một δ = δ(ε, r, t0) > 0 sao
cho:
P {|x(t; t0, x0)| < r, t ≥ t0} ≥ 1 − ε,

với mọi |x0| < δ.
Định nghĩa 1.8. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.2) được
gọi là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên nếu nó là ổn định ngẫu
nhiên và hơn nữa với mỗi ε ∈ (0, 1), tồn tại một δ = δ(ε, t0) > 0
sao cho:
P { lim x(t; t0, x0) = 0} ≥ 1 − ε,
t→∞


với mọi |x0| < δ.
Ký hiệu C1,2([t0, ∞) × Rd; R+) là họ của tất cả các hàm không âm V

(t, x) khả vi liên tục một lần đối với t và hai lần đối với x. Định nghĩa

toán tử vi phân L kết hợp với phương trình (1.2) có
L=

∂
∂t

+Σ
d

fi(t,
x)

T
Σ d[g (t, x)g(t,
∂
1
x)]ij
+
∂x
2
i

i=
1

i,j=1

∂2 .

∂xi∂xi

Rõ ràng, cho V ∈ C1,2([t0, ∞) × Rd; R+),
LV (t, x) = Vt(t, x) + Vx(t, x)f (t, x) +

1

trace[gT (t, x)Vxx(t, x)g(t, x)].
2

Định nghĩa 1.9. Các nghiệm tầm thường được gọi là ổn định tiệm cận
tồn cục ngẫu nhiên nếu nó ổn định tiệm cận ngẫu nhiên và hơn
thế nữa với mọi x0 ∈ Rd :
P { lim x(t; t0, x0) = 0 = 1.
}t→∞

Bổ đề 1.1. Nếu tồn tại một hàm bị chặn có bán kính xác định
dương giảm

V (t, x) ∈ C1,2([t0, ∞) × Rd; R+) sao cho LV (t, x) là xác

định âm, thì các nghiệm tầm thường của phương trình (1.2) là ổn
định tiệm cận toàn cục ngẫu nhiên.
Định lý 1.4. Giả sử rằng tồn tại một hàm không âm V (t, x) ∈ C1,2([t0, ∞) ×
Rd; R+), hàm liên tục a, b : R+ → R+ và một hằng số dương K sao cho ∀x mà
|x| ≤ K ta có
∀a, b : a(|x|) ≤ V (t, x) ≤ b(|x|)

khi
đó

1. Nếu LV ≤ 0, |x| < K thì nghiệm tầm thường của phương
trình (1.2) là ổn định ngẫu nhiên.


2. Nếu tồn tại một hàm liên tục c : R+ → R+ xác định dương trên
R+, sao cho thỏa mãn LV ≤ −c(|x|), ∀x : |x| ≤ K thì nghiệm tầm
thường của phương trình (1.2) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên.
Do nhiều vấn đề liên quan đến sự ổn định của trạng thái cân bằng của hệ
ngẫu nhiên phi tuyến, ta có thể quy vể tính ổn định của các nghiệm của hệ
tuyến tính. Xét các dạng tuyến tính của phương trình (1.2):
dx(t) = F (t)x(t)dt + G(t)x(t)dW (t),

t ≥ t 0.

(1.3)

Định lý 1.5. Nếu hệ tuyến tính (1.3) với các hệ số hằng, tức là (F (t) = F,
G(t) =
G) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên và các hệ số của hệ (1.2) và (1.3)

thỏa mãn các bất đẳng thức:
|f (t, x) − Fx| + |g(t, x) − Gx| < δ|x|,

(1.4)

trong một lân cận đủ nhỏ của x = 0 và với một hằng số δ đủ nhỏ,
thì nghiệm tầm thường x(t) = 0 của hệ (1.2) là ổn định tiệm cận ngẫu
nhiên.
Tiếp theo ta trình bày một số khái niệm và kết quả ổn định của phương trình
vi phân hàm (phương trình vi phân có trễ).

Giả sử τ > 0, ký hiệu C = C([−τ, 0]; Rd) là họ các hàm liên tục ϕ : [−τ, 0] → Rd
với chuẩn ||ϕ|| = sup−τ ≤θ≤0 |ϕ(θ)| và D là khơng gian với F0 thích hợp của hàm
ϕ ∈ C, giả sử f : [0; ∞) × C → Rd và g : [0; ∞) × C → Rd×m.

Xét các phương trình vi phân ngẫu nhiên hàm d - chiều có dạng:
dy(t) =f (t, yt)dt + g(t, yt)dW (t), t ≥ 0,
y0 =ϕ = {ϕ(θ) : −τ ≤ θ ≤
0},

(1.5)


trong đó yt = {y(t +θ) : −τ ≤ θ ≤ 0} là một quá trình ngẫu nhiên C giá trị, y0 ∈
D sao cho E||ϕ||2 < ∞. Trong đó f (t, ϕ) là vector d- chiều và g(t, ϕ) là ma trận
d × m chiều với mọi t ≥ 0. Ta giả sử phương trình (1.5) có một nghiệm toàn

cục duy
nhất y(t, ϕ), với mọi ϕ ∈ C giả sử f (t, 0) = g(t, 0) ≡ 0. Khi đó phương trình (1.5)
có nghiệm tầm thường y(t) ≡ 0 tương ứng với điều kiện ban đầu y0 ≡ 0.
Định nghĩa 1.10. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.5)
được gọi là ổn định ngẫu nhiên nếu với mọi ε ∈ (0, 1) và r > 0
thì tồn tại một δ = δ(ε, r, 0) > 0 sao cho:
P {|y(t; ϕ)| > r, t ≥ 0} ≤ ε,

với bất kỳ điều kiện ban đầu ϕ ∈ D thỏa mãn P {||ϕ|| ≤ δ} = 1.
Định nghĩa 1.11. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.5) được
gọi là ổn định bình phương trung bình nếu với mọi ε > 0, tồn
tại một δ > 0 sao cho
E|y(t, ϕ)|2 < ε

với mọi

t≥0

cho sup−τ ≤θ≤0 E|ϕ(θ)|2 < δ.
Định nghĩa 1.12. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.5) được gọi là ổn
định tiệm cận bình phương trung bình nếu nó ổn định bình phương
trung bình
và lim E y(t, ϕ) 2 = 0.
|
t→∞

|

Các toán tử vi phân được kết hợp với phương trình (1.5) xác định bởi công
thức:
y ) − V (t,
LV (t, ϕ) = lim sup Et,ϕV (t + ∆,
ϕ) t+∆
∆→0
,
∆

trong đó y(s), s ≥ t là nghiệm của phương trình (1.5) thỏa mãn điều kiện ban
đầu, yt = ϕ là một hàm xác định cho t ≥ 0 và cho hàm ϕ ∈ D. Chúng ta hãy rút


gọn một lớp của hàm V (t, ϕ) sao cho tốn tử L có thể tính được. Đầu tiên cho
t ≥ 0 và hàm ϕ ∈ D, giả sử
V (t, ϕ) = U (t, ϕ(0), ϕ(θ)), −τ ≤ θ ≤ 0,

ta xác định được các hàm
Vϕ(t, y) = V (t, ϕ) = V (t, yt) = U (t, y, y(t + θ)), −τ ≤ θ ≤ 0,

trong đó ϕ = yt, y = ϕ(0) = y(t).
Với mỗi V (t, ϕ) ∈ C1,2([0, ∞)×Rd; R+), xác định một tốn tử LV : [0; ∞)×C →
R thì khai triển của tốn tử sinh L của phương trình (1.5) có dạng:
∂2V
Σ
∂V (t, y)
∂V (t, y) 1
(t, y)
LV (t, yt) =

ϕ

∂t

+f

T

(t, yt)

ϕ

∂y

+

2

trace gT (t, yt)

ϕ

∂y 2

Σ

g(t, yt) .

Các định lý sau đây đã được chứng minh trong [14], nó chứa các điều kiện
theo đó các nghiệm tầm thường của phương trình (1.2) là ổn định tiệm cận
trung bình bình phương và ổn định ngẫu nhiên .
Định lý 1.6. Giả sử tồn tại một hàm V (t, ϕ) ∈ C1,2 sao cho:
c1E| y(t)| 2 ≤ EV (t, yt) c2 sup E|y(t + θ)|2
−τ ≤θ≤0
≤

và
ELV (t, yt) ≤ −c3E|y(t)|2,
cho ci > 0, i = 1, 2, 3. Thì nghiệm tầm thường của phương
trình (1.5) là ổn định tiệm cận bình phương trung bình.
Định lý 1.7. Giả sử tồn tại một hàm V (t, ϕ) ∈ C1,2 sao cho
c1| y(t)| 2 ≤ V (t, yt) c2 sup |y(t + θ)|2 và LV (t, yt) ≤ 0,
−τ ≤θ≤0
≤
cho ci > 0, i = 1, 2 và với mọi ϕ ∈ D thỏa mãn P {||ϕ|| ≤ δ} = 1, trong đó δ
> 0

đủ nhỏ. Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.2) là ổn định ngẫu
nhiên.