Luận văn thạc sĩ tỷ số h v đối với các môi trường đàn hồi có biến dạng trước và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
—————————

LÊ TH± HUfi

TY SO H/V ĐOI VéI CÁC MÔI TRƯèNG ĐÀN HOI
CĨ BIEN DANG TRƯéC VÀ ÚNG DUNG

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - Năm
2012


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

LÊ TH± HUfi

TY SO H/V ĐOI VéI CÁC MÔI TRƯèNG ĐÀN HOI
CÓ BIEN DANG TRƯéC VÀ ÚNG DUNG
Chuyên ngành: Cơ HQc v¾t the ran
Mã so: 604421

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:
PGS. TS PHAM CHÍ VĨNH

Hà N®i - Năm

2012


Lài cam ơn
Lịi đau tiên trong ban lu¾n văn này, cho phép em đưoc gui lịi cam ơn
chân thành tói thay Pham Chí Vĩnh, ngưịi đã t¾n tình chi bao và giúp đõ em
trong suot q trình thnc hi¾n và hồn thành lu¾n văn.
Em cũng xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the các thay cơ giáo
đã day do em trong suot nhung năm HQc vùa qua, ắc biắt l cỏc thay cụ trong
bđ mụn C HQc, Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i.
Nhân d%p này em cũng xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình,
ban bè và các anh ch% trong "nhóm xêmina" đã ln bên em, cő vũ, đ®ng viên,
giúp đõ em trong suot q trình HQc t¾p và thnc hi¾n lu¾n văn.

1


Mnc lnc
Lài ma đau...............................................................................................4
1 Công thÉc H/V đoi vái môi trưàng đàn hoi, có bien dang trưác, nén
đưac

7

1.1 Các phương trình cơ ban.............................................................7
1.2 Sóng Rayleigh..............................................................................9
1.3 Cơng thúc H/V..............................................................................13
2 Cơng thÉc H/V đoi vái môi trưàng đàn hoi, ch%u bien dang
trưác, khơng nén đưac

19

2.1 Các phương trình cơ ban.............................................................19
2.2 Sóng Rayleigh..............................................................................21
2.3 Công thúc H/V..........................................................................21
3 Công thÉc H/V đoi vái môi trưàng đàn hoi, ch%u bien dang
trưác, ch%u ràng bu®c trong tong qt

25

3.1 Các phương trình cơ ban.............................................................25
3.2 Sóng Rayleigh..............................................................................28
3.3 Cơng thúc H/V..............................................................................31
4 Xác đ%nh Éng suat trưác tÈ các giá tr% đo đưac cua ty so H/V

36

4.1 Sn phu thu®c cna ty so H/V vào bien dang trưóc........................36
4.1.1 Mơi trưịng nén đưoc........................................................36
4.1.2 Mơi trưịng khơng nén đưoc..............................................41
4.1.3 Mơi trưịng ch%u ràng bu®c trong tőng qt....................44
4.2 Tìm úng suat trưóc khi đo đưoc ty so H/V..................................48


4.2.1 Mơi trưịng nén đưoc........................................................48
4.2.2 Mơi trưịng khơng nén đưoc.............................................50
4.2.3 Mụi trũng ch%u rng buđc trong tng quỏt...................51
Ket luắn

54

Ti liắu tham khao

55


LèI Me ĐAU
Ngày nay v¾t li¾u có úng suat trưóc (v¾t li¾u dn úng lnc) đã và đang
đưoc su dung rđng rói trong thnc te, nờn viắc xỏc %nh ỳng suat trưóc trong
các ket cau cơng trình trưóc và trong quá trình su dung là het súc can thiet
và quan TRQNG, v vắn toc súng Rayleigh l mđt cụng cu thu¾n ti¾n đe thnc
hi¾n nhi¾m vu này (xem [2], [4], [7], [8], [10], [11], [32], [33]). Trong các nghiên
cúu (xem [2],
[4], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) đe đánh giá úng suat trưóc bang v¾n toc
sóng Rayleigh các tác gia đã thiet l¾p các cơng thúc xap xi cho v¾n toc
sóng Rayleigh. Chúng phu thu®c tuyen tính (xem [2], [7], [8], [10], [11], [32],
[33]) ho¾c là các đa thúc b¾c hai [4] đoi vói bien dang trưóc (hay úng suat
trưóc) nên rat thu¾n ti¾n khi su dung. M¾c dù v¾y, vì chúng thu đưoc bang
phương pháp nhieu nên các cơng thúc này chi đúng khi bien dang trưóc là
nho. Khi bien dang trưóc là khơng nho, chúng hồn tồn mat tác dung. Gan
đây, các cơng thúc chính xác, đúng cho bien dang trưóc bat kỳ đã đưoc tìm
ra boi Vinh [19] cho các mơi trưịng đàn hoi ch%u úng suat trưóc nén đưoc,
Vinh [18] cho các mơi trưịng đàn hoi ch%u úng suat trưóc khơng nén đưoc,
Vinh & Giang [29] cho các mơi trưịng đàn hoi có úng suat trưóc ch%u m®t
ràng bu®c trong đang hưóng tőng qt.
Chú ý rang, sn ton tai cna sóng m¾t Rayleigh trong mơi trưịng đàn hoi
đang hưóng đưoc Rayleigh [30] chúng minh tù hơn 100 năm trưóc, năm 1885, và
tù đó đen nay có m®t so lưong rat lón các nghiên cúu ve sóng m¾t Rayleigh
trong các mơi trưịng đàn hoi khác nhau, do nhung úng dung to lón cna nó trong
nhieu lĩnh vnc khác nhau cna khoa HQc và cơng ngh¾. Cơng cu tỡm kiem google

scholar cho khoang mđt triắu ũng link vúi tù khóa "Rayleigh waves", xem
[34]. M¾c dù v¾y, các cơng thúc chính xác cna v¾n toc sóng Rayleigh chi mói
đưoc tìm ra gan đây, boi Nkemzi [15], Malischewsky [12], Vinh & Ogden [26]
cho mơi trưịng đàn hoi đang hưóng nén đưoc, boi Vinh & Ogden [27, 28] cho
mơi trưịng đàn hoi trnc hưóng nén đưoc, boi Ogden & Vinh [17] cho mơi
trưịng đàn hoi trnc hưóng khơng nén đưoc, boi Vinh [19, 18] cho mơi trưịng
đàn hoi có bien dang trưóc nén đưoc và khơng nén đưoc, boi Vinh & Giang
[29] cho mơi trưịng đàn hoi có bien dang trưóc chui m®t ràng bu®c trong


đang hưóng tőng qt, Vinh & Linh [25] cho mơi trưòng đàn hoi chui anh
hưong cna TRQNG trưòng. Nhò các


cơng thúc này, bang phương pháp bình phương toi thieu, m®t so cơng thúc
xap xi vói đ® chính xác rat cao cna v¾n toc sóng Rayleigh, xem [20]-[24],
đã đưoc tìm ra. Chúng có dang đơn gian nên rat ti¾n loi khi su dung.
Trong m®t bài báo gan đây [9], Junge v cỏc cđng sn chi ra rang, so
vúi vắn toc sóng Rayleigh ty so H/V (ty so giua các giá tr% cnc đai cua môđun
chuyen d%ch ngang và môđun chuyen d%ch thang đúng tai biên cua bán khơng
gian cua sóng Rayleigh) có hai ưu điem: (i) nhay cam hơn đoi vúi ỳng suat
trúc
(ii) khụng phu thuđc vo viắc o khoang cỏch giua iem kớch đng v iem
nhắn tớn hiắu, v thịi gian chuyen đ®ng cna sóng Rayleigh trên đoan
đưịng này. Túc là, đe đánh giá úng suat trưóc trong các ket cau cơng trình,
so vói v¾n toc sóng, ty so H/V là công cu tot hơn. Cho đen nay, theo hieu
biet cua tác gia, chưa có m®t cơng thúc chính xác nào đưac thiet l¾p cho ty so
H/V đoi vái các mơi trưàng đàn hoi có úng suat trưác. Do v¾y, vi¾c tìm ra cơng
thúc này là rat có ý nghĩa, ve ca phương di¾n lý thuyet và úng dung thnc te.
Muc đích chính cna lu¾n văn này là thiet l¾p các cơng thúc chính xác

cna ty so H/V đoi vói các mơi trưịng đàn hoi có úng suat trưóc (bien dang
trưóc), nén đưoc, khơng nén đưoc và mơi trưịng ch%u ràng bu®c trong đang
hưóng tőng qt. Úng dung các cơng thúc thu đưoc, khao sát m®t so ví du
đơn gian ve vi¾c xác đ%nh úng suat trưóc tù các giá tr% đo đưoc cna ty so
H/V. Can nhan manh rang ty so H/V phu thuđc vo vắn toc súng. Đe thu
đưoc cơng thúc chính xác cna nó, trưóc het can tìm ra các cơng thúc chính
xác cna v¾n toc sóng Rayleigh. Trong các ket qua thu đưoc, tác gia đã su
dung các cơng thúc chính xác cna v¾n toc sóng Rayleigh tìm ra gan đây boi
Vinh [19] cho mơi trưịng nén đưoc, Vinh
[18] cho mơi trưịng khơng nén đưoc, và Vinh & Giang [29] cho mơi trưịng
ch%u ràng bu®c trong ang húng tng quỏt.
Nđi dung cna luắn vn bao gom 4 chương :
• Chương 1: Cơng thúc H/V đoi vói mơi trưịng đàn hoi, có bien dang
trưóc, nén đưoc.
Muc đích cna chương này là thiet l¾p cơng thúc H/V đoi vói mơi trưịng
đàn hoi, có bien dang trưóc, nén đưoc. Tù công thúc thu đưoc, suy ra


công thúc (7) trong [14], công thúc (12) trong [13] bieu dien ty so H/V
đoi vói


mơi trưịng đàn hoi đang hưóng, nén đưoc, khơng có úng trưóc.
• Chương 2: Cơng thúc H/V đoi vói mơi trưịng đàn hoi, có bien dang
trưóc, khơng nén đưoc.
Muc đích cna chương này là thiet l¾p cơng thúc H/V đoi vói mơi trưịng
đàn hoi, có bien dang trưóc, khơng nén đưoc.
• Chương 3: Cơng thúc H/V đoi vói mơi trưịng đàn hoi, có bien dang
trưóc, ch%u ràng bu®c trong tőng qt.
Muc đích cna chương này là thiet l¾p cơng thúc H/V đoi vói mơi trưịng

đàn hoi, có bien dang trưóc, trong trưịng hop có ràng bu®c trong tőng
qt. Tù cơng thúc thu đưoc ta đưa đưoc ve trưịng hop cơng thỳc H/V
ó oc thiet lắp o chng 2.
ã Chng 4: Xác đ%nh úng suat trưóc tù các giá tr% đo đưoc cna ty so
H/V.
Muc đích cna chương này là su dung các cơng thúc thu đưoc khao sát
m®t so ví du đơn gian ve sn phu thu®c cna ty so H/V vào bien dang
trưóc, và xác đ%nh úng suat trưóc tù các giá tr% đo đưoc cna ty so
H/V.


Chương 1
Cơng thÉc H/V đoi vái mơi trưàng
đàn hoi, có bien dang trỏc, nộn
ac
1.1

Cỏc phng trỡnh c ban
Xột mđt vắt the đàn hoi đang hưóng, nén đưoc mà o trang thái tn

nhiên (khơng có úng suat) chiem bán khơng gian X2 ≤ 0. Gia su v¾t the ch
%u bien dang ban đau thuan nhat, túc là:
x1 = λ1X1, x2 = λ2X2, x3 = λ3X3, λj = const, j = 1, 2, 3,

(1.1)

trong đó các hang so λj (λj > 0, j = 1, 2, 3) đưoc GQI là các đ® dãn chính.
Sau khi ch%u bien dang ban đau (1.1) v¾t the chiem bán khơng gian x2
≤ 0. Xét chuyen đ®ng phang trong m¾t phang (x1 , x2 ) vói các thành phan
nhieu chuyen d%ch như sau:

uj = uj(x1, x2, t), j = 1, 2, u3 = 0,

(1.2)

trong đó t là thịi gian. Khi đó, bo qua lnc khoi, các phương trình chuyen
đ®ng là [16, 6]:
A1111 u1,11 + A2121 u1,22 + (A1122 + A2112 )u2,12 = uă1 ,
(A1122 + A2112 )u1,12 + A2121 u2,11 + A2222 u2,22 = uă2 ,

(1.3)


trong ú l mắt đ khoi long cna vắt li¾u o trang thái ban đau, dau
cham (trên) chi đao hàm theo thòi gian t, dau phay chi đao hàm theo các
bien không gian (xj), các thành phan khác không cna tenxơ hang bon Aijkl
đưoc xác đ%nh boi công thúc [6, 16]:

∂2W
∂λ ∂λ ,
i ,j
∂W
(i
2
λ
∂λj )
i
λ2i − j
λ2

JAiijj = λiλj

∂W −
1 ∂λi λj
JA ijij =
(λi

(1.4)
j, λi ƒ=
λj)
i

(1.5)
j

 (JA − JA
=λ)
∂W
iiii
iijj + λi
λ ∂λ ) (i ƒ= j,
2
i

JAijji = JAjiij = JAijij − λi

∂λ

∂W (i ƒ= j),

(1.6)

i

vói i, j ∈ {1, 2, 3} , W = W (λ1, λ2, λ3) là hàm năng lưong bien dang trên m®t
đơn v% the tích, J = λ1λ2λ3.
Khi mơi trưịng khơng có bien dang trưóc, các thành phan Aijkl tro thành:
Aiiii = λ + 2µ,

Aiijj = λ,

(1.7)

Aijij = Aijji = µ,

trong đó λ, µ là các hang so Lame. Nhieu úng suat trên m¾t x2 = const đưoc
tính boi cơng thúc trong [6]:
s21 = A2121u1,2 + A2112u2,1,

(1.8)

s22 = A2222u2,2 + A1122u1,1.

Úng suat Côsi đưoc xác đ%nh boi [6, 31]:
Jσ j = λj ∂W
∂λ

(1.9)

.

j

Đe đơn gian trong trình bày, ta su dung các ký hi¾u sau:
αij = J Aiijj (α11 = J A1111, α22 = J A2222, α12 = α21 = J A1122),
γ1 = J A1212, γ2 = J A2121, γ∗ = J A2112, ρ0 = J.

(1.10)

trong ú 0 l mắt đ khoi long o trong trang thái tn nhiên. Khi đó h¾
phương trình (1.3) tro thành:
α11 u1,11 + γ2 u1,22 + (α12 + γ∗ ) u2,12 = 0 uă1 ,
1 u2,11 + 22 u2,22 + (12 + ) u1,12 = 0 uă2 .

(1.11)


Tù đieu ki¾n can và đn đe h¾ (1.11) là eliptic manh (strongly elliptic) ta có [6]:
α11 > 0,

1.2

α22 > 0,

γ1 > 0,

γ2 > 0.

(1.12)

Sóng Rayleigh

Gia su sóng m¾t Rayleigh truyen theo hưóng x1 và tat dan theo hưóng
x2, khi đó ta tìm nghi¾m cna h¾ (1.11) dưói dang:
u1 = A1 exp[iksx2 + i(kx1 − ωt)],
u2 = A2 exp[iksx2 + i(kx1 − ωt)],

(1.13)

trong đó: A1, A2 là các hang so, ω là tan so sóng, k là so sóng, s là hang so
can tìm. Đe trưịng chuyen d%ch cna sóng Rayleigh tat dan theo chieu sâu,
túc là:
lim u = 0,
j

x2→−
∞

j = 1, 2

(1.14)

thì s phai có phan ao âm, túc là :
Ims < 0.

(1.15)

Thay (1.13) vào (1.11) ta đưoc :
α11A1(ik)2 + (α12 + γ∗)(ik)2sA2 + γ2(ik)2s2A1 = A1ρ0(−iω)2,
γ1A2(ik)2 + (α12 + γ∗)(ik)2sA1 + α22(ik)2s2A2 = A2ρ0(−iω)2,

hay:



(α11 + γ2 s2 − ρ0 c2 )A1 + (α12 +
γ∗ )sA2 = 0,


(1.16)



(α12 + γ∗ )sA1 + (γ1 + α22 s2 −
ρ0 c2 )A2 = 0,

(1.17)


là v¾n toc sóng Rayleigh. Đe h¾ (1.17) có nghi¾m khơng tam

trong đó : c =
ω
k

thưịng thì đ%nh thúc cna h¾ phai bang khơng, túc là:
α11 + γ2s2 −

(α12 + γ∗)s

. (α12 + γ∗)s

γ1 + α22s2 −
ρ0c2

. ρ0c2

= 0.

.

(1.18)


Sau khi khai trien đ%nh thúc cap hai, phương trình (1.18) tro thành:
⇔ (α11 + γ2s2 − ρ0c2)(γ1 + α22s2 − ρ0c2) − (α12 + γ∗)2s2 = 0

(1.19)

⇔ cˆs4 + 2bs2 + a = 0,

trong đó:
cˆ = α22γ2,
2b = α22(α11 − ρ0c2) + γ2(γ1 − ρ0c2) − (α12 + γ∗)2,

(1.20)

a = (α11 − ρc02)(γ1 − ρ0c2).

Tù (1.19), (1.20) ta có:
s2s2 =
=

1 2

s2 + s2
=
1

−2b
=

2

cˆ

(α11 − ρ0c2)(γ1 − ρ0c2)
,
α22γ2

a
cˆ

−α22(α11 − ρ0c2) − γ2(γ1 − ρ0c2) + (α12 +
γ ∗ )2
α22γ2

.

(1.21)

Theo (1.15), đe thoa mãn đieu ki¾n tat dan thì s1, s2 phai có phan ao âm.
Tù đó ta se chúng minh đưoc rang v¾n toc sóng Rayleigh c phai thoa mãn

các bat đang thúc sau :
(1.22)

0 < ρ0c2 < min(γ1, α11).

Th¾t v¾y, đ¾t X = s2, tù (1.19) suy ra:
(1.23)

cˆX2 + 2bX + a = 0.

Trưàng hap 1: ∆ ≥ 0: Khi đó X1, X2 là các so thnc, do v¾y X1, X2 phai là
√

các so âm. Vì neu ngưoc lai, chang han X1 ≥ 0 thì s1 = X1 là mđt so thnc,
do vắy phan ao cna s1 bang khụng, mâu thuan vói đieu ki¾n Ims1 < 0. Do
đó:
s2 = X1 <20, s2 = X2 < 0,1 →1 s2s2 > 0 suy ra theo (1.12) và (1.21), ho¾c:
1




(α11 −
 (α11
ρ0 c2 ) > 0

ho¾c :



(γ1 −
ρ0 c ) > 0
2

− ρ0 c2 )
<0


 (γ1
− ρ0 c2 )
<0


(1.24)
(1.25)


Gia su :


(γ1 −
ρ0 c ) < 0



(1.26)

2

 (α11

− ρ0 c2 )
<0

Chú ý đen (1.12), tù (1.21) và (1.26) suy
ra:
2

2

s
=1 + s2

−α22(α11 − ρ0c2) − γ2(γ1 − ρ0c2) + (α12 + γ∗)2 > 0.
α22γ2

(1.27)

Đieu này mâu thuan vói : s2 < 0, s2 < 0. Do v¾y:
1





2

(α11 −

hay : 0 < ρ0c2 < min(γ1, α11).

(1.28)

ρ0 c2 ) > 0



(γ1 −
ρ0 c ) > 0
2

Trưàng hap 2: ∆ < 0: Khi đó phương trình (1.23) có hai nghi¾m phúc liên hop
X1 = X¯ 2 . Do v¾y:
s2 s12 2= X¯ 2X2 = |
X

2
2| =

.s22 . > 0.

(1.29)

2 = 0, vì neu ngưoc lai thì suy ra
Chú ý rang: khơng the xay ra trưòng hop s2
s2 = 0, đieu này mâu thuan vói (1.15) . Tù (1.20) và (1.28) ta có,
ho¾c:

(1.30)



(α11 −
ρ0 c2 ) > 0



(γ1 −
ρ0 c ) > 0
2

ho¾c :





(α11 −

ρ0 c2 ) < 0


Gia su :

(γ1 −
ρ0 c2 ) < 0





 (α11
− ρ0 c2 )
<0



(γ1 −
ρ0 c2 ) <
0

(1.31)

(1.32)


Tù (1.23) ta có:
∆ = (2b)2 − 4acˆ = [α22(α11 − ρ0c2) + γ2(γ1 − ρ0c2) − (α12 + γ∗)2]2
−4(α11 − ρ0c2)(γ1 − ρ0c2)α22γ2
= [α22(α11 − ρ0c2) + γ2(γ1 − ρ0c2)]2 − 4α22γ2(α11 − ρ0c2)(γ1 − ρ0c2)
−2(α12 + γ∗)2[α22(α11 − ρ0c2) + γ2(γ1 − ρ0c2)]
= [α22(α11 − ρ0c2) − γ2(γ1 − ρ0c2)]2
−2(α12 + γ∗)2[α22(α11 − ρ0c2) + γ2(γ1 − ρ0c2)].

(1.33)

Tù (1.33), tính đen (1.20) và (1.32) suy ra: ∆ ≥ 0, nhưng đieu này mâu thuan
vói gia thiet ∆ < 0, nên ta suy ra:






(α11 − ρ0 c2 ) > 0
(γ1 − ρ0 c2 ) > 0

hay: 0 < ρ0c2 < min(γ1, α11).
Như v¾y, trong MQI trưịng hop ta ln có:
0 < ρ0c2 < min(γ1, α11).

Tù phương trình (1.19) ta tìm đưoc s1, s2 sao cho Imsj < 0 (j = 1, 2). Vói
moi sj (j = 1, 2) ta tìm đưoc nghi¾m riêng tương úng, có dang (1.13) trong
đó các hang so A1, A2 xác đ%nh boi h¾ (1.17). Mđt t hop tuyen tớnh cna
cỏc nghiắm riờng ny chớnh là trưịng chuyen d%ch cna sóng Rayleigh, túc
là:
u1 = [C1 exp(iks1x2) + C2 exp(iks2x2)] exp[i(kx1 − ωt)],
u2 = [q1C1 exp(iks1x2) + q2C2 exp(iks2x2)] exp[i(kx1 − ωt)],

(1.34)

trong đó C1, C2 là các hang so (đưoc xác đ%nh tù đieu ki¾n biên), q1, q2
đưoc xác đ%nh boi công thúc sau:
qm =
−

(α11 + γ2s2 − ρ0c2)
m

=−

(α12 + γ∗)sm

,

m = 1, 2.

(1.35)

(γ1 + α22s2m− ρ0c2)

(α12 +
γ∗)sm

Gia su m¾t biên x2 = 0 tn do đoi vói úng suat túc là s21 = s22 = 0 tai x2 = 0.
Khi đó, theo (1.8) và (1.10) ta có:
γ2u1,2 + γ∗u2,1 = 0

(1.36)


(1.37)

α12u1,2 + α22u2,2 = 0.

Đó chính là h¾ phương trình đe xác đ%nh các hang so C1, C2.

1.3

Công thÉc H/V
Thay (1.34) vào (1.36) và (1.37) ta đưoc:

(γ2s1 + γ∗q1)C1 + (γ2s2 + γ∗q2)C2 = 0,

(1.38)

(α12 + α22q1s1)C1 + (α12 + α22q2s2)C2 = 0.

Tù (1.38)1 :

(γ2s1 + γ∗q1)C1 + (γ2s2 + γ∗q2)C2 = 0,

suy ra:
C
C =−
1

Tù (1.34) ta có:

γ 2s 2 + γ ∗ q 2
γ 2s 1 + γ ∗q 1

(1.39)

.
2

u1(x2 = 0)
C1 + C2
u2(x2 = 0) = q1C1 + q2C2.

(1.40)

The (1.39) vào (1.40) và rút GQN ta đưoc:
u1(x2 = 0) γ∗(q1 − q2) + γ2(s1 − s2)
.
u2(x2 = 0) =
γ2(q2s1 − q1s2)

(1.41)

Theo (1.35) ta
có:
q1 − q2 =

M¾t khác, cũng tù (1.35):

(α11 − ρ0c2 − γ2s1s2)(s1 − s2)
(α12 +
γ∗)s1s2

α11 2− ρ0c2 +
γ2s
q
−2s1 − q1s2 =

+ s1
2

(α12 +
γ∗)s2

α11 2− ρ0c2 +
γ2s
(α12 +
γ∗)s1

(1.42)

α11 − ρ0c2(s2 − s2)
= s2
1

2

1

(α12 + γ∗)s1s2

(1.43)

Do v¾y, tù (1.41), (1.42) và (1.43) ta có:
u1(x2 = 0)

−γ2α12s1s2 − γ∗(α11 − ρ0c2)
=
.
u2(x2 = 0)
γ2(α11 − c2) + )
ρ0 (s1 s2

V¾y ty so H/V đưoc bieu dien bang công thúc sau:

χ(12) =

(1.44)


(1.45)

.

u1(x2 = 0)

2
. γ2 α12 s1 s2 + γ∗ (α11 − ρ0 c )

.
2
.
=
..u2 (x2 = 0) . . γ2(α11 − ρ0c )(s1 + s2) .

Đ¾t:

(α11 − ρ0c2)(γ1 − ρ0c2)

2 2

P = s 1s 2 =
S = s2 + s2
=
1

,

α22γ2

−α22(α11 − ρ0c2) − γ2(γ1 − ρ0c2) + (α12 +
γ ∗ )2
α22γ2

2

.

(1.46)

Tù (1.15) ta chúng minh đưoc:
√
s1s2 = − P,

√
s1 + s2 = −i√2 P − S.

(1.47)

√

Chú ý rang, de dàng chúng minh đưoc P > 0, 2 P − S > 0. Ta đưa vào kí
hi¾u χ(km) là ty so H/V cna sóng Rayleigh khi thnc hi¾n truyen sóng theo
hưóng xk và tat dan theo hưóng xm. Thay (1.47) vào (1.45) ta thu đưoc ty so
H/V đưoc bieu dien boi công thúc sau:

√

(12)

χ

=

. −γ2 α12 P + γ∗ (α11 − ρ0 c2 ) .
.

√ 2√

γ2(α11 −
ρ0 c

2

)

,

.

P−
S

(1.48)

trong đó P , S xác đ%nh boi (1.46). Ta thay ty so H/V phu thuđc vo vắn toc

súng Rayleigh c. ắt x(12) = ρ0c2/γ1, khi đó theo Vinh [19] thì v¾n toc sóng
r

đưoc xác đ%nh cu the như sau:
Trưàng hap 1: Neu α12 + γ∗ ƒ= 0 thì x(12)r đưoc xác đ%nh boi công thúc:
(12)2

1−t
r

x

(12)

=


,(1.49)

r

(12)2

θ−t

trong đó tr(12) đưoc xác đ%nh boi cơng thúcr sau:
(12)

tr

=−

1

3

√3

√

a2 + R + D + √3

q2
R

√

D

neu γ∗ ƒ= 0

∗


t(12) =

(1

√

− θ) + ∆

√ ; ∆ = (1 − θ)2 + 4bθ(1 − d)(θ − d)

=0

neu γ

r

2 b(θ − d)
và các đai lưong q, R, D đưoc
− γ2

xác
đ%nh boi công thúc sau:
;b=
a
γ
√

;αd11=α22
1−

12

; θγ=
1γ2 aθ − 1

(1.50)

α
α

α2
a0 =

; a1 =

√
b
; a2 =

(θ − d)

γ1
α11
a2 − 3a1
; q2 = 2
9

1−
1−
1−
a
a 3
a
a1a2 − 27a3
4a0a − a2a2 − 18a0a1a2 + 27a2 + 4a3

2
12
R=
;D
=
0
1
54
108

(1.51)


Trưàng hap 2: Neu α12 + γ∗ = 0 thì v¾n toc sóng xr(12) đưoc tính boi cơng thúc
sau:

α11 +
ρ 0c =
γ1
2
2γ1
γ1

(12)

xr
=

−

1

(α11 − γ1)2

.
+

2γ1

4

4 12
αα22γ

(1.52)

2

Cơng thÉc (1.48) trong đó P , S và ρ0c2 xác đ%nh bai (1.46) và (1.49)
ho¾c (1.52) bieu dien chính xác và hồn tồn tưàng minh, ty so H/V như
là hàm cua các tham so v¾t li¾u và bien dang trưác (Éng suat trưác).
Bang phương pháp làm tương tn như trong trưịng hop truyen sóng
theo hưóng x1 và tat dan theo hưóng x2 ta cũng tìm đưoc ty so H/V trong
trưịng hop truyen sóng theo hưóng x3 và tat dan theo hưóng x2. Khi đó ty
so H/V đưoc xác đ%nh boi cơng thúc sau:
(32)

χ

trong đó

√
. −γ¯2 α32 P + γ¯∗ (α33 − ρ0 c2 ) .
u3(x2 =
.0)
=.
=
√ √
.u2(x2 = 0) . γ¯2 (α33 −
.
) 2 P−
2
ρ
c
0
.
S

(1.53)

(α33 − ρ0c2)(γ¯1 − ρ0c2,)
2 2
P = s 1s 2 =
α22γ¯2
S = s2 + s2
=

−α22(α33 − ρ0c2) − γ¯2(γ¯1 − ρ0c2) + (α32 + γ¯∗)2
.
1

2
α22γ¯2
αij = J Aiijj (α33 = J A3333, α22 = J A2222, α32 = α23 = J A3322),
γ¯1 = J A3232 , γ¯2 = J A2323 , γ¯∗ = J A2332 , ρ0 = Jρ

(1.54)

Đ¾t xr(32) = ρ0 c2 /γ¯1 , khi đó theo Vinh [19] thì v¾n toc sóng đưoc xác đ%nh cu the
như sau:
Trưàng hap 1: Neu α32 + γ¯∗ ƒ= 0 thì rx(32) đưoc xác đ%nh boi công thúc:
(32)2

1−t
r

x

(32)

=


,(1.55)

r

(32)2

θ−t

trong đó tr(32) đưoc xác đ%nh boi cơng thúcr sau:
(32)

tr

=−

1

3

√3

√

a2 + R + D + √3

q2
R
√

D

neu γ¯∗ ƒ= 0

∗