CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES

CƠNG THỨC XÁC SUẤT TỒN PHẦN VÀ
CƠNG THỨC BAYES


1) Cơng thức xác suất tồn phần và cơng thức Bayes:
Giả sử A là biến cố bất kỳ, dãy B1,B2,...,Bn lập
thành hệ đầy đủ các biến cố.


Bi I B j = ∅
i≠ j

B1 U B2 U ... U Bn = Ω


a) Cơng thức xác suất tồn phần:
Nếu P( Bi ) > 0, i = 1,2,...,n thì
P(A) = P(B1)P(A / B1) + P(B2 )P(A / B2 ) +
... + P(Bn )P(A / Bn )
n

= ∑ P(Bi )P(A / Bi )
i =1


b) Cơng thức Bayes:
Nếu P(A) > 0 thì
P(Bk )P(A / Bk ) P(Bk )P(A / Bk )
P(Bk / A) =
= n
P(A)

.
∑ P(Bi )P(A / Bi )
i =1


Ví dụ 1.
Giả sử có 3 kiện hàng với số sản phẩm tốt tương
ứng của mỗi kiện hàng là 20, 15, 10. Lấy ngẫu
nhiên một kiện hàng ( giả sử 3 kiện có cùng khả
năng bị rút) rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản
phẩm. Biết rằng 3 kiện hàng đó đều có 20 sản
phẩm.
a) Tìm xác suất để sản phẩm chọn ra là sản phẩm tốt.
b) Giả sử sản phẩm chọn ra là tốt. Tìm xác suất để
sản phẩm đó thuộc kiện hàng thứ 2.


Giải:
Gọi các biến cố:
Bi = “Lấy được kiện hàng thứ i”, i = 1, 2, 3.
A = “Sản phẩm chọn ra là sản phẩm tốt”.
Ta thấy B1,B2,B3lập thành hệ đầy đủ các biến cố.
a) Theo cơng thức xác suất tồn phần, ta có:


P(A) = P(B1)P(A / B1) + P(B2)P(A / B2 )
+ P(B3)P(A / B3)


Ở đây các xác suất có điều kiện được tính trực

tiếp. Diễn đạt thành lời P(A / B1 )
Là xác suất lấy ra một sản phẩm tốt với điều
kiện sản phẩm này ở kiện hàng 1 hay là xác
suất để lấy ra một sản phẩm tốt của kiện
hàng 1. Theo bài ra ta có ngay xác suất cần
tính bằng:


1 20 1 15 1 10 3
= . + . + . =
3 20 3 20 3 20 4


b) Theo cơng thức Bayes, ta
có:

P(B2 )P(A / B2 )
P(B2 / A) =
P(A)


1 15
.
1
3
20
=
=
3
3

4


Vấn đề khó khăn khi tính xác suất bằng cơng thức
tồn phần và cơng thức Bayes là phải nhận ra
được mơ hình của bài tốn và phải chỉ ra được
nhóm đầy đủ các biến cố.


Ω

Trước hết ta thấy rằng nhóm đầy đủ là khơng
duy nhất. Vấn đề ta phải chọn nhóm đầy đủ nào
có quan hệ với biến cố A phù hợp với mô hình.


Nếu bài toán đề cập đến hai phần, biến cố A liên
quan trực tiếp đến phần sau thì nhóm đầy đủ cần
tìm chính là các trường hợp xảy ra ở phần đầu.
Nếu phép thử gồm hai bước hay hai giai đoạn; biến
cố A liên quan trực tiếp đến bước sau hay giai đoạn
sau thì nhóm đầy đủ cần tìm chính là các trường
hợp có thể của bước 1 hay giai đoạn 1.


Ví dụ 2. Với 3 kiện hàng như trong bài 1, ta chọn
ngẫu nhiên 1 kiện và từ kiện đó lấy ngẫu nhiên 1
sản phẩm thấy là sản phẩm tốt. Trả sản phẩm đó
lại kiện hàng vừa lấy ra, sau đó lại lấy tiếp 1 sản
phẩm thì được sản phẩm tốt. Tìm xác suất để các

sản phẩm được lấy từ kiện hàng thứ 3.


Ví dụ 3. Tỉ số ơ tơ tải và ơ tơ con đi qua đường có
trạm bơm dầu là . Xác suất để cho 1 ô tô tải qua
đường được nhận dầu là 0,1; xác suất để cho 1 ô
tô con qua đường được nhận dầu là 0,2. Có 1 ô tô
đến trạm để nhận dầu. Tìm xác suất để ô tô đó là ô
tô tải.


Ví dụ 4. Có 2 kiện hàng gồm 12 sản phẩm và 10
sản phẩm. Trong mỗi kiện hàng có 1 sản phẩm
xấu. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở kiện thứ nhất
cho vào kiện hàng thứ 2, rồi từ kiện hàng thứ 2 rút
ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm
rút ra lần thứ hai là sản phẩm xấu.


2. Định nghĩa:
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau
nếu:
P(AB) = P(A).P(B)
Ta hiểu rằng hai biến cố A và B được gọi là
độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra
của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất
xảy ra của biến cố kia và ngược lại.


a) Tính chất 1.

Hai biến cố A và B độc lập với nhau khi và
chỉ khi:
P(A / B) = P(A) hoặc P(B / A) = P(B)
b) Tính chất 2.
Hai biến cố A và B là độc lập với nhau thì
điều kiện cần và đủ là A, B độc lập hoặc A ,
B độc lập hoặc A , B độc lập.