TOÁN HỌC (CĐĐH): CƠ SỞ HÌNH HỌC: HỆ TIỀN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC EDCLIDE

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIÊN GIANG
KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN

CƠ SỞ HÌNH HỌC

HỆ TIÊN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC EDCLIDE


NỘI DUNG CHÍNH

2.1 Nhóm 1: Các tiên đề về liên
thuộc
2.2 Nhóm 2: Các tiên đề về thứ tự


Khi nghiên cứu một hệ tiên đề chúng ta cần chú ý các vấn đề sau đây:
a) Sự mâu thuẫn của hệ tiên đề: Từ các tiên đề của hệ ta khơng bao giờ có thể suy ra các kết quả trái
với các tiên đề hoặc 2 kết quả trái ngược nhau.
b) Sự độc lập của các tiên đề: Một tiên đề được gọi là độc lập nếu khơng có bất cứ tiên đề nào của hệ
là hệ quả của những tiên đề khác. Do sự độc lập của các tiên đề tạo nên một hệ tiên đề gồm có một
số tối thiểu các tiên đề, nghĩa là trong hệ tiên đề đó khơng có tiên đề nào là thừa cả.
c) Sự đầy đủ của hệ tiên đề: Số tiên đề của hệ phải đảm bảo đầy đủ để xây dựng nên môn học bằng
suy luận chặt chẽ.


2.1 Nhóm 1: Các tiên đề về liên thuộc
Tương quan cơ bản được xét trong nhóm này là tương quan “thuộc”, tương quan này
thường được phát biểu dưới dạng thông thường như “nằm trên”, “đi qua”, “chứa”.

VD:

Điểm nằm trên đường thẳng
Đường thẳng đi qua điểm
Mặt phẳng chứa điểm


2.1.1 Các tiên đề

(1.1) Cho bất cứ 2 điểm A, B nào bao giờ cũng có 1 đường thẳng đi qua hai điểm đó

(1.2) Cho bất cứ 2 điểm A, B nào phân biệt bao giờ cũng không quá 1 đường thẳng đi qua hai
điểm đó.

(1.3) Mỗi đường thẳng có ít nhất hai điểm thuộc nó. Có ít nhất là 3 điểm không cùng thuộc một
đường thẳng


(1.4) Cho bất cứ 3 điểm A, B, C nào bao giờ cũng có một mặt phẳng (P) đi qua các điểm đó.
Mỗi mặt phẳng có ít nhất 1 điểm.

(1.5) Cho bất cứ 3 điểm A, B, C nào không cùng thuộc một đường thẳng khơng bao giờ có
q một mặt phẳng đi qua các điểm đó

(1.6) Nếu 2 điểm A, B phân biệt cùng thuộc một đường thẳng a và đồng thời thuộc mặt phẳng
(P)


Định nghĩa 2.1.1 Nếu mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc mặt phẳng
(P) thì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a

Chú ý: Chỉ có tương quan thuộc giữa điểm với đường thẳng và giữa điểm

với mặt phẳng là tương quan cơ bản

(1.7) Nếu 2 mặt phẳng cùng chứa một điểm A thì cùng chứa ít nhất một điểm
thứ hai B khác A

(1.8) Có ít nhất bốn điểm khơng cùng thuộc một mặt phẳng.


 Với các tiên đề liên thuộc nêu trên ta chứng minh được một số định lí đơn giản
sau đây

2.1.2 Các định lí
Định lí 2.1.1 Hai đường thẳng phân biệt có nhiều nhất 1 điểm chung

a)

b)

c)


Định lí 2.1.2 Một mặt phẳng và một đường thẳng khơng thuộc mặt phẳng đó
có nhiều nhất một điểm chung

A

B

D

C
F
E
E

F

a) Mặt phẳng và đường

b) Đường thẳng cắt

thẳng song song

mặt phẳng


Định lí 2.1.3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có
một đường thẳng chung chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng

Ta thấy hai mặt phẳng có 1 điểm
A

chung là A thì chúng có một đường
thẳng  Δ chứa các điểm chung cịn
lại của hai mặt phẳng


Định nghĩa 2.1.2

(i)

Nếu hai đường thẳng chỉ có một điểm chung, ta nói rằng chúng cắt nhau và điểm chung đó
gọi là giao điểm của hai đường thẳng đã cho

(ii)

Nếu đường và mặt phẳng chỉ có một điểm chung, ta nói rằng đường thẳng và mặt phẳng cắt
nhau. Điểm chung đó gọi là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đã cho.

(iii)

Nếu hai mặt phẳng chỉ có một đường thẳng chung, ta nói rằng chung cắt nhau và đường
thẳng chung đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho.

(i)

(ii)

(iii)


Định lí 2.1.4

Qua một đường thẳng và một điểm khơng thuộc đường thẳng đó (hai

đường thẳng cắt nhau) bao giờ cũng có một mặt phẳng và chỉ có một mà thôi.

Chứng minh:

 Cho đường thẳng a và điểm A không thuộc a

Theo tiên đề 1.3 thì có ít nhất 2
điểm thuộc đường thẳng a là B,C
Theo tiên đề 1.4 1.5 thì có duy
P

nhất 1 mặt phẳng chứa A,B,C là
A

mặt phẳng (P)

Vậy ngồi (P) ra khơng có mặt

a

phẳng nào khác chứa đường
thẳng a và điểm A

B
C




Nếu E khơng thuộc (P) thì hai mp (ABE) và (P) ngồi điểm chung là A ra cịn có
điểm chung khác là F (F khác A và F không thể trùng D).

 Vậy mp (P) chứa ít nhất 3 điểm không thẳng hàng là A, F, D

Định lí 2.1.5

Mỗi mặt phẳng chứa ít nhất 3 điểm không thẳng hàng

Gọi (P) là mp cho trước . Theo tiên đề (1.8) có ít nhất 1 điểm B khơng thuộc mp (P). Theo tiên đề (1.3) có
ít nhất 1 điểm không thuộc AB là điểm C (với A ∈ (P)). Hai mp (ABC) và (P) có điểm A chung, theo tiên đề
(1.7) chúng cịn có D là điểm chung (D khác A). Như vậy, trên (P) đã có 2 điểm A và D. Theo tiên đề (1.8)
ta có điểm E khơng thuộc mp (ABCD), ta sẽ có 2 trường hợp.
 Nếu E thuộc mp (P) , khi đó ba điểm A, D, E khơng thẳng hàng, định lí được chứng minh

P


2.2 Nhóm 2: Các tiên đề
2.2.1 Các tiên đề

•

(2.1) Nếu B ở giữa hai điểm A và C thì A, B, C là ba điểm khác nhau cùng
thuộc một đường thẳng và điểm B ở giữa C và A

•

(2.2) Cho bất cứ hai điểm A và C nào cũng có ít nhất một điểm B nằm
trên đường thẳng AC sao cho C nằm giữa A và B

•

(2.3) Trong bất kỳ đường thẳng nào cùng thuộc một đường thẳng không
bao giờ có quá một điểm ở giữa hai điểm kia

Định nghĩa 2.2.1 Một cặp A và B gọi là một đoạn thẳng ,kí hiệu là AB hay BA.Các điểm ở giữa A và B là các
điểm trong của Ab hay thuộc AB. Hai điểm A và B gọi là hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Tất cả các điểm cịn lại
khơng thuộc AB và hai đầu mút gọi là các điểm ngoài AB.
(2.4) Tiên đề Pasch: cho ba điểm A,B,C không cùng một đường thẳng và một đoạn thẳng a không thuộc
(ABC) nhưng không đi qua bất cứ điểm nào trong A,B,C cả.Nếu đường thẳng a có một điểm chung với đoạn
thẳng AB thì nó có một điểm nữa hoặc với đoạn thẳng AC hoặc đoạn thẳng BC.

a

C

A

B


Chú ý 2.2.1

(a) Tiên đề (2.1) cho ta biết tương quan ở giữa chỉ đặt ra đối với ba điểm
khác nhau thẳng hàng, không phụ thuộc vào thứ tự hai đầu mút

(b) Tiên đề (2.2) bao giờ cũng có B nằm ngồi AC, nghĩa là đoạn thẳng có
ít nhất 1 điểm nằm ngoài giúp ta biết được mỗi đường thẳng có ít nhất 3
điểm
(c) Tiên đề (2.3) cho biết rằng trong ba điểm thẳng hàng thì nhiều nhất là một
điểm giữa hai điểm kia

2.2.2 CÁC ĐỊNH LÍ
Định lí 2.2.1 Bất kì một đoạn thẳng AB nào, bao giờ cũng có ít nhất một điểm C ở
giữa hai điểm A và B đó.
E

F

C

A

B


•

Chứng minh
Theo (1.3) D không thuộc AB
Theo (2.2) Trên AD lấy E sao cho D nằm giữa A và E
Trên EB lấy F sao cho B nằm giữa E và F.
Theo (2.4) A,B,E khơng thẳng hàng,
nên nó phải có điểm chung với AB,EB.
Nếu FD có điểm chung với EB thì FD
nhau)
Vậy:FD

FD ∩ AE = D
≡

EF( theo 1.2 thì nó vơ lí vì D,E là hai điểm khác

∩

AB=C

-Ta nói FD cắt AB tại C và C là điểm nằm giữa A và B


Định lí 2.2.2 Trong bất kì ba điểm A,B,C nào trên một đường thẳng bao giờ cũng có
một điểm ở giữa hai điểm kia.
A

B

C

DΚΚΚ
F

E

G

Κ


Chứng minh
Giả sử: A không giữa B,C và C không giữa A,B
Theo (1.3) D không thuộc AC
Theo (2.2) Trên BD lấy G sao cho D ở giữa B,G

Theo (2.4) đối với ba điểm B,C,G và đường thẳng AD,

AD ∩ CGở giữa
= EC,G. AD khơng thể cắt đoạn BC, vì nếu AD cắt AC là hai đường thẳng
trùng nhau và như vậy là trái với việc ta lấy điểm D không thuộc đường thẳng AC.

Tương tự, ta chứng minh được đường thẳng CD cắt AG tại F ở giữa A và G.Lại áp dụng tiên
đề (2.4) đối với A,E,G và CF ta có D ở giữa A và E. Lại áp dụng với A,C,E và DG ta có B ở
giữa A và C.


Hệ quả 2.2.1
a) Với bất cứ đoạn thẳng AC nào bao giờ trên đường thẳng AC ta cũng có những
điểm ở trong và ngoài đoạn thẳng AC.
b) Với ba điểm trên một đường thẳng bao giờ cũng một và chỉ một điểm ở giữa
hai điểm hai điểm kia.
Chú ý 2.2.2 Đinh lí 2.2.2 khơng đúng khi xét ba điểm A, B, C trên một đường
thẳng xạ ảnh


Định lí 2.2.3 Nếu điểm B ở giữa A và C, điểm C ở giữa B và D thì các điểm B và C điều ở giữa A và
D

A

B

C

D

Định lí 2.2.4 Nếu điểm C ở giữa A và D, điểm B ở giữa A và C thì điểm B ở giữa A và D, điểm C ở
giữa B và D
A

B

C

D


Định lí 2.2.5 Nếu B là một điểm của đoạn AC thì đoạn AB và đoạn BC điều thuộc đoạn
AC, nghĩa là mỗi điểm thuộc đoạn AB hoặc BC điều thuộc AC

A

B

C

Định lí 2.2.6 Nếu B là một điểm của đoạn AC thì mỗi điểm của đoạn AC khác với B thì phải
thuộc hoặc là đoạn AB hoặc đoạn BC

A

B

X

X

A

B

C

C


Chứng minh
X

∉
AB

B ở⇒
giữa A và X hoặc
A ở giữa X và B

•

Nếu B ở giữa X và A ,theo giả thiết X ở giữa A và C, theo định lí (2.2.4) X ở
giữa B và C

•

X BC
⇒

∈
Nếu A ở giữa X và B,theo giả thiết B ở giữa A và C, theo định lí (2.2.3) A ở
giữa X và C
X
⇒

∉

AC ( vơ lí )

⇒

A giữa X và B khơng xảy ra