Tài liệu Cơ học lý thuyết Phần 10 pptx

-135-
Phần 3
Động lực học

Chơng 11
Các định luật của niu-tơn và phơng trình vi phân
chuyển động
11.1. Các khái niệm cơ bản
Động lực là phần tổng quát của cơ học. Động lực học nghiên cứu chuyển
động của vật thể dới tác dụng của lực. Động lực học thiết lập các định luật liên
hệ giữa lực tác dụng với những đặc trng động học và áp dụng các định luật đó
có thể giải các bài toán kỹ thuật.
Vật thể trong động lực học đợc xét dới dạng mô hình : chất điểm, cơ hệ,
vật rắn.
Chất điểm là một điểm hình học có mang khối lợng. Chất điểm là mô
hình đơn giản nhất và cơ bản nhất của vật thể trong động lực học.
Cơ hệ là tập hợp nhiều chất điểm chuyển động phụ thuộc lẫn nhau.
Vật rắn là cơ hệ đặc biệt khi khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ trong
đó luôn luôn không đổi.
Khác với tĩnh học, lực trong động lực học có thể là không đổi, có thể biến
đổi cả về độ lớn và phơng chiều.
Lực phụ thuộc vào thời gian nh lực kéo đầu máy, phụ thuộc vào vị trí của
vật nh lực hấp dẫn, lực đàn hồi của lò xo, phụ thuộc vào vận tốc nh lực cản của
không khí. Một cách tổng quát trong động lực học lực là một hàm của thời gian,
vị trí và vận tốc. Ta có :
(
)
v,r,tFF
r
r

r
r
=
.
Trong động lực học các lực đợc phân chia thành nội lực, ngoài lực hay
hoạt lực và phản lực liên kết. Nội lực ký hiệu là
i
F
r
.
i
F
r
là lực tác động tơng hỗ

-136-
giữa các chất điểm trong một cơ hệ.
Ngoại lực ký hiệu
là các lực do chất điểm hay vật thể ngoài hệ tác dụng
vào hệ. Phản lực liên kết ký hiệu
e
F
r
N
r
là lực tác dụng do các vật gây liên kết lên cơ
hệ khảo sát. Hoạt lực là các lực tác dụng lên cơ hệ không kể phản lực liên kết,
thờng ký hiệu là
F
a

r
Để khảo sát chuyển động của vật bao giờ cũng chọn trớc một hệ quy
chiếu. Hệ quy chiếu không phụ thuộc vào thời gian gọi là hệ quy chiếu quán
tính, ngợc lại hệ quy chiếu phụ thuộc vào thời gian gọi là hệ quy chiếu không
quán tính .
11.2. Các định luật của Niu -Tơn
Cơ sở lý luận của động lực học chủ yếu là các định luật của NIU - TON.
I-sác Niu Tơn (1643-1727) là nhà bác học lỗi lạc đã đặt nền móng cho cơ
học cổ điển và đã xây dựng lý thuyết cơ học hoàn thiện cân đối. Vì thế cơ học cổ
điển còn gọi là cơ học Niu - Tơn.
Sau đây giới thiệu các định luật của Niu - Tơn và xem nh là hệ tiền đề
của cơ học.
Định luật 1(Định luật quán tính)
Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào sẽ đứng yên hoặc chuyển
động thẳng đều.
Trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều là trạng thái chuyển
động theo quán tính. Khi chuyển động theo quán tính chất điểm sẽ có :
và constv =
r
0w
=
r
.
Định luật 2 (định luật cơ bản của động lực học )
Dới tác dụng của lực chất điểm sẽ chuyển động với gia tốc cùng phơng
chiều với lực (hình 9-1)
M
v
F
W

Hình 11.1
W.
m
F
rr
=

-137-
m là hệ số tỷ lệ, phụ thuộc vào lợng vật chất có trong chất điểm.
Theo định luật này lực là nguyên nhân làm cho chất điểm chuyển động có
gia tốc.
Biểu thức (11-1) cho thấy : Nếu lực
F
r
không đổi m càng lớn càng nhỏ
và ngợc lại, điều đó chứng tỏ kkối lợng m là số do quán tính của vật (tính ỳ
của vật)
W
r
Từ hệ thức (11-1) nếu lực là trọng lợng của vật sẽ có :P = mg. ở đây g
đợc gọi là gia tốc trọng trờng.
Hệ thức (11-1) gọi là phơng trình cơ bản của động lực học.
Định luật 3 (định luật về tính độc lập tác dụng của lực)
Dới tác dụng đồng thời của một hệ lực chất điểm sẽ chuyển động với gia
tốc bằng tổng hình học các gia tốc mà chất điểm thu đợc khi nó chịu tác dụng
độc lập từng lực một .
n21
w www
r
r

r
r
+++=
. (11-2)
w
r
là gia tốc của chất điểm khi hệ lực cùng tác dụng đồng thời ;
là gia tốc của chất điểm khi nó chịu tác dụng từng lực:
độc lập .
n21
w,w,w
rrr
n21
F, F,F
rrr
Từ hệ (11-2) nếu nhân hai vế với khối lợng m sẽ đợc :
n21
wm wmwmwm
r
rrr
+
++=

Theo định luật hai thì :

Do đó ta có :

=
=+++=
n

1i
n21
FF FFwm
r
r
r
r
r
(11-3)
Hệ thức (11-3) là phơng trình cơ bản của động lực học khi chất điểm
chịu một hệ lực tác dụng.
Định luật 4 (định luật tác dụng và phản tác dụng )

-138-
Lực tác dụng tơng hỗ giữa hai chất điểm là những lực cùng phơng, cùng
độ lớn và ngợc chiều.
Định luật này mô tả tác dụng tơng hỗ giữa hai chất điểm và là cơ sở
nghiên cứu cho động lực học của hệ.
Cần chú ý rằng hai lực tơng hỗ không phải là một cặp lực cân bằng vì
chúng đặt lên hai chất điểm khác nhau.
11-3. Phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm
và cơ hệ.
Xét chất điểm chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính oxyz, dới tác
dụng của các lực
n321
F, F,F,F
r
rrr
. Đối với chất điểm tự do các lực này là các hoạt
lực đặt lên chất điểm. Đối với chất điểm không tự do các lực này bao gồm cả

hoạt lực và phản lực liên kết. Căn cứ vào phơng trình cơ bản của động lực học
ta có thể thành lập phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm dới các
dạng khác nhau.
11.3.1.Dạng véc tơ
Gọi véc tơ định vị của chất điểm là
r
r
ta có :

r
d
t
rd
w
2
2
&&
r
r
==

Khi đó phơng trình cơ bản viết cho chất điểm nh sau :


=
=
n
1i
1
2

2
F
d
t
rd
m
r
r
(11-4)
Phơng trình vi phân (11-4) đợc gọi là phơng trình vi phân chuyển động
của chất điểm dới dạng véc tơ.
11.3.2. Dạng toạ độ Đề các
Chiếu phơng trình (9-4) lên các trục toạ độ oxyz sẽ đợc :

-139-

;

=
=
n
1i
i
Xxm
&&

; (11-5)

=
=

n
1i
i
Yym
&&

.

=
=
n
1i
i
Zzm
&&
ở đây x, y, z là toạ độ của chất điểm trong hệ oxyz, còn X
i
, Y
i
, Z
i
là hình
chiếu của lực
lên các trục ox, oy, oz.
i
F
r
Hệ phơng trình (11-5) đợc gọi là hệ phơng trình vi phân chuyển động
của chất điểm dới dạng toạ độ Đề các.
11.3.3. Dạng toạ độ tự nhiên

Gọi W

, W

, W

là hình chiếu của gia tốc điểm và F
i

, F
i

, F
i

là hình
chiếu của F
i
lên các trục của hệ toạ độ tự nhiên. Sau khi chiếu phơng trình (11-
4) lên các trục của hệ toạ độ tự nhiên ta đợc :

;

=

==
n
1i
i
Fsmmw

&&


=

=

=
n
1i
i
2
F
v
mmw
; (11-6)

.

=

==
n
1i
i
F0mw
Đối với cơ hệ chúng ta có thể tách một chất điểm trong hệ ra để xét. Gọi
hợp các ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ k đợc tách ra là
và hợp các nội
lực tác dụng lên nó là

.
ke
F
r
ki
F
r
Phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm viết dới dạng véc tơ :
kekikk
FFwm
rr
r
+=
Trong đó m
k
và là khối lợng và gia tốc của chất điểm thứ k .
k
w
r

-140-
Khi xét tất cả các chất điểm ta sẽ thu đợc N phơng trình sau :

e1i111
FFwm
rr
r
+= ;

e2i2122

FFwm
rr
r
+= ; (11-7)


neninn
FFwm
rr
r
+= .
Hệ phơng trình (11-7) đợc gọi là hệ phơng trình vi phân chuyển động
của hệ dới dạng véc tơ. Nếu chiếu hệ phơng trình (11.7) lên các trục của hệ
toạ độ Đề các hoặc hệ toạ độ tự nhiên ta sẽ đợc hệ phơng trình vi phân chuyển
động của cơ hệ dới dạng toạ độ Đề các và hệ toạ độ tự nhiên.
11-4. Hai bài toán cơ bản của động lực học
Từ phơng trình vi phân chuyển động của chất điểm ta thấy trong động
lực học có hai bài toán cơ bản sau đây :
-
Bài toán cơ bản thứ nhất: Cho biết chuyển động của chất điểm xác định
lực đã gây ra chuyển động đó. Bài toán này gọi là bài toán thuận.
-
Bài toán cơ bản thứ hai: Cho biết các lực tác dụng lên chất điểm và điều
kiện ban đầu của chuyển động xác định quy luật chuyển động của chất điểm. Bài
toán này gọi là bài toán nghịch.
Sau đây giới thiệu cách giải hai bài toán cơ bản nói trên.
Đối với bài toán thứ nhất ta thiết lập phơng trình vi phân của chuyển
động chất điểm. Từ phơng trình vi phân ta xác định đợc lực tác dụng lên từng
chất điểm. Điều cơ bản của bài toán là xác định gia tốc của chất điểm điều này
đã đợc giải quyết trong động học.

Đối với bài toán thứ hai, ta thay lực vào vế phải của phơng trình vi phân
sau đó tích phân phơng trình vi phân tìm đợc. Để tìm dạng chuyển động cụ thể
ta xác định hằng số tích phân căn cứ vào các điều kiện ban đầu của chuyển động.
Nếu phơng trình vi phân viết dới dạng toạ độ Đề các sau khi lấy tích phân hai

-141-
lần sẽ xuất hiện 6 hằng số tích phân, nghĩa là các nghiêm x, y, z thu đợc là các
hàm của thời gian và 6 hằng số tích phân đó :
x=f
1
(t,C
1
,C
2
C
6
)
y= f
2
(t,C
1
,C
2
C
6
)
z= f
3
(t,C
1

,C
2
C
6
)
Các hằng số tích phân trên đợc xác định từ các điều kiện ban đầu ;
Khi t=0 x=x
0
; y=y
0
; z=z
0
;
000
zz;yy;xx
&&&&&&
===

Thí dụ 11-1:
Chất điểm có khối lợng m chuyển động theo đờng enlip x=acoskt và
y=bsinkt hãy tìm lực tác dụng lên chất điểm (hình 11-2).
Bài giải :
M
O
y
b
x
a
v
F

r
Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ
nhất. Căn cứ vào phơng trình chuyển động
x=acoskt
y=bsinkt
Hình 11.2
Xác định đợc :

x
k
ktcosa
k
x
22

==
&&
;

; ykktsinbky
22
==
&&
Ta có phơng trình vi phân chuyển động nh sau :

xmkFmx
2
x
==
&&

ymkFmy
2
y
==
&&
Lực tác dụng lên chất điểm sẽ là F với :

rmkyxmkFFF
22222
y
2
x
=+=+=


-142-
Các góc chỉ phơng của
F
r
là :

r
x
F
F
)x,Fcos(
x

==

r
y
F
F
)y,Fcos(
y

==

Mặt khác ta cũng có :

r
x
)x,rcos( =


r
y
)y,rcos( =

Dễ dàng nhận thấy
F
r
cùng phơng nhng ngợc chiều với véc tơ định vị
r
r
của chất điểm.
Ta có :

r
m
k
F
r
r

=
.
Thí dụ 11-2 : Để phân loại hạt ngời ta cho hạt đi qua một sàng dao động
ngang có nhiều lỗ. Biết rằng vận tốc của hạt khi bắt đầu chuyển động qua lỗ
(hình 11-3). Hạt có hình dạng cầu, bán kính R. Bỏ qua lực cản của không khí
xác định độ dài bé nhất b của lỗ để hạt có thể rơi qua lỗ đợc.
0
v
r

-143-
Bài giải:
Để hạt rơi qua lỗ sàng trọng
tâm của hạt tại vị trí bất đầu chạm
mép bên kia của lỗ phải nằm dới
mặt phẳng ngang của sàng. Để giải
quyết đợc điều kiện đó ta xác
định quãng đờng hạt đi đợc theo phơng ngang (phơng ox) khi tâm hạt rơi
xuống đợc một đoạn x=R. Lực tác dụng lên hạt coi nh đã biết đó là trọng
lợng bản thân của nó. Bài toán ở đây thuộc loại bài toán cơ bản thứ hai.
R
b
v

o
x
y
Hình
Chọn hệ toạ độ oxy gắn với sàng (hình 11-3) coi sàng đứng yên còn hạt
chuyển động so với sàng. Lực tác dụng lên hạt có :
F
y
= 0 F
x
= +mg.
Phơng trình vi phân chuyển động của hạt viết đợc :

mgx
m
=
&&
; hay ; gx =
&&

0y
m
=
&&
; hay ; 0y =
&&
Tích phân hai vế phơng trình trên ta đợc :

Cgtx +=

&
21
2
CtC
2
gt
x ++=



3
Cy =
&
43
CtCy
+
=

Để xác định hằng số tích phân ta dựa vào điều kiện đầu đã cho của chuyển
động.
Khi t = 0
suy ra C
0
xx
&&
=
1
=0
x=x
0

suy ra C
4
=0.
Thay vào nghiệm đã tìm đợc ta có :

2
gt
x
2
=

tvy
0
=


-144-
Phơng trình quỹ đạo thu đợc :

g
x2
vy
0
=

Khi x=R thì
g
R2
vRby
0

==

Suy ra
g
R2
vRb
0
+=

Để hạt chắc chắn rơi qua lỗ ta phải có :

g
R2
vRb
0
+

Thí dụ 11.3 :
Một chất điểm có khối lợng m chuyển động trong mặt phẳng ngang dới
tác dụng của lực hút về tâm O là
r
m
kF
2
r
r

=
. ở đây
r

r
là véc tơ định vị còn k là
hệ số tỷ lệ. Hãy tìm phơng trình chuyển động và quỹ đạo của chất điểm. Cho
biết tại thời điểm ban đầu t
0
= 0 , x
0
= 1 , y
0
= 0 , 0x
=
&
,
0
vy
=
&
(hình 11-4)
Bài giải:
Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ hai. Phơng trình vi phân chuyển
động của chất điểm viết dới dạng véc tơ :

r
m
k
W
m
2
r
r

=

chọ hệ toạ độ oxy nh hình vẽ ta có thể thiết lập phơng trình vi phân dới
dạng toạ độ Đề các nh sau :

mxkx
m
2

=
&&


mykym
2
=
&&
Khử khối lợng m ở hai vế
phơng trình trên ta đợc :
M
y
x
y
F
O
l
x
H
ình 11.4

-145-

0x
k
x
2
=

=
&&


0yky
2
==
&&
Nghiệm tổng quát của hai phơng trình có dạng:
x=c
1
coskt + c
2
sinkt
y=c
3
coskt + c
4
sinkt
Các hằng số tích phân c
1
, c

2
, c
3
, c
4
đợc xác định từ các điều kiện đầu của
chuyển động.
Ki t =t
0
= 0 có :
x = x
0
= l = C
1
;
2
kC0x
=
=
&

y = y
0
= 0 = C
3
;
40
kCvy
=
=

&

Suy ra :
C
1
= 1; C
2
= 0; C
3
= 0; và C
4
= v
0
/k
Phơng trình chuyển động chất điểm đợc viết :
x=lcoskt; y = (v
0
sinkt)/k
Khử t trong phơng trình trên sẽ tìm đợc phơng trình quỹ đạo dạng

1
k/v
y
l
x
22
0
2
2
2

=+

Đây là phơng trình đờng enlip nhận các trục ox, oy là trục
Thí dụ 11-4: Con lắc toán học gồm chất điểm M có khối lợng m treo vào
đầu sợi dây không dãn và không trọng lợng, chuyển động trong mặt phẳng
thẳng đứng. Xác định phản lực N của dây (hình
vẽ 11-5). Cho biết lúc đầu con lắc ở vị trí M
0
và
có vận tốc v
0


o
P


h

N


M
o
v
o


M
Bài giải :

Xét chuyển động của chất điểm M. Các
Hình 11.5

-146-
lực tác dụng lên nó gồm P và N. Có thể thiết lập phơng trình vi phân viết dới
dạng tọa độ t nhiên nh său :

== sinmgsinPs
m
&&
(a)
NcosmgNcosP
V
m
2
+=+=

(b)
Thay l = s vào phơng trình (a)
Ta đợc :

= sinmgml
&&
hay :
0sin
l
g
=+
&&

Xét dao động là nhỏ lấy sin , ta có

(c) Trong đó :
0k
2
=+
&&
l
g
k
2
=
Nghiệm tổng quát của phơng trình này là : = Asin(kt + )
A, là hằng số đợc xác định bằng điều kiện đầu của chuyển động .
Để tìm N căn cứ vào phơng trình (b).
Ta có :

+= cosmg
l
mv
N
2

Để tính v
2
ta chú ý :


=

=

=

d
d
dt
d
d
d
dt
d
dt
d
2

Thay kết quả trên vào phơng trình ( c) ta có :

0sin
l
g
=+
&&
ta có :

=

sin

l
g
dt
d


ccos
l
g
d +=


-147-
Hằng c đợc xác định từ điều kiện ban đầu. Gọi góc ban đầu và vận tốc
góc ban đầu kà
0
và
0
ta sẽ có :

0
2
2
0
0
2
0
cos
l
g

l2
v
cos
l
g
2
c =

=

Thay c vào biểu thức (c) ta đợc :

0
2
2
0
2
cos
l
g
l
v
cos
l
g2
+=
;


0

2
0
222
cos(cosgl2vlv +==
Cuối cùng nhận đợc :

)cos2cos3
gl
v
(PN
0
2
0
+=

Nh vậy phản lực N phụ thuộc vào điều kiện ban đầu và vị trí của điểm M.
Kết quả này cũng đúng cho cả khi dao động là không nhỏ.