BÀI tập cơ bản về ĐƯỜNG TRÒN

HÌNH HỌC 9-CÁC MẪU CƠ BẢN THƯỜNG GẶP
Mẫu 1 :
A; B; C ; D �(O) AB I CD   M 
MA.MB  MC.MD
Bốn điểm
;
. Chứng minh rằng:

Mẫu 2 :

CD
M
AB
(Ngược lại mẫu 1) Cho
là giao điểm của
và
(khơng có ba điểm nào thẳng
A; B; C ; D
MA.MB  MC.MD
hàng từ bốn điểm
) thỏa mãn hệ thức
. Chứng minh bốn
A; B; C ; D
điểm
cùng thuộc một đường tròn.
Mẫu 3 :
(O) MA
(O) MBC
(Cát tuyến – tiếp tuyến) Cho
nằm ngoài
;

là tiếp tuyến của
,
là cát
2
MA  MB.MC
tuyến. Chứng minh :
M

Mẫu 4 :
MA2  MB.MC

�
MAB  �
MCA

(Ngược lại mẫu 3). Cho hình vẽ, có
hoặc
ABC
MA
rằng
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
.

. Chứng minh

Mẫu 5 :

ABC nhọn nội tiếp  O  ,
đường cao BD, CE cắt nhau tại H .
Chứng minh AO  DE .

Mẫu 6: (Kết quả quan trọng)

MA  MB  2 MI
*

MA  MB   MI  IA    MI  IB 

 2MI   IB  IA 
 2MI


* AE. AC  AH . AD  AF . AB

CE.CA  CH .CF  CD.CB
BD.BC  BH .BE  BF .BA
* DH .DA  DB.DC

EH .BE  AE.EC

FH .FC  FB.FA
* H là tâm đường tròn nội tiếp EDF
Mẫu 7 :

ABC

 O
nhọn nội tiếp

BC

điểm của

H

;

là trực tâm của
DMEF

. Chứng minh :

ABC

AD; BE; CF

; đường cao

.

M

là trung

nội tiếp.

(BC

BC
A
cố định, chuyển động trên cung lớn

. Chứng minh đường trịn ngoại tiếp
DEF
ln đi qua một điểm cố định )

Mẫu 8: ( Bổ đề hình thang )
Từ điểm

M

 O
nằm ngồi

MC

thẳng

điểm của

( A, B

cắt
MO

AB

là các tiếp điểm). Kẻ đường kính

 O

K

tại
và cắt
AB; BD.

tại điểm thứ hai là

D

AC

 O
của

. Đoạn

H, I

. Gọi

lần lượt là các giao

với

M , A, O, B
1) Chứng minh:
2) Chứng minh:
3) Gọi

L

cùng thuộc một đường tròn
MO //BC

và

IM 2  IB.ID

IK , HC
là giao điểm của

M , B, L
. Chứng minh rằng:

thẳng hàng.

Mẫu 9:
Cho điểm
tại

I

M

và cắt

(O)

nằm ngoài

AB

1) Chứng minh :

tại

H

.

OM  AB

(O)
(O)
OM
MA MB
, vẽ hai tiếp tuyến
,
với
; đoạn
cắt


2) Chứng minh :
3) Tia

I

tâm đường tròn nội tiếp tam giác

(O)

MO

cắt

tại điểm thứ hai là

N

ABM

. Chứng minh

IM .NH  IH .NM

Mẫu 10:

 O  các đường cao AD ; BD ; CF cắt nhau tại H .
Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn
 O .
1) Nếu D ' đối xứng với H qua BC thì D ' thuộc

 O  tại điểm thứ hai là D ' thì D ' và D đối xứng nhau qua BC .
2) Nếu AH cắt
Mẫu 11:
Cho

 O H

ABC

nhọn nội tiếp
BC
điểm của
. Chứng minh:

OM 
1)
2)

1
AH
2

ADH

BC

là trực tâm

ABC

, đường cao

BD CE M
,

.

là trung

.

�
ED  BC.cos BAC

3) Khi

,

cố định,

.

A

di động trên cung lớn

BC

. Tìm vị trí điểm

A

để chu vi và diện tích

đạt giá trị lớn nhất.

Mẫu 11:

ABC

 O, R  , M

BC.
M
là một điểm chuyển động trên cung lớn
từ
là một
MH  AB, MK  BC , MP  AC
BC
M
điểm chuyển động trên cung lớn
. Từ
dựng
(
H �AB K �BC D �AC
,
,
)
nhọn nội tiếp

H , P, K

1) Chứng minh:

thẳng hàng (Đường thẳng Simson)

2) Xác định vị trí điểm

M

để

Mẫu 16:

 O, R 
Cho

và

M

HK

đạt giá trị lớn nhất.

 O
nằm ngoài

. Từ

các tiếp điểm ). Một đường thẳng qua
MC  MD

).

M

M

 O

MA, MB

kẻ các tiếp tuyến

 O
cắt

tại 2 điểm

với
C

và

D

, cắt

A, B

(

AB

là

tại

K

(


AC.BO  AD.BC
1) Chứng minh:
2)

a) Nếu tiếp tuyến tại
và

K

là trực tâm

b) Nếu
Mẫu 16:

OI

cắt

C

và

D

 O
của

cắt nhau tại

P

A, B, P
. Chứng minh:

thẳng hàng

MOP

AB

tại

P

(

I

là trung điểm

CD

 O

PD, PC
) thì

là tiếp tuyến của

.

(Tiếp theo)
Chứng minh:
Chứng minh

�  POC
�
PHC

PD

.

 O
là tiếp tuyến của

.

Mẫu 17:
� BC �
O;
�
�

 AB  AC 
 ABC
D, E H
� 2 � AB, AC
Cho
nhọn
. Đường tròn
cắt
lần lượt tại
. là
CD AH
BC
BE
F
giao điểm của
và
,
cắt
tại

1) Chứng minh

DEOF

nội tiếp.

B,C

 ABC

A

(hoặc giả sử

 AB  AC 

cố định và
di động sao cho
nhọn
. Chứng minh
 DEF
O
đường tròn ngoại tiếp
ln đi qua một điểm cố định (đó là điểm ).
I

AH

IE

 O

2) Gọi là trung điểm của
. Chứng minh
là tiếp tuyến của
.

IBC
K
DE

AH
K
3)
là giao điểm của
và
.chứng minh là trực tâm của
Mẫu 18:
 ABC

 O

AD, BE , CF

 ABC

nhọn nội tiếp đường tròn
ba đường cao
của
cắt nhau tại
 DEF
H
. Đường tròn ngoại tiếp
cắt BC tại điểm thứ hai là I. Chứng minh I là trung điểm
của BC
Mẫu 20:


S

Từ điểm

 O
nằm ngoài

 O
SA A
AK
vẽ tiếp tuyến
( là tiếp điểm), vẽ đường kính
của

 O

SB  SC
SC
SO
SK
và cát tuyến
đến đường tròn
(
và tia
nằm giữa hai tia
và
).
CK
OH  BC
SO
H
E
Vẽ

tại . Tia
cắt
tại .
SBC

1) Chứng minh:
2) Gọi

EK .BH  AB.OK

D

 O  D �A

AE

F

là giao điểm giữa
với
,
. Gọi
là giao điểm của
BC
DK
FI  BD
là giao điểm của
và
. Chứng minh rằng
Mẫu 21:

ABC

 AB  AC 
nhọn

nội tiếp

 M �A
. Gọi
1)

H

Chứng minh:

2)

Tia

CH

cắt

là trung điểm của
Mẫu 22:

đối xứng với

Cho

M

, có đường cao
qua

AH . AD  AS . AC
AB

ST

tại

T

, tia

MS

BC

. Tia

BH

cắt

AD

AC

AD

. Tia
tại

S

và

BK I
,

 O
cắt

tại

M

.

.

 O
cắt

tại

N

và

BN

ST

cắt

tại

I

. Chứng minh:

I

.

 O; R 
M

 O

DC

và dây cung

AB �2 R

cố định. Gọi

�A, M �B 

 I

M

là một điểm bất kì thuộc cung nhỏ
AB

AB

 O

D

. Dựng đường tròn
tiếp xúc với
tại
và tiếp xúc trong với
M
MD
AB
tại
. Chứng minh rằng:
ln đi qua điểm chính giữa cung lớn
(Hoặc: Chứng
MD
M

mình rằng: Đường thẳng
luôn đi qua một điểm cố định khi điểm
chuyển động trên
AB
cung nhỏ
)
,

Mẫu 23:
Cho

ABC

 O
nhọn nội tiếp đường tròn
ADE

BD, CE

, các đường cao

 O

P  P �A 

cắt nhau tại
M

H

. Đường

BC

tròn ngoại tiếp
cắt đường tròn
tại
. Gọi
là trung điểm của
.
P, H , M
Chứng minh:
thẳng hàng.
BC B, C
ABC
A
(Hoặc: Khi
chuyển động trên cung lớn
,
cố định. Chứng minh
nhọn thì
PH
ln đi qua một điểm cố định.)
Mẫu 24 :

(Liên quan đường kính và trực tâm

H

)

ABC

(O ) H
ABC
BC
M
nhọn nội tiếp
.
là trực tâm
. Gọi
là trung điểm của
. Đường
AB, AC
E, F
H
HM
thẳng qua
vng góc với
cắt
lần lượt tại
.Chứng minh: H là trung
DE
điểm của
.

HẾT