Tài liệu ôn tập kết thúc học phần giải tích 1, giải tích 2

ÔN TOÁN
BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA H/S
1/ VÔ CÙNG BÉ
a) 1 số vcb cơ bản khi x0
Sinx=x

tanx=x

arctanx=x

Ln(1+x) =x

ex-1 =x

[(1+x) a-1] =ax

loga(1+x) =x/lna

ax-1=x.lna

anxn+an-1xn-1+…..+apxp= apxp (n>=p,ap # 0)

b) so sánh các VCB
Lim a/b=0 thì a là vcb bậc cao hơn b
Lim a/b= L #0 thì a và b ngang cấp
Khi L=1 thì a và b là hai vcb tương đương

c) Cách tính giới hạn
Cách 1: pp biến đổi
An-Bn = (a-b)(an-1+ an-2b+…+ bn-1)
Cách 2: quy tắc l’hospital

Dạng 0/0 hoặc
L= lim đạo hàm đến khi mất dạng vơ định hình
Ví dụ: = = aa(lna-1)
Cách 3: sd logarit
Giới hạn dạng y=
Đặt y= [f(x)]g(x) và lấy log cơ số e hai vế ta có: lny= g(x).ln[f(x)]
Ví dụ: A=
LnA= ln = = = =0 <L’hospital>

arcsinx=x
1-cosax=


Lna=0 a=1

BÀI 2: ĐẠO HÀM
Bài toán thực tế: Xét một cơ cấu chuyển động như sau:

A

Thanh trượt AB dài 13m, đỉnh A trượt trên oy, đỉnh B trượt trên ox.
Giả sử điỉnh B đang trượt ra xa gốc O với tốc độ 2m/s.
Hỏi đỉnh A của thanh trượt về gốc O ntn khi B trượt tới điểm cách O là 5m.

B
O

Giải
Gọi x là khoảng cách từ B đến O, y là khoảng cách từ A đến O
Bài toán trở thành cho biết x’(t) = 2m/s. tìm y’(t) khi x=5m

Theo pitago: x2 + y2 = 132 (1)
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm ta có:
2x.x’(t) + 2y.y’(t) = 0 < đạo hàm của 1>
y’(t) = (2)
Khi x=5 thay vào (1) ta có y=12
Thay x=5 y=12 x’(t)=2 vào (2) ta có
Y’(t)= < dấu âm vì A trượt xuống>
Vậy đỉnh B trượt ra xa gốc O với tốc độ 2m/s khi đến vị trí cách O là 5m thì đỉnh A
của thanh AB trượt về gố O dọc theo Oy với tốc độ m/s.

BÀI 3: TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1< TÍCH PHÂN VỚI CẬN VÔ TẬN>
Hàm số f(x) xác định trên [a,] khả tích trên [a,b] với mọi b [a,]. Nếu tồn tại
thì giới hạn đó là tích phân suy rộng loại 1 của f(x) trên [a,b].
=
+ nếu tích phân trên tồn tại ta nói tp hội tụ


+nếu tp = hoặc không tồn tại là tp phân kì
Tương Tự: =

= +
VÍ DỤ:
I= = = lim eb – 1 = +  phân kì

BÀI 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2
F(x) xác định trên [a,b] không bị chặn , khả tích trên [a,c] ctích phân suy rộng loại 2.
=
+ gh trên hữu hạn  hội tụ
+ gh bằnghoặc không tồn tại  phân kì

Tương tự: = +

BÀI 5: CỰC TRỊ
1/ Cực Trị Khơng Có Điều Kiện
Các bước tìm cực trị của hàm số z = f(x,y) trên miền D
+B1: Ta có Z’x=0; Z’y =0  Mi(x0,y0) là điểm dừng
+B2: Đặt A= Z”xx (Mi); B= Z”xy (Mi); C= Z”yy (Mi)
+B3: Xét B2-AC
 B2-AC <0  Đạt CT tại Mo < A>0CT
A<0CĐ>
2
 B -AC >0  Khơng đạt CTrị tại Mo
 B2-AC =0  có thể hoặc không đạt CT tại Mo< Mo là điểm nghi ngờ>


+B4: Kết luận
VÍ DỤ: z(x,y) = x3+y3+3xy
Ta có hệ pt:
Ta có điểm dừng M1(-1,-1); M2(0,0)
A=Z”xx= 6x

B=Z”xy=3

C=Z”yy=6y

+Tại M1(-1,-1) ta có B2-AC =-27<0
A= -6<0  Đạt cực CĐ tại M1(-1,-1)
+ Tại M2(0,0) ta có B2-AC= 9>0  khơng đạt cực trị tại M2(0,0)
2/ Cực trị có điều kiện

kí hiệu bằng

Các bước giải:
+B1: Lập hệ lagrange: L(x,y,) =f(x,y) + .g(x,y)

+B2: Tính g’x; g’y; L”xx; L” xy; L” yy; L”yx
|H| =
+B3: Kết luận

3/ Gía trị LN, NN
VD: tìm GTLN, NN của hàm số z=f(x,y) trên D
Z(x,y)= x2+xy+y2 trên miền D= { -1<=x<=1; -1<=y<=1 }
Ta có
M(0,0) là điểm dừng Z(M)=0
+ y=1  z= x2+x+1 -1<=x<=1
Z’= 2x+1=0  x=
 z () =; z (-1) = 1; z (1) = 3
+ y=-1


+ x=1
+x=-1
GTLN là tại; GTNN là tại…
4/ ứng dụng ct vào thực tế
BT1: Pi là giá trị thị trường của sp I; Qi là số lượng sản phẩm thứ I ; C= C(Q1,Q2)
là hàm chi phí tính theo số lượng sp. Khi đó lợi nhuận là:

BT2: Q=F(L,K) là hàm sản xuất, L là đơn vị lao động, K là đơn vị tư bản, WL WK
là giá thuê lđ và giá thuê tư bản, hàm lợi nhuận có dạng

BÀI 6: ĐỔI BIẾN TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES
1/ CÁCH LÀM
I= =
J= 1:
B1: đặt u=; v=
B2: khoảng chứa u; v
B3: tính J
B4: I= =
BÀI 7: ĐỔI BIẾN TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC
1/ CÁCH LÀM
B1: Xác định tâm, bán kính đường trịn, vẽ hình
B2: Đặt  J=r
B3: Xác định D’
B4: I= =
VÍ DỤ: Tính


I= D giới hạn bởi x2 + y2 =2x
+ Đường trịn (C) có tâm I( 0,0) bán kính R=1
+ Đặt

J=r

+ Vậy D’
< Giải Thích: thay

vào x2 + y2 =2x  >

+ =
=

=. dr =
BÀI 8: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
1/ Cung AB cho bởi y = y(x), ax

2/ Cung AB cho bởi pt tham số: x =x(t); y = y(t); t1
3/ Cung AB cho bởi: x= x(t); y= y(t); z= z(t) t1
BÀI 9: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2
1/

=
2/
Y=f(x)
=
3/
X= x(y)


=

4/ CƠNG THỨC GREEN
B1: Ta có P(x,y)=; Q(x,y) =
B2: Tính ;
B3: Áp dụng CT Green ta được:
I= =
B4: tính bt