Slide phương trình toán lý bài 3 bài toán elip hai chiều

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN
ELIP HAI CHIỀU
Bài giảng điện tử

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ mơn Tốn ứng dụng

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.

/>
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP.
ELIPHCM
HAI —
CHIỀU
2013.

1 / 44


Bài tốn Dirichle đối với phương trình Poisson

Bài tốn vi phân

Cho Ω là một miền khác rỗng, mở, hữu hạn của
mặt phẳng Oxy có biên là đường cong kín Γ trơn
từng khúc. Cho f (x, y ) ∈ L2(Ω). Xét bài tốn: tìm
u(x, y ) ∈ W 2(Ω) thỏa mãn

∂ 2u ∂ 2u
(1)
∆u = 2 + 2 = f (x, y ), (x, y ) ∈ Ω
∂x
∂y
u|(x,y )∈Γ = 0,
(2)

tức là tìm u(x, y ) ∈ W02(Ω) = W01(Ω) ∩ W 2(Ω)
thỏa mãn (1). Nghiệm u của bài toán vi phân
được định nghĩa như vậy được gọi là nghiệm cổ
ng.com
điển hay nghiệm />giải tích của bài tốn (1), (2).
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP.
ELIPHCM
HAI —
CHIỀU
2013.

2 / 44


Bài toán yếu và nghiệm suy rộng

Bài toán yếu

Giả sử bài tốn (1), (2) có nghiệm duy nhất
u ∈ W02(Ω), khi đó ∆u, f ∈ L2(Ω). Nhân vơ

hướng trong L2(Ω) 2 vế của (1) với hàm thử
v ∈ L2(Ω) ta được
∂ 2u ∂ 2u
+
∂x 2 ∂y 2

vdxdy =

Ω

fvdxdy ,

(3)

Ω

∀v ∈ L2(Ω)
Chú ý. v được gọi là hàm thử

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP.
ELIPHCM
HAI —
CHIỀU
2013.

3 / 44

Bài toán yếu và nghiệm suy rộng

Bài toán yếu

Ngược lại, nếu u ∈ W02(Ω) thỏa mãn (3) thì
∂ 2u ∂ 2u
+
−f
∂x 2 ∂y 2

vdxdy = 0, ∀v ∈ L2(Ω)

Ω

∂ 2u ∂ 2u
nên 2 + 2 − f (x, y ) = 0 và do đó u cũng
∂x
∂y
thỏa mãn (1), (2).

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP.
ELIPHCM
HAI —
CHIỀU
2013.

4 / 44


Bài toán yếu và nghiệm suy rộng

Bài toán yếu

(1)

Xét các hàm thử v ∈ W0 (Ω). Lấy tích phân từng
phần ta được
∂ 2u ∂ 2u
+
∂x 2 ∂y 2

vdxdy =

Ω

∂u ∂v ∂u ∂v
+
∂x ∂x ∂y ∂y

−

dxdy +

Ω

v

∂u
ds,
∂ν

Γ

trong đó ν là pháp véc tơ ngồi của đường biên Γ,
cịn ds là vi phân cung trên Γ.

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP.
ELIPHCM
HAI —
CHIỀU
2013.

5 / 44


Bài tốn yếu và nghiệm suy rộng

Bài tốn yếu

(1)

Vì v ∈ W0 (Ω) thỏa mãn điều kiện biên (2) do
đó (3) cho ta

∂u ∂v ∂u ∂v
+
∂x ∂x ∂y ∂y

dxdy = −

Ω

fvdxdy ,
Ω

(4)
(1)
W0 (Ω).

∀v ∈
Như vậy, nếu u là nghiệm của (1), (2) thì u cũng
là nghiệm của (4)

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP.
ELIPHCM
HAI —
CHIỀU
2013.

6 / 44

Bài toán yếu và nghiệm suy rộng

Bài toán yếu

Trong (4) khơng có đạo hàm cấp 2 của u mà chỉ
có đạo hàm cấp 1. Do đó bài tốn ban đầu trở
(1)
thành: tìm u ∈ W0 (Ω) thỏa mãn (4).
Đặt α(u, v ) =
∂u ∂v ∂u ∂v
(1)
+
dxdy , ∀u, v ∈ W0 (Ω) và
∂x ∂x ∂y ∂y
Ω
(1)
L(v ) = − fvdxdy , ∀v ∈ W0 (Ω).
Ω
(1)

Bài tốn trở thành: tìm u ∈ W0 (Ω) thỏa mãn
(1)

α(u, v ) = L(v ), ∀v ∈ W0 (Ω)

(5)

Đây là bài toán />yếu ứng với bài toán (1), (2).

ng.com

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP.
ELIPHCM
HAI —
CHIỀU
2013.

7 / 44


Bài toán yếu và nghiệm suy rộng

Nghiệm suy rộng

Nghiệm của bài toán yếu (5) được gọi là nghiệm
suy rộng của bài toán (1), (2).
Nếu u ∈ W02(Ω) là nghiệm giải tích của bài tốn
(1), (2) thì nó cũng là nghiệm suy rộng của bài
toán yếu (5).
Ngược lại, nếu u vừa là nghiệm suy rộng của bài
toán (1), (2) vừa thuộc W02(Ω) thì bằng cách lấy
(1)
tích phân từng phần ta suy ra ∀v ∈ W0 (Ω)
∂ 2u ∂ 2u
+
∂x 2 ∂y 2

ng.com

Ω

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

vdxdy =

/>
fvdxdy .
Ω

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP.
ELIPHCM
HAI —
CHIỀU
2013.

8 / 44


Bài tốn yếu và nghiệm suy rộng

Nghiệm suy rộng

Do đó
∂ 2u ∂ 2u
+
−f
∂x 2 ∂y 2

(1)

vdxdy = 0, ∀v ∈ W0 (Ω).

Ω
(1)

Do W0 (Ω) trù mật trong L2(Ω) nên ta suy ra
∂ 2u ∂ 2u
+
− f vdxdy = 0, ∀v ∈ L2(Ω)
∂x 2 ∂y 2
Ω

∂ 2u ∂ 2u
Vậy 2 + 2 − f = 0. Do đó nghiệm suy rộng
∂x
∂y
(2)
u ∈ W0 (Ω) là nghiệm giải tích của bài tốn (1),
ng.com
/>(2).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP.
ELIPHCM
HAI —
CHIỀU
2013.

9 / 44


Phương pháp phần tử hữu hạn khi Ω là hình chữ nhật

Tam giác phân

Xét trường hợp Ω là miền hình chữ nhật
Ω = {(x, y ) : a < x < b, c < y < d }

Biên Γ của miền Ω là những đoạn thẳng song song
với trục tọa độ. Để đơn giản ta giả sử
a = 0, c = 0.
Ta chia miền Ω thành 1 lưới đều bằng các đường
thẳng song song với các trục tọa độ
b−a
xi = ih, h =
, a = 0.
N +1
d −c
yj = jk, k =
, c = 0, N, M ∈ N.
ng.com
/>M +1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM

HAI—CHIỀU
2013.

10 / 44


Phương pháp phần tử hữu hạn khi Ω là hình chữ nhật

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Tam giác phân

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

11 / 44


Phương pháp phần tử hữu hạn khi Ω là hình chữ nhật

Tam giác phân

Kẻ các đường chéo song song của các hình chữ
nhật con. Như vậy, miền Ω được chia thành những
tam giác trong đó khơng có hiện tượng định của
tam giác này nằm trên và ở giữa cạnh của 1 tam

giác khác. Tập hợp các tam giác thu được tạo nên
1 phân hoạch của miền Ω, mỗi tam giác được gọi
là một phần tử hữu hạn hai chiều, mỗi đỉnh của 1
tam giác được gọi là một nút.

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

12 / 44


Phương pháp phần tử hữu hạn khi Ω là hình chữ nhật

Xây dựng các hàm tọa độ

Trước hết, ta đánh số các nút: mỗi nút Pij có tọa
độ (xi , yj ) viết là
(i, j), i = 0, 1, . . . , N + 1; j = 0, 1, . . . , M + 1.
Sau đó ứng với mỗi nút
(i, j), i = 1, 2, . . . , N; j = 1, 2, . . . , M ta xây dựng
hàm tọa độ ϕij là các hàm mái nhà: ϕij (x, y ) trên
mỗi tam giác là 1 hàm bậc nhất đối với x, y , lấy
giá trị bằng 1 tại nút (i, j) và lấy giá trị bằng 0 tại
các nút khác

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

13 / 44


Phương pháp phần tử hữu hạn khi Ω là hình chữ nhật

ϕij (x, y ) =



1−











1−








x


1+
−i −


h



TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x
−i ,
h
y
−j ,
k
y
−j ,

k

x
1+
−i ,
h












1+








x




1−
−i +


https://fb.com/tailieudientucntt
r = i, s = j − 1
ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

21 / 44


Phương pháp phần tử hữu hạn khi Ω là hình chữ nhật

∂ϕij ∂ϕrs
,
∂y ∂y

Hệ đại số

∂ϕij ∂ϕrs
.
dxdy =

∂y ∂y

=
Ω













2h
k ,

0,
0,
− kh ,



0,





0,


 h
−k ,

nếu r = i, s = j
nếu r = i + 1, s = j
nếu r = i + 1, s = j + 1
nếu r = i, s = j + 1
nếu r = i − 1, s = j
nếu r = i − 1, s = j − 1
nếu r = i, s = j − 1

ng.com

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

22 / 44


Phương pháp phần tử hữu hạn khi Ω là hình chữ nhật

Hệ đại số

Aij,rs = Ars,ij =






















2k
h

+ 2h
nếu r = i, s = j

k ,
k
−h,
nếu r = i + 1, s = j
0, nếu r = i + 1, s = j + 1
− kh ,
nếu r = i, s = j + 1
− kh ,
nếu r = i − 1, s = j
0, nếu r = i − 1, s = j − 1
nếu r = i, s = j − 1
− kh ,

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

23 / 44


Phương pháp phần tử hữu hạn khi Ω là hình chữ nhật

Hệ đại số

Vậy

k

2cij − ci−1j − ci+1j
2cij − cij−1 − cij+1
+h
= Fij ,
h
k

i = 1, 2, ..N, j = 1, 2, .., M. và
c0j = cNj = ci0 = ciM = 0.

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

24 / 44


Phương pháp phần tử hữu hạn khi Ω là hình chữ nhật

Sự hội tụ và sai số

(2)

Giả sử u ∈ W0 (Ω) là nghiệm của bài toán (5) và
wN ∈ HN là nghiệm gần đúng bằng phương pháp
phần tử hữu hạn, tức là nghiệm của bài tốn (5)
nhưng trên khơng gian con hữu hạn chiều
(1)
HN,M ⊂ W0 (Ω)
Định lý
(2)

Giả sử u ∈ W0 (Ω) là nghiệm của bài toán (5).
Khi đó
||u − wN,M ||W 1(Ω)

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

C3h||u||W 2(Ω)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

25 / 44


Phương pháp phần tử hữu hạn khi Ω là hình chữ nhật

Ví dụ

Ví dụ
Cho Ω = {(x, y ) : 0 < x < 1, 0 < y < 1} với biên
ký hiệu là Γ. Áp dụng phương pháp phần tử hữu
1
hạn chọn h = k = giải bài toán
3
∂ 2u ∂ 2u
+ 2 = 2(x 2 + y 2 − x − y ), (x, y ) ∈ Ω
2
∂x
∂y
u(x, y ) = 0, (x, y ) ∈ Γ.

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

26 / 44


Trường hợp miền đa giác khơng là hình chữ nhật

Tam giác phân

Ta chia miền Ω thành các tam giác sao cho khơng
có đỉnh của tam giác nọ nằm trên cạnh của tam
giác kia, đồng thời các góc hình học của mọi tam
giác đều lớn hơn hoặc bằng θ0 > 0 để cho diện
tích của mỗi tam giác tiến tới 0 khi và chỉ khi các
cạnh của nó tiến tới 0. Mỗi tam giác được gọi là 1
phần tử hữu hạn. Mỗi đỉnh của tam giác được gọi
là 1 nút. Giả sử các đỉnh được đánh số từ 1 đến
N : P1, P2, . . . , PN . Đỉnh Pi có tọa độ là (xi , yi ).
Giả sử các tam giác cũng được đánh số từ 1 đến
M : T1, T2, . . . , />TM .
ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

27 / 44


Trường hợp miền đa giác khơng là hình chữ nhật

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Tam giác phân

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

28 / 44


Trường hợp miền đa giác khơng là hình chữ nhật

Hàm tọa độ

Các hàm tọa độ ký hiệu là ϕi (x, y ) xác định như
sau: Nó là 1 hàm bậc nhất đối với x, y trong mỗi
tam giác, bằng 1 tại đỉnh Pi và bằng 0 tại các nút
khác. Các hàm ϕi có giá đỡ nhỏ. Nó cũng có dạng
mái nhà như ở trường hợp miền chữ nhật.

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

29 / 44

Trường hợp miền đa giác khơng là hình chữ nhật

Hàm tọa độ

Hàm ϕi trong phần tử hữu hạn tam giác T có
đỉnh là Pi (xi , yi ), Pj (xj , yj ), Pk (xk , yk ) có dạng
ϕi = Ax + By + C , ∀(x, y ) ∈ T
ϕi (xi , yi ) = 1, ϕi (xj , yj ) = 0, ϕi (xk , yk ) = 0.

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

30 / 44


Trường hợp miền đa giác khơng là hình chữ nhật

Khơng gian con hữu hạn chiều của W01 (Ω)

HN = span{ϕi , i = 1, 2, . . . , N}

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

31 / 44


Trường hợp miền đa giác khơng là hình chữ nhật

Nghiệm gần đúng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Nghiệm gần đúng có dạng
N

ci ϕi (x, y ) ∈ HN ,

wN (x, y ) =
i=1

trong đó các hệ số ci thỏa mãn
α(wN , v ) = L(v ), ∀v ∈ HN hay
N

α

ci ϕi , ϕj

= L(ϕj ), j = 1, 2, . . . , N.

i=1
N

⇔

ng.com

ci α(ϕi , ϕj ) = L(ϕj ), j = 1, 2, . . . , N.
i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP.
ELIP
HCM
HAI—CHIỀU
2013.

32 / 44