Slide phương trình toán lý bài 2 giải phương trình hyperbolic

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC
Bà i giảng điện tử

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ mơn Tốn ứng dụng
Email:

TP. HCM — 2014.

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

1 / 57


Giới thiệu chung về phương trình hyperbolic

Phương trình Hyperbolic

Phương trình truyền sóng
utt − a2.uxx = 0, a = const
a−vận tốc truyền sóng.

ng.com
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

2 / 57


Giới thiệu chung về phương trình hyperbolic

Phương trình Hyperbolic

Phương trình truyền sóng
utt − a2.uxx = 0, a = const
a−vận tốc truyền sóng.
Phương trình truyền tải
ut + a.ux = 0, a = const
a−vận tốc truyền tải.

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

2 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

Bài tốn thực tế

Xét phương trình truyền nồng độ của một chất
nào đó (bỏ qua khuếch tán) trong môi trường chất
lỏng chuyển động với vận tốc a từ trái sang phải.
Giả sử u(x, t) là nồng độ. Nồng độ tại thời điểm
ban đầu (t = 0) có phân bố dạng

U0.x, 0 x 1m

u(x, 0) = U0.(2 − x), 1m x 2m

0, x < 0 ∨ x > 2m

trong đó U0 là 1 đại lượng có thứ ngun là nồng
độ/độ dà i, cịn a có thứ ngun là vận tốc, ví dụ
ng.com
/>a = 1m/s.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

3 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

Bài tốn thực tế

Phân bố này cho thấy nồng độ đạt giá trị cao nhất
U0 tại khoảng cách 1m tính từ gốc tọa độ và giảm
dần theo quy luật tuyến tính về cả 2 phía cho đến
giá trị 0 tại x = 0 và x = 2m.
Để khơng cịn phải quan tâm đến đơn vị đo, ta
đưa bài toán đã cho về dạng không thứ nguyên
như sau:
ut + ux = 0

2x, 0 x 0, 5

u(x, 0) = f (x) = 2(1 − x), 0, 5 x 1

0, x < 0 ∨ x > 1
ng.com
/>TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

4 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

Bài tốn thực tế

Nghiệm chính xác của bài tốn trên là

u(x, t) = f (x − t) =



2(x − t), 0 x 0, 5
= 2(1 − x + t), 0, 5 < x 1

0, x < 0 ∨ x > 1

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

5 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

Sơ đồ FTCS (Forward Time Center Space)

Sơ đồ FTCS (Forward Time Center Space)

Khi x = 0 giả sử u(0, t) = 0 và khi x = 1 giả sử
u(1, t) = 0. Ta lấy lưới sai phân h = 0.1, τ = 0.05
x = mh, t = nτ,

m, n = 0, 1, 2, 3, . . .

Xét sơ đồ sai phân dạng
n
n
um+1
− um−1
umn+1 − umn
+
=0
τ
2h

Hãy tìm giá trị của u theo tọa độ x

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

6 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

❍
❍❍

t

x
❍
❍❍
❍
❍

0.0
0.05
0.1
0.15
0.20
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Sơ đồ FTCS (Forward Time Center Space)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

7 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Sơ đồ FTCS (Forward Time Center Space)

0.5 . . . .
0.55 . . . .
0.6 . . . .
0.65 . . . .
0.7 . . . .
0.75 . . . .
0.8 . . . .
0.85 . . . .
0.9 . . . .
0.95 . . . .
1.0 . . . .
/>
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

8 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

❍
❍❍

t

x
❍
❍❍
❍
❍

0.0
0.05
0.1
0.15
0.20
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Sơ đồ FTCS (Forward Time Center Space)

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

9 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Sơ đồ FTCS (Forward Time Center Space)

0.5 . . . .
0.55 . . . .
0.6 . . . .
0.65 . . . .
0.7 . . . .
0.75 . . . .
0.8 . . . .
0.85 . . . .
0.9 . . . .
0.95 . . . .
1.0 . . . .
/>
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

10 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

Sơ đồ FTFS (Forward Time Forward Space)

Sơ đồ FTFS (Forward Time Forward Space)

Khi x = 0 giả sử u(0, t) = 0 và khi x = 1 giả sử
u(1, t) = 0. Ta lấy lưới sai phân h = 0.1, τ = 0.05
x = mh, t = nτ,

m, n = 0, 1, 2, 3, . . .

Xét sơ đồ sai phân dạng
n
um+1
− umn

umn+1 − umn
+
=0
τ
h
Hãy tìm giá trị của u theo tọa độ x sau 1 đơn vị
thời gian, sau 2 đơn vị thời gian ( có nghĩa là
n = 1 và n = 2) />ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

11 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

❍
❍❍

t

x
❍
❍❍
❍
❍

0.0
0.05
0.1
0.15
0.20
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Sơ đồ FTFS (Forward Time Forward Space)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

12 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Sơ đồ FTFS (Forward Time Forward Space)

0.5 . . . .
0.55 . . . .
0.6 . . . .
0.65 . . . .

0.7 . . . .
0.75 . . . .
0.8 . . . .
0.85 . . . .
0.9 . . . .
0.95 . . . .
1.0 . . . .
/>
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

13 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

❍

❍❍

t

x
❍
❍❍
❍
❍

0.0
0.05
0.1
0.15
0.20
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Sơ đồ FTFS (Forward Time Forward Space)

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

14 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Sơ đồ FTFS (Forward Time Forward Space)

0.5 . . . .
0.55 . . . .
0.6 . . . .
0.65 . . . .
0.7 . . . .
0.75 . . . .
0.8 . . . .
0.85 . . . .
0.9 . . . .
0.95 . . . .
1.0 . . . .
/>
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

15 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

Sơ đồ FTBS (Forward Time Backward Space)

Sơ đồ FTBS (Forward Time Backward Space)

Khi x = 0 giả sử u(0, t) = 0 và khi x = 1 giả sử
u(1, t) = 0. Ta lấy lưới sai phân:
h = 0.1, τ = 0.05
x = mh, t = nτ,

m, n = 0, 1, 2, 3, . . .

Xét sơ đồ sai phân dạng
n
umn − um−1
umn+1 − umn
+
=0
τ
h
Hãy tìm giá trị của u theo tọa độ x sau 1 đơn vị
thời gian, sau 2 đơn vị thời gian ( có nghĩa là

ng.com
/>n = 1 và n = 2)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

16 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

❍
❍❍

t

x
❍
❍❍
❍
❍

0.0
0.05
0.1
0.15
0.20
0.25

0.3
0.35
0.4
0.45

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Sơ đồ FTBS (Forward Time Backward Space)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

17 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Sơ đồ FTBS (Forward Time Backward Space)

0.5 . . . .
0.55 . . . .
0.6 . . . .
0.65 . . . .
0.7 . . . .
0.75 . . . .
0.8 . . . .
0.85 . . . .
0.9 . . . .
0.95 . . . .

1.0 . . . .
/>
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

18 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

❍
❍❍

t

x
❍

❍❍
❍
❍

0.0
0.05
0.1
0.15
0.20
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Sơ đồ FTBS (Forward Time Backward Space)

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

19 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Sơ đồ FTBS (Forward Time Backward Space)

0.5 . . . .
0.55 . . . .
0.6 . . . .
0.65 . . . .
0.7 . . . .
0.75 . . . .
0.8 . . . .
0.85 . . . .
0.9 . . . .
0.95 . . . .
1.0 . . . .
/>
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

20 / 57

Các phương pháp giải phương trình truyền tải

Sơ đồ FTBS (Forward Time Backward Space)

Bài tập về nhà

1

Sinh viên tự lập trình các sơ đồ bằng phần
mềm MatLab

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

21 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

Sơ đồ FTBS (Forward Time Backward Space)

Bài tập về nhà

1

2

Sinh viên tự lập trình các sơ đồ bằng phần
mềm MatLab
Vẽ đồ thị so sánh nghiệm thu được tại các nút
- exact, FTCS, FTFC, FTBS

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

21 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

Phương pháp Lax

Phương pháp Lax

Khi x = 0 giả sử u(0, t) = 0 và khi x = 1 giả sử
u(1, t) = 0. Ta lấy lưới sai phân
x = mh, t = nτ,

m, n = 0, 1, 2, 3, . . .

Xét sơ đồ sai phân dạng

n
n
n
n
umn+1 − 12 (um−1
+ um+1
) um+1
− um−1
+
=0
τ
2h
Hãy tìm giá trị của u theo tọa độ x sau 1 đơn vị
thời gian, sau 2 đơn vị thời gian ( có nghĩa là
n = 1 và n = 2) />ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

22 / 57


Các phương pháp giải phương trình truyền tải

❍
❍❍

t

x
❍
❍❍
❍
❍

0.0
0.05
0.1
0.15
0.20
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45

ng.com
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Phương pháp Lax

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

/>GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TP. HCM — 2014.

23 / 57