Rèn luyện kỹ năng giải toán và Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh một số bài toán thể tích khối đa diện

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT TƯƠNG DƯƠNG 2

  
 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
   Tên đề tài: 
“RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 
SÁNG TẠO CHO HỌC SINH MIỀN NÚI QUA VIỆC LUYỆN TẬP CHO HỌC 
SINH MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN”

MƠN: TỐN

Nhóm tác giả: 1) Nguyễn Đình Tứ
               2) Trần Đình Mạnh
Tổ bộ mơn: Tốn – Lý – Tin – CN
                              


NĂM HỌC: 2020 ­ 2021

MỤC LỤC
TT
1

Nội dung
A.  ĐẶT VẤN ĐỀ

Trang
2

B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU   
2

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.

4

3

II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

9

4

1. Tính trực tiếp  thể tích khối đa diện và bài 
tốn liên quan. 

10

5

2. Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp

22

6

3. Vận dụng bài tốn thể  tích để  giải các bài 
tốn khác

26

7

4. Thực nghiệm sư phạm

30

7

C. KẾT LUẬN

34

8

 Tài liệu tham khảo

35

2


A.  ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
               ­ Nghị  Quyết số  29­NQ/TW  của Trung  ương Đảng ban hành ngày 
4/11/2013 về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo có nêu rõ nhiệm  
vụ, giải pháp: ‘‘Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ  phương pháp dạy và học theo  
hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến 

thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi  
nhớ  máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự  học, tạo 
cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng  
lực. Chuyển từ  học chủ  yếu trên lớp sang tổ  chức hình thức học tập  đa  
dạng…”.
         ­ Luật giáo dục sửa đổi năm 2019, tại  Điều 29. u cầu về  phương 
pháp giáo dục Phổ thơng có ghi: “ Phương pháp giáo dục phổ  thơng phát huy 
tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng 
từng mơn học, lớp học và đặc điểm đối tượng học sinh; bồi dưỡng phương  
pháp tự  học, hứng thú học tập, kỹ  năng hợp tác, khả  năng tư  duy độc lập;  
phát triển tồn diện phẩm chất và năng lực của người học; tăng cường  ứng 
dụng cơng nghệ thơng tin và truyền thơng vào q trình giáo dục”.
       ­ Đất nước chúng ta đang trên đà đổi mới và phát triển địi hỏi cấp bách  
phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Trong cơng cuộc đổi mới đó 
Tốn học là mơn khoa học cơ bản và chiếm một vị trí rất quan trọng giúp các  
em học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo. Để làm được điều đó 
mỗi Giáo viên cần “ Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học,  
tạo cơ  sở  để  người học tự  cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ  năng, phát triển  
năng lực sáng tạo…”.  
        ­ Trong chương trinh mơn Hình h
̀
ọc 12, thể tích khối đa diện la mơt trong
̀ ̣
 
nhưng chu đê tr
̃
̉ ̀ ọng tâm, đa dạng, có tính ứng dụng thực tiễn khá cao. Các bài  
tốn liên quan đến chủ  đề  này có thường tính trừu tượng. Vì vậy, nó gây 
khơng ít khó khăn cho các em học sinh đặc biệt là các học sinh miền núi nơi  
có tỷ lệ đầu vào thấp; cac bai toan ch

́ ̀ ́ ủ đề nay xuât hiên nhiêu trong cac ky thi
̀
́ ̣
̀
́ ̀  
chon hoc sinh gioi t
̣
̣
̉ ỉnh lớp 12 va ky thi THPT qu
̀ ̀
ốc gia  ở nhiều cấp độ  khác  
nhau. Thực tế dạy học cho thây nhiêu giao viên khi day hoc con năng vê khâu
́
̀
́
̣
̣
̀ ̣
̀
 
truyên thu kiên th
̀
̣
́ ưc, cac kiên th
́
́
́ ức đưa ra hâu nh
̀ ư  la săn co, it yêu tô tim toi
̀ ̃ ́ ́ ́ ́ ̀
̀ 

3


phat hiên, ch
́ ̣
ưa chu trong nhiêu vê viêc day hoc sinh cach hoc, do đó ch
́ ̣
̀ ̀ ̣
̣
̣
́
̣
ưa phát 
triển được tư  duy sáng tạo cho học sinh. Thơng thường thì các em học sinh  
mới chỉ  giải quyết trực tiếp các bài tập tốn mà chưa khai thác được tiềm 
năng của bài tốn đó. Học sinh chỉ  có khả  năng giải quyết vấn đề  một cách 
rời rạc mà ít có khả  năng xâu chuỗi chúng lại với nhau thành một hệ  thống 
kiến thức lớn. Chính vì vậy việc rèn luyện kỹ  năng giải bài tập kết hợp bồi  
dưỡng, phát triển tư  duy tương tự  hóa, khái qt hóa,… là rất cần thiết đối 
với học sinh phổ  thơng. Việc làm này giúp các em tích lũy được nhiều kiến 
thức phong phú, khả năng nhìn nhận, phát hiện vấn đề   nhanh và giải quyết  
vấn đề có tính lơgic và hệ  thống cao. Đê hoc tơt chu đê nay ng
̉ ̣
́
̉ ̀ ̀ ười hoc ngồi
̣
 
việc nắm vững hệ  thống kiến thức cơ  bản thì cân co thêm nhi
̀ ́
ều kỹ  năng 

giải, có khả năng tưởng tượng, có tư duy đơc lâp va t
̣ ̣
̀ ư duy sang tao. 
́
̣ Với đối 
tượng học sinh miền núi, nêu trong q trình d
́
ạy học ngươi day biêt cach t
̀ ̣
́ ́ ạo  
cho học sinh có niềm tin để  chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ  năng, khai thać  
va sang tao ra các bài tốn v
̀ ́
̣
ề thể tích khối đa diện từ nhưng kiên th
̃
́ ức cơ ban,
̉  
bài tập đơn giản thi khơng nh
̀
ưng giúp các em h
̃
ọc tập có hiệu quả mà cịn tao
̣  
hưng thu hoc tâp cho các em h
́
́ ̣ ̣
ọc sinh, và con gop phân quan trong trong viêc
̀ ́
̀

̣
̣  
ren lun va bơi d
̀
̣
̀ ̀ ưỡng năng lực tư duy sang tao cho ng
́
̣
ười hoc.  
̣
     Từ thực trạng và những lý do nêu trên, với sự  chỉ đạo trực tiếp của thầy 
hiệu trưởng nhà trường, chun mơn tốn chúng tơi quyết định chọn đề  tài  
nghiên cứu (SKKN) là: “Rèn luyện kỹ  năng giải tốn và Phát triển năng 
lực sáng tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh một  
số bài tốn thể tích khối đa diện”
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, phân tích, đánh giá tình hình thực tế trong giảng dạy bộ mơn 
tốn ở trường THPT Tương Dương 2. Trên cở sở những ưu khuyết điểm đề 
ra giải pháp thực hiện. Đồng thời rút ra bài học kinh nghiệm từ thực tế.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tìm hiểu phương pháp dạy của giáo viên, cách học của học sinh ở các 
lớp đại trà , lớp ơn thi  TN THPT QG và ơn thi học sinh giỏi mơn tốn tại 
trường THPT Tương Dương 2. 
4. Mục tiêu đề tài:
Đối với giáo viên:
     
     

+Phục vụ giảng dạy.
Đối với học sinh:

4


    

+ Ơn tập cho học sinh thi TN THPT QG.

                     + Ơn thi học sinh giỏi mơn Tốn.
    
+ Biết cách nhìn nhận phân tích các vấn đề  trong tốn cũng như 
trong cuộc sống ở nhiều khía cạnh khác nhau một cách năng động và sáng tạo  
hơn.
5. Nội dung nghiên cứu của đề tài
Ngồi phần đặt vấn đề và kết luận đề tài gồm các phần chính như sau
I. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
          II. Nội dung của đề tài.
            1. Bài tốn tính trực tiếp thể tích khối đa diện
            2. Bài tốn tính gián tiếp thể tích khối đa diện
            3. Vận dụng thể tích để giải các bài tốn khác
            4. Thực nghiệm sư phạm
6. Các phương pháp nghiên cứu chính
+ Điều tra tìm hiểu việc dạy và học ở các lớp ơn thi TN THPT QG.
+ Dự giờ rút kinh nghiệm giảng dạy. 
+ Tham khảo các bài viết, các ý kiến trao đổi về việc dạy và học tốn 
trong các cuộc thảo luận về đổi mới phương pháp giảng dạy, trong các tài 
liệu và sách tham khảo về bộ mơn tốn.
 7. Tổng quan về đề tài và tính mới của đề tài
 7.1. Tổng quan về đề tài
       Từ một số bài tốn đơn giản xây dựng được các bài tốn mới, bài tốn 
thực tiễn nhằm giúp học sinh khơng những ơn tập tốt phần thể tích khối đa 

diện mà cịn biết vận dụng vào các bài tốn thực tế trong cuộc sống.
 7.2. Tính mới của đề tài
        Đề tài đã tạo cho đối tượng học sinh yếu, trung bình và khá non có niềm 
tin để chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, khai thac va sang tao ra các bài 
́ ̀ ́
̣
tốn về thể tích khối đa diện tư nh
̀ ưng kiên th
̃
́ ức cơ ban, bài t
̉
ập đơn giản. 
Ngồi ra đề tài cịn góp phần bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá giỏi cách 
tư duy độc lập, phát triển năng lực sáng tạo từ đó góp phần nâng cao chất 
5


lương dạy học mơn Tốn và rút ngắn khoảng cách giữa miền núi với miền 
đồng bằng.
B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
I.1. Cơ sở lý luận
I.1.1. Khái niệm kỹ năng
        Kỹ năng là khả năng thực hiện một hành động với kết quả được xác 
định thường trong một khoảng thời gian cùng năng lượng nhất định hoặc cả 
hai.
I.1.2. Kỹ năng giải tốn
       Kỹ năng giải tốn là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và 
kinh nghiệm đã có vào giải những bài tốn cụ thể, thực hiện có kết quả một 
hệ thống hành động giải tốn để đi đến lời giải của bài tốn một cách khoa 

học. 
      Khi dạy học để rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh cần: 
       ­ Giúp học sinh biết cách tìm tịi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm 
và mỗi quan hệ giữa chúng;
      ­ Giúp học sinh hình thành một mơ hình khái qt để giải quyết bài tập, 
các đối tượng cùng loại;
      ­ Xác lập được mối liên hệ giữa bài tập mơ hình với khái qt với kiến 
thức tương ứng.
I.1.3. Khái niệm về năng lực
 Theo moddun3 bồi dưỡng giáo viên Tốn THPT, chương trình giáo giáo 
dục phổ thơng năm 2018“Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát  
triển nhờ tố chất sẵn có và q trình học tập , rèn luyện, cho phép con người  
huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như  
hứng thú, niềm tin, ý chí,…thực hiện thành cơng một loại hoạt động nhất định,  
kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.
Như vậy nói đến năng lực là nói đến cái gì đó tiềm ẩn bên trong một cá 
nhân, một thứ phi vật chất. Song nó được thể hiện qua hành động và đánh giá 
được nó thơng qua kết quả của hoạt động.
Thơng thường một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm 
vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt kết quả 
cao hơn, tốt hơn so với trình độ  trung bình của những người khác cùng tiến  
hành hoạt động đó trong những điều kiện tương đương.
6


I.1.4. Năng lực Toán học
Năng  lực  Toán   học   được  đánh  giá  trên  hai  phương  diện:   Năng   lực  
nghiên cứu tốn học và năng lực học tập tốn học.
Như  vậy, năng lực tốn học là các đặc điểm tâm lí cá nhân đáp  ứng  
được các u của của hoạt động tốn và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức,  

kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực tốn học tương đối nhanh, dễ  dàng, sâu sắc  
trong những điều kiện ngang nhau.
Cấu trúc của năng lực tốn học:
­ Về mặt thu nhập thơng tin.
­ Chế biến các thơng tin đó.
­ Lưu trữ thơng tin.
­ Thành phần tổng hợp chung.
Năng lực sáng tạo thể hiện ở những khả năng sau:
                  ­ Khả năng phát hiện ra những điểm tương đồng, khác biệt cũng 
như mối liên hệ giữa nhiều sự vật, hiện tượng khác nhau trong đời sống.
                   ­ Khả năng tìm tịi, phát hiện ra những vấn đề mới, những giải  
pháp mới dựa trên những kiến thức, kinh nghiệm đã có hay những hạn chế,  
bất cập đang tồn tại hiện hữu.
                   ­ Khả năng giải quyết vấn đề bằng nhiều con đường, cách thức 
khác nhau; phân tích, đánh giá vấn đề   ở  nhiều phương diện, góc nhìn khác  
nhau.
                   ­ Khả năng phát hiện ra những điều bất hợp lí, những bất ổn hay 
những quy luật phổ biến trong những hiện tượng, sự vật cụ thể dựa trên sự 
tinh tế, nhạy cảm và khả năng trực giác cao của chủ thể.
        Để phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh có nhiều cách, tuy nhiên ở 
đây chúng tơi chú trọng phát triển cho học sinh  ở khả năng: Năng lực tư duy, 
Năng lực tìm tịi cách giải, năng lực tìm tịi để  sáng tạo ra bài tốn mới (Bài 
tốn tương tự, bài tốn đảo, bài tốn tổng qt, bài tốn đặc biệt… )
I.1.5. Cơ sở lý thuyết
1) Cơng thức tính thể tích.
1.1. Thể tích khối chóp: 
1
3

    V = Sđáy .h

+  Sđáy : Diện tích mặt đáy.
+ h: Độ dài chiều cao khối chóp.
1
VS.ABCD = d ( S.( ABCD ) ) .SABCD  
3

7


1.2. Thể tích khối lăng trụ:  V = Sđáy .h  
+  Sđáy : Diện tích mặt đáy.
+ h: chiều cao khối chóp.
* Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.

1.3. Thể tích khối hộp chữ nhật:  V = a.b.c  
1.4. Thể tích khối lập phương:  V = a 3  

* Chú ý:
Đường chéo của hình vng cạnh a là  a 2  
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là  a 3
Đường   chéo   của   hình   hộp   chữ   nhật   có   3   kích   thước   a,   b,   c   là: 
a 2 + b2 + c2  

Đường cao của tam giác đều cạnh a là 

a 3
 
2

2) Cơng thức hình phẳng

2.1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho  Δ ABC  vng tại A, đường cao AH.

8


  AB2 + AC2 = BC 2  
  AC 2 = CH.BC  

  AB2 = BH.BC  
  AH.BC = AB.AC  

1
1
1
=
+
 
2
2
AH
AB AC 2
  AB = BC.sin C = BC.cos B = AC.tan C = AC = cot B  

  AH 2 = BH.HC  

 

b) Cho có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là  m a , m b , mc ; 
bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r; nửa chu vi 

p.
 Định lí hàm số cosin:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A; b 2 = c 2 + a 2 − 2a.cos B; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.cos C  
 Định lí hàm số sin:

a
b
c
=
=
= 2R  
sin A sin B sin C

2.2. Các cơng thức tính diện tích
a) Tam giác:
1
1
1
2
2
2
1
1
1
  S = bc.sin A = ca.sin B = ab.sin C  
2
2
2
abc
  S =

 
4R
  S = pr  

  S = a.h a = b.h b = c.h c  ( h a , h b , h c : ba đường cao)

  S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )  

AB.AC BC.AH
=
 
2
2
a 3
a2 3
, S=
  ∆ ABC  đều, cạnh a:  AH =
 
2
4

  ∆ ABC  vuông tại A:  S =

Ở đây:
+) a, b, c là các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng A, B, C.
+) ha;  hb; hc là các đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C.
+) R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
9

+) r là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
+) ra; rb; rc là bán kính đường trịn bàng tiếp (tiếp xúc  ngồi tam giác)
+)  P =

a+b+c
 là nửa chu vi của tam giác
2

b) Hình vng:  S = a 2  
(a: cạnh hình vng)
S = ab  
c) Hình chữ nhật:
(a, b: hai kính thước)
S đáy ch.cao AB. AD. sin BAD  
d) Hình bình hành:
e) Hình thoi:

S

AB. AD. sin BAD

f) Hình thang:

S=

1
( a + b) h  
2

1

AC.BD  
2

(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
1
2

g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc:  S = AC.BD
I.2. Cơ sở thực tiễn
I.2.1. Thuận lợi
        ­ Ban giám hiệu có 3 người thì có 2 người là chun mơn Tốn, ln quan  
tâm, chỉ đạo sát sao việc dạy học bộ mơn Tốn của nhà trường. 
        ­ Chúng tơi thường xun trao đổi về phương pháp dạy học nhằm nâng  
cao chất lượng học tập của học sinh.
I.2.2. Khó khăn
       ­ Trường THPT Tương Dương 2 đóng trên địa bàn huyện miền núi cao  
Tương Dương. Tương Dương là một huyện nghèo, người dân chủ  yếu đang 
lo kiếm cái ăn chứ chưa thực sự chăm lo đến việc học của con cái. Giao thơng  
khơng thuận lợi, đa số học sinh đi học xa nhà phải ở trọ nên việc quản lý các 
em học cũng gặp nhiều khó khăn.
       ­ Song song với điều kiện về hồn cảnh, vị trí địa lý thì Thể tích khối đa 
diện là một chủ đề  trừu tượng, nhiều em cảm thấy khơng thích học chủ  đề 
này.

I.2.3. Thực trạng của đề tài
         ­  Tỷ lệ đầu vào của trường thấp, khả năng tiếp thu cảu học sinh khơng 
đồng đều, một số  giáo viên cịn ngại đưa vào yếu tố  sáng tạo khi dạy học 
luyện tập tốn cho các em.
         ­ Trong giảng dạy nếu đơn thuần chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản mà 
qn đi hoạt động tìm tịi, sáng tạo, nghiên cứu thì bản thân người giáo viên 

sẽ  bị  mai một kiến thức và học sinh cũng bị  hạn chế  khả  năng suy luận, tư 
duy sáng tạo.
10


         ­ Một số  học sinh mang khuynh hướng học đối phó để  thi nên khơng  
hiểu sâu, hiểu rộng vấn đề nào đó của tốn học.
I.2.4. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử  dụng để 
giải quyết vấn đề.
     ­ Để  các em học tốt phần thể  tích trước hết phải làm cho các em có  
niềm tin, hứng thú để  học tập. Muốn vậy, trước hết hãy bám sát đối tượng 
để dạy kiến thức phù hợp. 
  ­ Giáo viên phải khéo léo dẫn dắt, hướng dẫn để  học sinh tìm tịi, sáng 
tạo trong việc tìm lời giải cũng như  sáng tạo bài tốn mới từ  những bài tốn 
đơn giản, quen thuộc.
  ­ Biết khai thác các kiến thức cơ bản để  rèn luyện kỹ  năng giải tốn và  
phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh.
II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
Chúng ta hãy bắt đầu với bài tốn tính thể tích khối chóp có đáy là tam giác  
đều đơn giản
Bài  tốn 1:  Tính  thể  tích khối chóp   S. ABC   biết tam giác   ABC   đều cạnh a, 
SA ABC  và  SA a 2 .
Lời giải.
Cách 1.  Ta có 
h

SA a 2  ;  B

VS . ABC

1
Bh
3

S

ABC

1 a2 3
.
.a 2
3 4

a2 3
4
a3 6
12

11


Cách 2.
Kẻ  đường cao  BH  của tam giác  ABC . 
Suy ra  BH SAC . Do đó xem B là đỉnh 
thì  BH là đường cao của khối chóp.
Ta có 
BH

a 3
, S

2

SAC

a2 2
2

VB.SAC

a3 6
.
12

Cách 3. 
Gọi  M  là trung điểm cạnh  BC  suy ra
BC

SAM

Ta có
VS . ABC

2.VB.SAM

VB.SAM

1
.S
3

VS . ABC

SAM .BM

1 a2 6 a
.
.
3 4 2

a3 6
24

a3 6
.
12

Nhận xét.  Với học sinh khá, giỏi thì bài tốn trên chẳng có vấn đề  gì. Tuy  
nhiên, với đối tượng học sinh của trường đầu vào đa số  có học lực yếu và  
trung bình thì lại là vấn đề khác, đơi khi ta phải cầm tay chỉ việc nhưng khơng  
phải vì thế mà bỏ qua việc dạy học định hướng phát triển năng lực sáng tạo  
cho người học. Chẳng hạn với bài tốn trên giáo viên nên đặt các câu hỏi  
kích thích suy nghĩ của học sinh: Để tính thể tích khối chóp ta cần biết yếu tố  
nào? Hãy chỉ ra chiều cao và đáy? Có những cách nào để tính diện tích đáy?
Em có thể giải bài tốn bằng cách khác được khơng?Từ bài tốn trên em hãy  
giải bài sau.
         Từ bài tốn trên giáo viên khéo léo kết hợp với các kiến thức cơ bản về  
quan hệ song song, quan hệ vng góc và các tính chất hình học của các hình  
quen thuộc ta có thể sáng tạo ra các bài tốn phù hợp với từng đối tượng học  
sinh.
12

1. Tính trực tiếp  thể tích khối đa diện và bài tốn liên quan. 
Định hướng 1. Thay đổi giả thiết về chiều cao để sáng tạo bài tốn thể tích  
mới
Bài 1.1. Tính thể  tích khối chóp   S. ABC   biết tam giác   ABC   đều cạnh a và 
chiều cao  SA vng góc với đáy và góc giữu  SB  với mặt đáy bằng  60 0 .
             Lời giải.
Ta có 
SBA 60 0

SB; ABC

SA a. tan 60 0
VS . ABC

1
.S
3

ABC

a 3
1 a2 3
.
.a 3
3 4

.SA

a3
4

Bài 1.2. Tính thể  tích khối chóp   S. ABC   biết tam giác   ABC   đều cạnh a và 
chiều cao   SA vng góc với đáy và góc giữu mặt phẳng   (SBC )   với mặt đáy 
bằng  60 0 .
Lời giải: 
  Gọi M là trung điểm của BC,vì tam giác 
ABC đều nên AM  ⊥ BC SM ⊥ BC ( Định 
lý 3 đường vng góc) .
 Vậy  góc ((SBC);(ABC)) =  SMA 60 0 .

1
3

1
3

Ta có V =  B.h = SABC.SA
Tam giác SAM  vng tại  A  có  SMA 600
SA

AM . tan 60 0

3a
2

3
Vậy  V =  1B.h = 1SABC.SA = a 3

3

3

8

Bài 1.3. Tính thể tích khối chóp  S. ABC  biết các tam giác  ABC  và  SBC đều 
ABC .
cạnh a và mặt bên  SBC

13


Lời giải. 
+ Gọi  H  là trung điểm cạnh  AB . Suy ra  SH  
ABC
là đường cao của khối chóp( do  SAB
).
+ Các tam giác  SAB và ABC  đều cạnh a nên ta 
có
VS . ABC

1 a2 3 a 3
.
.
3 4
2

a3
8

Bài 1.4.  Tính thể  tích của khối chóp   S. ABC   biết tam giác  ABC  đều cạnh a, 
cạnh bên   SB a 3 hai mặt bên  (SAB)  và  (SAC)  cùng vng góc với mặt đáy 
(ABC).
Hướng dẫn: 
SAB
SAC

ABC
ABC

h

SA

Áp   dụng   định   lý   Pitago   trong   tam   giác 
SAB  ta tính đươc  SA a 2 . Từ  đó ta tính 
được
VS . ABC

1
Bh
3

1 a2 3
.
.a 2
3 4

a3 6

12

Nhận xét. Các bài 1.1; 1.2; 1.3 và 1.4  vừa giúp các em ơn tập các kiến thức  
cơ bản vừa giúp các em nhìn nhận ban đầu về việc trực tiếp tính đường cao  
để tính thể tích khối chóp. 
Bài 1.5. Tính thể tích khối chóp tam giác đều  S. ABC  có tất cả các cạnh bằng 
a.
                                                                  ( Bài tập 1, SGK hình học 12, trang  
25)
Nhận xét. Bài tốn này với đối tượng học sinh trung bình và yếu thì có thể  
đặt các câu hỏi sau nhằm giúp học sinh nhớ lại kiến thức về đường cao trong  
hình chóp đều: Em hãy nêu tính chất của hình chóp đều?(Mặt đáy, cạnh bên,  
chiều cao?).  
       Khi đã giúp học sinh nhớ lại các tính chất cơ bản về hình chóp đều giáo  
viên u cầu học sinh xác định và tính chiều cao của khối chóp, từ  đó tính  
được thể tích của khối chóp. 
14


Lời giải.
Cách 1. Gọi H là chân đường cao của khối chóp 
kẻ từ S thì H là trọng tâm của tam giác  ABC
2
. AM
3

     AH

2 a 3
.

3 2

a 3
.
3

Xét tam giác  SAH  vng tại  H , áp dụng định lý 
Pitago, suy ra
      SH

SA 2

AH 2
1
.S
3

Do đó   VS . ABC

a 2
3

ABC .SH

a3 2
.
12

            Giáo viên có thể  đặt thêm câu hỏi: Em có thể  giải cách khác được  
khơng? Hãy thử tìm hình vẽ liên quan mật thiết đến hình đã cho. Nếu học sinh  

khơng giải được thì giáo viên có thể vẽ hình, phân chia lắp ghép khối đa diện  
từ đó gợi ý để học sinh sáng tạo các cách giải khác.
Cách 2. 
         Dựng hình chóp  S . A B C  sao cho 
A,B,C lần lượt là trung điểm của  B C , 
C A ,  A B .  Khi đó dễ thấy hình chóp 
S . A B C có các cạnh  SA , SB , SC  đơi một 
vng góc và  SA SB SC . 
VS . ABC

1
VS . A B C
4

Ta có  SA 2 SC
SA

SB

Vậy  VS . ABC

1
.SA .SB .SC
24
2

SC

4a 2
a 2

a3 2
12

15


Cách 3.
Dựng hình lăng trụ   SMN. ABC  như hình 
vẽ bên.
Từ giả thiết ta có:  MNCB  là hình 
vng; Các tam giác MSC, NSB là các 
tam giác vng cân, suy ra:
SH

BM , SH

SH

BM
2

MNBC

a 2
2

1 2 a 2
.a .
3

2

VS .MNCB
VS . ABC

MC  và  SH

1
VS .MNCB
2

a3 2
6
a3 2
12

Cách 4.
Dựng hình lập phương   SMBN.PAQC   như  hình 
bên.
Ta có: 
VP. ACS

VM . ABS

VQ. ABC

VS . ABC

1
VMBNS . AQCP

3

1
VMBNS . AQCP . Suy ra
6

V N .BCS

1
.SM 3
3

1
3

a
2

3

a3 2
.
12

16


Cách 5.
       Với đối tượng học sinh khá giỏi giáo 
viên có thể  u cầu học sinh chứng minh  

cơng thức:  VSABC

1
..d .SA.BC. sin SA; BC  trong 
6

đó   d   là khoảng cách giữa 2 đường thẳng 
SA  và    BC  (ở  đây  d MN ),  SA; BC  là góc 
giữa 2 đường thẳng   SA   và   BC . Từ  đó ta 
cũng dễ dàng tính được  VS . ABC

a3 2
.
12

Cách 6.

Gọi   M , N , P, Q, I , J   lần lượt là trung điểm của  SB,AC,SC,AB,SA,BC và    G  là 
giao điểm của PQ,MN,IJ
       Ta thấy tứ  giác  MINJ   là hình vng. Dễ  dàng chứng minh được  PQ  là 
đường vuuong góc chung của SC và AB nên  PQ MINJ  suy ra P.MINJ là hình 
a
2

chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng  . Ta có
    VPMINJQ 2VP.MINJ

1
1
2. .PG. .MN .IJ

3
2

1
.PQ.MN .IJ
6

17


1
VS . ABC  Nên 
8

Vì  VSMPI V ANQI VCNPJ VBMQJ
VPMINJQ
VS . ABC

VS . ABC

VSMPI

V ANQI

VCNPJ

1
PQ.MN .IJ
3

2VPMINJQ

Ta tính được:  PQ MN IJ
Do đó  VS . ABC

VBMQJ

1
VS . ABC  
2

a
2

a3 2
.
12

Nhận xét.
          Như vậy chúng ta thấy rằng việc tính thể tích khối đa diện có thể tính  
trực tiếp theo cơng thức tính thể  tích, tuy nhiên đơi khi chúng ta có thể  phân  
chia, lắp ghép khối đa diện để tính, hoặc có thể dùng tỷ số thể tích
        Từ bài 1.5 với học sinh khá giỏi chúng ta có thể u cầu học sinh giải  
bài tốn sau nhằm sáng tạo trong việc tìm lời giải bài tốn.   
Bài   1.6.  Tính  thể   tích   của   khối   chóp   S. ABC   biết  SA BC a ,   SB AC b , 
SC AB c .
Đáp số:  VS . ABC

1
6

a2

c2 b2 b2

c2
2

a2 a2

b2

c2

.

Nhận xét. 
­ Rõ ràng bài tập 1.6 là tình huống có vấn  đề khi các em cố  gắng tìm chiều  
cao của khối chóp. Tuy nhiên, giáo viên có thể  định hướng để  các em giải  
theo các cách giải cịn lại của bài 1.5.
­ Từ bài tốn 1.5 giữ  ngun cạnh đáy, cạnh bên bằng a thay bởi b ta có bài  
1.7:
Bài 1.7. Tính thể tích của khối chóp đều  S. ABC . Biết cạnh đáy bằng a, cạnh 
bên bằng b.
Hướng dẫn: Với cách giải tương tự cách 1 bài 1.4 ta có kết quả
VS . ABC

1 2
a 3b 2
12

a 2  .             1

18


            Vẫn cho khối chóp đều lúc đó đáy vẫn là  tam giác đều nhưng  ẩn đi  
bằng cách giữ ngun cạnh bên bằng  b , cho chiều cao  SH x . Ta có bài tốn 
1.8
Bài 1.8. Tính thể tích của khối chóp đều  S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, chiều 
cao   SH x .
Nhận xét. Giáo viên có thể đặt các câu hỏi gợi ý: Giả thiết cho chúng ta biết  
những gì?(Câu trả  lời mong đợi: Cạnh bên và chiều cao) Cần tính cái gì để  
tính được thể tích? (Câu trả lời mong đợi: Diện tích đáy) Hãy tìm mỗi liên hệ  
giữa các đại lượng của giả  thiết để  tính diện tích đáy? (Câu trả  lời mong  
đợi: Từ giả thiết tính  AH AM . Từ đó tính cạnh đáy và diện tích đáy).
Hướng dẫn giải.
Áp   dụng   định   lý   Pytago   trong   tam   giác   SAH  
tính được
      AH
AM

b2
3 2
b
2

x2
x2

Đặt cạnh đáy bằng  a , áp dụng định lý Pytago 
ta tính được
3 b2

a
S

ABC

x2
3 3 b2
4

x2

VS . ABC

3
.x. b 2
4

x 2 .   2

Nhận xét.    Giữ  ngun cạnh bên bằng b, cho góc giữa cạnh bên và đường  
cao, hoặc góc giữa cạnh bên và mặt đáy, hoặc góc giữa mặt bên và mặt đáy  
ta có các bài tốn 1.9; 1.10; 1.11 như sau: 
Bài 1.9. Tính thể  tích của khối chóp đều  S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, góc 
giữa cạnh bên và chiều cao bằng  .

19

Hướng dẫn giải.  
Tam giác  AHS   vng tại  H   có   ASH
 
nên áp dụng hệ  thức lượng trong tam giác 
vng ta tính được: 
SH

b. cos ;  AH

b.sin

AM

3
.b. sin .  
2

Từ đó tính được: 
BC

3.b. sin

      VS . ABC

S

3 3 2
b . sin 2

4

ABC

3 3
b 1 cos 2
4

cos .          (3)

Bài 1.10. Tính thể tích của khối chóp đều  S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, góc 
giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  .
                                                    Hướng dẫn giải.
Tương tự như trên áp dụng cơng thức 
Hệ thức lượng trong tam giác vng  SAH  
ta tính được
SH

b. sin

AH

b. cos

S

ABC

VS . ABC

AM

3 3 2
b cos 2
4
3 3
b 1 sin 2
4

3
b cos
2

sin

BC

3b cos

 .         (4)

Bài 1.11. Tính thể tích của khối chóp đều  S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, góc giữa 
mặt bên và mặt đáy bằng  .

20


Lời giải. 
        Gọi M  là trung điểm cạnh BC. Do  S. ABC  là hình chóp đều nên chân 
đường cao H của hình chóp trùng với trọng tâm của tam giác đều ABC

Đặt  SH h ,  AB a
h
tan

Ta có  HM

AH

2h
tan

AM

3h
 
tan

(do H là trọng tâm của tam giác  ABC )
Xét tam giác  SAH  vng tại  H , ta có
      SH 2 SA 2 AH 2
h

2

b. tan

h

4 tan 2
3b

AM

4 tan

2

2

 thay vào 

 ta được

a 3
(đường cao trong tam giác đều)
2

2 3b

a

S

b

2h
tan

2

4 tan 2

ABC

3 3b 2
4 tan 2

Vậy  VS . ABC

1
.S
3

ABC

.h

3b 3 tan
4 tan 2

4 tan 2

 .          (5)

21


Ngồi ra đối với đối tượng học sinh khá, giỏi để phát huy kỹ năng giải tốn và  
năng lực sáng tạo trong giải tốn giáo viên có thể định hướng tiếp: Từ bài 1.7 
nếu cố định cạnh bên bằng b, cịn cạnh đáy cho bằng x thay đổi. Tìm x để thể 

tích  VS . ABC  đạt giá trị lớn nhất, ta có bài 1.12:
Bài 1.12. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng b, cạnh đáy bằng x thay 
đổi thỏa mãn  x 0; b 3 . Tìm x để thể tích của khối chóp đã cho đạt giá trị lớn 
nhất. 
Hướng dẫn giải. 
1 2
x 3b 2
12

Từ kết quả bài 1.7 ta suy ra  VS . ABC
Đặt  f x

1 2
x 3b 2
12

x 2  với  x

x2

0; b 3 .
3

b
Khảo sát hàm số  f x  ta được đạt giá trị lớn nhất bằng   khi  x b 2 .
6

Từ bài các bài 1.8; 1.9; 1.10 cho cạnh bên bằng b cố định, các yếu tố cịn lại 
thay đổi và u cầu tìm thể tích lớn nhất ta cho học sinh rèn luyện thêm các bài  
tốn sau:

Bài 1.13. Cho khối chóp đều  S. ABC . Biết cạnh bên bằng b cố định, chiều cao 
SH x  thay đổi. Tìm x để thể tich khối chóp đã cho đạt giá trị lớn nhất.
 Bài 1.14. Cho khối chóp đều  S. ABC . Biết cạnh bên bằng b cố định, góc giữa 
cạnh bên và chiều cao bằng   thay đổi. Tìm  để thể tích của khối chóp lớn 
nhất. 
Bài 1.15. Cho khối chóp đều  S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên 
và mặt đáy bằng  .
Tiếp tục khai thác kết quả bài  1.7: VS . ABC

1 2
a 3b 2
12

1
2a 2 .2a 2 . 3b 2
24

a2

a2  

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: 
                 2a .2a . 3b
2

2

2

a

2

2a 2

2a 2

3b 2
3

a2

3

a2

b2

3

Từ đó ta có bài tốn 1.16

22


Bài 1.16. Cho khối chóp đều  S. ABC . Biết cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. 
1
24

Gọi V  là thể tích của khối chóp đã cho. Chứng minh rằng:  V

a2

b2

3

.

Tương tự bài 1.16 cho học sinh rèn luyện thêm các bài tốn sau:
Bài 1.17.   Cho khối chóp đều   S .A BC   có cạnh đáy   A B = a   các cạnh bên 
bằng b  có thể tích là V . Chứng minh rằng  V

2
60

a2

2b 2

3

 .

Bài 1.18.  Cho khối chóp đều   S .A BC   có cạnh đáy   A B = a   các cạnh bên 
bằng b  có thể tích là V . Chứng minh rằng  V

1
120

3a 2

b2

3

.

 Định hướng 2. Thay đổi giả thiết về đáy, hoặc kết hợp thay đổi giả thiết cả  
đáy lẫn chiều cao để tạo ra bài tốn mới
Nhận xét. Từ bài tốn 1 nếu thay đáy thành tam giác vng, tam giác cân, tam 
giác thường, hoặc thay tam giác bởi tứ giác, ngũ giác… chúng ta có thể sáng 
tạo ra một lớp bài tốn nhằm phát triển tư duy và năng lực sáng tạo cho học 
sinh. Chẳng hạn trong bài tốn 1 nếu chúng ta thay đáy là hình vng cạnh a ta  
có bài tốn 1.19
Bài 1.19.  Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, 
cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và  SA a 2 .
Lời giải.
h

SA a 2

B

a2

VS . ABCD

a3 2
3

Nhận xét: Từ bài tốn 1.19 ta có 

BC
CD

SAB
SAD

BC
CD

SB
 và  SC tạo với mặt 
SD

đáy  SCA 450 . Ta có bài tốn 1.20:
Bài 1.20. Cho khối chóp  S. ABC  có đáy ABC là tam giác vng cân tại A, AB a ,
23


các tam giác  SAB, SAC  lần lượt vng tại  B  và  C ,  SA  tạo với đáy một góc 
bằng  450 . Tính thể tích của khối chóp  S. ABC .

Lời giải.
Kẻ đường cao  SH . Suy ra
AB
AB

SH

SB

AB

SHB

AB

BH      (1)

Tương tự ta chứng minh được
AC

SHC

AC

CH        (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABHC là hình vng 
cạnh a. Từ  đó tính được:  SH a 2
Do đó   VS . ABC

a3 3
6

Từ bài 1.20 thay góc giữa  SA  với mặt đáy bởi góc giữa 2 mặt phẳng ta có bài 
1.21:
Bài 1.21. Cho khối chóp  S. ABC  có đáy ABC là tam giác vng cân tại A,  AB a , 
các tam giác  SAB, SAC  lần lượt vng tại  B  và  C , góc giữa 2 mặt bên  SAB  và 

SAC  bằng  60 0 . Tính thể tích của khối chóp  S. ABC .
                                                           ( Trích từ câu 49, đề minh họa, BGD, 2020)
Hướng dẫn.
Cách 1. Dựng  đường cao SD và DH, DK lần lượt vng góc với SB và SC 
(hình vẽ). Dễ dàng chứng minh được

DH
DK

SAB
SAC

 Góc giữa 2 mặt bên  SAB  

và  SAC  chính là góc HDK 60 0 . Đặt  SD h , từ đó biểu diễn được DH, DK  
theo h và a và tính cos HDK . Suy ra h=a. Tính được  VS . ABC

a3
6

24


Cách 2. Dựng BM vng góc với SA. Suy ra SA cũng vng góc với CM. Chứng 
minh được góc  BMC 120 0 . Tính được  SA a 3 SD a . Từ đó tính được 
thể tích

         Từ bài tốn 1.19 ta thay hình vng ABCD bởi hình chữ nhật có chiều dài  
bằng  2a , chiều rộng bằng a ta có bài tốn 1.22, từ đó ta có bài 1.23 như sau:
Bài 1.22. Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có 

chiều dài bằng  2a, chiều rộng bằng a. Cạnh bên SA vng góc với mặt 
phẳng đáy và  SA a 2 .
Bài 1.23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A,  AB a,
2a ,  ABS
ACS
khối chóp  S. ABC . 
AC

90 0 ,  SA  tạo với đáy một góc  60 0 . Tính thể tích của 

25