Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua việc định hướng giải quyết bài toán hình học tọa độ phẳng dựa trên tính chất đặc trưng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CHUN PHAN BỘI CHÂU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ 
THƠNG THƠNG QUA VIỆC ĐỊNH HƯỚNG GIẢI QUYẾT BÀI TỐN 
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG DỰA TRÊN TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG 
CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG

                               Người thực hiện: Đậu Thị Hiền
                               Chức vụ: Giáo viên
                               Năm học: 2020 – 2021

Tháng 3 năm 2021
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Trong xu hướng phát triển nên kinh t
̀
ế tri thức, Việt Nam càng coi trọng  
giáo dục, khẳng định giáo dục là quốc sách hàng đầu để sáng tạo ra hệ thống  
giá trị hiện đại, đổi mới, làm nguồn lực thúc đẩy phát triển kinh tế ­ xã hội.  
Nhưng năm qua, v
̃
ơi nhiêu giai phap thiêt th
́
̀
̉
́
́ ực được triên khai va th
̉
̀ ực hiên co

̣
́ 
hiêu qua, n
̣
̉ ền giáo dục Việt Nam đã đat đ
̣ ược nhiều thành tựu to lơn trên linh
́
̃  
vực giao duc, đào t
́ ̣
ạo nguồn nhân lực cho đất nước va xa hơi. 
̀ ̃ ̣


2

Tuy nhiên, trước u cầu cấp bách của sự  phát triển kinh tế  ­ xã hội  
trong bối cảnh tồn cầu hóa, đã nảy sinh mơt sơ b
̣ ́ ất cập địi hỏi chúng ta phải  
có sự đơi m
̉ ơi căn ban trong ch
́
̉
ương trinh giao duc noi chung va giao duc phơ
̀
́ ̣
́
̀ ́ ̣
̉ 
thơng noi riêng. Trên c

́
ơ  sở  kế  thừa và phát triển những  ưu điểm của các 
chương trình giáo dục phổ  thơng đã có của Việt Nam; đồng thời, tiếp thu  
thành tựu nghiên cứu về khoa học giáo dục và kinh nghiệm xây dựng chương  
trình theo mơ hình phát triển năng lực của những nền giáo dục tiên tiến trên 
thế giới va qua trinh nghiên c
̀ ́ ̀
ứu, sang tao, đơi m
́
̣
̉ ới phương phap cua môi nha
́ ̉
̃
̀ 
khoa hoc va môi giao viên g
̣
̀ ̃
́
ắn với nhu cầu phát triển của đất nước, những  
tiến bộ của thời đại khoa học ­ công nghệ  đê sang tao ra nh
̉ ́
̣
ưng san phâm tri
̃
̉
̉
́ 
tuê, gop phân th
̣
́

̀ ực hiên co hiêu qua chu tr
̣
́ ̣
̉
̉ ương đôi m
̉ ới va phat triên nên giao
̀ ́
̉
̀
́ 
duc cua đât n
̣
̉
́ ươc. 
́
Trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa 
XI (Nghị quyết số 29­NQ/TW) về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào  
tạo cũng đã chỉ  rõ một thực trạng hiện nay là  “…cơng việc giảng dạy, học  
tập, thi cử, kiểm tra và đánh giá kết quả cịn lạc hậu, thiếu thực chất…’’. Để 
đáp ứng được các u cầu của cuộc sống, của xã hội hiện đại buộc chúng ta  
phải tiến hành đổi mới căn bản, tồn diện hệ thống giáo dục quốc gia. Đó là 
thay đổi tất cả  những yếu tố, những chủ  thể  của q trình đào tạo: Thầy  
phải thay đổi, trị phải thay đổi, cán bộ  quản lý phải thay đổi; tư  duy phải  
thay đổi, hành động phải thay đổi; chương trình phải thay đổi, sách giáo khoa 
phải thay đổi, cách dạy, cách học, cách thi cử  càng phải thay đổi. Trong đó,  
đổi mới giáo dục phổ thơng giữ  vai trị then chốt, bởi vì “giáo dục phổ thơng 
là nền tảng của cả  hệ  thống giáo dục quốc gia”. Trong những năm gần đây 
thì nội dung, phương pháp đào tạo, chương trình mơn Tốn học ở bậc THPT  
đã có rất nhiều thay đổi về u cầu giáo dục, nội dung kiến thức và kỹ năng. 
Cụ thể:

Về  chương trình: đã có những quy định về  Chuẩn kiến thức và người  
giáo viên phải dạy như thế nào để học sinh đạt được chuẩn kiến thức đó. 
Về  kỹ  năng, hình thức và phương pháp dạy học: chuyển từ  nền giáo  
dục THPT nặng về truyền thụ kiến thức một chiều sang nền giáo dục THPT 
chú trọng phát triển năng lực và phẩm chất của học sinh, được tiến hành 
bằng cách đổi mới dạy học theo hướng phát triển năng lực cá nhân người 
học, người giáo viên phải lấy học sinh làm trung tâm; áp dụng các phương  
pháp , kỹ  thuật dạy học tích cực, chấm dứt hồn tồn hiện tượng dạy học  
theo kiểu áp đặt, truyền thụ  kiến thức một chiều, thầy đọc­ trị chép; chú 
trọng rèn luyện phương pháp tự  học, tự  nghiên cứu, giúp những học sinh có 
năng lực hoạt động trí tuệ, phát huy được tính tích cực trong học tập nói 


3

chung và học tập mơn Tốn nói riêng; tăng cường các hoạt động phát triển tư 
duy và tính sáng tạo; biết vận dụng kiến thức đã được học để giải quyết các 
vấn đề nảy sinh trong thực tế …
Trong qua trinh hoc sinh tiêp cân v
́ ̀
̣
́ ̣ ơi cac bai toan hinh hoc toa đơ phăng,
́ ́ ̀ ́ ̀
̣ ̣
̣
̉  
hoc sinh găp kho khăn trong viêc đinh h
̣
̣
́

̣
̣
ương cach giai, hoc sinh khơng biêt
́
́
̉
̣
́ 
cach s
́ ử  dung gia thiêt cung nh
̣
̉
́ ̃
ư  môi liên hê cua gia thiêt v
́
̣ ̉
̉
́ ới yêu câu bai toan
̀ ̀ ́ 
đăt ra lam b
̣
̀ ươc can l
́ ̉ ơn trong viêc giai toan. Chinh vi vây, tac gia viêt đê tai
́
̣
̉
́
́
̀ ̣
́

̉
́ ̀ ̀ 
nay nhăm môt phân nao đo đinh h
̀
̀
̣
̀ ̀
́ ̣
ướng cung nh
̃
ư  chi ra môi liên hê cua cac
̉
́
̣ ̉
́ 
điêm, cac đ
̉
́ ường trong bai toan, t
̀ ́ ừ đo vân dung tinh chât đăc tr
́ ̣
̣
́
́ ̣ ưng cua điêm va
̉
̉
̀ 
đường vao viêc tim ra l
̀
̣ ̀
ơi giai ma bai toan yêu câu.

̀ ̉
̀ ̀ ́
̀
Nhằm khắc phục phần nào những khó khăn, hạn chế  đã nêu trên, tać  
gia l
̉ ựa chọn và viết sáng kiến kinh nghiệm với đề  tài:  “Ren luyên t
̀
̣ ư  duy  
sang tao cho hoc sinh trung h
́
̣
̣
ọc phổ thông thông qua viêc đinh h
̣
̣
ương giai
́
̉  
quyêt bai toan hinh hoc toa đô phăng d
́ ̀
́ ̀
̣
̣
̣
̉
ựa trên tinh chât đăc tr
́
́ ̣ ưng cua điêm
̉
̉  

va đ
̀ ường”.
2. Mục đích nghiên cứu
Giới thiệu, cung cấp thêm cho các em học sinh lớp 10 THPT và đồng 
nghiệp một số  cach nhin trong viêc giai qut cac bai toan vê toa đơ cua hinh
́
̀
̣
̉
́ ́ ̀ ́ ̀ ̣
̣ ̉
̀  
hoc phăng kho, d
̣
̉
́ ựa trên kiên th
́ ưc đa đ
́ ̃ ược tim hiêu 
̀
̉ ở bâc THCS thiêt lâp môi
̣
́ ̣
́ 
quan hê cua điêm va đ
̣ ̉
̉
̀ ường đê t
̉ ừ đo giai quyêt nhanh cac bai toan toa đô hinh
́ ̉
́

́ ̀ ́ ̣
̣ ̀  
hoc phăng.
̣
̉
Rèn luyện cho các em học sinh THPT nói chung, học sinh các lớp 10  
THPT chuẩn bị tham gia kỳ thi THPTQG hàng năm, ky thi HSG nói riêng kh
̀
ả 
năng thơng hiểu, vận dụng , vận dụng cao các kiến thức cơ bản của Hinh hoc
̀
̣  
10 vào giải quyết các bài tốn Hinh hoc toa đơ phăng. 
̀
̣ ̣
̣
̉
Hình thành cho các em học sinh thế giới quan khoa học, chỉ cho các em 
phương pháp tìm hiểu mối liên hệ  mật thiết giữa các phần trong các nội  
dung,   chương trình mơn Tốn bậc THPT, mối liên hệ  giữa kiến thức sách 
giáo khoa và thực tiễn cuộc sống. 
Phát triển tư  duy sáng tạo cho các em học sinh, đáp  ứng các u cầu 
trong Nghị  quyết Hội nghị  lần thứ  8, Ban Chấp hành Trung  ương khóa XI 
(Nghị  quyết số  29­NQ/TW) về  đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào 
tạo, đáp  ứng u cầu cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế 
thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế. 
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Học sinh lớp 10 , hoc sinh chn bi tham d
̣
̉

̣
ự kỳ thi THPTQG hàng năm.


4

Giáo viên giảng dạy mơn Tốn THPT.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trên cơ sở  kiến thức Sách giáo khoa Hinh hoc 10 (c
̀
̣
ơ  bản), tac gia xây
́
̉
 
dựng, khai thác, phát triển, sắp sếp các vấn đề, lồng ghép vào các ví dụ (được  
tham khảo từ đề thi HSG tinh l
̉
ơp 11 hang năm cua cac tinh, thanh phơ, đê thi
́
̀
̉
́ ̉
̀
́ ̀  
thử THPTQG hang năm cua mơt sơ tr
̀
̉
̣ ́ ương và m
̀

ột số tài liệu tham khảo khác) 
để phân hoạch thành các dạng tốn cụ thể theo từng mức độ  để phù hợp với 
từng nhu cầu, năng lực của các em học sinh. 
Tham khảo bài viết của các đồng nghiệp ở các tạp chí có nội dung liên 
quan đến đề tài.
Trao đổi với các đồng nghiệp ở Tổ Tốn ­ Tin ở Trường THPT Chun 
Phan Bội Châu (Nghệ  An) và một số  đơn vị  bạn trong tỉnh có quan tâm đến 
vấn đề này để đề xuất biện pháp tiếp cận lời giải các bài tốn, triển khai đề 
tài.
Trao đổi, thảo luận và phối hợp trực tiếp với các em học sinh được tać  
gia tr
̉ ực tiếp giảng dạy  ở  Trường THPT Chun Phan Bội Châu (Nghệ  An) 
để kiểm nghiệm và rút kinh nghiệm. 
5. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả
Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo, học tập cho các em học sinh  
lớp 10 ­ THPT trong và ngồi trường. 
Đề  tài có thể  làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên giảng dạy bộ 
mơn Tốn THPT.
Đề  tài có thể   ứng dụng để  phát triển thành mơ hình sách tham khảo  
trong lĩnh vực này để  phục vụ  cơng tác giảng dạy của giáo viên, cơng việc  
học tập cho học sinh và cơng tác nghiên cứu của các nhà giáo dục.
Mặc dù đã rất cố  gắng tìm tịi, nghiên cứu song se khơng tránh kh
̃
ỏi  
nhưng thi
̃
ếu sót, tac gia r
́
̉ ất mong mn nhân đ
́

̣ ược sự đóng góp ý kiến của các  
đơng nghiêp, cac đ
̀
̣
́ ộc giả  để  tiêp tuc hồn thi
́ ̣
ện hơn và đạt được nhiều kết 
quả  tốt hơn nữa trong việc giảng dạy mơn Tốn THPT nói chung và giảng  
dạy phần Toa đơ Hinh hoc phăng THPT nói riêng. Tac gia xin chân thành c
̣
̣ ̀
̣
̉
́
̉
ảm  
ơn.
B. NỘI DUNG
1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của toa đơ hinh hoc phăng
̣
̣ ̀
̣
̉
Trong mục này chúng tơi trình bày lại một số khái niệm và tính chât c
́ ơ 


5

ban cua toa đô hinh hoc phăng.

̉
̉ ̣
̣ ̀
̣
̉
1.1. Định nghĩa truc toa đô 
̣ ̣
̣
Truc toa đô la ( con goi la truc) la môt đ
̣
̣
̣ ̀
̀ ̣ ̀ ̣
̀ ̣ ường thăng trên đo đa xac đinh
̉
́ ̃ ́ ̣  
môt điêm O goi la điêm gôc va môt vect
̣
̉
̣ ̀ ̉
́ ̀ ̣
ơ đơn vi .
̣
Ta ký hiêu truc toa đô la 
̣
̣ ̣
̣ ̀
Cho M la điêm tuy y trên truc . Khi đo co duy nhât môt sô k sao cho . Ta
̀ ̉
̀ ́

̣
́ ́
́
̣ ́
 
goi sô k đo 
̣ ́
́la toa đô cua điêm M v
̀ ̣
̣ ̉
̉
ơi truc đa cho
́ ̣
̃ .
1.2. Đinh nghia hê truc toa đô 
̣
̃ ̣ ̣ ̣
̣
Hê truc toa đô
̣ ̣
̣
̣   gôm hai truc  va  vuông goc v
̀
̣
̀
́ ơi nhau. Điêm gôc O chung
́
̉
́
 

cua hai truc goi la gôc tao đô. Truc  đ
̉
̣
̣ ̀ ́ ̣
̣
̣
ược goi la truc hoanh va ki hiêu Ox, truc
̣ ̀ ̣
̀
̀ ́ ̣
̣  
được goi la truc tung va ki hiêu la Oy. Cac vect
̣ ̀ ̣
̀ ́ ̣
̀
́
ơ  va  la cac vect
̀ ̀ ́
ơ đơn vi trên  
Ox va Oy va . Hê truc tao đô con đ
̀
̀
̣ ̣ ̣
̣ ̀ ược ki hiêu la Oxy. 
́ ̣ ̀
1.3. Toa đô vect
̣
̣
ơ
Trong măt phăng Oxy, cho vect

̣
̉
ơ  tuy y. Ve  va goi  lân l
̀ ́ ̃ ̀ ̣
̀ ượt la hinh chiêu
̀ ̀
́ 
vuông goc cua A lên Ox va Oy. Ta co  va căp sô duy nhât  đê . Nh
́ ̉
̀
́ ̀ ̣
́
́ ̉
ư vây .
̣
Căp sô (x;y)  duy nhât đo đ
̣
́
́ ́ ược goi la tao đô cua vect
̣ ̀ ̣
̣ ̉
ơ   đôi v
́ ơi hê toa đô Oxy
́ ̣ ̣
̣
 
va viêt  hoăc . Sô th
̀ ́
̣
́ ứ nhât x goi la hoanh đô, sô th

́
̣ ̀ ̀
̣ ́ ứ hai y goi la tung đô cua
̣ ̀
̣ ̉  
vectơ 
Như vây 
̣
1.4. Nhân xet
̣
́
Từ đinh nghia toa đô vect
̣
̃ ̣
̣
ơ  , ta thây hai vect
́
ơ  băng nhau khi va chi khi
̀
̀ ̉
 
chung co hoanh đô băng nhau va tung đô băng nhau.
́
́ ̀
̣ ̀
̀
̣ ̀
Nêu  va  thi 
́
̀ ̀.

Như vây, môt vect
̣
̣
ơ hoan toan đ
̀
̀ ược xac đinh khi biêt tao đô cua no.
́ ̣
́ ̣
̣ ̉
́
1.5. Biêu th
̉
ưc toa đô cua tich vô h
́ ̣
̣ ̉ ́
ướng
Trên măt phăng toa đô 
̣
̉
̣
̣ , cho hai vectơ . Khi đo tich vô h
́ ́
ướng  la  
̀
1.6. Vectơ chi ph
̉ ương cua đ
̉ ường thẳng
Vectơ   được goi la vect
̣ ̀
ơ  chi ph

̉ ương cua đ
̉ ường thăng  nêu  va gia cua
̉
́
̀ ́ ̉  
song song hoăc trung v
̣
̀ ơi 
́
1.7.  Đinh nghia ph
̣
̃ ương trinh tham sô cua đ
̀
́ ̉ ường thăng
̉
Trong măt phăng Oxy cho đ
̣
̉
ương thăng  đi qua điêm  va nhân  lam vect
̀
̉
̉
̀ ̣
̀
ơ 
chi ph
̉ ương. Vơi môi điêm M bât ki trong măt phăng, ta co . Khi đo 
́
̃
̉

́ ̀
̣
̉
́
́  cung
̀  


6

phương vơi 
́
                                                                   
                                                                   
Hê ph
̣ ương trinh (1) đ
̀
ược goi la ph
̣ ̀ ương trinh tham sô cua đ
̀
́ ̉ ương thăng ,
̀
̉
 
trong đo t la tham sô.
́ ̀
́
1.8. Vectơ phap tuyên cua đ
́
́ ̉ ường thăng

̉
Vectơ   được goi la vect
̣ ̀
ơ  phap tuyên cua đ
́
́ ̉ ường thăng  nêu  va  vuông
̉
́
̀
 
goc v
́ ới vectơ chi ph
̉ ương cua 
̉
1.9. Phương trinh tông quat cua đ
̀
̉
́ ̉ ường thăng
̉
Trong măt phăng Oxy cho đ
̣
̉
ường thăng  đi qua  va nhân  lam vect
̉
̀ ̣
̀
ơ phaṕ  
tuyên. V
́ ơi môi điêm M(x;y) bât ki thuôc măt phăng, ta co: 
́ ̃ ̉

́ ̀
̣
̣
̉
́
Khi đo ́
                                    
                                    
                                       (2)
Đinh nghia: Ph
̣
̃
ương trinh  v
̀
ơi a, b không đông th
́
̀
ời băng 0, đ
̀
ược goi la
̣ ̀ 
phương trinh tông quat cua đ
̀
̉
́ ̉ ường thăng.
̉
1.10. Vi tri t
̣ ́ ương đôi cua hai đ
́ ̉
ường thăng

̉
Xet hai đ
́
ường thăng  va  co ph
̉
̀ ́ ương trinh tông quat lân l
̀
̉
́ ̀ ượt la  va .
̀ ̀
Toa đô giao điêm cua  va  la nghiêm cua hê ph
̣
̣
̉
̉
̀ ̀
̣
̉
̣ ương trinh: 
̀
                                        (I)
Ta co cac tr
́ ́ ường hợp sau:
a) Hê (I) co môt nghiêm , khi đo  căt tai 
̣
́ ̣
̣
́ ́ ̣
b) Hê (I) vô sô nghiêm, khi đo  trung v
̣

́
̣
́ ̀ ới 
c) Hê (I) vô nghiêm, khi đo  không co điêm chung v
̣
̣
́
́ ̉
ơi , hay  song song
́
 
vơi 
́
1.11. Goc gi
́ ưa hai đ
̃
ường thăng
̉
Cho hai đương thăng 
̀
̉  và :.
Đăt  thi ta thây  băng hoăc bu v
̣
̀
́
̀
̣
̀ ơi goc gi
́ ́ ưa  va  trong đo ,  lân l
̃

̀
́
̀ ượt là 
vectơ phap tuyên cua . Vi  nên ta suy ra 
́
́ ̉
̀


7

 

Do đó ta có
1.12. Cơng thưc tinh khoang canh t
́ ́
̉
̉
ư mơt điêm đên mơt đ
̀ ̣
̉
́
̣ ường thăng
̉

Trong măt phăng Oxy cho đ
̣
̉
ường thăng 
̉

 co ph
́ ương trinh 
̀  va ̀ điêm .
̉  
Khoang cach t
̉
́ ư điêm đên đ
̀ ̉
́ ường thăng , ki hiêu la , đ
̉
́ ̣ ̀ ược tinh b
́ ởi cơng thức
                                                                                                         
2. Sử dung mơi quan hê gi
̣
́
̣ ưa điêm đ
̃
̉
ược cho vơi điêm cân tim đê xac
́ ̉
̀ ̀
̉ ́ 
đinh toa đơ điêm
̣
̣
̣
̉
Trong mục này thơng qua các bài tốn, tác giả  trình bày một số  dấu  
hiệu vê mơi qua hê gi

̀ ́
̣ ưa điêm đa cho v
̃
̉
̃
ơi điêm cân tim, đê t
́ ̉
̀ ̀
̉ ừ đo xây d
́
ựng cać  
cơng thưc, phương trinh cân thiêt nhăm tim ra toa đơ điêm ma bai toan u
̀
̀
́
̀ ̀
̣
̣
̉
̀ ̀
́
 
câu. Chúng ta l
̀
ần lượt xét các bài tốn sau:
Bài tốn 1.1. Trong măt phăng v
̣
̉
ơi hê truc toa đơ Oxy, cho tam giac 
́ ̣ ̣ ̣

̣
́ ABC 
co ́A(0;2), B(­2;­2) va ̀C(4;­2). Goi 
̣ M, N lân l
̀ ượt la trung điêm canh 
̀
̉
̣ AB va ̀BC, 
H la chân đ
̀
ường cao ha t
̣ ừ B lên AC. Xac đinh trong tâm 
́ ̣
̣
G cua tam giac 
̉
́ MNH.
A.                                             B.                  
 

C.                                                 D. 

Nhận xét và định hướng:  Trong bai toan nay ro rang chung ta thây
̀
́
̀ ̃ ̀
́
́ 
được nếu có tọa độ  của M, N, H thì tìm được tọa độ  trọng tâm. Mà M, N là  
trung điểm của AB, BC nên ta dễ dàng tìm được tọa độ hai điểm đó. Cịn H là  

chân đường cao, ta dựa vào điều kiện tọa độ chân đường cao thì việc tìm tọa  
độ H dễ dàng thực hiện được. Cụ thể ta có lời giải bài tốn như sau :
Lời giải : Ta co M(­1,0) va N(1;­2),. Gia s
́
̀
̉ ử . Ta co:́
Do G la trong tâm tham giac MNH nên ta co: . 
̀ ̣
́
́
Vây đap an cua chung ta la A.
̣
́ ́ ̉
́
̀
Qua bài Bài tốn 1.1 ta thấy viêc tim ra mơi quan hê gi
̣ ̀
́
̣ ưa điêm đ
̃
̉ ược cho  
va điêm cân tim la chia khoa giai qut bai toan nay. Ngoai u câu la tim trong
̀ ̉
̀ ̀ ̀ ̀
́
̉
́ ̀ ́ ̀
̀
̀ ̀ ̀
̣  

tâm G cua tam giac NMH, chung ta cung co thê s
̉
́
́
̃
́ ̉ ử dung gia thiêt đo nh
̣
̉
́ ́ ưng v
̃ ơí  
nhưng u câu t
̃
ương tu v
̣ ơi nh
́ ưng điêm đăc biêt kh
̃
̉
̣
̣
ác. Ví dụ sau đậy là minh  
chứng.
Bai toan 1.2.
̀
́
 Trong măt phăng v
̣
̉
ơi hê truc toa đơ Oxy, cho tam giac 
́ ̣ ̣ ̣
̣

́ ABC 
co ́A(0;2), B(­2;­2) va ̀C(4;­2). Goi 
̣ M, N lân l
̀ ượt la trung điêm canh 
̀
̉
̣ AB va ̀BC, 


8

H la chân đ
̀
ường cao ha t
̣ ừ B lên AC. Xac đinh tâm đ
́ ̣
ường tron ngoai tiêp 
̀
̣
́ I cuả  
tam giac 
́ MNH.
A.                                             B.                  
 

C.                                               D. 

Hướng dân 
̃ Gia s
̉ ử . Ta co:́

     
Vậy đap an la B.
́ ́ ̀
Đôi v
́ ơi nh
́ ưng bai toan cho điêm đăc biêt cua tam giac va u câu tim
̃
̀
́
̉
̣
̣
̉
́ ̀
̀ ̀  
đinh cua tam giac ta
̉
̉
́  sử dụng cơng thức biểu diễn về mối qua hệ điểm đó với  
điểm cần tìm mà học sinh đã được học nhiều ở bậc THCS . Vi du nh
́ ̣ ư cac bai
́ ̀ 
toan sau:
́
Bài tốn 1.3.  Trong mặt phẳng với hệ  trục tọa  độ  
ABC

Oxy

cho  tam giác 

 có trực tâm, tâm đường trịn ngoại tiếp  và trung điểm của 
toạ độ các điểm  biết rằng  có hồnh độ âm.

AC

 là. Tìm 

A.                                             B.                  
 

C.                                               D.  hoăc 
̣
Bài giải: Gọi  là điểm đối xứng  qua, ta có  là hình bình hành. Theo giả 

thiết  là trung điểm , suy ra 

M

 cũng là trung điểm, do đó ta có 

                                hay . 
Kết hợp với  , suy ra. Gọi  là đường trịn ngoại tiếp tam giác, phương trình  
của  . 
Mặt khác, do  nên. Toạ độ của  là nghiệm của hệ:
  hoặc. 
Kết hợp giả thiết bài tốn ta có.
Bài tốn 1.4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ   cho tam giác   nhọn, 
khơng cân có trực tâm, nội tiếp đương trịn tâm, bán kính  và. Tìm toạ  độ  các 
điểm  biết rằng cac điêm  có hồnh đ

́
̉
ộ âm.
A.                                             B.                  
 

C.                                               D.  hoăc 
̣


9

Bài giải:  Gọi  là điểm đối xứng  qua, ta có  là hình bình hành. Theo giả 
thiết  là trung điểm, suy ra  cũng là trung điểm . Do  nên, suy ra hệ
     
 hay. Lại có  nên, suy ra phương trình của, tọa độ của  là nghiệm của hệ:
. 
Giải ra ta được  . Vây đap an la A. 
̣
́ ́ ̀
Bài tốn 1.5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác nhọn có 
trọng tâm, tâm đường trịn ngoại tiếp, thuộc trung tuyến  và. Tìm toạ độ điểm 
biết  có tung độ nhỏ hơn 2.
A.                                                           B.                  
 

C.                                                      D. 
Bài giải. Do  nên ; phương trình , suy ra 

 . Ta có ; suy ra   hay. 

Mà  nên. Lại có phương trình  , kết hợp với  ta được.   

W

Bài tốn 1.6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ   cho  tam giác nhọn 
có   và   là trung điểm của. Gọi   lần lượt là chân đường cao hạ  từ  và tâm  
đường trịn ngoại  tiếp tam giác  là. Tìm toạ độ  điểm .
A.                               B.                  
C.                                 D. 
Bài giải: Gọi  là trực tâm tam giác, suy ra  đối xứng  qua,  là tâm đường 
trịn (C) ngoại tiếp tam giác  và  là điểm đối xứng của   qua . Ta có  là hình 
bình hành nên trung điểm của cũng là trung điểm . Ta có    và  nên   , suy ra 
phương trình của (C):, phương trình của đường thẳng  . Do đó  tọa độ của  là  
nghiệm của hệ: 
      hoặc, suy ra :
 hoặc. 
Vây đap an la D . 
̣
́ ́ ̀
Tương tự  vơi viêc s
́ ̣ ử  dung kiên th
̣
́ ưc hinh hoc THCS vao giai hinh hoc
́ ̀
̣
̀
̉ ̀
̣  
toa đô phăng, cu thê h
̣

̣
̉
̣ ̉ ơn la bai toan tim điêm 
̀ ̀ ́ ̀
̉ ở bai toan trên. Bai toan sau đây
̀ ́
̀ ́
 
hoc sinh mn lam đ
̣
́ ̀ ược cung cân huy đơng kiên th
̃
̀
̣
́ ức hinh hoc đa đ
̀
̣
̃ ược hoc 
̣ ở  
bâc THCS.
̣
Bài tốn 1.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  cho tam giác  nhọn có các 


10

điểm lần lượt là chân đường cao hạ  từ   lên cạnh đối diện. Tìm tọa đỉnh A 
của tam giác.
A.                                               B.              
C.                                                  D. 

Hướng dân. 
̃ Bai toan nay mn lam đ
̀ ́ ̀
́ ̀ ược cân thiêt lâp đ
̀
́ ̣ ược mơi liên hê
́
̣ 
giưa cac điêm M, N, P la chân đ
̃ ́
̉
̀
ường cao vơi cac điêm A, B, C thơng qua biêu
́ ́
̉
̉  
thưc vect
́
ơ va cac kiêm th
̀ ́
́ ức cua cac điêm đa đ
̉
́
̉
̃ ược hoc 
̣ ở bâc hoc THCS
̣
̣
Bài giải.  Gọi  
trịn đường kính  

kính  

HC

  nên  

ﾷ
ﾷ
PMH
= NMH

BC

  là trực tâm tam giác  

  nên  

ﾷ
ﾷ
HNM
= HCM

  hay  

H

uuuur
HM = ( 1 − xH ; −2 − yH )

Kết hợp với 

H

ﾷ
ﾷ
PNB
= PCB

, suy ra  

  và  

, do  

H , N , C, M

ﾷ
ﾷ
PNB
= BNM

B, P , N , C

 ; 

. Tương tự  ta có  

uuur
MP = 4 HN = ( −2 − xH ; 2 − yH )

, 

 ; 

MNP

xH = 0

3(−2 − yH ) + 4(2 − yH ) + 5(2 − yH ) = 0

yH = 1

phương trình đường thẳng 

hay

H (0;1)

, 
, 
. 

. Ta có 

uuuur
HM = ( 1; −3)

AB :1( x − 1) + 1( y − 2) = 0 � x + y − 3 = 0

 và 

NP = 3

, 

 ;   

AC : −2( x + 2) + 1( y − 2) = 0 � 2x − y + 6 = 0

A(−1; 4) B(4; −1)

, 

. Do  

uuur
MN = 5 HP = ( 1 − xH ; 2 − yH )

BC :1( x − 1) − 3( y + 2) = 0 � x − 3 y − 7 = 0

phương trình đường thẳng  

ﾷ
ﾷ
MPH
= NPH

 ta có hệ phương trình: 

3(1 − xH ) + 4(−2 − xH ) + 5(1 − xH ) = 0

phương trình đường thẳng 

  thuộc đường 

  thuộc đường trịn đường 

  là tâm đường trịn nội tiếp tam giác  

uuuur
uuur
uuur r
NP.HM + MP.HN + MN .HP = 0

các đỉnh tam giác là 

ABC

C (−5; −4)

uuur
HN = ( −2;1)

 ;  

uuur
HP = ( 1;1)

, 
, 

. Suy ra tọa độ 

.

Vây đap an bai nay la:  A  
̣
́ ́ ̀ ̀ ̀
Ta găp mơt sơ bai toan t
̣
̣ ́ ̀
́ ương tự như sau:
Bài tập 1.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác  có đỉnh,  
trực tâm   và trọng tâm. Xác định tọa độ các đỉnh  biêt .        
́
A.                                              B.                  
 

C.                                            D. 


11

 

Đap an la A.
́ ́ ̀

Bài tập 1.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  Oxy cho tam giác  có đỉnh, 
trực tâm   và trọng tâm. Xác định tọa độ các đỉnh  của tam giác.

Bài tập 1.3.  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  Oxy cho  có đỉnh, trực tâm 
và tâm đường trịn ngoại tiếp. Xác định tọa độ các đỉnh  biêt .
́
A.                                               B.                  
 

C.                                               D. 
Đáp an
́  la C.
̀

Bài tập 1.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho  có đỉnh, trọng tâm 
và tâm đường trịn ngoại tiếp. Xác định tọa độ các đỉnh  biêt . 
́
A.                                      B.                  
 C.                                     D. 
Đáp an la B.
́ ̀
Bài tập 1.5.  Trong mặt phẳng với hệ  tọa độ    cho  tam giác   nội tiếp 
đường trịn có tâm  và,  là hình chiếu vng góc của  lên, đường thẳng  đi qua. 
Tìm tọa độ đỉnh  biết  có hồnh độ dương.
A.                                                                B.       
C.                                                              D.                    
Đáp an la C.
́ ̀
Bài tập 1.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  cho  tam giác  có,  và trọng 
tâm  thuộc trục. Tìm tọa độ đỉnh  biết tam giác  có diện tích bằng .
A.                                                                  B.       
C.                                                                D.                 
Đáp an

́  la A.
̀
Bài tập 1.7.  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  cho tam giác  có các điểm, 
là trung điểm, và  là trực tâm tam giác. Tìm tơng  v
̉
ơi la hoanh đơ ba đinh c
́ ̀ ̀
̣
̉
ủa  
tam giác.
A.                                                                    B.        
C.                                                                    D.                 
Đáp an
́  la A.
̀
Bài tập 1.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  cho tam giác  nhọn có các  


12

điểm , và  lần lượt là chân đường cao hạ  từ  A, B, C lên cạnh đối diện. Tìm  
tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC.
A.                       B.       
C.                   D.       
Đap an la B.   
́ ́ ̀
       
Bài tập1.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  cho tam giác  có các điểm ,  
lần lượt là trung điểm AB, AC và  là chân đường cao hạ  từ   A lên BC.  Tìm  

tọa độ đỉnh A của tam giác.
A.                                                                    B.       
C.                                                                  D.                 
 Đáp an la B.
́ ̀
 
Bài tập 1.10.  Trong mặt phẳng với hệ  tọa độ    cho tam giác   có các 
đỉnh . Gọi  là trực tâm tam giác,  là giao điểm () của đường trịn đường kính 
với, N là giao điểm ( khac B) c
́
ủa đường trịn đường kính BH với BC. Viết 
phương trình đường trịn ngoại tiếp (C)  của tam giác.
Bài tập 1.11. Trong mặt phẳng với hệ  tọa độ   cho tam giác  có  trung  
điểm của BC là , tâm đường trịn ngoại tiếp là   I(5 ;3) và H(4 ;2) là chân 
đường cao hạ từ C lên AB. Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC. 
A.                                                                    B.       
C.                                                                    D.                 
Đáp an la A.
́ ̀
Bài tập1.12.   Trong mặt phẳng với hệ  trục tọa độ      cho   tam giác   có 
trực tâm  là trung điểm của  và  là trung điểm BC. Tinh  v
́
ơi  la hoanh  đ
́ ̀ ̀
ộ các  
đỉnh  A, B và C.
A.                                                                    B.       
C.                                                                    D.                 
Đáp an la A.
́ ̀

Bài tập 1.13.  Trong mặt phẳng với hệ  tọa độ    cho tam giác   có trực 
tâm , trung điểm  là  và tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác  là . Xác định toạ 
độ  đỉnh của tam giác.
 A.                                       B.       
            C.                                           D.         


13

Đáp án A  
        Bài tập 1.14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác 
ABC có trực tâm , tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là ,   là trung điểm 
AC. Tìm tọa độ điểm B 
A.                                                            B.       
          C.                                                          D.      
   Đáp an la A.
́ ̀
Bài tốn 1.15.  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ, cho tam giác ABC ngoại 
tiếp đường trịn. Các cạnh  lần lượt tiếp xúc với  tại . Tìm tọa độ  đỉnh C .
A.                                                                B.       
C.                                                                   D.                 
Đáp an la 
́ ̀A.
3. Sử dung m
̣
ối liên hệ giữa các điểm và đường đặc biệt trong tam 
giác đê tim điêm va đ
̉ ̀
̉
̀ ường

Chung ta biêt răng mơi điêm va đ
́
́ ̀
̃
̉
̀ ường được cho trong gia thiêt đêu
̉
́ ̀ 
mang nhưng tinh chât đăc biêt. Viêc phat hiên tinh chât đo cua chung se giup
̃
́
́ ̣
̣
̣
́ ̣ ́
́ ́ ̉
́
̃ ́ 
chung ta giai quyêt tôt bai toan đăt ra. Cac bai toan sau la môt sô vi du minh
́
̉
́ ́ ̀
́ ̣
́ ̀
́
̀ ̣ ́ ́ ̣
 
hoa cho nhân đinh đo.
̣
̣

̣
́
Bài tốn 2.1.  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ  cho  tam giác  nhọn  
có trung tuyến , đường thẳng  và đường cao  cắt đường trịn ngoại tiếp tam  
giác  tại ( khac 
́ A). Tìm toạ độ  đỉnh B biết điểm B có tung độ âm.
A.                                                                B.       
C.                                                                 D.        
Nhân xet va đinh h
̣
́ ̀ ̣
ương:
́
  Bai toan cho ph
̀
́
ương trinh trung tun AM, nêu ta xac đinh thêm mơt
̀
́
́
́ ̣
̣ 
đường thăng đi qua A thi ta se tim đ
̉
̀
̃ ̀ ược toa đô điêm A. Nhân thây v
̣
̣
̉
̣

́ ới toa đô
̣
̣ 
điêm D va ph
̉
̀ ương trinh đ
̀ ường thăng BC ta se viêt đ
̉
̃ ́ ược phương trinh đ
̀ ường  
thăng AH va t
̉
̀ ừ đo xac đinh toa đô điêm A cung nh
́ ́ ̣
̣
̣
̉
̃
ư  viêt đ
́ ược phương trinh
̀  
đương tron ngoai tiêp tam giac ABC thông qua viêc thiêt lâp cac môi quan hê
̀
̣
̣
́
́
̣
́ ̣
́

́
̣ 
cua gia thiêt bai toan. Viêc tim ra ph
̉
̉
́ ̀ ́
̣ ̀
ương trinh đ
̀ ường tron ngoai tiêp tam giac
̀
̣
́
́ 
ABC la ta đa co 2 đ
̀
̃ ́ ường phân biêt đi qua điêm B, C đo la ph
̣
̉
́ ̀ ương trinh đ
̀ ường  
tron ngoai tiêp tam giac ABC va ph
̀
̣
́
́
̀ ương trinh canh BC. Nh
̀
̣
ư vây, bai toan đa
̣

̀
́ ̃ 
được giai quyêt.    
̉
́


14

Bài giải:  Do  nên , phương trình của , tọa độ A là nghiệm của hệ: hay  
A(1;­1). Lại có, từ   nên tọa độ  của M là nghiệm của hệ: .Gọi (C) là đường 
trịn ngoại tiếp tam giác và I  là tâm của (C). 
Phương trình của , suy ra . Kết hợp với  ta được , phương trình của .  
Tọa độ của B là nghiệm của hệ:
 hoặc. Vậy 
Đap an la A.
́ ́ ̀
Tương tự bai toan  2.1. ta co bai toan sau đây
̀ ́
́ ̀ ́
Bài tốn 2.1.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  cho tam giác  nhọn có , 
trung tuyến . Đường thẳng đi qua A, vng góc với BC cắt đường trịn ngoại 
tiếp tam giác  tại điểm thứ hai là . Viết phương trình đường thẳng  biết rằng  
hồnh độ của đỉnh B khơng lớn hơn 3.
A.                                          B.         
C.                                           D.  
Đap an la A.               
́ ́ ̀
Hương
́   dân.

̃   Tứ   giác   HKCE   nội   tiếp   nên  
ﾷ
ﾷ
BDA
= KCE

ta có 

ﾷ
ﾷ
BHK
= BDK

ﾷ
ﾷ
BHK
= KCE

,   kết   hợp   với 

 hay K là trung điểm của DH và phương trình .

Bài tốn 2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  cho  có , tâm đường trịn 
ngoại tiếp   và đường phân giác trong . Tìm tọa độ của B, C biết   và  nhọn.
A.                                              B.       
C.                                            D.   
Nhân xet va đinh h
̣
́ ̀ ̣
ương:

́
Vơi gia thiêt cho toa đơ điêm A va I ta viêt đ
́
̉
́
̣
̣
̉
̀
́ ược phương trinh đ
̀
ường  
tron ngoai tiêp tam giac ABC. Viêc cho ph
̀
̣
́
́
̣
ương trinh đ
̀ ường phân giac AD giup
́
́ 
ta tim đ
̀ ược giao điêm D cua đ
̉
̉ ường tron ngoai tiêp tam giac ABC v
̀
̣
́
́

ơi AD. Nh
́
ờ 
co đô dai canh BC va thiêt lâp công th
́ ̣ ̀ ̣
̀ ́ ̣
ưc ty lê ta xac đinh đ
́ ̉ ̣
́ ̣
ược giao điêm cua
̉
̉  
ID vơi BC va t
́
̀ ư đo ta tim đ
̀ ́
̀ ược toa đơ điêm B, C. Cu thê:          
̣
̣ ̉
̣ ̉
Bài giải. Gọi   là đường trịn ngoại tiếp tam giác , phương trình của . 
Tọa độ của  là nghiệm của hệ : 
 hay . Giả sử  là trung điểm của , ta có , . Từ giả thiết  nhọn, ta có . Phương  
trình thẳng . Tọa độ của  là nghiệm của hệ: hoặc . Do đó ta có đường  hoặc .


15

Vây đap an la: A. 
̣

́ ́ ̀
Bài tốn 2.3.  Trong mặt phẳng với hệ  trục tọa độ   cho  tam giác  có 
chân đường phân giác trong hạ  từ  đỉnh  là , trung điểm của  là  và  phương  
trình tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tại tiếp điểm A là . Tìm tọa độ của 
A biết A,C có tung độ dương.
A.                                      B.  
C.                                         D. 
Bài giải. Phương trình đường thẳng . Gọi , tọa độ E là nghiệm của hệ:.  
Do

ﾷ
EAB
= ﾷACB

 và 

ﾷ
ﾷ
DAC
= BAD

 nên 

ﾷ
ﾷ
ﾷ
ﾷ
ﾷ
EAD
= EAB

+ BAD
= ﾷACB + DCA
= EDA

,  suy ra . 

Lại có,  nên (a>0) .
 Suy ra 
             . 
Do  là trung điểm của  nên   , phương trì trình đường thẳng trung trực  của  là: 
. Gọi  là tâm đường trịn  ngoại tiếp tam giác, phương trình , tọa độ  là nghiệm 
của hệ
                          .
Phương trình của  , tọa độ  là nghiệm của hệ:
                             
Vây đap an la: A.
̣
́ ́ ̀  
Tương tự bai toan 2.3. ta co bai toan sau
̀ ́
́ ̀ ́
Bài tốn 2.3.1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho  tam giác  có, 
phương trình tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tại tiếp điểm  là  và chân 
đường phân giác ngồi   hạ  từ  đỉnh   là .   Tìm tọa độ  của   biết   có tung độ 
dương.     
A.                                                            B.   
C.                                                          D.                            
Đáp an la: A
́ ̀
Bài tốn 2.4.  Trong mặt phẳng với hệ  tọa độ    cho  tam giác có , tiếp 

D

tuyến tại tiếp điểm  của đường trịn ngoại tiếp  cắt  tại điểm  , phân giác 
trong của góc 

ﾷADB

 là  . Viết phương trình của  biết  đi qua .


16

A.                                        B.   
C.                                        D.                            
Bài giải:
Ta có . Giả sử  thuộc tia đối của tia , .  
Do 

ﾷAFE = FDC
ﾷ
ﾷ
ﾷ
ﾷ
+ BCA
= FDA
+ DAE
= ﾷAEF

 nên . 

Mà  
hay ta có  (loại) hoặc .
Do đó ta có  phương trình 
Đap an la : A.                                       
́ ́ ̀
Bài tốn 2.5.  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ  cho  tam giác  nhọn 
và nội tiếp đường trịn , đường thẳng  đi qua . Gọi  lần lượt là chân đường  
cao hạ từ  và . Tìm toạ độ  đỉnh  B biết  A có hồnh độ âm.
A.                                                        B.   
C.                                                      D.                            
Bài giải:  Gọi  là đường thẳng tiếp xúc với  tại A, suy ra . Do tứ giác 
nội tiếp nên   

ﾷACB + MNB
ﾷ
= 1800

ﾷACB = xAB
ﾷ

 . Mà 

ﾷANM + MNB
ﾷ
= 1800

   nên 

ﾷACB = ﾷANM

 . Lại 

ﾷ
xAB
= ﾷANM

có 
 nên 
, suy ra , phương trình  . Tọa độ của A là nghiệm  
của hệ phương trình: . Phương trình , tọa độ của  C là nghiệm của hệ   và tọa 
độ của M là nghiệm của hệ . Đường thẳng   
tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình   hoặc .Vậy 
Đap an la: D.
́ ́ ̀
Tương tự vơi bai toan 2.5 trên ta co bai toan t
́ ̀ ́
́ ̀ ́ ương tự
Bài tốn 2.5.1. Trong mặt phẳng với hệ  trục tọa độ  cho  tam giác nội 
tiếp đường trịn . Gọi  lần lượt là chân đường cao hạ từ .Tìm toạ độ các đỉnh 
biết A có tung độ âm. 
A.  B. 
C.         D.                            
Đáp an la A.
́ ̀
Bài tốn 2.5.2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác  nhọn 


17

có lần lượt là hình chiếu vng góc của  lên   và . Phương trình đường trịn 

ngoại tiếp tam giác  là ,  là trung điểm của  và đường thẳng  đi qua điểm . Tìm 
tọa độ của  biết điểm D có hồnh độ lớn hơn 3.
A.                         B.  
C.                         D.     
Bài giải. 
       Ta có 

ﾷADC = ﾷAKC = 900

BH   ,   ta   có

 

 nên  có đường kính AC . Gọi I là trung điểm của 

ﾷ
ﾷ
BDH
= BKH
= 900 ��
B, D, H , K

ﾷ
ﾷ
BH ⊥ AC � IBD
+ DAM
= 900

.   Kết   hợp   với  

(T )

 

  hay  

  .   Do 

ﾷ
ﾷ
ﾷ
DAM
= ﾷADM , IBD
= IDB

ta   có 

ﾷ
ﾷ
IDB
+ ﾷADM = 900 � IDM
= 900 � MD = IM 2 − IK 2 = 3 5

  ,   suy   ra   phương   trình   , 
tọa độ của là nghiệm của hệ:  hay  . Phương trình  , tọa độ  B là nghiệm của  
hệ  và tọa độ C là nghiệm của hệ . Vậy .
Đap an la: A.
́ ́ ̀
Bài tốn 2.6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ  cho  tam giác có  và .  
Gọi M là một điểm trên cạnh  và hai điểm  lần lượt là hình chiếu vng góc 

của M lên ; phương trình đường thẳng  và trung điểm  là . Tìm tọa độ  của A 
biết F có tung độ âm. 
A.                                         B. 
C.                                     D. 
Bài giải.  Tứ giác  nội tiếp đường trịn  đường kính  có tâm . Gọi H là 
trung điểm của , ta có  ,  , suy ra  
Phương trình đường trịn  . 
Tọa độ của E, F  là nghiệm của hệ: 
.
Đường thẳng . Vì  nên ta có:
 
hay .
Đap an la: B.
́ ́ ̀
Bài tốn 2.7.   Trong mặt phẳng với hệ  trục tọa độ   cho  tam giác có , 


18

trực tâm  và . Gọi D, E  lần lượt là chân đường cao hạ  từ  B, C  và đi qua ,  
trung điểm  M  của cạnh  BC  thuộc đường thẳng . Viết phương trình đường 
thẳng BC.
A.                                       B. 
C.                                       D. 
Bài giải:
Tứ  giác  nội tiếp đường trịn  đường kính  nên  nhận trung điểm  của 
làm tâm nên phương trình của . Lại có  nên  và tứ  giác  nội tiếp đường trịn  
đường kính  có tâm , phương trình .
 Phương trình đường thẳng 
                                           .

Mà  nên hoặc . 
Phương trình đường thẳng  hoặc 
Đap an la: C.
́ ́ ̀
Bài tốn 2.8.  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ   cho  tam giác  nội 
tiếp đường trịn tâm ,  hình chiếu vng góc của A lên đoạn BC là , phân giác 
trong . Tìm tọa độ của B, C biết B có hồnh độ âm.
A.                                         B. 
C.                                           D. 
Bài giải:
Gọi M là giao điểm thứ hai của AK với đường trịn (C) ngoại tiếp tam  
giác ABC, ta có AD  là phân giác góc 
qua AD và  , ta có  , suy ra  và ta có  .

ﾷ
HAM

. Gọi I  là điểm đối xứng của H 

 Phương trình đường thẳng , suy ra ,  và . 
Tọa độ B, C là nghiệm của hệ: .
Đap an la: A.
́ ́ ̀
Bài tốn 2.9. Trong mặt phẳng với hệ  tọa độ   cho tam giác  có   và . 
Gọi D là chân đường phân giác trong của và M là trung điểm của AD , đường 
thẳng CM cắt phân giác ngồi  tại  . Viết phương trình đường thẳng AC.
A.                                  B. 
C.                                  D. 

19

Bài giải:
Qua M kẻ đường thẳng song song với AN cắt  AC tại H, ta có . Mà  nên 
tam giác AHD cân tại , suy ra:
, do đó  hay . Do phương trình  nên phương trình  và do nên phương trình . Gọi  
là điểm đối xứng của B qua AD , ta có  và , phương trình  . 
Đap an la: A.
́ ́ ̀
Bài tốn 2.10. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ  cho  tam giác  có  , 
ngoại tiếp đường trịn   có tâm ,  tiếp xúc với các cạnh  lần lượt tại  và . Tìm  
tọa độ của  biết  có tung độ dương.
A.                                                         B. 
C.                                                       D. 
Bài giải: 
Do  nên  và  . 
Suy ra   hoặc .
* Với  thì  , phương trình  , do  nên  và  nên . Tọa độ  là nghiệm của hệ: 
. Lại có  nên  , suy ra tọa độ A là nghiệm của hệ:   .
*  Với , hồn tồn tương tự ta được.
Đap an la: D.
́ ́ ̀
Trong bai toan 2.10 nêu thay mơt chut d
̀ ́
́
̣
́ ự kiên cua M, N, P ta cung đ
̣
̉
̃ ược  

mơt bai toan hay nh
̣
̀ ́
ư sau.
Bài tốn 2.11. Trong mặt phẳng với hệ  trục tọa độ  cho  tam giác có , 
và ngoại tiếp đường trịn   có tâm ,  tiếp xúc với các cạnh  lần lượt tại  và.  
Tìm tọa độ của .
A.                                             B. 
C.                                              D. 
Bài giải:
Do  nên  . Mà  nên tứ giác  nội tiếp, do đó ta có   hay , suy ra phương trình .  
Tọa độ  của  là nghiệm của hệ  . Gọi  là điểm đối xứng của  qua , suy ra  là 
trung điểm của  , do đó ta có  và , phương trình  . Tọa độ của  là nghiệm của 
hệ:  . Vậy ta có  .
Đap an la: A.
́ ́ ̀


20

Bài toan 2.12. 
́
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác  khơng cân 
có , nội tiếp đường trịn   tâm , điểm . Gọi  là hình chiếu vng góc của  lên 
và  là hình chiếu vng góc của  lên . Tìm tọa độ  biết  .
A.                                               B. 
C.                                             D. 
Bài giải:
Ta có   
Tọa độ của B là nghiệm của hệ:  .

Gọi  đối xứng với  qua  , do tứ giác  nội tiếp nên 
 ,
 suy ra  . 
Tọa độ  là nghiệm của hệ .
Đap an la: C.
́ ́ ̀
Bài toan 2.13. 
́
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ   cho tam giác  nội tiếp  
đường trịn  có tâm  , trung điểm của  là  và hình chiếu vng góc của  lên  là . 
Tìm tọa độ của , biết rằng .
A.                      B. 
C.                         D. 
Bài giải:
 
Gọi  là hình chiếu vng góc của  lên  , do  nên  và  là trung điểm của ,  
suy ra  . Mà tứ giác  nội tiếp nên  , do đó ta có  là trung trực của  và  . Giả sử ; 
phương trình . Lại có . 
Đap an la: A.
́ ́ ̀
Bài tốn 2.14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho  tam giác  nhọn 
có  và nội tiếp đường trịn  có tâm . Đường thẳng  đi qua  , gọi  là hình chiếu  
vng góc của  lên  và  là hình chiếu vng góc của  lên  , đường thẳng  có 
phương trình  và   có hồnh độ âm. Tìm tọa độ của .
A.                                                  B. 
C.                                                    D. 
Bài giải:
Gọi  là hình chiếu vng góc của   lên , suy ra  là tứ giác nội tiếp hay  . 
Mà là tứ giác nội tiếp hay . Kết hợp 

21

                                                               ta có  . Phương trình của  . Tọa độ của 
là nghiệm của hệ: .
* Với , 
Do  nên  và  ,  nên ta có:
  khơng thỏa mãn vì .
* Với , 
Do  nên  và  , nên ta có:
       ( thoa man).
̉
̃
Vậy ta có  .
Đap an la: D.
́ ́ ̀
Bài tốn 2.15.   Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ   cho  tam giác  có 
và nội tiếp đường trịn  có tâm . Gọi là chân đường phân giác trong của  và 
thuộc đoạn  sao cho  . Tìm tọa độ của  biết  có hồnh độ dương.
A.                                  B. 
C.                                  D. 
Bài giải:
Gọi  ,ta có . 
Lại có  nên , 
suy ra  hay .
Phương trình của đường thẳng  và phương trình đường thẳng  .
 Gọi , phương trình đường thẳng . Giải hệ và kết hợp với  ta có . 
Đap an la: B.
́ ́ ̀
Ta găp mơt sơ bai toan t

̣
̣ ́ ̀
́ ương tự như sau:
Bài tập 2.1.  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ  cho  tam giác  có trực 
tâm  và nội tiếp đường trịn  có tâm , đường thẳng  đi qua  và . Tìm toạ độ các  
đỉnh . 
A.                     B.   
C.                       D.                                                        
Đap an la A.
́ ́ ̀
Bài tập 2.2.  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho  tam giác  có tâm  
đường trịn ngoại tiếp , trung tuyến  và đường cao . Tìm toạ độ các đỉnh .


22

A.                     B.   
C.                  D.                                                       Đap an la: D.
́ ́ ̀
Bài tập 2.3.   Trong mặt phẳng với hệ  trục tọa độ  cho tam giác  có , . 
Tìm toạ  độ  đỉnh   biết rằng   thuộc đường thẳng   và trực tâm   của tam giác  
thuộc đường thẳng .
A.                                                             B.   
C.                                                           D. 
Đap an la: A.
́ ́ ̀
Bài tập 2.4.  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ  cho tam giác  đường 
thẳng  đi qua   . Gọi  là một điểm trên cạnh  sao cho , đường trịn tâm  đường  
kính  cắt  tại , phương trình đường thẳng . Tìm toạ độ các đỉnh  biết rằng  có 
hồnh độ dương.

A.              B.  
C.                D.                                                       Đap an la: A.
́ ́ ̀
Bài tập 2.5.   Trong mặt phẳng với hệ  trục tọa độ   cho tam giác   nội  
tiếp đường trịn , chân đường cao hạ từ  lần lượt là . Tìm toạ độ các đỉnh . 
 

A.                      B.  
C.                    D.                                                       Đap an la: A.
́ ́ ̀

Bài tốn 2.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  cho tam giác  có  và đỉnh 
nằm trên đường thẳng . Xác định toạ  độ  của  sao cho phân giác trong  song 
song với đường thẳng .
A.                                                                B.  
C.                                                               D. 
Đap an la: A.
́ ́ ̀
Bài tốn 2.7.  Trong mặt phẳng với hệ  tọa độ    cho  tam giác   có , đường 
thẳng phân giác trong   có phương trình: . Khoảng cách từ    đến   bằng hai lần 
khoảng cách từ  đến . Tìm  toạ độ của  và  biết  nằm trên trục tung.
A.                               B.   
C.                                 D.                                                        
Đap an la: A.
́ ́ ̀
Bài tốn 2.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác  có diện tích 
bằng ,  là trung điểm , phân giác trong  và  với . Xác định tọa độ các đỉnh của 


23

tam giác .
A.            B.  
C.               D.                                                       Đap an la: A.
́ ́ ̀

C. KẾT LUẬN
Qua bài viết sáng kiến kinh nghiệm  “Ren luyên t
̀
̣ ư  duy sang tao cho
́
̣
 
hoc sinh THPT thông qua viêc đinh h
̣
̣
̣
ương giai quyêt bai toan hinh hoc toa
́
̉
́ ̀
́ ̀
̣
̣  
đô phăng d
̣
̉
ựa trên tinh chât đăc tr
́
́ ̣

ưng cua điêm va đ
̉
̉
̀ ường”,  tac gia đa
́
̉ ̃ 
nghiên cưu nghiêm tuc, khoa hoc, huy đông nhiêu nguôn tai liêu đang tin cây,
́
́
̣
̣
̀
̀ ̀ ̣
́
̣  
ap dung kinh nghiêm th
́ ̣
̣
ực tiên trong qua trinh đôi m
̃
́ ̀
̉ ới phương phap giang day,
́
̉
̣  
được cac đông nghiêp đong gop y kiên vao đê tai va đa hoan thiên h
́ ̀
̣
́
́ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ̃ ̀

̣ ơn. Trên cơ 
sở đê tai nghiên c
̀ ̀
ứu, tac gia 
́
̉ đã lam ro va gi
̀
̃ ̀ ải quyết được những vấn đề sau:
1. Giới thiệu, cung cấp thêm cho các em học sinh lớp 10 THPT và đồng 
nghiệp một số cach nhin khac khi giai qut cac bai toan hinh hoc phăng
́
̀
́
̉
́ ́ ̀ ́ ̀
̣
̉
2. Rèn luyện cho các em học sinh THPT nói chung, học sinh các lớp 10  
THPT chuẩn bị tham gia kỳ thi THPT Qc gia hàng năm nói riêng kh
́
ả  năng  
thơng hiểu, vận dụng các kiến thức cơ  bản của Hinh hoc 10 vào gi
̀
̣
ải quyết 
các bài toan kho trong cac ky thi hoc sinh gioi cung nh
́
́
́ ̀
̣

̉ ̃
ư ky thi THPTQG. 
̀
3. Hình thành cho các em học sinh thế giới quan khoa học, chỉ cho các 
em phương pháp tìm hiểu mối liên hệ  mật thiết giữa các phần trong các nội 
dung, chương trình mơn Tốn bậc THPT, mối liên hệ giữa kiến thức sách giáo  
khoa và thực tiễn cuộc sống. 
4.  Tạo cho các em nền tảng kiến thức vững vàng và thống nhất, suy 
nghĩ và tư  duy lơgic, sự  tự  tin khi gặp các vấn đề  khó, góp phần nâng cao 
hiệu quả học tập và giảng dạy, đáp ứng u cầu đổi mới phương pháp giảng 
dạy mơn Tốn trong giai đoạn hiện nay. 
5. Phát triển tư duy sáng tạo cho các em học sinh, đáp ứng các u cầu  
trong Nghị  quyết số  29­NQ/TW về  đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và 


24

đào tạo, đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh 
tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế.
Ngoai ra, đê tai nay con co y nghia tac dung hiêu qua đơi v
̀
̀ ̀ ̀ ̀ ́ ́
̃ ́ ̣
̣
̉ ́ ơi ban thân,
́ ̉
 
đơng nghiêp, gop phân tich c
̀
̣

́
̀ ́ ực, hiêu qua h
̣
̉ ơn trong qua trinh giang day bơ mơn
́ ̀
̉
̣
̣
 
Hinh hoc noi chung va hinh hoc toa đơ phăng noi riêng./.
̀
̣
́
̀ ̀
̣ ̣
̣
̉
́

DANH MUC TÀI LI
̣
ỆU THAM KHẢO

[1]. N.Q.Sơn (2015), cac chun đê nâng cao va phat triên Hinh hoc 10
́
̀
̀ ́
̉
̀
̣

   
[2]. Đê thi tun sinh Đai hoc năm 2013. 
̀
̉
̣
̣
[3] Đê thi tun sinh đai hoc năm 2014.
̀
̉
̣
̣
[4]. P.V. Luận (2014),  Cần có niềm tin vào cơng cuộc đổi mới giáo dục , 
Tham luận trong Đổi mới giáo dục nhìn từ cơ sở­Tài hoa trẻ 2014.
[5]. A. Tú (2014), Xây dựng chất lượng từ  nền tảng giáo viên, Tham luận 
trong Đổi mới giáo dục nhìn từ cơ sở ­ Tài hoa trẻ 2014.
[6] Tuyển tập các đề thi THPT Qc gia năm 2015. 
́
[7] Tuyển tập các đề thi THP Qc gia năm 2016. 
́