Hãy nêu 5 dạng câu hỏi khi phân tích mô hình hồi quy với các biến độc lập là biến số lượng minh họa cho các câu hỏi và câu trả lời thông qua số liệu sau

TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ - ĐỊA CHẤT
KHOA KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH

MÔN: KINH TẾ LƯỢNG

Giảng viên: Nguyễn Thị Hồng Loan
Thành viên : Đầu Thị Mai Phương 2024011581
Tống Thị Phương Thảo 2024011612
Vũ Thị Thanh Huế 2024012029
Nguyễn Tấn Dũng 2024012044
Đỗ Thị Kim Oanh 2024011578

Nhóm: 09

Hà Nội


Mã đề 09
Hãy nêu 5 dạng câu hỏi khi phân tích mơ hình hồi quy với các biến độc lập là biến
số lượng. Minh họa cho các câu hỏi và câu trả lời thông qua số liệu sau:
Số liệu thống kê nhằm nghiên cứu mối quan hệ giữa vốn đầu tư vào 1 tỉnh (tỷ
đồng) và tốc độ tăng GDP của tỉnh (%) và thuế đánh vào hoạt động đầu tư (%)
được cho trong bảng 9.
Bảng 9. Số liệu về vốn đầu tư, tốc độ tăng GDP và thuế.
STT

Vốn đầu tư (tỷ đồng)

Tốc độ tăng GDP (%)

Thuế (%)

1

8,5

6,1

17

2

8,8

6,3

16

3

4,8

4,5

21

4

9,6

6,8

15

5

5,2

4,8

20

6

5,6

5,1

20

7

11,4

7,4

12

8

11,9

7,6

11

9

7,4

5,7

19

10

13,1

8,1

10

11

4,1

4,3

22

12

4,3

4,3

22

13

9,3

6,6

16


Bài làm
Sau khi xử lý số liệu từ bảng 9 ta có:
∑X2i= 120,8

∑ X 22i =

758,86

∑X3i= 337

∑ X 23i =

5973

∑Yi = 163,1

∑ Y 2i =

1487,67

∑X2iYi= 1052,84
∑X3iYi= 2534,7
∑X2iX3i = 1943,8

I.Khái quát lý thuyết cơ bản của chương 3
Để giải quyết được các bài tốn liên quan đến mơ hình hồi quy bội chúng ta
cần xây dựng được hàm hồi quy.
Mơ hình hồi quy k biến được trình bày dưới dạng đại số như sau:
PRF: E(Y/Xi) = β 1+ β2 X 2 i + β 3 X 3 i+...+ β k X ki
PRM: Y i=β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3 i +...+ β k X ki +U i
SRF: Y^i= β^ 1 + ^β 2 X 2i + β^ 3 X 3 i +...+ ^β k X ki
SRM: Y i= β^ 1 + ^β 2 X 2i + β^ 3 X 3 i +...+ ^β k X ki +e i
Giả sử có n quan sát, mơ hình hồi quy tổng thể được trình bày dưới dạng ma trận
như sau:
Y 1=β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3 i+ …+ β k X ki +U 1
Y 2=β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3 i +…+ β k X ki +U 2
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...
Y n= β1 + β 2 X 2 n+ β3 X 3 n +…+ βk X ki+ U n

- Các ma trận Y, β, X và U được viết như sau:
Y1
Y= Y2
Yn

[]

β1
β = β2
βn

[]

1 X 21 X 31 X k 1
U1
X
X
1 X
U = U 2 X= ⋯ ⋯22 ⋯32 ⋯k 2
Un
1 X 2n X 3 n X kn

[]

[

]

→Hàm hồi quy tổng thể được viết dưới dạng ma trận ( PRF ¿ : E ( Y / X i )= X∗β

Mơ hình hồi quy tổng thể( PRM ):Y =X∗β+ U


- Với các ma trận ^β và e có dạng:
^β1

^β= ^β
2
^βn

e1
e = e2
en

[]

[]

→Hàm hồi quy mẫu ( SRF ¿ : Y^ =X∗ ^β

Mơ hình hồi quy mẫu( SRM ):Y =X∗^β+ e

 Cơng thức tính ma trận ^β=( X T X )−1∗( X T Y ) (shift4→MatA x−1∗¿ shift4→ MatB)
n
∑ X2i
∑ X3i
2
Với ma trận: X X= ∑ X 2 i ∑ X 2 i ∑ X 2i X 3 i
∑ X 3 i ∑ X 2i X 3 i
∑ X 23 i

[

T

∑Yi

X Y = ∑ X 2i Y i
∑ X 3i Y i

]

T

[ ]

II. 5 dạng câu hỏi cơ bản.
Dạng 1 :Xây dựng hàm hồi quy mẫu
Ma trận với mơ hình hồi quy 3 biến:
n
∑ X2i
∑ X3i
2
X X= ∑ X 2 i
∑ X2i
∑ X 2i X 3 i
∑ X 3 i ∑ X 2i X 3 i
∑ X 23 i
T

[

∑Yi
X Y = ∑ X 2i Y i
∑ X 3i Y i

]

T

[ ]

−1
Tính ma trận ^β=( X T X ) ∗( X T Y ) (shift4→MatA x−1∗¿ shift4→ MatB)

Y^ = ^
β1 + ^
β 2 X 2 i+ β^3 X 3 i

VD1. Ước lượng của hàm hồi quy mẫu dạng tuyến tính nêu ý nghĩa của các
ước lượng nhận được?
n
X X = ∑ X2i
∑ X3i
T

∑ X2i
∑ X3i
2
∑ X 2 i ∑ X 2i X 3 i
∑ X 2 i X 3 i ∑ X 3i2

(
( )(

∑Y
XTY = ∑ X 2 i Y

∑ X3iY

163,1
= 1052,84
2534,7

)

)(

20

120,8

337

= 120,8 758,86 1943,8
337

1943,8

5973

)


^β = (XTX)-1* (XTY) =

−0,045
1,809

−0,162

( )

^ = -0,045 + 1,809X2i – 0,162X3i
Yi

Ý nghĩa :
β 1 = -0,045: khi không xét đến ảnh hưởng của tốc độ tăng GDP và thuế đánh vào
- ^
đầu tư thì vốn đầu tư vào một tỉnh là 0 tỷ đồng
β 2 = 1,809: cho biết mối quan hệ giữa vốn đầu tư và tốc độ tăng GDP là mối quan
-^
hệ tỉ lệ thuận. Khi tốc độ tăng GDP tăng lên 1% thì vốn đầu tư vào tỉnh tăng 1,809
tỷ đồng
β 3 = - 0,162: cho biết mối quan hệ giữa vốn đầu tư và thuế đánh vào đầu tư là mối
-^
quan hệ tỉ lệ nghịch. Khi thuế đánh vào đầu tư tăng lên 1% thì vốn đầu tư vào tỉnh
giảm 0,162 tỷ đồng

Dạng 2: Đánh giá về hàm hồi quy mẫu và chất lượng của các hệ số hồi quy
Sự phù hợp của hàm hồi quy mẫu được đánh giá thông qua hệ số xác định bội R2 .
R 2=

ESS
RSS
=1−
.
TSS
TSS

ESS= β^ T X T Y −n∗( Y´ )
Trong đó: TSS=∑ Y 2i −n∗( Y´ )2
RSS=TSS−ESS

{

2

Ma trận hiê ̣p phương sai :
Cov ( β^ ) =σ 2 .(X ¿¿ T X)−1 ¿

Vì σ 2 chưa biết nên sử dụng ước lượng không chệch của σ 2là σ^ 2
→ Cov ( ^β )= σ^ 2 .( X ¿¿ T X )−1 ¿
RSS
σ^ 2=
n−k


Var ( ^β 1 )
Cov( β^ 1 ^β2 ) … Cov ( ^β 1 ^β k )
^ ^
Var ( ^β 2) …
Cov ( ^β 2 ^β k )
Cov ( β^ ) = Cov ( β 1 β 2)
…
…
… …
^
^

^
^
Cov( β1 β k ) Cov( β k β 2) …
Var ( ^β k )

[

]

VD2.Đánh giá mức độ phù hợp của hàm hồi quy và chất lượng của hệ số hồi
quy ước lượng?
TSS =∑ Yi 2 – n ( Y´ )2 = 1487,67 – 20 * 8,1552 = 157,5895
ESS = ^β TXTY – n ( Y´ )2 = 1487,149 – 20 * 8,1552 = 157,068
⇒ RSS=TSS−ESS=157,5895−157,068=0,521
R2=1−

RSS
0,521
−¿
=
1
= 0,997
TSS
157,5895

->Hàm hồi quy có mức độ phù hợp tương đối cao.
σ^ 2 =

RSS
0,521

=
= 0,031
n−3
20−3

Cov( ^β ) = σ^ 2 ( XTX )-1
Cov( ^β ) =

5,67
−0,5 −0,157
−0,5 0,044 0,014
−0,157 0,014 0,004

|

|

+ Var( ^β 1) = 5,67
Var( ^β 2) = 0,044
Var( ^β 3) = 0,004
+ Se( ^β 1) = √ Var ( ^β 1) = 2,381
Se( ^β 2) = √ Var ( ^β 2) = 0,21
Se( ^β 3) = √ Var ( ^β 3) = 0,063
Dạng 3: Xác định khoảng tin cậy của β j và PSSSNN
Để xác định khoảng tin cậy của hệ số hồi quy, chọn thống kê :


^β j−β j
t=
~ t (n−k )

^
Se ( β j)

Với mức ý nghĩa α cho trước, ln tìm được cặp α 1 , α 2 (α1 + α2=α ) sao cho:

[

P −t (n−k)
≤
α
2

^β j −β j (n−k)
≤ tα
=1−α
Se ( β^ j )
1

]

Khoảng tin cậy đối xứng
α 1=α 2=

^
^
^ n−k
^
β j −t n−k
α . Se ( β j ) ≤ β j ≤ β j +t α . Se( β j)

α
2

2

Khoảng tin cậy bên phải
α 1=0 ; α 2=α

2

^
βj≥ ^
β j−t n−k
α . Se( β j )

Khoảng tin cậy bên trái
β j ≤ β^j+ t n−k
. Se ( ^
βJ )
α

α 1=α ; α 2=0
n−k

(Trong đó: t n−k
, t α2 tra trong bảng Student)
α

VD3. Khi tốc độ tăng GDP tăng lên 1% thì vốn đầu tư vào tỉnh tăng lên tối đa
bao nhiêu tỷ đồng ?

Với mức ý nghĩa α =5
Ta có KTC trái của β 2:
β2≤ ^
β 2+ t n−k
∝ ∗Se ¿

 β 2 ≤ 1,809+1,74∗0,21
 β 2 ≤ 2,174


Vậy với độ tin cậy 95%, khi tốc độ tăng GDP tăng lên 1% thì vốn đầu tư vào tỉnh
tăng lên tối đa 2,174 tỷ đồng.
Dạng 4: Kiểm định giả thuyết về β jvà PSSSNN
Kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy ( β j )

Tiêu chuẩn kiểm định:

^β j−β j
t=
~ t (n−k )
^
Se ( β j)

β j∗¿
Giả thuyết H O là đúng nếu: t 0 = ^β j − ^ ¿ ~ t (n−k )
Se ( β j)

- Quy tắc kiểm định giả thuyết về β j:
Loại kiểm định
Hai phía

HO
β j = β j*

H1
β j ≠ β j*

Phía phải
Phía trái

β j ≤ β j*
β j ≥ β j*

β j ¿ β j*
β j ¿ β j*

Miền bác bỏ
( n−k )

|t o| > t α2

t 0 > t (αn−k )
t 0 < - t (αn−k )

VD4. Hãy kết luận về ý kiến cho rằng, khi thuế đánh vào hoạt động đầu tư
tăng 1% thì vốn đầu tư bình quân vào tỉnh sẽ giảm 10 tỷ đồng.

{

H 0 : β 3=−10

H 1 : β 3 ≠−10

Ta có:

β^ 3−β
−0,162−(−10)
t=
=
= 156,159
0,063
Se ( ^β 3)
0.025
t 0.025
n−3 =t 17 =2,110

|t| = 156,159 > t 0.025
n−3 = 2,110

=> Thuộc miền bác bỏ
Vậy với độ tin cậy 95%, ta có đủ cơ sở để bác bỏ H0, hay khi thuế đánh vào hoạt
động đầu tư tăng 1% thì vốn đầu tư bình quân vào tỉnh sẽ không giảm 10 tỷ đồng.


Dạng 5: Dự báo giá trị trung bình và giá trị cá biệt của biến phụ thuộc Y với
giá trị X cho trước
Giả sử cho X¿ X 0, dự báo về E(Y/X0) = X 0∗β
Để dự báo, ta xác định ước lượng không chệch của E ( Y / X 0 )là:
T
T
Y^ 0 = ^β X 0 hoặc Y^ 0=¿ X 0 β^

+ Tính :Var(Y^ 0) = σ 2∗X T0 ( X T X )−1 X 0. Dùng σ^ 2 thay cho σ 2, ta được:
Var(Y^ 0) = σ^ 2∗X T0 (X T X )−1 X 0 → Se(Y^ 0) = √ Var ( Y^ 0 )
Với mức ý nghĩa α cho trước, khoảng tin cậy của E(Y/X0) được xác định như sau:
^
^ n−3
^
Y^ 0−t n−3
α ∗Se ( Y o ) ≤ E (Y / X 0 )≤ Y 0 +t α ∗Se( Y 0)
2

2

VD5. Khi tốc độ tăng GDP là 5% và thuế đánh vào hoạt động đầu tư là 19%
thì vốn đầu tư bình qn vào tỉnh có thể có giá trị tối thiểu là bao nhiêu?
1
X2i = 5 , X3i = 19 => ma trận X0 = 5
19

()

ta cần dự báo về E(Y/X0)
ta có Y^ 0 = ^β T X0 = -0,045 + 1,809*5 – 0,162*19 = 5,922
Var(Y^ o) = σ^ 2 X0T (XTX)-1 X0
20
120,8
337
= 0,031 *( 1 5 19) * 120,8 758,86 1943,8
337 1943,8 5973

(

−1

1

) ()
* 5

19

= 0,008
 Se(Y^ o) = √ 0,008 = 0,089
Với mức ý nghĩa α cho trước, ta có khoảng tin cậy phải của E(Y/X0) như sau :


E(Y/X0) ≥ Y^ o - t n−k
* Se(Y^ o)
∝
 E(Y/X0) ≥5,922 - 1,74*0,089
 E(Y/X0) ≥ 5,767
Vậy với độ tin cậy 95%, khi tốc độ tăng GDP là 5% và thuế đánh vào hoạt động
đầu tư là 19% thì vốn đầu tư bình qn vào tỉnh có thể có giá trị tối thiểu là 5,767
tỷ đồng.

Tên thành viên nhóm và mức độ đóng góp
1.Đầu Thị Mai Phương : 18%
2.Tống Thị Phương Thảo : 18%
3. Vũ Thị Thanh Huế (trưởng nhóm) : 23%
4. Nguyễn Tấn Dũng (thuyết trình) : 23%

5. Đỗ Thị Kim Oanh : 18%