Bài giảng toán học 10 chương VI §3 công thức lượng giác

CƠNG THỨC
LƯỢNG GIÁC

1.Cơng thức cộng:
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa

sin(a-b) = sinacosb – sinbcosa

Nhớ :

tga  tgb
tg (a  b) 
1  tga.tgb

tga  tgb
tg (a  b) 
1  tga.tgb

cos thời cos cos, sin sin
sin thời sin cos, cos sin là cùng
tg tổng thì tổng tg ta
phép chia của một trừ thừa tg ra
tg hiệu là hiệu tg ngươi

phép chia của một cộng thừa tg vô

Cụ thể : VT và VP ngược dấu
VT và VP cùng dấu

tg () 
tg () 

tg  tg
1  tg .tg

tg  tg
1  tg .tg


Xét M , N trên mp tọa độ Oxy :
y
B 1

sin

tg

M

Q

N

F

A’
-1 E

α

O

β

A
P 1

Vận dụng kiến thức đã học :

r
i  1;0 
r
j  0;1
r r
i  j 1

+
cotg

cos

r
u 



r
j r

i

0

r
u  ( p; q )
p2  q2

r
v   a; b 





1

r
r
r
u  p.i  q. j

x

uuur uuuu
r B’ -1
ON ; OM      k 2
uuuu
r
OM   cos  ;sin  
uuur

ON   cos  ;sin  
uuuu
r uuur uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
OM
.ON  OM . ON .cos OM ; ON

y

rr r r
r r
u.v  u . v .cos u; v



 

rr
u.v  p.a  q.b

K
1

x


cos  cos   sin  sin   cos 2   sin 2  . cos 2   sin 2  . cos      k 2 

cos  cos   sin  sin   1. 1.cos �
      k 2 �
�
�
cos  cos   sin  sin   cos     
cos       cos �
     �
�
� cos  cos      sin  sin    
cos       cos  cos   sin  sin 
sin      sin  cos   sin  cos 
tg      

cos      cos  cos   sin  sin 
sin  cos  sin  cos 
sin  sin 


cos  cos  cos  cos 
tg  tg 
cos  cos 



cos  cos  sin  sin 
sin  sin  1  tg tg 

1
.
cos  cos  cos  cos 

cos  cos 
tg  tg 
tg      
1  tg tg 

tg  tg 
tg  tg    
tg       tg �
     �

�
�
1  tg tg     1  tg tg 



Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng
nghịch đảo của tg
Ví dụ : Tính cos150 và cotg2150

Giải

cos150  cos  450  300   cos 450 cos 300  sin 450 sin 300

sin 2 150  1  cos 2 150



2

�6 2�
8 4 2
2 2 4 2 2
 1 �

1


1


�
� 4
�
16
4
4
�
�
2 2
2 2
2 2
0
2
0
sin15 

sin 15 
4
2

4

1
cotg 15 
1
2
0
sin 15
2



0





4 2 2
1
4
2 2
2 1

1 
1 


2 2
2 2

2 2
2 2
2 1

4



Ví dụ : Tính sin
8

Giải





�  �
cos �  � cos cos  sin sin
8
8
8
8
�8 8 �


�
2  �
2 
2 

2 
cos  cos
 sin
�
1  sin � sin
4
8
8 �
8�
8


2 
cos  1  2sin
4
8

1  cos
2 2
2 
4
sin


8
2
4

2 2
sin 

8
2



�  �
0  �
�
� 8 2�


2. Công thức nhân đôi :
sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos2α – sin2α
= 2cos2α – 1
= 1 – 2sin2α

2tg
tg 2 
1  tg 2

Nhớ :
sin cặp thì cặp sin cơ
cos hai lấy hiệu bình cơ sin bình
thêm hai cos bình trừ duy nhất
duy nhất trừ đi hai sin bình
tg nhị là nhị tg anh
phép chia của một trừ bình tg thơi

Chứng minh : Vận dụng các công thức sin(α+β), cos(α+β)

và tg(α+β). Cụ thể :
sin 2  sin(   )  sin  cos   sin  cos   2 sin  cos 
cos 2  cos(   )  cos  cos   sin  sin   cos 2   sin 2 

tg  tg
2tg
tg 2


1  tg tg 1  tg 2


a. Hệ quả 1:
1  cos 2
cos  
2
1  cos 2
2
sin  
2
1  cos 2
2
tg  
1  cos 2
2

Nhớ :
cos bình khơng biết bằng chi ?
mẫu hai, tử tổng một và cos hai

Chứng minh :
Vận dụng các công thức nhân
đôi
ta được hệ qủa một.

b. Hệ quả 2:
Các cơng thức sau đây cho
phép tính cosα, sinα và tgα

theo t  tg ,  �  k 2
2

2t
sin  
1 t2
1 t2
cos  
1 t2
2t
tg 
1 t2

Chứng minh :


Ta có :






2sin cos
2sin cos


2
2 
2
2
sin   2sin cos 
2
2
2 
2 
2 
2 
sin
 cos
sin
 cos
2
2
2
2

2tg
2t
2
sin  
sin  

2
2 
1

t
1  tg
2



cos
2
2
2 
cos
2

2 
2 
sin
cos
2 
2


cos 2
cos 2
2
2
2sin


2
cos
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
cos  sin
cos  sin
cos
cos


2
2 
2
2 
2
2
cos   cos 2  sin 2 
2
2
1
2

2
2
2
cos  sin
cos
sin
2
2
2
2
2
2
2 
cos
cos
1  tg
2
1

t
2
2
2
cos  
cos  
2

2
1 t
1  tg

2
2


Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau :

Giải

5  cos 2 x
M
2  7 sin x
M

5   1  sin 2 x 
2  7 sin x

x 1
tg 
2 2
4  sin 2 x

2  7 sin x

x 1
Áp dụng hệ qủa 2 : đặt t  tg 
2 2
1
2.
2t

4
2
sin x 


2
2
1 t
�1 � 5
1 � �
�2 �


2

�4 �
4� �
5 � 58
�
M

4
95
2  7.
5


3. Công thức biến đổi :
a. Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác
thành tổng :

1
sin  sin    �
cos       cos      �
�
�
2
1
cos  cos   �
cos       cos      �
�
�
2
1
sin  cos   �
sin       sin      �
�
�
2

Nhớ :
tích sin là tích nửa âm
cơ đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ

Chứng minh : Vận dụng công thức cộng rồi cộng

hoặc
trừ vế theo vế.


Ví dụ : Tính

Giải


2
M  cos cos
5
5

1 � � 2 �
�
� 2 �
M �
cos � 
� cos � 
�
�
2 � �5 5 �
�5 5 �
�
1 � 3
� 1 � 3
�
� �
M �
cos
 cos �
 �
 �
cos

 cos �
�
2� 5
5�
�5�
� 2� 5
�  � 3
 �� �  3
 �
2sin
cos

cos
2sin cos  2sin cos �
�
�
�
1
1� 5�
5 �
5
5
5
� 5
� � 5
M �
�


2�

� 2�
�
2sin
2sin
�
�
5
�
5
�
� �
� �
4
sin �
 �
sin
1 � 4
2
2 �
� 5�
5


M 
sin
 sin
 sin
�
�



 � 5
5
5
�
4sin
4sin
4sin

5
5
5
sin


1
5
M

 4
4sin
5


b. Công thức biến đổi tổng các hàm số lượng giác
thành tích :

Nhớ :
cos ‘+’ cos bằng 2 cos cos

 
 
cos   cos   2 cos
cos
2
2
 
 
cos   cos   2sin
sin
cos ‘-’ cos bằng ‘-’ 2 sin sin
2
2
 
 
sin   sin   2sin
cos
sin ‘+’ sin bằng 2 sin cos
2
2
 
 
sin   sin   2 cos
sin
sin ‘-’ sin bằng 2 cos sin
2
2

sin     
tg  tg  

cos  cos 
sin     
tg  tg  

cos  cos 

Cụ thể :

Chữ cuối lên giọng thì VT là tổng,
xuống giọng VT là hiệu
Ở VP đọc trước là tổng chia đôi,
đọc sau là hiệu chia đôi


Chứng minh :



sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa
sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa
sin(a + b) + sin(a – b) = 2sinacosb
 
Đặt :
a
2
α=a+b
β=a–b
 
b
2

      � �      �
 
�





sin �
� 2



2

� sin �
�
� 2



2

 
 
sin   sin   2sin
cos
2
2
Áp dụng tương tự với các hàm khác

� 2sin
�

2

 
cos
2


Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau
M = sinx – sin2x + sin3x

Giải

3x  x
3x  x
M = sin3x + sinx – sin2x = 2sin
– sin2x
cos
2
2
M = 2sin2xcosx – 2sinxcosx = 2cosx(sin2x – sinx)
2x  x
2x  x �
�
M  2 cos x �

2 cos
sin
�
2
2
�
�
x
3x
M  4sin cos x cos
2
2
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau
N = tg750 – tg150

Giải

sin  750  150 

sin 600
N

0
0
0
0
cos
75
cos15
cos

75
cos15



1
cos       cos      �
Vận dụng công thức : cos  cos   �
�
�
2

Với α = 750 , β = 150 thế vào ta được kết quả :
2sin 600
sin 600

N
0
0
1�
0
0
0
0
cos
90

cos
60
cos 75  15  cos 75  15 �

2�







�

2sin 600
0
N

2
tg
60
2 3
0
cos 60
Mở rộng cho các công thức sau :
� �
� �
  � 2 cos �
 �
i. sin   cos   2 sin �
� 4�
� 4�
� �
� �

  �  2 cos �
 �
ii. sin   cos   2 sin �
�

iii. sin3α = 3sinα – 4sin3α

iv.
cos3α = 4cos3α – 3cosα

4�

�

4�


Chứng minh :

�2
�
2
2. 2 sin   cos 
sin  
cos  �

  2�
i. VT 
�
�

2
2
2
�
�

�
� 
�
�
VT  2 �
cos sin   sin cos  � 2 sin �
 �
4
� 4
�
� 4�

� 
�
�
VT  2 �
sin sin   cos cos  � 2 cos �
 �
�
4
� 4
�
� 4�
ii.

Tương tự cho sinα - cosα



iii. sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α
= 2sinαcos2α + sinα(1 – 2sin2α)
= 2sinα(1 – sin2α) + sinα(1 – 2sin2α)
= 2sinα – 2sin3α + sinα – 2sin3α
sin3α = 3sinα – 4sin3α

iv.
Tương tự cho cos3α


Bài tập củng cố :
1. Tính:

A = sin100sin300sin500sin700

Giải : A = sin100sin300sin(900 _ 400)sin(900 – 200)
A = sin100sin300 cos400cos200
A.cos100 = cos100sin100cos200cos400sin300
1
0
A.cos10  sin 200 cos 200 cos 400
2
1
0
A.cos10  sin 400 cos 400
4

1
0
A.cos10  sin 800
8
1
0
0
0
A.cos10  sin(90  80 )
8
1
1
0
0
A
A.cos10
 cos10

8
8


2. Tính :

B = cos200 + cos400 + … + cos1600 + cos1800

Giải :
B = (cos200 + cos1600 ) + (cos400 + cos1400 ) + (cos600 + cos1200 ) +
(cos800 + cos1000 ) + cos1800
B = [cos200 + cos(1800 - 20 )] + [cos400 + cos(1800 - 400 )] + [cos600 +

cos(1800 - 600 )] + [cos800 + cos(1800 - 800 )] +cos1800
B = (cos200 – cos200 ) + (cos400 – cos400 ) + (cos600 – cos600 ) +
(cos800 – cos800 ) + cos1800
B = cos1800 = cos(1800 – 00) = – cos00 = -1

3.Ví dụ :CMR :
Giải :

tgA  tgB  tgC  tgA.tgB.tgC

Theo giả thiết, A,B,C là các góc của một tam giác, ta có:
A+B+C= π
A+B=π–C

tg(A + B) = tg(π – C)


tgA  tgB
 tgC
1  tgA.tgB

tgA  tgB  tgC.  1  tgA.tgB 
tgA  tgB  tgC  tgC .tgA.tgB

tgA  tgB  tgC  tgA.tgB.tgC (đpcm)

4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi:

sin B
 2 cos A (1)

sin C
Giải :
(1)
1
sin B  2sin C.cos A  2. �
sin  C  A   sin  C  A  �
�
�
2
Mà : A + B + C = π
C +A=π – B
sin  C  A   sin    B   sin B
sin  C  A   0
Do đó : sin B  sin B  sin  C  A 
�
�

AC
Tam giác ABC cân tại B


HTTP://KINHHOA.VIOLET.VN