SKKN Toan 8Phuong phap phan tich da thuc thanh nhan tu

Cộng hòa xà hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

đề tài sáng kiến kinh nghiệm
I-sơ yếu lí lịch
-Họ và tên : hoàng trung dơng
-Sinh ngày 19 tháng 10 năm 1981
-Năm vào ngành :2005
-Ngày vào Đảng :
-Chức vụ và đơn vị công tác : Giáo viên - Trờng THCS Thái Hòa.
-Trình độ chuyên môn :Cao Đẳng S Phạm .
-Hệ đào tạo : Chính quy
-Bộ môn giảng dạy:Toán
-Ngoại ngữ
-Trình độ chính trị
-Sơ cấp
-Trung cấp
-Đại học :Đại Học Quốc Gia Hà Nội -Toán Tin.
-Sau đại học
-Khen thởng :Giáo viên giỏi cấp trờng
II-nội dung của đề tài
-Tên đề tài : Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân
-Lý do chọn đề tài :

tử ,,.

Trong chơng trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề
đặc biệt quan tâm. Vì nó đợc sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn
phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu
tỉ,chứng minh đẳng thức, giải phơng trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này của
học sinh.

Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn
luyện năng lực t duy toán học. Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan
trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học đợc tốt.
Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp. Việc tìm ra phơng pháp
thích hợp cho lời giải một bài toán đợc ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm ra
nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán ...tất cả đều phụ thc vµo viƯc tiÕp thu
vµ vËn dơng kiÕn thøc cđa học sinh. Khi lựa chọn các phơng pháp để phân tÝch gióp
cho häc sinh ph¸t triĨn t duy to¸n häc, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận dụng kiến
thức đà học khi giải một bài toán cụ thể. Không những thế khi phân tích đa thức thành
nhân tử học sinh đợc ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan nh : Hằng đẳng thức,
kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức..Nói chung ,các thủ
thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải t
duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức đó.
Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong quá
trình giải, cũng nh nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn Toán
và đồng thời phát huy đợc trí tuệ của học sinh. Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán
8 tôi mạnh dạn đa ra sáng kiến và giải ph¸p thùc hiƯn vỊ viƯc “ Ph¸t huy trÝ lùc của
học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử nhằm giúp các em nắm vững
một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, một số bài tập nâng cao, một số
bài tập có áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy đợc đó là công
cụ đắc lực trong giải một số loại toán. Và qua đó cũng nhằm phát huy trí lực của học
sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy vµ häc.


-Phạm vi và thời gian thực hiện :
Một số phơng pháp, một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng phân
tích đa thức thành nhân tử ở môn toán lớp 8.
Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó áp dụng vào hai lớp
8A và 8B trờng THCS TháI Hòa .

III-quá trình thực hiện
1-Khảo sát thực tế (Giới thiệu hiện trạng khi cha thực hiện ):
Qua quá trình nghiên cứu dự giờ và giảng dạy tại trờng tôi thấy tình hình giảng dạy
của giáo viên và học tập của học sinh về bộ môn Đại số mà cụ thể là phần Phơng
pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng của các phơng pháp đó vào
giải Toán cấp 2 có những u khuyết điểm sau :
a-Ưu điểm :
Giáo viên giảng dạy nhiệt tình ,luôn cải tiến phơng pháp dạy học .Nhiều giáo viên đi
sâu vào việc dạy học các phơng pháp tìm lời giải các bài toán .
Giáo viên đà chú trọng rèn luyện cho học sinh những kĩ năng ,phơng pháp cần thiết
,thói quen cần thiết để làm toán sao cho khoa học ,nhanh gọn ,dễ hiểu mà không dài
dòng mất thời gian .
Giáo viên hớng dẫn học sinh giải bài tập theo những phơng pháp khác nhau làm cho
bài toán trở nên phong phú và đa dạng.
Đồng thời giáo viên dẫn dắt học sinh biết ứng dụng những kiến thức đà học vào việc
giải toán .
Học sinh rất ham học ham tìm hiểu ,các em thờng tự tìm gặp giáo viên để hỏi những
bài toán khó.
b-Nhợc điểm :
Một số giáo viên cha chú trọng rèn luyện cho học sinh một số thói quen và phơng
pháp giải toán cha đi sâu cải tiến phơng pháp giải toán ,cải tiến phơng pháp dạy và
học .
Một số giáo viên biến giờ luyện tập thành giờ chép bài tập với một số câu hỏi rời rạc
cha phát huy tính tích cực chủ động và sáng tạo của học sinh ,giáo viên còn ít chú
trọng đến việc lựa chọn những loại bài tập cho thích hợp với đối tợng học sinh và cho
học sinh giải theo một trật tự nhất định .
Một trong những nguyên nhân của thiếu sót đó là sự thiếu thốn tài liệu về phơng pháp
dạy học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử .Đối với giáo viên điều quan
trọng không phải là vấn đề dạy học sinh giải bài toán này hay giải bài toán kia để tìm
ra lời giải mà là vấn đề dạy học sinh để học sinh giải bài toán nµy nh thÕ nµo mµ cơ

thĨ híng dÉn häc sinh phân tích đa thức này thành nhân tử bằng phơng pháp phân tích
nào hợp lí nhất .
Cũng có những giáo viên cha chú trọng vào việc hớng dẫn học sinh ứng dụng những
kiến thức đà học vào giải toán .
Một số học sinh còn lúng túng khi giải các bài tập không biết bài tập này nên áp dụng
phơng pháp phân tích thành nhân tử nào .
Nhiều em hiểu bài toán sau khi giáo viên giảng dạy nhng khi cho một bài toán tơng tự
thì lại không giải đợc .Sở dĩ nh vậy là do nhiều học sinh cha nắm vững đợc các phơng
pháp phân tích đa thức thành nhân tư.Häc tríc quyªn sau ,häc vĐt ,do cha cã mét phơng pháp khoa học .
Một số em do cha phát huy hết khả năng học tập t duy ,một số em có những sai sót
nhng giáo viên không chú ý phát hiện và sửa chữa kịp thời do đó các em lại mắc phải
những sai sót đó .
Đôi khi cũng có một số giáo viên cha hớng dẫn cho học sinh suy nghĩ trớc khi giải
một bài toán nên học sinh thờng không đọc kĩ đầu bài mà giải bài luôn do đó thờng
hay lạc đề .
2-Số liệu điều tra tríc khi thùc hiƯn :
Líp

Sè häc sinh

8A
8B

38
35

BiÕt øng dơng
p2PT§TTNT
Tỉng sè
TØ lƯ

20
52,6%
19
54,3%

Cha biÕt øng dơng
p2PT§TTNT
Tỉng sè
TØ lƯ
18
47,4%
16
45,7%

Ghi chó


3-Những biện pháp thực hiện (nội dung chủ yếu của đề tài )
Chơng I:Các phơng pháp cơ bản.

-Phơng pháp đặt nhân tử chung .
-Phơng pháp dùng hằng đẳng thức .
-Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử .
-Phơng pháp Phối hợp nhiều phơng pháp .
Chơng II : Các phơng pháp đặc biệt.

-Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử .
-Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử .
-Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ).
-Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức

-Phơng pháp hệ số bất định .
-Phơng pháp xét giá trị riêng .
Chơng III .phát huy trí lực của học sinh qua việc Phân tích đa thức
thành nhân tử .

- Bài toán chứng minh sự chia hết .
-Bài toán chứng minh biểu thức luôn dơng, luôn âm, hoặc không âm.
-Bài toán rút gọn và và tính số trị của biểu thức.
-Bài toán chứng minh đẳng thức
-Bài toán tìm giá trị của biến số để biểu thức có giá trị nguyên .
4-Những biện pháp thực hiện :

Chơng I:Các phơng pháp cơ bản.
A. Phơng pháp đặt nhân tử chung .
Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp này thờng làm nh sau:
-

Tìm nhân tử chung

-

Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung, các nhân tử khác.

Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi
hạng tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng.
Khi phân tích bằng phơng pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép nhân
đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A(B +C) .
B. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức .
áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Kiến
thức cơ bản là :

1.

Bình phơng của một tổng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2.

2.

Bình phơng của một hiệu: ( A - B )2= A2- 2AB +B2.

3.

Hiệu hai bình phơng: A2- B2 =( A + B ).( A - B ) .

4.

LËp ph¬ng cđa mét tỉng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3.

5.

LËp ph¬ng cđa mét hiƯu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3.

6.

Tæng hai lËp ph¬ng : A3+ B3 =( A +B )(A2 - AB + B2 ).

7.

HiƯu hai lËp ph¬ng : A3 - B3 =( A - B )(A2 + AB + B2 ).

VÝ dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1
Gi¶i :
8x3y6 - 1 =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - 1 ).(4x2y4 + 2xy2 + 1)
VÝ dô 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 25x4 + 10x2y + y2
Gi¶i :
25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 .y + y2 = ( 5x2 + y)2
C. phơng pháp nhóm nhiều hạng tử .
Khi sử dụng phơng pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết hợp các
hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng dẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử
chung của các nhóm rồi dùng các phơng phap đà biết để phân tích đa thức thành nhân
tử.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tư : 4x2+8xy - 3x - 6y
Gi¶i :
4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y)
= 4x.(x+2y) - 3(x+2y)
= (x+2y)(4x-3)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2
Gi¶i :
x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2
=(x+z)2 - y2
=(x+y+z)(x-y+z)
D. phơng pháp Phối hợp nhiều phơng pháp .
Thờng đợc tiến hành theo các trình tự sau :
+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn .
+ Nhóm hạng tử .


+ Dùng hằng đẳng thức .

Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + y2- xz – yz

Gi¶i :
x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)
= (x + y)2- z(x+y)
= (x+y)(x+y-z)
VÝ dô 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy
Gi¶i:
3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2xy +3xy = 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1)
= 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2ay+a2)]
= 3xy[(x-1)2-( y+a)2]
= 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a)

Chơng II : Các phơng pháp đặc biệt.
A. phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử .
Trong một số trờng hợp bằng các phơng pháp đà học không thể giải đợc mà ta phải
nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng đợc các phơng pháp đÃ
biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8
Giải :
Cách 1 : x2- 6x + 8 = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)
C¸ch 2 : x2- 6x + 8 = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)
C¸ch 3 :
x2- 6x + 8 = x2 - 4 - 6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)
C¸ch 4 : x2- 6x + 8 = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-2-2)= (x-2)(x-4)
Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác tổng đó có 2 cách thông
dụng là :
Một là : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các
hạng tử và đặt nhân tử chung .

Hai là : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu hai
bình phơng .
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8
Giải :
9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8
= 3x(3x -2)+4(3x-2)
=(3x -2)(3x+4)
Hoặc : 9x2+6x-8 =9x2+6x+1 – 9 =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4)
*Chó ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng
thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)
Nh vËy trong tam thøc bËc hai :ax2+bx+c hÖ sè b = b1+ b2 sao cho b1. b2 = a.c.
Trong thùc hµnh ta làm nh sau :
-

Tìm tích a.c

-

Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách .

-

Chọn hai thõa sè mµ tỉng b»ng b .

VÝ dơ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử
Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8
Tích a.c =9.(-8) =-72
Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dơng có giá trị tuyệt
đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)
-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9

Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12
Từ đó ta phân tích
9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x 2 x -6 thành nhân tử
Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6
+ Tích a.c =1.(-6) = -6
Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt
đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (®Ĩ tỉng hai thõa sè b»ng -1)
-6 = 1.(-6) = 2.(-3)
Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3
Từ đó ta phân tích
x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)
*Chó ý : Trong trêng hỵp tam thøc bËc hai : ax2 + bx + c cã b lµ sè lẻ, hoặc không là
bình phơng của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai.


B. Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử .
Khi đa thức đà cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không
có dạng của một hằng đẳng thức nào. cũng nh không thể nhóm các số hạng thì ta
phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng đợc các phơng pháp phân tích ®· biÕt.
VÝ dơ 5 : Ph©n tÝch ®a thøc x4 + 4 thành nhân tử
Giải :
Ta thấy x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đà cho cùng hạng
tử 4x2
4
x + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)
VÝ dô 6 : Phân tích đa thức 64a4 + b4 thành nhân tử
Giải :
Ta thÊy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do ®ã ta có thể thêm bớt vào đa thức đà cho cïng
h¹ng tư 16a2b2

64a2 + b4 = 64a4 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2
= (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)
C . Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ).
Ví dụ 7 : Phân tích ®a thøc (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thµnh nhân tử
Giải :
Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12
NhËn thấy nếu đặt x2 + x = y thì có đa thức đơn giản hơn y2 + 4y -12 là tam thøc
bËc hai cña biÕn y
Ta cã : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = y(y+6) -2(y+6)
= (y+6)(y-2)
= (x2 + x+6)( x2 + x -2)
=(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2)
=(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]
=(x2 + x+6)(x+2)(x-1)
*Chó ý : x2 + x+6 không phân tích đợc nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = 6 =
1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)
Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 thµnh nhân tử
Giải :
Đặt (x2+ 3x + 1) = y
Ta có : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) - 6
= y2 + y - 6


= y2 + 3y - 2y - 6
= (y + 3)(y - 2)
= (x2+ 3x + 1 +3)( x2+ 3x + 1 -2)
= (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1)
( phơng pháp hạ bậc đa thức )
D . Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức
Tổng quát : cho đa thức f(x); a lµ nghiƯm cđa f(x) nÕu f(a) = 0 nh vậy nếu f(x) chứa

nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức
-Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử
không đổi .
-Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1.
-Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ
thì ®a thøc chøa nh©n tư x + 1.
VÝ dơ 9 : Phân tích đa thức x3 + 3x2 -4 thành nhân tử
Giải:
Nếu đa thức có nghiệm là a thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx +c.
Suy ra: a.c = -4, tức là a phải là ớc của -4 ( ± 1; ± 2; ± 4). KiÓm tra thấy 1 là
nghiện của đa thức. Nh vậy đa thức chứa nhân tử x 1. Do đó ta tách các hạng tử của
đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1

C¸ch 1:
x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1)(x+1) = (x-1)(x2 +4x+4)= (x-1)(x+2)2
C¸ch 2: x3 + 3x2 -4 = x3 -1+ 3x2 -3
=(x-1)(x2 + x +1) +3(x-1)(x+1)
=(x-1)( x2 + x +1 +3x+3)
=(x-1)(x2 +4x+4)
= (x-1)(x+2)2
ë ví dụ trên ta càng nhận thấy tổng các hệ số của đa thức là 1+3-4 = 0 nên đa thức
chứa nhân tử x-1.
Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1
Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x3 - 5x2+ 8x-3 thành nhân tử
Các ớc của -3 là : 1 ; 3 mà 1; 3 không là nghiệm của đa
thức. Nh vậy đa thức không có nghiệm nguyên. Nhng đa thức có thể có nghiệm
hữu tỉ.


*Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p

q
với p là ớc của hạng tử không đổi, q là ớc dơng của hạng tử cao nhất.
Nh vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể là :
-1 ; - 1 ; - 3 ; - 3
2

2

KiÓm tra thấy x= 1
2

là một nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử

x- 1 hay 2x-1
2

Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiƯn nh©n tư chung 2x-1
Ta cã: 2x3 - 5x2+ 8x-3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3
=x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1)
=(2x-1)(x2-2x-3)
E . Phơng pháp hệ số bất định .
Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x3-5x2+8x-3 thành nhân tử
Giải : Nếu đa thức tiện phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng
(ax+b)(cx2+dx+m)=acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm
Đồng nhất đa thức này với đa thức đà cho 2x3-5x2+8x-3 , ta đợc:
2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm
Suy ra :
a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3
Cã thĨ gi¶ thiÕt a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử). Do đó a=2 hoặc a=1
Xét a=2 thì c=1 suy ra :

2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3

=> b cã thĨ lµ 1 hoặc 3
Xét b=-1 thì m=3 => d=-2 thoả mÃn các điều kiện trên.
=> a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3
Vậy

2x3-5x2+8x-3 = (2x-1)(x2-2x+3).

F . Phơng pháp xét giá trị riêng .
Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử
Giải :
Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có. NÕu ta thay a bëi b th× P= 0+ bc(b-c) +
bc(c-b) =0 ,nên p chia hết cho a-b. vai trò của a,b,c nh nhau trong đa thức nên p
chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và ®a thøc
chia (a-b)(b-c)(c-a) cịng cã bËc 3 ®èi víi tËp hợp các biến số nên thơng là hằng số
k
ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)
Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta ®ỵc :
2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)


2 = -2k => k=-1
VËy P = (a-b)(b-c)(c-a)
VÝ dô 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử
Giải :
Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta cã. NÕu ta thay a bëi -b th×
Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0. VËy Q chia hÕt cho (a+b). vai trß cđa a,b,c nh nhau trong

đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức
chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thơng là hằng
số k
(a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a)
Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 . ta có :
(0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0)
18 = 6 k => k=3
VËy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)
*Chó ý : Khi ®a thøc cã nhiỊu biến số và vai trò các biến nh nhau trong đa thức
thì ta sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng nh trên.

Chơng III .phát huy trí lực của học sinh qua việc
Phân tích đa thức thành nhân tử .
A. Bài toán chứng minh sự chia hết .
Ví dụ 1 : Chøng minh r»ng : x3 - x chia hÕt cho 3 với mọi số nguyên x.
Giải : Ta có P = x3 - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1)
V× x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên . Do đó:
P = (x+1). x .(x-1) là tích của 3 số nguyên liên tiÕp sÏ chia hÕt cho 3
VËy P ⋮ 3 ∀ x

Z.

VÝ dô 2 : Chøng minh r»ng : x5 - 5x3 + 4x chia hÕt cho 120 víi mäi sè nguyên x.
Giải : Ta có

M = x5 -5x3 + 4x

= x(x4-5x2+4)=x( x4- x2-4x2+4)
=x[ x2 (x2-1)-4(x2-1)]= x(x2-1) (x2-4)

=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)
M Lµ tÝch cđa 5 số nguyên liên tiếp nên M 2;3;4;5
Vì M 2 và M 4 nên M 8 ( 8 lµ BCNN cđa 2vµ 4)
VËy M ⋮ 8.3.5 =120 ( vì 3;8;5nguyên tố cùng nhau từng đôi một )
VÝ dơ 3 : Chøng minh ®a thøc x3- x2 +x -1 chia hÕt cho ®a thøc x-1


Gi¶i : Ta cã P = x3- x2 +x -1= x2(x-1)+(x-1) = (x-1)(x2 +1)
Đa thức P chứa nhân tử x-1 nên P (x-1)
Để giải các bài toán trên tôi đà đi phân tích các đa thức bị chia thành nhân tử ( sử
dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử ) để biến đa thức chia thành tích sau đó tiếp
tục sử dụng các kiến thức về tính chia hết suy ra điều phải chứng minh.
Khi chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác ta cã nhiỊu c¸ch chøng
minh. VËy vÝ dơ 3 ta cã thĨ chøng minh b»ng c¸ch thùc hiƯn phÐp chia, số d bằng 0
có thể dùng lợc đồ Hoocme tìm sè d ( d 0 ). Hc chøng minh nghiƯm của đa thức
chia là nghiệm của đa thức bị chia. Nhng cách làm đó dài, hoặc đơn điệu hoặc phức
tạp hơn so với cách làm trên ( áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ) biến đổi đa
thức thành tích khi đó biểu thức đà cho chia hết cho nhân tử cho tích đó đà làm cho
phép giải của bài toán nhanh hơn và lời giải thông minh hơn.
B. Bài toán chứng minh biểu thức luôn dơng, luôn âm, hoặc
không âm.
Bài toán này kích thích t duy của học sinh phải đi tìm đờng lối giải và khi giải phải
nắm đợc kiến thức:
- Biểu thức luôn dơng ( lớn hơn 0 ) khi tử thức và mẫu thức cùng dấu .
- Biểu thức không âm ( lớn hơn 0 ) khi biÓu thøc cho b»ng luü thõa bËc chẵn của
biểu thức khác.
- Bên cạnh đó cần chú ý với trờng hợp biểu thức nguyên ta xét sự luôn luôn dơng
hoặc luôn âm của biểu thức dựa vào dấu của các nhân tử kết hợp với qui tắc nhân
dấu trong dÊu nguyªn.
VÝ dơ 1 : Cho biĨu thøc P = 4x 2 - 12x + 9 . Chøng minh rằng P không âm với mọi x

Giải : Ta có P = 4x 2 -12x + 9 = (2x)2-2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2

0

0 víi ∀ x . Hay biĨu thøc P không âm với x.

Vậy P

4

Ví dụ 2 : Chứng minh r»ng biÓu thøc M =
x 4 − x3 − x +1
x 4 + x 3 +3 x 2+ 2 x +2

Gi¶i : Ta cã : M =
=

3

x − x x +1
không âm với mọi x
4
3
2
x + x +3 x + 2 x +2

x 3( x −1)−(x −1)
x 4 + x 3 +3 x 2+ 2 x +2
3

x − 1)
= 4 (x −1)(
3
2
x + x +3 x + 2 x +2
2
x −1 ¿2 ( x 2 + x +1)
x −1 ¿
¿
¿
=
=
¿
¿
¿
¿

V× x2 +x +1 = x2 +x + 1 + 3 =(x+ 1 )2 + 3 >0 ∀ x
4

MỈt khác (x-1)2
Vậy M

4

x và x2 +2 > 0

2

x

0 x . Hay M không âm x.

4


Với những bài toán này các em phải phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút gọn
biểu thức. Qua đó kỹ năng phân tích của các em đợc rèn luyện và phát triển cùng
với những kỹ năng giải toán khác .
C .Bài toán rút gọn và và tính số trị của biểu thức.
Đây là bài toán áp dụng gần gũi nhất đối với việc phân tích đa thức thành nhân tử. Đờng lối giải là vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu thành nhân tử
sau đó rút gọn thành nhân tử chung. ở đây cơ bản là rèn kỹ năng phân tích đa thức
thành nhân tử bên cạnh đó sử dụng một số tính chất toán học khác để giải. Sự kết hợp
đó cã t¸c dơng rÌn trÝ t cho häc sinh gióp các em thấy sự liên hệ chặt chẽ giữa các
kiến thức toán học phát triển trí tuệ thông minh và t duy logickhoa häc ë c¸c em.
VÝ dơ : Cho P =

5 x+5
x +8 x+ 7
2

a/ Rót gän P
Gi¶i P =
( víi x

-1; x

5 x+5
x +8 x+ 7
2

=

5 ( x −1)
5( x −1)
=
= 5
x +7
( x+ x)+(7 x +7)
x ( x +1)+7 ( x +1)

-7)

b/ Tính giá trị của P với x=2001
5
Giải : P = 5 =
= 5
x +7
2001+7
2008
D. Bài toán chứng minh đẳng thức

Loại toán này đờng lối giải là ta phải đi bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp ở vế này
đến kết quả là biểu thức đơn giản hơn ở vế kia nhng cũng có bài ta phải biến đổi rút
gọn ở cả hai vế để đi đến 1 kết quả giống nhau.
Thực chất của bài toán này là bài toán rút gọn biểu thức.
5 x+5
= 5
x +7
x +8 x+ 7

5 x+5
5(x +1)
Giải : Biến đổi VT ta cã : VT = 2
=
= 5 =VP
x +7
( x+ 1)(x +7)
x +8 x+ 7

VÝ dô 1: Chøng minh đẳng thức sau :

2

Vậy đẳng thức đợc chứng minh .
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau
Giải

Biến đổi VP ta cã : VP =

− 2− x
x 3 +8
=
2
x −1
(1− x)( x −2 x + 4)

x 3 +8
(1− x)( x 2 −2 x + 4)

2

=

(x +2)(x −2 x +4)
=
(1− x)(x 2 −2 x + 4)

x+ 2
1−x

BiÕn ®ỉi VT ta cã : VT = − 2− x = −(x +2) = x+ 2
x 1

x 1

1x

VT =VP Vậy đẳng thức đợc chứng minh.
Với học sinh các em rất thích thú với dạng bài tập này vì các em cho rằng đây là
dạng toán đà cho sẵn kết quả.

E. Bài toán tìm giá trị của biến số để biểu thức có giá trị nguyên .


Để giải bài toán này đờng lối chung là tách phần nguyên để còn xét phần phân thức ở
dạng đơn giản hơn ( Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn kết quả chỉ còn phân thức
đơn giản hơn ). Tiếp thea ta dùng giá trị tử của biến số để phân thức ấy có giá trị
nguyên. Muốn đạt đợc giá trị nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay nói
cách khác: Mộu thúc phải là ớc của tử thức. Từ đó ta tìm đợc giá trÞ cđa biÕn.
VÝ dơ : Cho P =

5 x+5
x +8 x+ 7

Tìm giá trị của xđể biểu thức có giá trị nguyên.

2

Giải:
x+7 = 5 x=-2

P đạt giá trị nguyên ⇔ x+7 lµ íc cđa 5 ( ± 1; ± 5)
Do ®ã

x+7 =-1 ⇒ x=-8

x+7 = 1 ⇒ x=-6
x+7 =-5 ⇒ x=-12
VËy khi biÕn sè nhËn mét trong c¸c gi¸ trÞ
Theo VD 1 ë IV.3 ta cã: P=

5 x+5
=
x +8 x+ 7
2

{ -12;-8;-6;-2} thì P đạt giá trị nguyê
5
x +7

IV-kết quả thực hiện có so sánh đối chứng
Qua các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử học sinh biết vận dụng các phơng pháp đó vào giải các bài toán sao cho nhanh gọn dễ hiểu .
Trong SGk và SGV Đại số 8 chỉ đa ra các phơng pháp đó mà không hớng dẫn học
sinh vận dụng các phơng pháp đó.
Do trình độ nhận biết của học sinh khác nhau khi đa ra các phơng pháp đó học sinh
khá giỏi tiếp thu rất nhanh còn các em học sinh trung bình ,yếu mới bớc đầu tiếp thu
đợc bài ,cũng biết vận dụng các phơng pháp nhng cha linh hoạt ,các em vẫn bị
nhầm ,dài dòng.
Sau khi học xong các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thu đợc kết quả nh
sau :
Lớp

Số học sinh

8A
8B

38
35

Biết ứng dụng
p2PTĐTTNT
Tổng số
Tỉ lệ
31
81,6%
30
85,7%

Cha biết ứng dụng

p2PTĐTTNT
Tổng số
Tỉ lệ
7
18,4%
5
14,3%

Ghi chú

V-những kiến nghị và đề nghị sau quá trình thực hiện đề tài
-Đề tài đợc công nhận kết quả thì có thể phổ biến cho tất cả giáo viên bộ môn Toán áp

dụng vào việc giảng dạy cho học sinh .
-Phân phối chơng trình giảm tải phần kiến thức khác và tăng số tiết phần phơng pháp
phân tích đa thức thành nhân tử để cho đầy đủ hơn và ứng dụng đợc nhiều bài toán
khác trong chơng trình Toán THCS.
-Giáo viên chú trọng hớng dẫn học sinh học tập đầy đủ ,nhiệt tình,phát huy tính sáng
tạo và chủ động trọng việc làm bài toán .
Ngày 20 tháng 05 năm 2012
Giáo viên


Hoàng Trung Dơng
ý kiến nhận xét đánh giá và xếp loại
Của hội đồng khoa học cơ sở

Ngày
tháng
năm 2012
Chủ tịch hội đồng

đánh giá và xếp loại Của hội đồng khoa học
Ngành giáo dục đào tạo huyện
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
Ngày tháng
năm 2012
Chủ tịch hội đồng