Giao an ca nam

CHUYÊN ĐỀ 4 : PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP
( HAY LỢI ÍCH CỦA VIỆC CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN )
Ta biết tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường trịn . Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo
các góc đối bằng 1800 . Biết một tứ giác nội tiếp thì suy ra được góc trong ở một đỉnh bằng góc ngồi ở
đỉnh đối diện với nó, ngồi ra cịn có thể vận dụng định lý góc nội tiếp để tìm ra những góc bằng nhau.
Dưới dây một số lợi ích của việc chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
1. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn.
Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A , B , C , M , N cùng thuộc một đường tròn , ta có thể Chứng minh tứ
giác ABCM nội tiếp, tứ giác ABVN nội tiếp từ đó suy ra 4 điểm A, B , C , M và 4 điểm A, B , C , N
cùng nằm trên một đường trịn . Hai đường trịn này có ba điểm chung nên chúng trùng nhau, từ đó suy
ra 5 điểm A, B, C, M , N cùng thuộc một đường tròn .
Ví dụ 1: Cho góc vng xAy . Trên tia Ax lấy điểm B cố định,trên tia Ay lấy điểm C di động.
Vẽ đường tròn (O) nội tiếp  ABC, tiếp xúc với các cạnh BC , CA , AB lần lượt tại D , E , F .
Hai đường thẳng DE và OA cắt nhau tại G.
a) Chứng minh 5 điểm O , D , G , B , F cùng thuộc một đường trịn.
b) Đường thẳng DE ln đi qua một điểm cố định.
y
Giải :
a)  OFG = OEG (c-c-c)
G
C
à
à
à
$
à
ị $
F1 = E
D
E
F

D
m
=
nờn
=
1
1
1
1
1
D
ị t giỏc ODGF ni tiếp
1
Þ O , D , G , F cùng thuộc một đường tròn.
(1)
1 O
mặt khác, tứ giác ODBF nội tiếp
E
1
suy ra O, D , B , F cùng thuộc một đường trịn
(2)
x
1
Þ
từ (1) và (2)
5 điểm O, D , G , B , F cùng thuộc
F
A
B
một đường trịn, đó là đường trịn (ODF)

0
0



b) Ta có OGB ODB 90 ; A1 45 .
Vậy  GAB vng cân tại G. Vì AB cố định nên G cố định . Đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố
định là điểm G .
2. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Để Chứng minh đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định, ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào
đó rồi Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn, từ đó suy ra điều phải chứng minh .
Ví dụ 2: Từ một điểm A ở ngồi đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn .
Lấy điểm D nằm giữa B và C . Qua D vẽ một đường thẳng vng góc với OD cắt AB , AC lần lượt tại
E và F, cắt đường tròn tại M và N .
a) Chứng minh rằng ME = NF .
b) Khi điểm D di động trên BC, Chứng minh rằng đường trịn
(AEF) ln đi qua một điểm cố định khác A .
B
µ µ
Giải : a) Tứ giác OBED có B + D = 1800
1
µ
µ
E 2
nên tứ giác này nội tiếp đường trịn Þ E 1 = B 1 .
M1
0


O

tứ giác ODCF có ODF OCF 90
A
2
à
$
nờn t giỏc ny ni tip ng trũn ị F 1 = C 1 ,
D1
µ
µ
µ
$
N 1
mà B 1 = C 1 nên E 1 = F 1 ; suy ra  OEF cân tại O .
C
Vì OD  EF nên DE=DF (tính chất của tam giác cân)
F
và DM=DN (đ/ kính vng góc với dây cung)
Từ (1) và (2) Þ ME = NF .


à
à
b) T giỏc OBED ni tip ị E 2 = D 2 . Tứ giác ODCF nội tiếp Þ OFD  D2 ,


do đó tứ giác AEOF nội tiếp đường trịn , suy ra đường tròn (AEF) đi qua điểm O cố định .
3. Chứng minh hai góc bù nhau hoặc bằng nhau.
Ta có thể Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn rồi suy ra hai góc đối bù nhau hoặc hai góc nội tiếp
cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Ví dụ 3: Cho  ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên đường tròn lấy một điểm O bất kỳ. Gọi D , E , F lần

lượt là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳng BC , CA , AB .
a) Chứng minh rằng 3 điểm D , E , F cùng nằm trên một đường thẳng .
b) Gọi H là hình chiếu của điểm M trên tiếp tuyến Ax của đường tròn .
Chứng minh rằng MH . MD = ME . MF .
x
Giải :
* Trường hợp điểm M trùng với đỉnh một đỉnh của tam giác ,
A
bài toán hiển nhiên đúng.
H

* Trường hợp điểm M không trùng với đình của tam giác ,
1

giả sử M  BC khơng chứa A

( nếu M  BC chứa A , cũng Chứng minh tương tự )
µ
µ
a) Tứ giác MDBF nội tiếp Þ D 1 = M 1 .
B
µ
µ
Þ
D
M
Tứ giác MDEC nội tiếp
2 =
2 .
M




Tứ giác AFME nội tiếp Þ EMF BMC ( cựng bự vi FAC )
à
à
à
à
ị M
1 = M 2 , do đó D 1 = D 2 dẫn tới D , E , F thẳng hàng .




b) Tứ giác HFMA và MDEC nội tiếp nên : HMF HAF ACB EMD ;




MHF
MAF
MCD
MED
. VẬY  MHF =  MED ( g-g)
MH ME

Þ ME MD suy ra MH . MD = ME . MF .

1

1

D

E
2
2

1

C

M

4. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích của một điểm.
Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD, tâm O. Một đường thẳng xy quay quanh O cắt hai cạnh AD và BC lần
lượt tại M và N . Trên CD lấy điểm K sao cho DK = DM . Gọi H là hình chiếu của K trên xy .
Tìm quỹ tích của điểm H .
Giải :
B
A
* Phần thuận :
Vì CN = AM ( tình chất đồi xứng )
Vì DK = DM nên CK = CN .
N
Tứ giác MHKD , NHKC nội tiếp đường trịn
O
2
0


H
µ
µ
µ µ
nên H 1 = M 1 = 450 ; H 2= N 2 = 450 , do đó DHC 90 .
M
Vậy Điểm H nằm trên đường trịn đường kính CD .
1 2
1
Giới hạn : Điểm H chỉ nằm trên một nửa đường trịn
đường kính CD nằm trong hình vng .
* Phần đảo :
C
K
D
Lấy điểm H bất kỳ trên nửa đường trịn đường kính CD .
Vẽ đường thẳng HO cắt cạnh AD và BC lần lượt tại M và N . Lấy điểm K trên CD sao cho DK = DM ,
ta phải chứng minh H là hình chiếu của k trên MN .
0
0
0




Thật vậy , Vì DHC 90 ; DOC 90 nên tứ giác HOCD nội tiếp Þ DHM DCO 45
0
0





Mặt khác DKM 45 nên DHM DKM Þ tứ giác HKDM nội tiếp Þ KHM 90 Þ KH  MN
Þ H là hình chiếu của K trên MN .
Kết luận : Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường trịn đường kính CD , nửa đường trịn này nằm tron
hình vng .
Nhận xét về phương pháp giải :


Trong phần thuận nhờ chứng minh các tứ giác MHKD , NHKC nội tiếp đường trịn mà ta tính được

DHC
900 , tứ đó xác định được điểm H nằm trên đường trịn đường kính BC .
Trong phần đảo, cũng nhờ Chứng minh các tứ giác nội tiếp BOCD , HKDM nội tiếp mà ta tính được

KHM
900 , từ đó chứng minh H chính là hình chiếu của K trên MN .
5. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
Ví dụ 5:

Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ), điểm D di động trên cạnh BC. Vẽ DE  AB ,
DF  AC . Xác định vị trí của điểm D để :
A
a) EF có độ dài nhỏ nhất,
b) EF có độ dài lớn nhất .

Giải :
µ $
Tứ giác AFDE có E + F = 1800
O

nên tứ giác này nội tiếp được trong đường tròn đường kính AD . E
F
Gọi O là tâm của đường trịn này, Vẽ OM  EF thì ME = MF .
M


Đặt BAC   thì MOE   .
Xét tam giác vng MOE có EM = EO . Sin 
B
C
Þ EF = 2. BO. Sin  Þ EF = AD. Sin  . (*)
a) Do  không đổ nên từ (*) suy ra
EF nhỏ nhất  ASD nhò nhất  AD  BC  D là hình chiếu của A trên BC .
b) AD £ AC ( quan hệ giữa đường xiên AD và AC với hình chiếu của chúng trên đường thẳng BC ).
Từ (*) Þ EF lớn nhất  AD lớn nhất  D trùng với C ( Vì AC > AB ).
Nhận xét :
+ Về phương pháp giải: Mấu chột trong cách giải trên là chứng minh tứ giác AFDE nội tiếp đường
tròn và EF là một dây của đường trịn đó . Ta biến đổi điều kiện EF đạt cực trị bởi điều kiện tương
đương là AD đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi của đề bài .
+ Về kết quả : Kết quả của bài tốn vẫn đúng trong trường hợp góc A là góc vng hoặc góc tù .


phương pháp Chứng minh tứ giác nội tiếp
Posted on August 23, 2008 by goldhung
Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có các cách sau:
Cách 1: Chứng minh tổng hai góc đối bằng
.
Cách 2: Chứng minh góc ngồi bằng góc trong đỉnh đối.
Cách 3: Chứng minh hai đỉnh kể cùng nhìn một cạnh hai góc bằng nhau.
Cách 4: Chứng minh 4 đỉnh cách đều một điểm.

Các cách trên chủ yếu là các cách chứng minh dựa vào các chứng minh về góc. Ngồi các cách trên
chúng ta có một vài điều kiện đủ khác để một tứ giác là tứ giác nội tiếp. Chúng ta xét bài toán sau:
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai cạnh bên AD và
BC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD
b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC
Việc chứng minh bài toán này khơng có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc chứng minh các tam đồng dạng
và suy ra kết quả. Nhưng qua bài toán trên cho ta một ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp đó là chứng
minh một đẳng thức về cạnh.
Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài tốn sau:
Bài 1: Cho đườn trịn (O), A là một điểm nằm ngồi đường trịn. Một cát tuyến qua A cắt (O) tại B và
C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu của P trên OA. Chứng minh 4 điểm O,
H, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải:

Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc
chứng minh AH.AO = AB.AC.
Thật vậy ta có:
(hệ thức lượng trong tam giác vuông APO)
(tam giác APB và ACP đồng dạng).
Từ đó ta có
, theo bài 1 ta có điều cần chứng minh.
Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC
tại C. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ dây cung DE của (O) đi qua H. Chứng minh rằng tứ giác
ADOE nội tiếp.
Hướng dẫn giải

Tam giác OCA vuông tại C, CH là đường cao nên ta có:
Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có
Từ đó ta có

, chứng minh tương tự bài 1 ta có tứ giác ADOE nội tiếp.
Bài 3: Cho đườn tròn (O; R) và một điểm I nằm trong đường tròn. Hai dây cung AB và CD cùng đi qua
I. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại Q. Gọi M là giao điểm của OQ
và CD, N là giao điểm của OQ và AB. Chứng minh:
a) Tứ giác MNPQ nội tiếp.
b) OI vng góc với PQ.
Bài 4: Cho hình thang vng ABCD ( AB//CD). Gọi O là trung điểm của AD. Đường thẳng qua A
vng góc với OB cắt đường thẳng qua D vng góc với OC tại K. Chứng minh OK vng góc với
BC.

Một số bài tốn SGK đến bài toán HSG


Posted on August 23, 2008 by goldhung
Bài toán 1:
Cho đường trịn (O; R) và một điểm M cố định khơng nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường
thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Chứng
minh MA.MB = MC.MD
Chứng minh bài tốn này khơng khó bằng cách xét hai trường hợp M nằm ngoài và nằm trong đường
tròn (O). Trong mỗi trường hợp chứng minh tam giác MAC và tamg giác MCD đồng dạng, từ đó ta suy
ra kết quả cần chứng minh.
Qua bài toán này ta có thể chứng minh bài tốn sau:
Bài tốn 2:
Nếu M khơng nằm trên đường trịn (O; R), một đường thẳng thay đổi qua M và cắt (O) tại A và B. Khi
đó tích MA. MB khơng đổi và bằng
Chứng minh bài toán 2 chỉ cần vẽ đường thẳng qua M và O cắt (O) tại C, D. Sau đó chứng minh tương
tự bài toán 1 ta được kết quả.
Bài toán 2 cho ta một ý tưởng để giải các bài tốn về họ đường trịn đi qua một điểm cố định. Ta cùng
xét các bài toán sau:
Bài toán 3 ( Năng Khiếu 2004 – 2005 Chuyên toán) Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm

trong đường trịn. Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng khơng đi qua O cắt (O) tại M và N. Chứng
minh rằng đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN ln đi qua một điểm cố định khác O.

Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và tia đối của tia AO. Ta có
khơng đổi vì A và (O) cố định. Hơn nữa P thuộc tia đối của
tia AO cố định nên P là điểm cố định.
Bài toán 4: (NK 2006 – 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB là một dây cung cố định và E là
trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường trịn tâm O bán kính OE tại P và Q.
Chứng minh rằng tích AP. AQ khơng đổi và đường trịn ngoại tiếp tam giác BPQ ln đi qua một điểm
cố định.

Vì E là trung điểm của AB nên OE vng góc với AB, suy ra AB là tiếp tuyến của (O; OE). Ta chứng
minh được
không đổi.
Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và AB. Khi đó ta có:
khơng đổi. Suy ra I là điểm cố định.
Bài toán 5: (HSG Q. Tân Bình 2005 – 2006) Từ điểm A nằm ngồi đường tròn (O) vẽ các tuyến ABC
(B, C thuộc (O)). Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC
ln thuộc một đường thẳng cố định.


Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và AO. Tương tự như hai bài trên ta chứng
minh được E là điểm cố định. Từ đó suy ra tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc đường
trung trực của OE.
Bài tập
Bài 1: Cho đường trịn (O) và đường thẳng d khơng cắt (O). M là một điểm thay đổi trên d, từ M vẽ
hai tiếp tuyến MA và MB đến (O) (A, B là hai tiếp điểm). Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 2:
Cho đường tròn (O) và một điểm S cố định nằm ngồi đường trịn. AB là đường kính thay đổi. SA, SB

cắt (O) tại C và D.
a) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB ln đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 3: Cho 3 điểm C, A, B thẳng hàng và được xếp theo thứ tự đó. Một đường trịn (O) thay đổi ln
đi qua A và B. CP, CQ là các tiếp tuyến của (O) (P, Q là tiếp điểm). Chứng minh rằng:
a) P, Q ln thuộc một đường trịn cố định.
b) Trung điểm M của PQ ln thuộc một đường trịn cố định.