HSG LI 10

Dạng 4. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN RƠI TỰ DO VÀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT BỊ NÉM
THEO PHƯƠNG THẲNG ĐỨNG
Vấn đề 1. Xác định quãng đường, vận tốc, thời gian của một vật rơi tự do
 Vật rơi tự do có đặc điểm: Chuyển động nhanh dần đều theo phương thẳng đứng, chiều từ trên
xuống.
O
v g  t  t 0 
 Công thức vận tốc :
s
1
2
 
s  g  t  t0 
2
 Công thức đường đi:
g


1
2
y y o  g  t  t o 
2
Phương trình tọa độ:
2
Công thức liên hệ: v 2gs

v

y

+


 Chú ý:

 Với sự rơi tự do thì v o 0, a g
 Nếu chọn t o 0 thì

1
1
v gt, x x o  gt 2 , s  gt 2
2
2

Ví dụ 1: Chứng minh các công thức sau:

1
s  gn 2
2
a) Quãng đường vật rơi trong n giây:
1
s n  g  2n  1
2
b) Quãng đường vật rơi trong giây thứ n:
1
s n  gn  2t  n 
2
c) Quãng đường vật rơi trong n giây cuối:
Hướng dẫn
1
1

n
s  gt 2  t
 s  g.n 2
2
2
a) Quãng đường vật rơi tự do:
1
s n  g.n 2
2
b) Quãng đường vật rơi được trong n giây đầu:
1
2
s n  1  g  n  1
2
+ Quãng đường vật rơi được trong (n – 1) giây đầu:
1
1
2
s s n  s n  1  g.n 2  g  n  1
2
2
+ Quãng đường vật rơi được trong giây thứ n:
1
1
2
 s  g.  n 2   n  1   g.  2n  1


2
2

1
s t  g.t 2
2
c) Quãng đường vật rơi được trong toàn thời gian:
1
2
st n  g  t  n 
2
+ Quãng đường vật rơi được trong (t – n) giây đầu:


1
1
2
s n s n  s t  n  gt 2  g  t  n 
2
2
+ Quãng đường vật rơi được trong n giây cuối:
1
1
1
1
2
2
s n  gt 2  g  t  n   g  t 2   t  n    gn  2t  n 


2
2
2

2
Ví dụ 2: Để biết độ sâu của một cái giếng đã hết nước, người ta thả một hòn đá từ miệng giếng và đo thời
gian từ lúc thả đến lúc nghe thấy tiếng vọng của hòn đá khi chạm đất. Giả sử người ta đo được thời gian
là 2,06 s. Tính độ sâu của giếng. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s 2 và vận tốc âm trong khơng khí là
340 m/s. Coi âm truyền theo một phương nào đó là thẳng đều.
Hướng dẫn
1
2h
h
h  gt12  t1 

2
g
5
+ Thời gian rơi tự do t1 của hịn đá:
h
h
t2 

v ©m 340
+ Thời gian truyền âm t2:

+ Theo đề ta có:

h X 
+ Đặt

t1  t 2 2,06 

h

h

2,06
340
5

X2
X

 2,06 0  X 4,475  h X 2 20  m 
340
5

Ví dụ 3: Một vật rơi tự do trong 2 s cuối vật rơi được 80 m. Lấy g = 10 m/s 2.
Tính thời gian rơi và vận tốc khi vừa chạm đất của vật.
Hướng dẫn
1
h  gt 2 5t 2
2
+ Gọi t là thời gian vật rơi trong toàn bộ quãng đường h:
+ Quãng đường vật rơi được trong khoảng thời gian (t – 2) giây đầu là:
1
2
2
h1  g  t  2  5  t  2  5t 2  20t  20
2
+ Theo đề ra ta có:

h  h1 80  5t 2   5t 2  20t  20  80  t 5s

+ Vận tốc khi chạm đất: v gt 10.5 50 m / s
Ví dụ 4: Một vật được thả rơi tự do từ độ cao h = 80 m. Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s 2.
a) Tính thời gian vật rơi cho đến khi chạm đất.
b) Tính vận tốc của vật khi vừa chạm đất.
c) Tính quãng đường vật rơi được trong giây cuối.
Hướng dẫn
t

2h
2.80

4s
g
10

a) Thời gian vật rơi cho đến khi chạm đất:
b) Vận tốc của vật khi vừa chạm đất (vận tốc của vật lúc t = 4 s):
v gt 10.4 40m / s
c) Gọi s1 là quãng đường vật rơi trong t1 = 4 s  s1 = 80m.


+Gọi s2 là quãng đường vật rơi trong thời gian t2 = 3 s đầu.
+ Quãng đường vật rơi trong 1 s cuối là:

s s t 4  s t 3 80 

1
.10.32 35m
2

Ví dụ 5: Một vật rơi tự do tại nơi có g = 10 m/s2, thời gian rơi là 20s.
a) Tính quãng đường rơi trong 1s đầu và trong thời gian 1s cuối.
b) Tính thời gian rơi trong 1m đầu và thời gian rơi trong 1 m cuối.
Hướng dẫn
a) Tính quãng đường rơi trong 1s đầu và trong thời gian 1s cuối.
1
s  gt 2 5t 2
2
+ Quãng đường của vật rơi tự do:

1
s  gt 2 5t 2 5.20 2 2000m
2
+ Quãng đường vật rơi được trong t = 20s:
1
s1  gt 2 5t 2 5.12 5m
2
+ Quãng đường rơi được trong thời gian 1s đầu:
1
s 2  gt 2 5t 2 5.19 2 1805m
2
+ Quãng đường vật rơi được trong thời gian 19s đầu:
+ Quãng đường rơi được trong 1s cuối: s  s1 2000  1805 195m
b) Tính thời gian rơi trong 1m đầu và thời gian rơi trong 1 m cuối
t

+ Thời gian rơi trong 1m đầu:

2h
2.1


0, 45s
g
10
t1999 

2h
2.1999

19,995s
g
10

+ Thời gian rơi trong (2000 – 1) m đầu:
+ Thời gian rơi trong 1m cuối: t t 2000  t1999 20  19,995 0,005s

Vấn đề 2. Lập phương trình chuyển động của vật rơi tự do
 Phương pháp: Phương pháp giải tương tự chuyển động nhanh dần đều theo phương ngang nhưng ở



đây theo phương thẳng đứng với gia tốc chuyển động là a g có phương thẳng đứng, chiều hướng
xuống.
 Chọn trục Oy thẳng đứng, chiều (+) hướng xuống.
1
2
y  y0  g  t  t 0   v0 0 
2
 Phương trình tổng quát có dạng:



Trường hợp đặc biệt, có một vật rơi tự do, và chọn trục Oy có gốc tại vị trí thả. Gốc thời gian là

lúc thả thì:

 1 2
 y  gt
 2
 v gt

 v0 0

Ví dụ 6: Người ta thả 1 vật rơi tự do từ đỉnh tháp cao. Lấy g = 10 m/s 2. Lập phương trình chuyển động
của vật. Trong các trường hợp sau:
a) Chọn trục tọa độ Oy có phương thẳng đứng, gốc O tại vị trí thả vật, chiều dương hướng xuống.
Gốc thời gian là lúc thả vật.
b) Chọn trục tọa độ Oy có phương thẳng đứng, gốc O tại vị trí thả vật, chiều dương hướng lên. Gốc
thời gian là lúc thả vật.
c) Chọn trục tọa độ Oy có phương thẳng đứng, gốc O ở dưới vị trí thả vật 20 m, chiều dương hướng
xuống. Gốc thời gian là lúc thả vật.
Hướng dẫn
 y0 0

 t 0 0
a g
a) Với cách chọn trục tọa độ Oy và gốc thời gian theo đề bài thì: 
2
+ Nên phương trình chuyển động trong trường hợp này là: y 5t

 y 0 0

 t 0 0
a  g


b) Với cách chọn trục tọa độ Oy và gốc thời gian theo đề bài thì:
2
+ Nên phương trình chuyển động trong trường hợp này là: y  5t

 y0  20

 t 0 0
a g
c) Với cách chọn trục tọa độ Oy và gốc thời gian theo đề bài thì: 
2
+ Nên phương trình chuyển động trong trường hợp này là: y  20  5t

Ví dụ 7: Từ một đỉnh tháp người ta buông rơi tự do 1 vật. Một giây sau ở tầng tháp thấp hơn 10 m người
buông rơi tự do vật thứ 2. Chọn trục tọa độ có phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tại vị
trí thả vật 1. Gốc thời gian là khi thả vật 1. Lấy g = 10 m/s2.
a) Viết phương trình chuyển động của các vật.
b) Sau bao lâu kể từ khi thả vật 1 thì hai vật gặp nhau.
Hướng dẫn
a) Phương trình tọa độ cho vật 1:
1
2
O t 0
0 0

y y0  g  t  t 0   t

 y 5t 2
2
10m
+ Phương
trình
tọa
độ
cho
vật 2:
A t 1s

H.1


1
2
2
0 1
y y0  g  t  t 0   t
 y 10  5  t  1
2
b) Khi hai vật gặp nhau: y1 = y2  t = 1,5 s
Vấn đề 3. Chuyển động của một vật bị ném theo phương thẳng đứng
Loại 1. Chuyển động của vật bị ném theo phương thẳng đứng hướng xuống
 Phương pháp: Là chuyển động nhanh dần có gia tốc a = g, có chiều chuyển động hướng xuống dưới.
 Chuyển động có:
 
 Gia tốc: a = g



v
g
0
 Vận tốc đầu:
cùng phương với
1
 Phương trình: y = 2 gt2 + v0t + y0 (chiều dương hướng xuống)






Chọn hệ quy chiếu:
 Gốc tọa độ O tại vị trí đầu.
 Trục Oy thẳng đứng, chiều (+) trên xuống.
 Gốc thời gian t = 0 lúc vật bắt đầu ném.
Áp dụng các công thức về biến đổi đều:
1
2
y y 0  v 0  t  t 0   g  t  t 0 
2
1
2
s v 0  t  t 0   g  t  t 0 
2
v v 0  g  t  t 0 

v 2  v02 2as
Đơn giản thường chọn gốc thời gian t0 = 0 nên các công thức viết gọn hơn như sau:

1 2

 y y0  v 0 t  2 gt

s v t  1 gt 2
0

2

 v v0  gt
 v 2  v 2 2as
0

 Chú ý: Khi vật chạm đất thì y = h (h là độ cao cho với mặt đất)
Ví dụ 8: Một người đứng trên một tầng nhà cao 40 m và ném một vật rơi xuống dưới theo phương thẳng
đứng với vận tốc đầu là 10 m/s. Lấy g = 10 m/s2. Chọn trục tọa độ có phương thẳng đứng, chiều dương
hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí ném vật. Gốc thời gian là lúc ném vật.
a) Viết phương trình chuyển động của vật.
b) Hỏi sau bao lâu thì vật chạm đất kể từ khi ném vật.
c) Xác định tốc độ của vật khi chạm đất.
Hướng dẫn
1
y y0  v0 t  gt 2  y 10t  5t 2
2
a) Phương trình chuyển động:

2
b) Khi vật chạm đất: y 40  40 10t  5t  t 2s
®Êt
v v 0  gt 10  10t  ch¹m
t 
 v 30 m / s
2
c)

 50  cm 
Ví dụ 9: Một cái thước AB dài
được treo bằng một sợi dây gần sát tường thẳng đứng. Mép
dưới B của thước phải cách lỗ sáng O trên tường (nằm trên đường thẳng đứng với thước) khoảng h là bao
nhiêu để khi thước rơi, thước che khuất lỗ sáng trong thời gian 0,1 s. Lấy g = 10 m/s 2.
Hướng dẫn
+ Gọi h là khoảng cách từ mép B tới lỗ O
+ Khi mép B của thước tới lỗ O thì vận tốc là:
t

2h
g

v gt    v  2gh

A

+ Thước sẽ che khuất lỗ sáng O trong thời gian kể từ khi mép dưới
của thước chuyển động qua đến khi hết chiều dài của nó.
B
1 2

  gt  vt
2
+ Do đó ta có :



h

1
v  2gh    gt 2  2gh.t
2
+ Lại có:
+ Thay số:

O

 0,5  m  , t 0,1 s  , g 10  m / s 2   h 1,0125m

Loại 2. Chuyển động của vật bị ném theo phương thẳng đứng hướng lên
 Phương pháp:
1. Chọn hệ quy chiếu: trục Oy thẳng đứng, hướng lên, gốc tọa độ O
y
trùng với mặt đất
2. Vận dụng công thức:

a

g
g
 Gia tốc:

(vì chiều dương hướng lên, trong khi
hma
hướng xuống)
x
Hma

v v 0  g  t  t 0 
x
v
 Công thức vận tốc:
0

 Phương trình chuyển động:
y0
g
1
2
y y 0  v 0  t  t 0   g  t  t 0 
2
O
Chú ý:
 Khi lên đến độ cao cực đại thì v = 0 (tại đây vận tốc đổi chiều)
 Khi chạm đất thì y = 0
 Độ cao cực đại của vật so với điểm ném: h max



Độ cao cực đại của vật so với mặt đất: H max y h max  y0
Nếu vật ném từ mặt đất: y0 0  H max h max

Ví dụ 10: Một vật được ném lên theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu bằng 40 m/s. Lấy g = 10
m/s2 . Chọn chiều dương của trục tọa độ hướng lên, gốc là vị trí ném.
a) Viết phương trình vận tốc, phương trình chuyển động.


b) Xác định thời điểm vật có tốc độ 20m/s. Từ đó suy ra thời gian giữa hai lần vật có tốc 20m/s.
c) Xác định thời điểm vật đổi chiều chuyển động (vận tốc của vật bằng 0).
Hướng dẫn
a  g  10  m / s 2 
+ Do chọn chiều dương hướng lên nên
+ Chọn gốc tọa độ tại vị trí ném nên y0 = 0
+ Chiều chuyển động ban đầu cùng chiều dương nên v0 > 0  v0 = 40 m/s
a) Phương trình vận tốc: v v 0  at 40  10t

1
y v0 t  at 2 40t  5t 2
2
+ Phương trình chuyển động:
 t1 2s
v 20  20 40  10t  
 t 2 6s
b) Khi tốc độ bằng 20 m/s 
+ Thời gian giữa hai lần vận tốc bằng 20 m/s là: t = t2 – t1 = 4 s
c) Khi vận tốc đổi chiều: v 0  0 40  10t  t 4s
Ví dụ 11: Từ độ cao 5 m, một vật được ném lên theo phương thẳng đứng với vận tốc đầu là 4 m/s. Bỏ qua
sức cản khơng khí, lấy g = 10 m/s2.
a) Viết phương trình chuyển động của vật. Cơng thức tính vận tốc tức thời?
b) Độ cao cực đại mà vật lên được.
c) Vận tốc của vật khi nó chạm đất.
Hướng dẫn

Chọn trục tọa độ Oy có gốc O ở mặt đất, phương thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên. Chọn gốc thời
 y0 5  m 

 v0 4  m / s 

2
a  g  10m / s

gian là lúc bắt đầu ném vật. Ta có:
a) Phương trình chuyển động của vật:
1
y y0  v0 t  gt 2  y 5  4t  5t 2
2

+ Cơng thức tính vận tốc: v v 0  gt  v 4  10t
b) Gọi H max là độ cao cực đại mà vật lên được.

(1)
(2)

+ Khi vật lên đến Hmax, ta có: v 0  0 4  10t  t 0,4s
+ Vậy thời gian để vật lên đến độ cao cực đại là 0,4 s
H y max 5  4t  5t 2 5  4.0, 4  5.0, 42 5,8  m 
+ Độ cao cực đại: max
H 5,8  m 
+ Vậy độ cao cực đại mà vật có thể lên được là: max
c) Khi vật chạm đất : y = 0
+ Thay y = 0 vào (1) ta được: 0 = 5 + 4t – 5t2
+ Chọn t = 1,48 s (thời gian vật rơi cho đến khi chạm đất)
+ Thay t = 1,48 s vào (2), ta có vận tốc của vật ngay trước khi chạm đất:

v = 4 – 10. (1,48) = -10,8 (m/s)
Dấu (–) cho thấy vectơ vận tốc đang hướng xuống phía dưới, ngược với chiều dương đã chọn.


BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Một vật rơi tự do. Trong 4 s cuối cùng rơi được 320 m. Lấy g = 10 m/s 2.
Tính:
a) Thời gian rơi.
b) Vận tốc trước khi vừa chạm đất.
Bài 2:
Một vật được thả rơi tự do từ độ cao h = 320 m. Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s 2.
a) Tính thời gian vật rơi cho đến khi chạm đất.
b) Tính vận tốc của vật khi vừa chạm đất.
c) Tính quãng đường vật rơi được trong giây cuối.
Bài 3:
Thả một vật rơi tự do từ độ cao h = 19,6 m. Lấy g = 9,8 m/s2. Tính:
a) Quãng đường vật rơi được trong 0,1s đầu và 0,1s cuối của thời gian rơi.
b) Thời gian để vât để vật đi hết 1 m đầu và 1 m cuối của độ cao h
Bài 4:
Để biết độ sâu của một cái hang, những người thám hiểm thả một hòn đá từ miệng hang và đo
thời gian từ lúc thả đến lúc nghe thấy tiếng vọng của hòn đá khi chạm đất. Giả sử người ta đo được thời
gian là 13,66 s. Tính độ sâu của hang. Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s 2 và vận tốc âm trong khơng khí
là 340 m/s. Coi âm truyền theo một phương nào đó là thẳng đều.
Bài 5: Phải ném một vật theo phương thẳng đứng từ độ cao h = 40 m với vận tốc ban đầu v 0 bằng bao
nhiêu để nó rơi tới mặt đất:
a) Trước môt giây so với trường hợp vật rơi tự do.
b) Sau một giây so với trường hợp vật rơi tự do.
Lấy g = 10 m/s2.
Bài 6: Một quả bóng được ném từ mặt đất lên cao theo phương thẳng đứng với vận tốc đầu 4 m/s.
a) Khoảng thời gian giữa hai thời điểm mà vận tốc của quả bóng có cùng độ lớn bằng 2,5 m/s là bao

nhiêu ?
b) Độ cao lúc đó bằng bao nhiêu ?
Bài 7: Một bạn học sinh tung quả bóng cho một ban khác ở trên tầng hai cao 4 m. Quả bóng đi lên theo
phương thẳng đứng và bạn này giơ tay ra bắt được quả bóng sau 1,5 s kể từ khi ném. Lấy g = 9,8 m/s 2
a) Hỏi vận tốc ban đầu của quả bóng là bao nhiêu ?
b) Hỏi vận tốc của quả bóng lúc bạn này bắt được là bao nhiêu ?
Bài 8: Từ độ cao 300 m một quả cầu được ném lên thẳng đứng vận tốc đầu 15 m/s. Sau đó 1s, từ độ
cao 250 m quả cầu thứ 2 được ném lên với vận tốc đầu là 25 m/s. Lấy g = 10 m/s 2. Trong quá trình từ lúc
bắt đầu ném quả cầu 1 đến lúc 2 quả cầu gặp nhau khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa chúng (theo
phương thẳng đứng) là bao nhiêu? và vào lúc nào?
Bài 9:
Một vật được ném từ mặt đất thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu 28m/s. Bỏ qua sức cản
khơng khí và lấy g = 9,8m/s2. Hỏi sau bao lâu kể từ khi ném vật đạt độ cao bằng nửa độ cao cực đại?


Bài 10: Từ một kinh khí cầu đang hạ thấp đều với vận tốc v0 = 2 m/s (so với mặt đất), người ta phóng
một vật thẳng đứng hướng lên với vận tốc v = 18 m/s (so với mặt đất). Lấy g = 10 m/s 2.
a) Tính khoảng cách giữa khí cầu và vật khi vật lên tới vị trí cao nhất.
b) Sau bao lâu vật rơi trở lại gặp khí cầu.
Bài 11: *Viên đạn 1 được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc đầu V. Viên đạn 2 cũng được
bắn lên theo phương thẳng đứng sau viên thứ nhất t 0 giây. Viên đạn 2 vượt qua viên đạn 1 đúng vào lúc
viên 1 đạt độ cao cực đại. Hãy tìm vận tốc ban đầu của viên đạn 2.
Bài 12: *Một chiếc tàu đang chuyển động trên mặt nước nằm ngang với tốc độ không đổi v 1 thì bắn
thẳng đứng lên cao một viên đạn pháo với tốc độ ban đầu v 2. Tìm khoảng cách giữa tàu và viên đạn khi
nó lên cao nhất.
Bài 13: *Một quả bóng rơi tự do từ độ cao h xuống một mặt phẳng
nghiêng góc α so với mặt phẳng ngang. Sau khi va chạm tuyệt đối đàn

h

hồi với mặt phẳng nghiêng, bóng lại tiếp tục nảy lên, rồi lại va chạm vào
mặt phẳng nghiêng và tiếp tục nảy lên, và cứ tiếp tục như thế. Giả sử mặt
phẳng nghiêng đủ dài để quá trình va chạm của vật xảy ra liên tục.
Khoảng cách giữa các điểm rơi liên tiếp kể từ lần thứ nhất đến lần thứ tư



theo thứ tự lần lượt là ℓ1; ℓ2 và ℓ3. Tìm hệ thức liên hệ giữa ℓ1; ℓ2 và ℓ3.

Áp dụng bằng số khi h = 1 m và α = 30o.
Bài 14: *Một viên bi rơi tự do không vận tốc đầu từ độ cao h = 120 m xuống mặt phẳng ngang. Mỗi lần
va chạm với mặt phẳng ngang, vận tốc của bi nảy lên giảm đi n = 2 lần. Tính quãng đường bi đi được cho
đến khi bi dừng hẳn.
Bài 15: Vật A được ném thẳng đứng lên trên từ độ cao 300 m so với mặt đất với vận tốc ban đầu 20 m/s.
Sau đó 1s vật B được ném thẳng đứng lên trên từ độ cao 250m so với măt đất với vận tốc ban đầu 25m/s.
Bỏ qua sức cản khơng khí, lấy g = 10 m/s2 Chọn gốc toạ độ ở mặt đất, chiều dương hướng thẳng đứng lên
trên, gốc thời gian là lúc ném vật A.
a) Viết phương trình chuyển động của các vật A, B; tính thời gian chuyển động của các vật.
b) Thời điểm nào hai vật có cùng độ cao; xác định vận tốc các vật tại thời điểm đó.
c) Trong thời gian chuyển động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là bao nhiêu và đạt được lúc nào.

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN
Dạng 2. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC ĐỊNH LUẬT NIU-TƠN
 Định luật II Niu-tơn:









F

ma
F
F


a)
Biểu thức định luật II Niutơn: hl
( hl là hợp lực, hl

Nếu chỉ có một lực F tác dụng thì: F ma

Trong đó:
F là độ lớn của lực tác dụng, đơn vị là N
m là khối lượng của vật, đơn vị là kg
a là gia tốc, đơn vị là m/s2


Chú ý:
 Chọn chiều dương là chiều chuyển động của vật.

 Lấy dấu (+) trước F khi F cùng chiều dương hay cùng chiều chuyển động

 Lấy dấu (-) trước F khi F ngược chiều dương hay ngược chiều chuyển động
 Trong trường hợp có nhiều lực tác dụng thì phải biểu diễn các lực tác dụng lên vật; viết biểu thức
định luật II; sau đó sử dụng phương pháp chiếu để chuyển sang dạng đại số.
 v v0  at


1 2

s v 0 t  at
2

 v 2  v02 2as

 Một số công thức động học liên quan:
 


 Định luật III Niu-tơn: FA  FB (hai lực FA ; FB cùng phương, ngược chiều và cùng độ lớn FA FB )
Ví dụ 1: Một ơtơ khơng chở hàng có khối lượng 2 tấn, khởi hành với gia tốc 0,36 m/s 2. Khi ôtô chở hàng
thì khởi hành với gia tốc 0,18 m/s2. Biết rằng hợp lực tác dụng vào ơtơ trong hai trường hợp đều bằng
nhau. Tính khối lượng của hàng hoá trên xe.
Hướng dẫn
+ Khi xe khơng chở hàng: F1 m1a1
+ Khi xe chở hàng có khối lượng m:
+ Theo bài ra:

F2  m1  m  a 2

F1 F2   m1  m  a 2 m1a1

  2  m  0,18 2.0,36  m 2

tấn

Ví dụ 2: Một ơtơ có khối lượng 3 tấn, đang chạy với vận tốc v 0 thì hãm phanh, xe đi thêm quãng đường

15 m trong 3 s thì dừng hẳn. Tính:
a) Vận tốc v0.
b) Độ lớn lực hãm phanh. Bỏ qua các lực cản bên ngoài.
Hướng dẫn
 v0 10  m / s 
 v v0  at
0 v 0  3a

 
 

10
2
2
15 3v 0  4,5a a   m / s 
S v0 t  0,5at
3

a) Ta có:
b) Chọn chiều dương là chiều chuyển động của xe


F

ma
h
+ Biểu thức định luật II Niu-tơn:
 10 
 Fh ma   Fh 3.103     Fh 10 4 N
 3

+ Chiếu lên chiều dương ta có:
4
+ Vậy độ lớn của lực hãm là Fh = 10 N

Ví dụ 3: Một vật có khối lượng 0,5 kg chuyển động nhanh dần đều với vận tốc đầu v 0 = 2 m/s. Sau thời
gian 4s nó đi được qng đường 24 m. Biết vật ln chịu tác dụng của lực kéo F k và lực cản có độ lớn Fc
= 0,5 N.


a) Tính độ lớn của lực kéo.
b) Sau 4s đó, lực kéo ngừng tác dụng thì sau bao lâu vật dừng lại?
Hướng dẫn
+ Chọn chiều dương là chiều chuyển động
1
1
s v 0 t  at 2  24 2.4  a.4 2  a 2  m / s 2 
2
2
+ Ta có:
 

F

F

ma

k
c
+ Biểu thức định luật II Niu-tơ:

(*)
Fc
+ Chiếu (*) lên chiều dương ta có: Fk  Fc ma




F

 Fk Fc  ma 0,5  0,5.2 1,5  N 

+ Khi lực phát động thôi tác dụng, lúc này xe có vận tốc:
v v0  at 2  2.4 10  m / s 

+ Biểu thức định luật II lúc này:

 Fc ma /  a /  1 m / s 2 

t

0 v
10s
a/

+ Vậy thời gian chuyển động đến khi dừng lại là:

Ví dụ 4: Lực F1 tác dụng lên một vật trong khoảng thời gian t = 0,8 s làm vận tốc của nó thay đổi từ 0,4

m/s đến 0,8 m/s. Lực khác F2 tác dụng lên nó trong khoảng thời gian 2 s làm vận tốc của nó thay đổi từ
 

0,8 m/s đến 1 m/s ( F1 , F2 luôn cùng phương với chuyển động và có độ lớn khơng đổi)
F1
a) Tính tỉ số lực F2 biết các lực này không đổi trong suốt quá trình.
b) Nếu lực F2 tác dụng lên vật trong khoảng thời gian 1,1 s thì vận tốc của vật thay đổi như thế nào.
Hướng dẫn
v 2  v1

0,5(m / s 2 )
a1  t
F a
v 2 v1  a1t  
 1  1 5
/
/
F2 a 2
a  v 2  v1 0,1(m / s 2 )
2
/

t

a) Ta có:

b) Ta có : v 2 v1  a 2 t 2  v 2  v1 a 2 t 2  v 2 a 2 t 2 0,1.1,1 0,11(m / s)
Ví dụ 5: Một xe lăn chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang với vận tốc 50 cm/s. Một xe khác chuyển
động với vận tốc 150 cm/s tới va chạm với nó từ phía sau. Sau va chạm hai xe chuyển động với cùng tốc
độ 100 cm/s. Biết rằng trong suốt quá trình các vectơ vận tốc không đổi cả phương lẫn chiều. Hãy so sánh
khối lượng của hai xe.
Hướng dẫn



+ Khi hai xe va chạm nhau, theo định luật III Niutơn ta có: F1  F2
 
 


v1  v 01
v  v02
 m1 a1  m 2 a 2  m1
 m2 2
t
t


 
 
 m1 (v1  v01 )  m 2 (v 2  v 02 ) (*)

+ Chọn chiều dương là chiều chuyển động của xe 1, chiếu (*) ta có:
m1 (v1  v 01 )  m 2 (v 2  v 02 )  m1 m 2
Ví dụ 6: Một vật có khối lượng m = 20kg đang đứng yên thì chịu tác dụng của hai lực vng góc nhau và
có độ lớn lần lượt là 30N và 40N.
a) Xác định độ lớn của hợp lực tác dụng lên vật.
b) Sau bao lâu vận tốc của vật đạt đến gia trị 30 m/s.
Hướng dẫn
 
  
1  F2
F F1  F2  F
 F  F12  F22 50  N 

+ Ta có:
F 50
v 30
a   2,5m / s 2  t  
12  s 
m 20
a 2,5
+ Mà:
Ví dụ 7: Hãy xác định và biểu diễn các lực tác dụng lên mỗi
vật, tính gia tốc của chúng. Biết khối lượng của các vật là M =
m
M
3 kg, m = 2kg, F = 15 N và trong quá trình chuyển
động chúng
F
không rời nhau. Bỏ qua ma sát.
Hướng dẫn
+ Các lực tác dụng lên vật M gồm:

 Trọng lực P1

+
 Phản lực N1 của mặt ngang



 Lực đẩy F
 N1

N2


F
Q
1
 Phản lực
của vật m
Q1

+ Các lực tác dụng lên vật m gồm:

Q
2
 Trọng lực P 2



 Phản lực N 2 của mặt ngang
P2

P1
 Phản lực Q 2 của vật M
+ Các lực được biểu diễn như hình





1  N1  Q1  F Ma 1
P


  
P 2  N 2  Q 2 ma 2
+ Ta có: 
+ Chọn chiều dương như hình vẽ.
 Q1  F Ma1

Q ma 2
+ Chiếu các phương trình vec-tơ lên chiều dương ta có:  2
(1)
+ Vì trong quá trình chuyển động chúng không rời nhau nên a1 = a2 = a (2)
+ Theo định luật III Niu-tơn ta có: Q1 = Q2 = Q
(3)
+ Thay (2) và (3) vào (1) ta có:

  Q  F Ma

Q ma


F
15

3  m / s 2 
M  m 3 2
Ví dụ 8: Hai vật nhỏ có khối lượng m1 và m2 đặt trên
không ma sát. Gắn vật m1 với một lị xo nhẹ rồi ép sát
nén rồi bng ra. Sau đó hai vật chuyển động, đi được
 a

s1 1 m  ; s 2 3  m 

trong cùng một khoảng thời
Tính khối lượng của hai vật. Biết m1 + m2 = 4 kg.
Hướng dẫn
+ Vì khơng có ma sát nên hai xe sẽ chuyển động thẳng đều
s
v
v 1
s vt  1  1  1 
s2 v2
v2 3
+ Ta có:
+ Mặt khác theo định luật III Niu-tơn ta có: FA FB
 v  0
 v2  0 
 m1  1
 m 2 
  m1v1 m 2 v2
t


 t 


m1 v 2
 3  m1 3m 2
m 2 v1

+ Theo đề ta có: m1  m 2 4
+ Giải (1) và (2) ta có: m1 = 3kg và m2 = 1kg

BÀI TẬP VẬN DỤNG

(1)
(2)

m1

m2

mặt phẳng nằm ngang
vật m2 vào để lò xo bị
những quãng đường
gian. Bỏ qua ma sát.


Bài 1: Một ô tô khối lượng 2500 kg đang chạy với vận tốc v0 = 36 km/h thì tắt máy hãm phanh. Lực
hãm có độ lớn F = 5000 N. Tính qng đường và thời gian ơ tơ chuyển động kể từ khi hãm cho đến khi
dừng hẳn.
Bài 2: Một xe có khối lượng 1 tấn, sau khi khởi hành 10s đi được quãng đường 50 m.
a) Tính lực phát động của động cơ xe. Biết lực cản là 500 N.
b) Tính lực phát động của động cơ xe nếu sau đó xe chuyển động đều. Biết lực cản khơng đổi trong
suốt q trình chuyển động.
Bài 3: Một đồn tàu đang đi với vận tốc 18 km/h thì xuống dốc, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc
a = 0,5 m/s2. Chiều dài của dốc là 600 m.
a) Tính vận tốc của đoàn tàu ở cuối dốc và thời gian tàu xuống hết dốc.
b) Đoàn tàu chuyển động với lực phát động là 6000N, chịu lực cản 1000N. Tính khối lượng của
đoàn tàu.
Bài 4: Một máy bay khối lượng m = 5 tấn bắt đầu khởi hành và chuyển động nhanh dần đều trên
đường băng. Sau khi đi được 1km thì máy bay đạt vận tốc 20 m/s.

a) Tính gia tốc của máy bay và thời gian máy bay đi trong 100 m cuối của 1km đường băng đầu.
b) Lực cản tác dụng lên máy bay là 1000N. Tính lực phát động của động cơ.
Bài 5: Một vật có khối lượng 2,5 kg, chuyển động nhanh dần đều dưới tác dụng của lực F, từ vị trí xuất
phát, sau thời gian t vật có vận tốc là 1 m/s và đã đi được quãng đường s = 10 m. Biết trong quá trình
chuyển động lực F tác dụng lên vật ln khơng đổi. Tính lực F tác dụng vào vật.
Bài 6: Một ơ tơ có khối lượng 2 tấn bắt đầu chuyển động trên đường nằm ngang với một lực kéo 20000
N. Sau 5s vận tốc của xe là 15 m/s. Lấy g = 10m/s2.
a) Tính lực cản của mặt đường lên xe.
b) Tính quãng đường xe đi trong thời gian nói trên.
Bài 7: Một lực tác dụng vào vật trong khoảng thời gian 0,6 s làm vận tốc của nó thay đổi từ 8 cm/s đến
5 cm/s (lực cùng phương với chuyển động). Sau đó, tăng độ lớn của lực lên gấp đôi trong khoảng thời
gian 2,2 s (vẫn giữ nguyên hướng của lực). Xác định vận tốc của vật tại thời điểm cuối.
Bài 8: Có một vật đang đứng yên, ta lần lượt tác dụng các lực có độ lớn F 1, F2 và F1 + F2 vào vật trong
cùng thời gian t. Nếu với lực F1, sau thời gian t nó đạt vận tốc 2 m/s, cịn nếu với lực F 2 sau thời gian
t nó đạt vận tốc 3 m/s.
F1
a) Tìm tỉ số hai lực F2
b) Với lực có độ lớn F1 + F2 thì cũng sau thời gian t vận tốc vật đạt được là bao nhiêu?
Bài 9: Tác dụng lực F không đổi theo phương song song với mặt bàn nhẵn lên viên bi I đang đứng yên
thì sau t giây nó đạt vận tốc v1 = 10 m/s. Lặp lại thí nghiệm với viên bi II (cùng F như lúc đầu) thì vật
đạt vận tốc v2 = 15 m/s sau khoảng thơi gian t. Hỏi nếu ghép vật I và II rồi tác dụng lực F (như cũ) thì
sau khoảng thời gian t vận tốc của vật đạt được là bao nhiêu?
Bài 10: Lực F truyền cho vật có khối lượng m 1 gia tốc a1 = 2 m/s2, truyền cho vật có khối lượng m 2 gia
tốc a2 = 3m/s2. Hỏi lực F sẽ truyền cho vật có khối lượng m một gia tốc là bao nhiêu trong các trường hợp
sau:
a) m = m1 + m2
b) m = m1 – m2
c) m = 3m1 – 2m2

d) 2m = m1 + m2
Bài 11: Một vật có khối lượng 2 kg, lúc đầu đang đứng yên. Nó bắt đầu chịu tác dụng đồng thời hai lực
F1 = 4 N và F2 = 3 N. Biết góc giữa chúng là 300. Tính quãng đường vật đi được sau 1,2 s
Bài 12: Một thang máy đi lên gồm 3 giai đoạn có đồ thị v (m/s)
4
vận tốc – thời gian như hình vẽ. Biết khối lượng thang máy
là 500 kg. Tính lực kéo thang máy trong từng giai đoạn.
Lấy g = 10 m/s2.

t (s)

0
2
6
8
m

100g
h

0,8m
Bài 13: Một quả bóng khối lượng
được thả rơi tự do từ độ cao
. Khi đập vào sàn

t

0,5s
nhẵn bóng thì nẩy lên đúng độ cao h. Thời gian và chạm là
. Xác định lực trung bình do sàn tác

dụng lên bóng ?
Bài 14: Viên bi 1 có khối lượng m chuyển động với vận tốc 10 m/s đến va chạm vào viên bi 2 đang
đứng yên có khối lượng 2m. Sau va chạm viên bi 2 chuyển động với vận tốc 7 m/s cùng hướng với vận
tốc trước va chạm của viên bi 1. Xác định hướng và độ lớn của viên bi 1 sau va chạm, biết rằng trước và
sau va chạm phương chuyển động của hai viên khơng đổi
Một vật có khối Ví dụ 5: *Một hòn bi nhỏ lăn ra khỏi cầu thang theo phương ngang với vận tốc v 0 = 4
m/s. Mỗi bậc cầu thang cao h = 20 cm và rộng d = 30 cm. Hỏi bi sẽ rơi xuống bậc cầu thang nào đầu tiên.
Coi đầu cầu thang là bậc thứ 0. Lấy g = 10 m/s2. Bỏ qua lực cản của khơng khí.
Hướng dẫn
+ Khi viên bi chuyển động, nó chỉ chịu tác dụng của
trọng lực nên khi rời khỏi bậc đầu tiên, nó sẽ chuyển
x
O
động như vật bị ném ngang với vận tốc đầu v0 = 4 m/s.
h
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy, gốc O trùng với vị trí ném
A
vật. Gốc thời gian là lúc bắt đầu ném vật.
d
+ Theo phương Ox vật chuyển động thẳng đều với
B
phương trình:
x = v0t = 4t
(1)
C
+ Theo phương Oy vật chuyển động rơi tự do với
D
phương trình:
1
y  gt 2 5t 2

y
2
(2)
5
y  x2
16
+ Rút t ở (1) thay vào (2) ta có phương trình quỹ đạo của hịn bi là:
+ Phương trình của đường thẳng OABCD là: y = ax (4)
Điểm A có hồnh độ x = d = 0,3 (m) và tung độ y = h = 0,2 (m)
y 2
2
a   y x
x 3
3
+ Thay vào (4) ta có:
+ Tọa độ các giao điểm của quỹ đạo hòn bi với đường OABCD:

2
5
2
 5
x  x 2  x  x   0 
3
16
3
 16

 x 0

 x 2,13  m 

n

x2
7,11
d

+ Số bậc cầu thang mà hòn bi đã nhảy qua là:
+ Vậy hòn bi rơi xuống bậc cầu thang thứ 8 (kể từ bậc đầu tiên)
Ví dụ 6: *Từ cùng một điểm trên cao, hai vật được đồng thời 


v 01
v
v
01
ném ngang với các vận tốc đầu
và 02 ngược chiều nhau.
Gia tốc trọng trường là g. Sau khoảng thời gian bao lâu kể từ


lúc ném thì các vectơ vận tốc v1 và v 2 của hai vật trở sẽ
vuông góc với nhau.

Hướng dẫn
v1
Cách 1:
 


 v1 v01  gt

 
v 2 v 02  gt


+ Vận tốc của các vật tại thời điểm t:
 


 



v1 .v2 0  v 01  gt v02  gt 0
v
v
+ Khi 1 và 2 vng góc với nhau thì:
      
   
v
01.v 02  v 01.gt  v 02 .gt  gt.gt 0

+ Dựa vào công thức tích vơ hướng của hai đại lượng vectơ suy ra ta có:







v 02


v2



2

v 01.v 02 .cos1800  v 01.gt.cos90o  v 02 .gt.cos90 o   gt  0
2

 v01 .v02   gt  0  t 


t

+ Vậy sau thời gian

v01.v 02
g

v01.v02
g

kể từ khi ném thì vectơ vận tốc của hai vật sẽ vng góc với nhau.

Cách 2:
+ Chọn các hệ trục tọa độ Ox1y và Ox2y có gốc O là vị trí ném, trục Oy thẳng đứng hướng xuống, trục
Ox1 và Ox2 nằm ngang như hình vẽ.

* Xét với vật 1:

 v1x v 01

v gt
+ Phương trình vận tốc theo các trục:  1y
(1)
 x1 v01 t


1 2
 y  2 gt
+ Phương trình chuyển động theo các trục:
* Xét với vật 2:

 v 2x v 02

v gt
+ Phương trình vận tốc theo các trục:  2 y

(2)

(3)


 x 2 v02 t


1 2
 y  2 gt

+ Phương trình chuyển động theo các trục:
(4)
1
y  gt 2
2
+ Vì
mà lúc đầu hai vật ở cùng một độ cao  hai vật luôn cùng độ cao.

+ Xét tại thời điểm t, hai vật ở cùng độ cao (cùng mức ngang) như hình vẽ.


v 01

x1


v1x

v1y


v1

O


v 02

x2


v2 x

v2 y

y


v2



+ Khi v1 và v 2 vng góc với nhau thì  = 
(5)
v1x

 tan   v
v .v
v1x v 2y
v
1y
gt

5
 

 01 
 t  01 02

v1y v2x

gt v02
g
 tan   v 2 y

v 2x
+ Từ hình ta có: 
t

+ Vậy sau thời gian

v01.v02
g

kể từ khi ném thì vectơ vận tốc của hai vật sẽ vng góc với nhau.