De khao sat doi tuyen toan Lap Thach

PHỊNG GD&ĐT LẬP THẠCH
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT HSGNĂM HỌC 2017-2018
Mơn: Tốn 9
Thời gian 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu 1. Cho ba số thực a, b, c . Chứng minh rằng hai khẳng định sau là tương
đương:
a) c  0 và a  b  a  c  b  c
1 1 1
  0
b) a  0, b  0 và a b c

Câu 2. Giải hệ phương trình:
1 1 1
 x  y  z 2


 2  1 4
2
 xy z

Câu 3.
a) Cho

f  x

là một đa thức với hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu

f  0  , f  1 , f  2  , f  3 , f  4 

đều khơng chia hết cho 5 thì phương trình

f  x  0

khơng có nghiệm ngun.
x2  1 y2  1

3 . Chứng minh
b) Cho x, y là hai số nguyên dương thỏa mãn 2
2
2
rằng x  y chia hết cho 40.
O; R 
O '; R ' 
Câu 4. Cho hai đường trịn 
và 
tiếp xúc ngồi tại A . B là điểm
O; R 
trên 
sao cho AB R ; M là điểm trên cung lớn AB . Đường thẳng MA cắt

 O '; R ' tại

N  N  A

. Đường thẳng qua N và song song với AB cắt đường thẳng

MB tại E và cắt đường tròn  O '; R ' tại F  F  N  .
a) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng NE khơng phụ thuộc vào vị trí của

điểm M (trên cung lớn AB ).
b) Hình thang ABEF có cân hay khơng ?
 O; R 
M
AB

c) Tìm vị trí của
trên cung lớn
của đường trịn
tích của tam giác MNE lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.
Câu 5. Cho x, y, z là các số thực dương và
P  x2 

x yz 

1
1
1
 y2  2  z2  2
2
x
y
z .

sao cho diện

3
2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

Câu 6. Cơ quan A có 33 máy điện thoại, cơ quan B có 100 máy điên thoại. Biết
rằng mỗi máy của cơ quan A có thể liên lạc được ít nhất 97 máy của cơ quan B.
Chứng minh rằng tồn tại một máy của cơ quan B liên lạc được với mọi máy của
cơ quan A.
-----HẾT-----


(Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm)


HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Câu 1 1) Chứng minh a)  b).
(1,5Đ) Ta có

Nội dung

Điểm

a b  a c  b c
 a  b a  b  2c  2

 a  c  b  c 

c 

 a  c   b  c  0 

 a  c 0  a  0
 


b

c

0

b  0
Mặt khác
c 2  a  c   b  c   ab  ac  bc 0 

Ta lại có
2) Chứng minh b)  a).
Ta có
a b

ab
ac

ac
b c

bc

1 1 1
  0.
a b c

1
 0  c  0.

c
1
 0  a c 0
b
1
0  bc 0
a
a  b ; a  c ; b  c tồn tại

c  0.

0,5

0,25

0,5

Do đó
Mặt khác

1 1 1
  0  ab  bc  ca 0
a b c
  a  c   b  c  c 2 
 a  b a  b  2c  2

Câu 2
(1,5Đ)

1 1 1

 x  y  z 2



 2  1 4
 xy z 2

 a  c   b  c   c
 a  c  b  c 

a b  a c  b c

1 1
1
 z 2  x  y


1 2 4
 z 2 xy

1 1
1
 z 2  x  y



2


1

1
2
 2 
  4

x y
xy


1 1
1
 z 2  x  y


 1  4  4  1  4  4 0
2
x
y2 y
 x

1 1
1
1


2


x
z

1 1
1

x y
2

 z 2  x  y

1

1


   2 0
 y 
2
2
2
 1  2    1  2  0
x





1
 x
1

 y



 y  2 0
 z  2



0,25
0,25

0,25

0,75
0,25


Câu 3
(2Đ)

1 1 1
 ; ; 
x; y ; z 
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
duy nhất là  2 2 2 
f  x
a

a) Giả sử

là nghiệm nguyên của

f x  x  a g  x

Suy ra   
nguyên. Ta có:

.

g  x

trong đó

là đa thức với các hệ số

0,25

f  0   0  a  .g  0 
f  1  1  a  .g  1
f  2   2  a  .g  2 
f  3  3  a  .g  3

0,25

f  4   4  a  .g  4 

Do 0  a;1  a; 2  a;3  a; 4  a là 5 số nguyên liên tiếp nên phải có
một số chia hết cho 5. Như vậy trong 5 số
f  0  ; f  1 ; f  2  ; f  3 ; f  4 

phải có một số chia hết cho 5. Điều này

trái với giả thiết.
Vậy phương trình
2

f  x  0

khơng có nghiệm ngun.

2

x 1 y 1

 3 x 2  2 y 2 1
2
3
b) Ta có
a 2 0;1; 4  mod 8  ; a 2 0;1; 4  mod 8 
aZ

Với

0,5

0,25

ta có

Ta có bảng xét số dư sau
Mod 8

x2
3x 2

0
0

1
3

4
4

y2

0
0

1
2

4
0

2 y2

0,25

Vì
2

2

2

2

2

2

3 x  2 y 1 mod 8   x 1 mod 8  , y 1 mod 8   x  y 0  mod 8  (1)

Mod 5
x2
3x 2

0
0

1
3

4
2

y2

0
0

1
2

4
3

2y

2

Vì
3x 2  2 y 2 1 mod 5   x 2 1 mod 5  , y 2 1 mod 5   x 2  y 2 0  mod 5  (2) 0,25
 5;8  1
x2  y2

Từ (1), (2) và

nên

chia hết cho 40.


0,25
Câu 4
(3Đ)

NE MN

a) Do AB//NE ta có AB MA ( định lí ta - lét) (1)
Ta có O ' AN OAM (g-g) (Hai tam giác cân có góc ở đáy bằng

0,25

nhau), suy ra
O ' A AN
O ' A OA O ' A  OA R ' R





OA AM
AN
AM AM  AN
MN
MN R ' R


(2)
AM
R

0,5

Từ (1),(2) ta được
NE R ' R

 NE R ' R
AB
R

(Vì AB = R)
FEB  ABM

b) Ta có

0,25

(hai góc đồng vị)

ABM  1 AOM
2
Mà
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AM)
1

FEB
 AOM
2
Suy ra
(3)

0,5

Ta có
1

EFA
 AO ' N
2
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AN)

(4)
AOM  AO ' N  AOM AO ' N 

Mà
(5)
FEB EFA

Từ (3),(4),(5) ta có
.Vậy ABEF là hình thang cân

0,25
0,25

2

 R  R'
S MNE 
 .SMAB
R


c) Ta có
.
Do đó S MNE lớn nhất khi và chỉ khi SMAB lớn nhất khi và chỉ khi M
2 3
2
MaxS MNE 
 R  R '
4

là điểm chính giữa của cung lớn AB. Và

Câu 5
(1Đ)

Ta có với mọi số dương x1 , x2 , y1 , y2 ta có

0,5
0,5


x12  x22  y12  y22 

 x1  y1 

2

  x2  y2 

2

(1)

Chứng minh
Bình phương hai vế và thu gọn ta được
2
1

x

 x22   y12  y22  x1 y1  x2 y2

(2)
Tiếp tục bình phương hai vế của (2) và thu gọn ta được (2) tương
đương với  x1 y2 

2

x2 y1  0

(luôn đúng). Dấu đẳng thức xảy ra khi

x1 y1

x2 y2 .

0,25

Áp dụng hai lần bất đẳng thức (1), ta được
x12  x22  y12  y22  z12  z22 

 x1  y1  z1 

2

  x2  y2  z2 

2

(3)

Áp dung BĐT (3), ta có
P  x2 
P

1
1
1
 y2  2  z2  2
2
x
y
z

 x  y  z

2

 1 1 1
   
 x y z

2

0,5
2

2
 1 1 1
2

  4  x  y  z         15  x  y  z 
 x y z

 1 1 1
9 3
2
 8  x  y  z       15  x  y  z   8.9  15.  17
4 2
 x y z
3
1
P  17  x  y  z  .
2
2
Ta có
3
1
P  17  x  y  z 
2
2.
Vậy Min

Câu 6
(1Đ)

Chứng minh bằng phản chứng
Gọi số đường liên lạc giữa hai máy ở cơ quan A và B là n . Giả sử
khơng có máy nào của cơ quan B liên lạc được với mọi máy của cơ
quan A thì:
n 100.32 3200 (1)

Mặt khác, mỗi máy của cơ quan A liên lạc được ít nhất với 97 máy
của cơ quan B nên:
n 33.97 3201
(2)
(1) và (2) mâu thuẫn. Vậy tồn tại một máy của cơ quan B liên lạc
được với mọi máy của cơ quan A.

0,25

0,5

0,5