Dai so 9 Chuong IV 3 Phuong trinh bac hai mot an

Tiết 51 – Bài 3
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
MỘT ẨN


1. Bài tốn mở đầu.
Trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài là 32m, chiều rộng
là 24m, người ta định làm một vườn cây cảnh có con đường đi xung
quanh. Hỏi bề rộng của mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất
cịn lại bằng 560m².
Giải

32m

Để giải
bài
tốn
bằng
cách
phương
trình
Muốn
Gọi
bềgiải
rộng
bàicủa
tốn
mặt
này
đường
talập

làm
lànhư
x (m),
thế
x
ta
có
thể
làm
theo
ba
bước
sau
:
nào?
(0 < 2x <
Bước 1 : Lập phương trình.
24).
- Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
24m
²
560m
Khi
đó
phần
đất
cịn
lại
là
hình

chữ
nhật
có:
x
x
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và
các
đại lượng
Chiều
dài làđã biết.
: 32 – 2x (m),
- Lập phương trình biểu thị sự tương quan
x
Chiều rộng là : 24 – 2x (m),
giữa các đại lượng.
Diện
tích là
: (32trình
– 2x).(24
– được.
2x) (m²).
Bước
2 : Giải
phương
vừa thu
Theo
bàisánh
ta có
phương
Bước đầu

3 : So
nghiệm
củatrình:
phương trình
với điều
kiện
của. ẩn
(32
– 2x)
(24và– trả
2x)lời.
= 560
hay
x² - 28x + 52 = 0 Được gọi là phương trình bậc hai một ẩn


2. Định nghĩa.
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình
bậc hai) là phương trình có dạng:

ax² + bx + c = 0
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước
gọi là các hệ số và a ≠ 0.

Ví dụ :
a/ x² + 50x - 15000 = 0
với ẩn x, các hệ số là: a = 1,

b = 50,

c = -15000

b/ -2y² + 5y = 0
với ẩn y, các hệ số là: a = -2,

b = 5,

c=0

b = 0,

c = -8

c/ 2t² - 8 = 0
với ẩn t, các hệ số là:

a = 2,


?1

Trong các phương trình sau, phương trình nào là
phương trình bậc hai? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi
phương trình ấy:
a/ x² - 4 = 0

có a = 1, b = 0, c = -4

b/ x³ + 4x² - 2 = 0

Khơng phải là phương trình bậc hai

c/ 2x² + 5x = 0
d/ 4x - 5 = 0
e/ -3x² = 0

có a = 2, b = 5, c = 0
Khơng phải là phương trình bậc hai
có a = -3, b = 0, c = 0


3. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai.
Ví dụ 1

Giải phương trình

3x² - 6x = 0

Giải: Ta có 3x² - 6x = 0  3x(x – 2) = 0
 3x = 0 hoặc x – 2 = 0  x = 0 hoặc x = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 ; x2 = 2
?2

Giải các phương trình sau:
a/ 4x² - 8x = 0
b/ 2x² + 5x = 0
c/ -7x² + 21x = 0


Giải:

a/ Ta có 4x² - 8x = 0  4x(x – 2) = 0
 4x = 0 hoặc x – 2 = 0
 x = 0 hoặc x = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 , x2 = 2
b/ Ta có 2x² + 5x = 0  x(2x + 5) = 0
 x = 0 hoặc 2x + 5 = 0
 x = 0 hoặc x = -2,5
Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 , x2 = -2,5
c/ Ta có -7x² + 21x = 0  7x(-x + 3) = 0
 7x = 0 hoặc -x + 3 = 0
 x = 0 hoặc x = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 , x2 = 3


Nhận xét 1.
- Muốn giải phương trình bậc hai khuyết hệ số c, ta phân tích vế trái
thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung. Rồi áp dụng cách giải
phương trình tích để giải.
- Phương trình bậc hai khuyết hệ số c ln có hai nghiệm, trong đó có
một nghiệm bằng 0 và một nghiệm bằng (-b/a)
Tổng quát và cách giải phương trình bậc hai khuyết hệ số c

ax² + bx = 0
(a ≠ 0)
 x(ax + b) = 0
 x = 0 hoặc ax + b = 0
 x = 0 hoặc x = -b/a
Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 0 , x2 = -b/a

Ví dụ 2

Giải phương trình

x² - 3 = 0

Giải : Ta có x² - 3 = 0  x2 = 3 tức là x =  3
Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = 3

?3

Giải các phương trình sau :
a/ 3x² - 2 = 0
b/ x² + 5 = 0
c/ -15 + 5x² = 0

, x2 = 

3


Giải:
2

3
2
Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 =
; x2 = 
3

a/ Ta có 3x² - 2 = 0  3x2 = 2 tức là x =

b/ Ta có x²

2
3

+ 5 = 0  x2 = -5 < 0

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm

c/ Ta có -15
Suy ra

+ 5x² = 0  5x2 = 15  x2 = 3
x=

 3

Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 =

3

; x2 =



3

Nhận xét
-2.
Muốn giải phương trình bậc hai khuyết hệ số b, ta chuyển hệ số c
sang
vế phải, rồi tìm căn bậc hai của

c

a

.

- Phương trình bậc hai khuyết hệ số b có thể có hai nghiệm hoặc có
thể vơ nghiệm.
Tổng quát và cách giải phương trình bậc hai khuyết hệ số b

ax² + c = 0
 ax2 = -c
 x2 =  c
a

(a ≠ 0)

+) Nếu  c < 0  pt vô nghiệm

a
+) Nếu c > 0  pt có hai nghiệm x1,2 = ±

a

c

a


?4

7 bằng cách điền vào chỗ
 x 2 
2:
trống (…) trong các đẳng thức sau
Giải phương trình

2

7. .
7
14
.
.
.
.
.

 2 là:
 x  2 .
 x  2 trình có 
Vậy phương
hai x
nghiệm

2
2
2
2

4. . . 14
.
x1 
2

?5
?5

4  14
, x2 
2
. . . .

7
7
x  4x  4 
2
Giải phương trình :
x 2 4x  4 
2

Biến đổi vế trái của phương trình, ta2được:

?6

7
1
(x  2)  2
Giải phương trình:
2x  4x 
Theo kết quả ?4 phương trình có hai
2 nghiệm là:

?7

4trình
 : 14
Giải phương
x 

2

1

2

2

4

14

;2xx 2 8x   1
2

Ví dụ 3
?7

2x² - 8xtrình
+ 1 = 2x²
0 (*)- 8x + 1 = 0
Giải phương

 2x

2

(chuyển

 8x   1

1 sang vế

phải)
Chia hai vế của phương trình cho 2, ta được:

1
x  4x  
2

?6

2

Thêm 4 vào hai vế của phương trình, ta được:

1
x  4x  4   4
2
2

Biến đổi vế phải của phương trình, ta được:

7
x  4x  4 
2

?5

2

Biến đổi vế trái của phương trình, ta được:

7
(x  2) 
2
Vậy phương
có hai nghiệm
Theo
kết quả trình
?4 phương
trình cólà:
hai nghiệm là:
2

x1 

4

14
2

; x2 

4

14
2


CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ TRONG TIẾT HỌC:
*) Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn:
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương
trình có dạng ax2 + bx + c = 0 Trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước
gọi là các hệ số và a ≠ 0
*) Cách giải pt bậc hai khuyết c:
ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0

 x 0

 ax  b 0

Vậy pt có nghiệm x1= 0; x2 = -b/a

 x 0

 x  b

a

*) Cách giải pt bậc hai khuyết b:

c
 x 
a
c
*) NÕu -  0  pt v« nghiƯm
a
ax2 + c = 0  ax2 = - c

2

c
c
*) NÕu -  0  pt cã nghiÖm x1,2  
a
a
*) Cách giải pt bậc hai đầy đủ theo VD3 trong bài học.


Hướng dẫn về nhà.

1/ Học bài theo SGK và vở ghi.
2/ Nắm chắc định nghĩa và một số cách giải phương trình bậc hai

dạng đặc biệt (b = 0 hoặc c = 0) và phương trình đầy đủ.
3/ Làm các bài tập 12, 13 (Sgk-42, 43).
4/ Đọc và nghiên cứu trước bài “Cơng thức nghiệm của phương
trình bậc hai”.


Bài tập 11 (Sgk-42)
Đưa các phương trình sau về dạng ax² + bx + c = 0 và
chỉ rõ các hệ số a, b, c :
a/ 5x² + 2x = 4 – x

3 2
1
b/ x  2x  7  3x 
5
2
c/ 2x2  x 

3  3x  1

d/ 2x² + m² = 2(m – 1)x (m là một hằng số)


Giải

a/ 5x² + 2x = 4 – x  5x² + 2x + x – 4 = 0
 5x² + 3x – 4 = 0
Có a = 5 , b = 3 , c = -4

b/ 3 x 2  2x  7  3x  1  3 x 2  2x - 3x  7 - 1  0

5

c/

2

5
3 2
15

x -x 
0
5
2
3
15
Cã a  , b  - 1 , c  
5
2

2x 2  x 

3  3 x  1  2x 2  (1 

Cã a 2 , b 1 

2

3 )x  ( 3  1)  0

3 , c  ( 3  1)

d/ 2x² + m² = 2(m – 1)x  2x² - 2(m – 1)x + m² = 0
Có a = 2 , b = - 2(m – 1) , c = m²


Bài tập 14 (Sgk-43)

Giải phương trình sau :

2x² + 5x
+2=0
2

5
2x  5x  2  0  2x  5x  -2  x  x   1
2
2

2

2

5 5
25
 x  2 x.      1 
4 4
16
2

2

5
9
5
3

 x  
 x  
4
16
4
4

1
 x 
hc x  - 2
2
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
x 1 
; x 2  2
2