CƠ học LƯỢNG tử , TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MOMEN ĐỘNG LƯỢNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
==================

TIỂU LUẬN
TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG
CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
(Cơ học lượng tử)

Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Xuân Ca

Học viên thực hiện:

Đỗ Thị Bích
Bùi Thanh
Vũ Ngọc Viễn

Thái Bình, tháng 11/2021.

Trang 1


MỤC LỤC
Tran
g
2
I. SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÍ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ SỰ RA ĐỜI
CỦA VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
II. TÍNH CHẤT SĨNG CỦA HẠT VẬT CHẤT. GIẢ THUYẾT
DE BROGLIE
III. LÍ THUYẾT VỀ NGUYÊN TỬ CỦA BOHR:

IV.HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT
V. SỰ CHUẨN HÓA HÀM SÓNG
B. TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN
ĐỘNG LƯỢNG
I. TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
II. TRỊ RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
III. HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
C: KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

3
3
3
4
4
5
5
5
7
8
10
11
11

Trang 2


A.MỞ ĐẦU
I. SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÍ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ SỰ RA ĐỜI CỦA VẬT LÝ

LƯỢNG TỬ
Vật lí học cổ điển là phần vật lí khơng kể đến thuyết tương đối của Einstein và
thuyết lượng tử của Planck, nó dựa trên hai hệ thống lí thuyết cơ bản là cơ học của
Newton và thuyết điện từ của Maxwell. Lí thuyết Newton là cơ sở cho cơ học và
nhiệt học. Lí thuyết Maxwell là cơ sở cho điện từ học và quang học.
Vật lí học cổ điển cho kết quả phù hợp với thực nghiệm đối với các hiện tượng vật lí
mà người ta đã biết đến cuối thế kỉ XIX, nó là hệ thống lí thuyết hồn chỉnh và chặt
chẽ trong phạm vi ứng dụng cuả nó.
Nhưng cuối thế kỉ XIX trở về sau, người ta thấy có những hiện tượng vật lí khơng thể
giải thích được bằng các lí thuyết của vật lí học cổ điển, như tính bền của nguyên tử,
bức xạ của vật đen.v.v. và từ đó đã dẫn
đên khái niệm mới - bước đầu của việc phát triển môn CƠ HỌC LƯỢNG TỬ.
Cơ học lượng tử là lí thuyết của những hệ nguyên tử và hạt nhân, chúng có kích
thước cỡ 10-10m đến 10-15m. Những hạt có kích thước như vậy được gọi là những hạt
vi mô. Ðối với các hạt vi mô, các quy luật của vật lí học cổ điển khơng áp dụng được
nữa, khi nghiên cứu chúng ,ta phải thay các quy luật cổ điển bằng các quy luật lượng
tử.Các quy luật lượng tử thì tổng qt hơn, nó bao gồm cả các quy luật cổ điển, coi
các quy luật cổ điển chỉ là các trường hợp riêng mà thơi
II. TÍNH CHẤT SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT. GIẢ THUYẾT DE BROGLIE
Theo giả thuyết về foton thì sóng điện từ có tính chất hạt. Ta có thể xem vấn đề
ngược lại rằng: các hạt vi mơ (có khối lượng nghỉ khác khơng) có tính chất sóng được
khơng? Ðể giải quyết vấn đề này, năm 1924 DeBroglie đã đưa ra giả thuyết rằng:
Hạt tự do có năng lượng ε và xung lượng

ur
p

sẽ tương đương với một sóng phẳng lan
ur
r p

k=
h

h=

h
2π

truyền trong khơng gian, có tần số ω = ε / ħ và véc tơ sóng
. Trong đó
h là hằng số Planck chung cho mọi hạt.
Giả thuyết này phù hợp với thực nghiệm và đã được hai nhà bác học người Mỹ
(Davisson và Germer) kiểm chứng năm 1927. Hai ơng đã tiến hành thí nghiệm cho
hạt electron khuếch tán trên tinh thể mà trước đó đã tiến hành thí nghiệm đối với tia
Rontgen (là sóng), thì kết qủa thu được cũng giống như kết qủa đối với tia Rontgen.
Ðiều đó chứng tỏ rằng chùm electron (hơn nữa là từng electron) cũng có tính chất
sóng như tia Rontgen.
Vậy cả sóng điện từ và hạt vi mơ đều có tính chất sóng và tính chất hạt (gọi là
lưỡng tính sóng- hạt).
Quan niệm này trái với ý nghĩ thông thường của chúng ta trên các vật vĩ mô xung
quanh. Muốn hiểu được thế giới vi mô, ta phải thay đổi những quan niệm cũ bằng các
Trang 3


quan niệm mới hiện đại. cho dù nó có trái với ý nghĩ thông thường của ta đi nữa. Ta
chú ý rằng các hạt vi mơ có tính chất hạt nên có các đặc trưng là năng lượng và xung
lượng; đồng thời nó có tính chất sóng nên có các đặc trưng về sóng là tần số và vec tơ
sóng.
III. LÍ THUYẾT VỀ NGUYÊN TỬ CỦA BOHR:
Năm 1911,Rutherford đã chứng tỏ rằng ngun tử gồm có hạt nhân tích điện dương,

có kích thước nhỏ, ở giữa và xung quanh có các electron chuyển động.
Nếu áp dụng các định luật vật lí học cổ điển cho electron chuyển động xung quanh
hạt nhân thì dẫn đến các kết qủa sau:
*Các electron chuyển động xung quanh hạt nhân nên tương đương với một dao
động tử điều hòa với tần số dao động ω nên nguyên tử luôn luôn ở trạng thái bức xạ
và tần số bức xạ có phổ liên tục vì ngun tử bức xạ liên tục nên năng lượng giảm
liên tục, bán kính qũy đạo của electron giảm liên tục và chỉ trong khoảng thời gian
ngắn cỡ 10-10s electron sẽ rơi vào hạt nhân và nguyên tử bị phá vỡ. Các kết quả này
hoàn toàn mâu thuẫn với thực tế rằng:
* Bình thường thì ngun tử khơng bức xạ. Nếu bị kích thích thì ngun tử mới
phát ra bức xạ có tần số xác định, tức phổ của bức xạ là gián đoạn chứ không phải
liên tục (quang phổ bức xạ của nguyên tử là quang phổ vạch).
*Nguyên tử bền vững chứ khơng có hiện tượng electron rơi vào hạt nhân.Ðể giải
thích ngun tử phát ra bức xạ có phổ gián đoạn và sự bền vững của nguyên tử, Bohr
đã đưa ra giả thuyết rằng:
- Bình thường nguyên tử ở trạng thái dừng. Ở các trạng thái dừng nguyên tử có
năng lượng xác định gián đoạn, electron chuyển động trên các quỹ đạo dừng xác định
và không bức xạ.
- Khi nguyên tử bị kích thích, nó chuyển từ trạng thái dừng có năng lượng thấp En
sang trạng thái dừng có năng lượng Em cao hơn. Khi ngừng kích thích , nó chuyển
ngay về trạng thái có năng lượng thấp hơn (En chẳng hạn), đồng thời phát ra một bức
xạ có tần số xác định. Với giả thuyết này và kết hợp với cơ học cổ điển, áp dụng cho
nguyên tử, người ta đã thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm. Người ta thừa
nhận giả thuyết của Bohr và đó cũng là bước đầu dùng thuyết lượng tử để nghiên cứu
ngun tử.
IV.HÀM SĨNG CỦA HẠT VẬT CHẤT
Theo De Broglie thì hạt tự do có khối lượng nghỉ m, năng lượng E, xung lượng p

thì tương đương với một sóng phẳng có tần số ω = E /ħ và vecto sóng
phẳng đó được biểu diễn bởi hàm phức (gọi là hàm sóng)như sau:

ur r
i
r
− ( Et − p r )
h
ψ (r , t ) = ψ 0e

ur
r p
k=
h

. Sóng

(1).
Trang 4


r
r

Hàm sóng viết như (1) là phụ thuộc cả khơng gian và thời gian, là vecto tia xác
định vị trí của điểm nào đó trong khơng gian mà sóng có thể truyền tới (hạt có thể
tới), cịn ψ0 là một hằng tùy ý. Hàm sóng thường được tách ra hai phần:
r
r
r
ψ
(
r

)
ψ
(
r
).
ψ
(
t
)
ψ (r , t )
=
, trong đó
là phần phụ thuộc không gian ,

ψ (t ) = e

r
r

i
− Et
h

và
là phần phụ thuộc thời gian.Lưu ý ta kí hiệu biến là thay cho các
biến (x,y,z) cho gọn.
Theo cách giải thích của Born thì bình phương mơ đun của hàm sóng tỉ lệ với mật độ
xác suất tìm thấy hạt ở điểm xác định bởi

r

r

(điểm đang xét).
r
r
Gọi ρ là mật độ xác suất tìm thấy hạt có tọa độ thì:ρ ≈ |ψ|2 = ψ. ψ* .
Gọi dw là xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV thì dw = ρdV~ |ψ|2dV
Trong đó dV = dx.dy.dz
Cách giải thích của Born được thừa nhận vì khơng chứa mâu thuẫn.
V. SỰ CHUẨN HĨA HÀM SĨNG
ur r
i
r
− ( Et − pr )
h
ψ (r , t ) = ψ 0e
Ta đã biết hàm sóng có dạng:
Trong đó hằng số ψ0 khơng phản ánh tính chất gì của hạt,nên đối với một hàm sóng ta
có thể nhân thêm một hằng số bất kì mà chẳng ảnh hưởng gì đến trạng thái của hạt.
Nghĩa là chúng cùng biểu diễn một trạng thái.Ta thừa nhận điều này như một tiên đề.
Ở trên ta đã có: ρ ≈ |ψ|2 Ta có thể chọn hằng số ψ0 cho phù hợp để khi nhân vào thì
ta được hàm ϕ để khi đó ta có ρ = |φ|2. Hàm ϕ được gọi là hàm đã chuẩn hóa, nó phải
2

∫ ρ dV = ∫ ϕ = 1

thỏa mãn điều kiện sau:

V

V

gọi là điều kiện chuẩn hóa.
*

∫ ϕ dV = ∫ ϕ.ϕ dV = ψ 0
2

V

V

2

∫ψ .ψ

*

dV = 1

V

Từ điều kiện chuẩn hóa ta suy ra:
là cơng thức dùng để tính hệ số chuẩn hóa ψ0
Ta chú ý rằng nếu thề tích co về chiều dài (x chẳng hạn) thì tích phân sẽ tính theo x.

B. TRỊ RIÊNG VÀ HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG

Trang 5

I. TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
Theo ngun lí tương ứng thì biến số động lực mơ men động lượng của hệ được mơ
tả bằng tốn tử mơ men động lượng là:

r ur
$ = (r × P)
L

Tốn tử này có ba thành phần là ba tốn tử hình chiếu trên ba trục tọa độ là:
µ2 = ( L
µ2 + L
µ2 + L
µ2 )
L
x

y

z

2
2
2
 ∂







∂
∂
∂
∂
∂
2
= − h  y − z ÷ +  z − x ÷ +  x − y ÷ 
∂y ÷
∂ z   ∂ y
∂x ÷
 ∂ z
  ∂x
 


µ2 ; L
µ ;L
µ ;L
µ
L
x
y
z

Các tốn tử
gọi là các tốn tử mơ men động lượng, giữa chúng có các hệ
thức quan trọng sau đây:
Nghĩa là hai hình chiếu của mơ men động lượng khơng đo được chính xác đồng thời,
cịn một hình chiếu và bình phương của mơ men động lượng thì đo được chính xác

đồng thời.
Ngồi ra người ta cịn đưa ra các tốn tử sau đây:

Các toán tử này tuân theo các hệ thức sau

Trong cơ học lượng tử, đôi khi giải bài toán trong tọa độ cầu lại đơn giản hơn. Vậy ta
hãy tìm dạng các tốn tử mơ men động lượng trong tọa độ cầu để có thể áp dụng
chúng trong việc giải các bài toán cơ học lượng .
Trang 6


Toạ độ cầu là toạ độ có 3 thơng số r, θ ,ψ ; chúng được liên hệ với các toạ độ
Descarer như sau:
Vì trong các biểu thức các tốn tử mơ men động lượng có chứa các đạo hàm theo các
tọa độ nên ta phải chuyển các phép tính đó sang toạ độ cầu xét một hàm f =f (r , θ, ϕ)
ta sẽ có

Ta cũng có các biểu thức tương tự cho:
từ đó ta tính các phép tính
cũng làm tương tự như vậy với θ ϕ , rồi đưa vào các tốn tửmơmen động lượng ta
được

∂ 
∂ 
1 ∂2 
2
2  1
ˆ
L = −h 
= −h2∇ 2 (θ , ϕ )

 sin θ
÷+ 2
2 
∂θ  sin θ ∂ϕ 
 sin θ ∂θ 
∇ 2 (θ , ϕ )

Trong đó tốn tử
gọi là tốn tử Laplace cầu
II. TRỊ RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
Ðể tìm trị riêng của mô men động lượng,
riêng của chúng.

Gọi ψ (θ, ϕ, r )là hàm riêng của toán tử
Ta đễ dàng tìm được
Trong đó C là hằng số khơng phụ
có thể phụ thuộc r,θ
Do đó ta viết lại nghiệm như sau:

µ
L
z

µ
L
z

chẳng hạn ta phải giải phương trình trị

thì ta có phương trình trị riêng là:

thuộc ϕ nhưng

Trang 7


Theo địi hỏi về vật lí thì nghiệm phải đơn giá nên khi ψ thay đổi một góc 2π thì hàm

sóng lại nhận giá trị cũ. Tức là
Trong đó m là một số nguyên dương, âm hay bằng không (m = 0; ±1; ±2) từ đó suy
ra trị riêng và hàm riêng của tốn tử
Ta có

µ ,L
µ  = −hL
µ
L
+
 + z

Hay

µ
L
z

bằng cách như sau:

µ L
µ µ µ

µ
µ µ
µ µ µ
L
+ z − Lz L+ = − hL+ → L+ Lz + hL+ = Lz L+

Cho 2 vế của phương trình tốn tử tác dụng lên hàm riêng ψm =(r, θ, ϕ) của
cũng là của

µ2
L

ta được:

và

µ (L
µ ψ ) + h( L
µψ ) = L
µ (L
µψ )
L
+
z m
+ m
z
+ m

µ ψ ) + h( L
µψ ) = L

µ (L
µψ ) ⇒ L
µ (L
µ ψ ) = h(m + 1)( L
µψ )
mh( L
+ m
+ m
z
+ m
z
+ m
+ m

→

Nghĩa là

µ
L
+

ψm là hàm riêng ứng với trị riêng ħ(m +1) của
µ
L
z

riêng ħ(m +1)của
là hàm riêng ψ m + 1 ⇒ ψ m +1 và (
thái vật lí nên chỉ khác nhau 1 hằng số nhân nghĩa là

(

µ
L
z

µ
L
+

µ
L
+

µ
L
z

mặt khác ứng với trị

ψm ) cùng biểu diễn 1 trạng

ψm ) = const. ψ( m +1)
µ
L
z

Vì m là trị riêng của nên m không thể bằng vô cùng được.Nghĩa là m phải ngắt ở
giá trị lớn nhất nào đó. Gọi ℓ là giá trị lớn nhất của m thì

µ
L
+

( ψℓ ) = const. ψ( ℓ +1) = 0 ⇒ ψ( ℓ +1) = 0 vì nếu ψ( ℓ +1) ≠ 0 thì sẽ tồn tại giá trị
m = ℓ + 1> ℓ .Điều này trái với điều đã nói ở trên
Bây giờ ta cho 2 vế của tốn tử

µ2 = L
µ
µL
µ µ2
L
− + + Lz + hLz

tác dụng lên hàm ψℓ ta sẽ được

µ2ψ = L
µ (L
µ (L
µψ )+ L
µ ψ ) + h( L
µψ )
L
l
−
+ l
z
z l
z l

Chú ý số hạng đầu của vế phải bằng khơng, do đó ta được:

Trang 8


µ
L
+

ψℓ = (ℓ2ħ2 + ℓħ2)ψℓ = ħ2(ℓ2 + ℓ)ψℓ
mặt khác, theo định nghĩa phương trình trị riêng ta có:
Với ℓ là trị lớn nhất của m và có thể bằng không.Từ đây ta thấy rằng với mỗi giá trị
xác định của ℓ thì m có nhiều giá trị, các giá trị đó là các số nguyên tử - ℓ đến + ℓ (kể
cả giá trị 0). Như vậy m có tất cả (2ℓ +1) giá trị. Các số nguyên m được gọi là lượng
tử số xác định độ lớn hình chiếu trên trục z của mơmen động lượng, cịn ℓ gọi là
lượng tử số xác định độ lớn mômen động lượng. Điều đó có nghĩa là độ lớn các mơ
men động lượng bị lượng tử hoá theo các số nguyên ℓ .
III. HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
µ2
L

µ
L
z

Trong tọa độ cầu thì biểu thức của các tốn tử
và
chỉ chứa các tọa độ θ, ϕ ,
và các đạo hàm riêng theo hai tọa độ này. Do đó đối với hàm sóng (hàm riêng của hai

tốn tử này), ta cũng chỉ xác định được phần phụ thuộc (θ, ϕ ) của hàm sóng mà thơi.
Cịn phần phụ thuộc r coi như được chứa trong hằng số nhân.
µ2
L

µ
L
z

Gọi ψmℓ ( r,θ, ϕ ) là hàm riêng của 2 toán tử
và , ứng với các trị riêng
L2 = ℓ(ℓ + 1)ħ2 và Lz = mħ của hai toán tử, phần phụ thuộc θ ,ϕ , của hàm sóng ta gọi
là hàm cầu, kí hiệu là:Yℓ m (θ,ϕ). Như vậy hàm riêng của hai toán tử trên được viết là:
ψmℓ ( r,θ, ϕ ) = C(r ) Yℓ m (θ,ϕ).
µ2
L

µ
L
z

Vì các tốn tử
và
khơng phụ thuộc vào r nên trong phương trình trị riêng
của chúng ta không cần viết phần phụ thuộc r cho đơn giản (coi được chứa trong
hằng số ) . Ta có các phương trình trị riêng như sau
µ2
L

Và

Yℓ m = ℓ(ℓ + 1)ħ2 Yℓ m (6.1)
µ
L
z

Yℓ m = mħ2 Yℓ m (6.2)
µ = −ih ∂
L
z
∂ϕ

Thay
và giải phương trình (6.2) ta dễ dàng tìm được:
m
imφ
Yℓ (θ,ϕ) = C. e
Trong đó C là một hàm phụ thuộc θ và ta có thể đặt C(θ )= Kℓ m (θ).
⇒ Yℓ m (θ,ϕ) = Kℓm(θ).eimφ Đưa Yℓ m (θ,ϕ) vào phương trình (6.1) và chú ý biểu thức

Trang 9


của

µ2
L

trong toạ độ cầu ta được phương trình:

thực hiện phép tính đạo hàm theoθ đối với số hạng thứ nhất và theo ϕ với số hạng thứ
hai, thực hiện phép tính đơn giản ta được phương trình

Trong đó ta hiểu Kℓm = Kℓm( x)
Tiếp tục biến đổi phương trình này với chú ý sin2(θ) = 1 - cos2(θ) = 1- x2 ta sẽ được
phương trình:

Ta lưu ý x = cos(θ ) nên nghiệm của phương trình hữu hạn tai x = ±1. Phương trình
(6.3) chính là phương trình Legendre liên kết và nghiệm Kℓm của phương trình là đa
thức liên kết Legendre với biến số cos(θ ) và có dạng:
Kℓ m (x) = Pℓmcos(θ) ⇒ hàm cầu Yℓ m (θ,ϕ) = const. Pℓmcos(θ).eimφ
Như vậy muốn tìm hàm cầu Yℓ m (θ,ϕ) ta phải tìm được Pℓmcos(θ) với cơng thức đã
được chứng minh là:

Trong đó

gọi là đa thức Legendre bậc ℓ , là nghiệm của phương trình Legendre có dạng:
Trong đó Y là một hàm nào đó phụ thuộc vào x. Từ đó ta được:
Trang 10


P0( x) = 1; P1( x) = x; P2( x) =

1
2

(3x2 - 1); P3( x) =

1
2

(5x3 – 3x)

C: KẾT LUẬN
Cơ học lượng tử là một lý thuyết cơ bản trong vật lý học miêu tả lại các tính chất
vật lý của tự nhiên ở cấp độ nguyên tử và hạt hạ nguyên tử.Nó là cơ sở của mọi lý
thuyết vật lý lượng tử bao gồm hóa học lượng tử, lý thuyết trường lượng tử, công
nghệ lượng tử, và khoa học thông tin lượng tử. Làm bài tập là một việc làm tất yếu và
quan trọng trong quá trình học Vật lí nhằm củng cố lý thuyết đã học và trau dồi kỹ
năng thực hành .Trong môn Cơ học lượng tử các bài tập đều phù hợp với chuyên
nghành đào tạo đại học và sau đại học. Qua bài tập của tiểu luận giúp cho chúng em
phần nào nắm được lý thuyết cơ bản của tốn tử mơ men động lượng và góp phần
vận dụng vào việc nghiên cứu mơn chun nghành Quang học
Trên đây chúng em trình bày những hiểu biết của mình về TRỊ RIÊNG VÀ
HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG của mơn Cơ học lượng tử.
Trang 11


Tiểu luận khơng tránh khỏi thiết sót, kính mong sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để
chúng tơi hồn thiện hơn
Trận trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn đã giúp chúng em hoàn thành tiểu
luận này
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Bài giảng môn CƠ HỌC LƯỢNG TỬ giảng viên TS:NGUYỄN XUÂN CA
Trường Đại học Khoa Học- ĐH Thái Nguyên

PHỤ LỤC
ST
T
A

Nội dung
MỞ ĐẦU
I.SỰ BẾ TẮC CỦA VẬT LÍ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ

Hồn thiện
Hv Đỗ Thị Bích
Hv Bùi Thanh Thanh
Hv Vũ Văn Viễn

SỰ RA ĐỜI CỦA VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
II. TÍNH CHẤT SĨNG CỦA HẠT VẬT CHẤT.
GIẢ THUYẾT DE BROGLIE
III. LÍ THUYẾT VỀ NGUYÊN TỬ CỦA BOHR
IV.HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT
V. SỰ CHUẨN HĨA HÀM SĨNG
B I. TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
II. TRỊ RIÊNG CỦA TỐN TỬ
MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
III.HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ
MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
C

KẾT LUẬN

Hv Đỗ Thị Bích
Hv Bùi Thanh Thanh
Hv Vũ Văn Viễn

Hv Đỗ Thị Bích

Hv Bùi Thanh Thanh
Hv Vũ Văn Viễn

Trang 12