Tải bản đầy đủ (.pdf) (27 trang)

Đề cương ôn tập hè toán 10 lên 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (781.28 KB, 27 trang )

Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÈ TỐN 10 LÊN 11
TIẾT 1+2:
I.HÀM SỐ BẬC NHẤT:
1.Định nghĩa và các tính chất:
+Dạng : y= ax+b (a  0)
+TXD:D=R
+Hàm số đồng biến nếu a> 0
+ Hàm số nghịch biến nếu a<0

A. Đại số
BÀI 1: HÀM SỐ

b
a

+đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm A(0;b) và B( − ;0)
2.Các dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1: vẽ đồ thị hàm số:
Bài 1: vẽ đồ thị các hàm số sau:
a. y= 2x-3
b. y= -x+2

c. y= -3x -2

d. y= 4x+3

Dạng2: xác định hàm số biết tính chất của nó:
Bài2: Tìm a sao cho hàm số sau: y=2x - a(x-1)
a.đi qua gốc toạ độ O


b.Đi qua A(-1;2)
c. song song với đường thẳng y= -3x-2
Bài 3: Trong mỗi trường hợp sau xác định a và b sao cho đường thẳng y=ax+b
a.cắt đường thẳng y=2x+5 tại điểm có hồnh độ bằng -2 và cắt đường thẳng y=-3x+4 tại
điểm có tung độ bằng -2
1
2

1
2

b.song song với đường thẳng y= x và đi qua giao điểm của hai đường thẳng y = − x + 1 và
y=3x+5
TIẾT 3+4:
II.HÀM SỐ BẬC HAI:
1.Định nghĩa và các tính chất:
+dạng: y= ax 2 + bx + c(a  0)
+ TXD: D=R
+bảng Biến thiên:
+Dạng đồ thị : Đồ thị của hàm số y= ax 2 + bx + c(a  0) là parabol có đỉnh là điểm (


b

b
; − ) ;có trục đối xứng là đường thẳng x= − ;hướng bề lõm lên khi a>0 và xuống
2a 4a
2a

khi a<0.

*phép tịnh tiến đồ thị:Cho hàm số y= f(x) có đồ thị (C) ;p và q là hai số không âm.
+ khi tịnh tiến (C) lên trên q đơn vị , ta được đồ thị của hàm số y= f(x)+q
+ Khi tịnh tiến (C) xuống dưới q đơn vị ,ta được đồ thị hàm số y=f(x)-q
+Khi tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị ,ta được đồ thị hàm số y=f(x+p)
+Khi tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị , ta được đồ thị hàm số y=f(x-p)
2.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

1
2

Bài1: Cho hàm số: y= x 2 (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b. nếu tịnh tiến (C) lên trên hai đơn vị ta được đồ thị hàm số nào?
c.Nếu tịnh tiến (C) xuống dưới ba đơn vị ,ta được đồ thi hàm số nào?
d. Nếu tịnh tiến (C) sang phải một đơn vị ta được đồ thị hàm số nào?
e.Nếu tịnh tiến (C) sang trái bốn đơn vị ta được đồ thị hàm số nào?
2
3

Bài2: Cho hàm số y = x 2 (C)
a.vẽ đồ thị (C) của hàm số trên
b.từ độ thị (C) ,bằng phép tịnh tiến hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:
2
3
2 2
+ y = x +2
3

2
+ y = ( x − 2)2
3
2
+ y = ( x + 3)2
3
2
+ y = ( x − 1)2 + 2
3

+ y = x2 −1

Bài 3: Cho hàm số: y= x2 − 4x + 3 (C)
a.Vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b. Dựa vào đồ thị (C) hãy chỉ ra khoảng mà trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương
c. Dựa vào đồ thị (C) hãy chỉ ra các khoảng mà trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1:Tìm hàm số y=ax+b mà đồ thị của nó đi qua hai điểm A(2;-1) và B(-1;8).Hãy vẽ đồ
thị đó
Bài 2: a. Tìm hàm số y=ax +b mà đồ thị của nó song song với đường thẳng y=3x và đi
qua giao điểm của hai đường thẳng y=-x+1 và y=2x-3
b.xác định các hệ số avà b sao cho đồ thị của hàm số y= ax+b đi qua các điểm sau:
2
3

+A( ; −2) và B(0;1)
+ M(-1;-2) và N(99;-2)
+ P(4;2) và Q(1;1)
Bài 3:Tìm giao điểm của hai đồ thị sau:
a.y= 6x2 − 3x −1 và y= 2x+5

b. y = 8 x 2 − 9 x − 14 và y = −7 x 2 + 4 x + 6
bài 4: lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
a. y = − x 2 + 2 x − 2
b. y = x 2 + 4 x − 3
Bài 5: xác định hàm số bậc hai y= ax2 − 4x + c , biết rằng đồ thị của nó :


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

a.đi qua hai điểm A(1;-2) và B(2;3)
b.có đỉnh là I(-2;-1)
c.Có hồnh độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2;1)
d.Có trục đối xứng là đường thẳng x=2 và cắt trục hồnh tại điểm Q(3;0)
TIẾT:5-13:

PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I.PHƯƠNG TRÌNH DẠNG :AX+B=0
+ Dạng : ax+b=0 (1)
+ Cách giải và biện luận :
(1)  ax=-b
- Nếu a  0 , thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất: x= −
-Nếu a=0 khi đó (1)  0x=-b
. Nếu b=0 thì phương trình đúng với mọi x  R
. Nếu b  0 thì phương trình (1) vơ nghiệm
1. Dạng 1 : Giải và biện luận phương trình dạng ax+b =0
ví dụ 1: Giải và biện luận các phương trình sau:
a. m(x+2)=3x+1
b. m2 ( x + 1) = 4 x + 2m
c.3(m-2)x+5=3x-2(m+1)

d .m2 ( x − 2) = 4( x − m)
e.x + 3m + 2 = m2 ( x − 1)
f .(m2 + 1) x = (3 + x)m − 2
2.DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ DẠNG AX+B=0
* Dạng (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) = 0 (1)
 a x + b = 0(2)

1
+ Biến đổi (1)   1
a
x
+
b
 2
2 = 0(3)
+ Giải biện luận (2) và (3)
+ kết luận.
Ví dụ2: Giải các phương trình sau:
a.(2x-3)(3+4x)=0
b.(3x+4)(5x-2)=0
3.Dạng 3:

(ax + b) 2 = (cx + d ) 2 (1)
 ax + b = cx + d
(1)  
 ax + b = −(cx + d )

Ví dụ 3: giải các phương trình sau:
a.(2 x − 3)2 = (5 − 2 x)2 ; b.(3x + 4)2 = (2 x + 3)2 ; c.(4 − 5 x)2 = (3x + 1) 2


4.Dạng 4: ax + b = cx + d (1)
cx + d  0

(1)    ax + b = cx + d
  ax + b = −(cx + d )


b
a


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
a. 2 x − 3 = − x + 3; b. x − 4 = 3x − 6; c. 3x + 5 = x + 1; d. 1 − 2 x = x + 2

ax + b = cx + d (1)

5.Dạng 5:

 ax + b = cx + d
(1)  
 ax + b = −(cx + d )

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:
a. 2 x − 3 = x + 2
b. 3 x + 1 = 2 x − 3
c. 2 x + 1 = 3 − 2 x

II.PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ

6.Dạng 6:
f ( x) = g ( x)(1)
 f ( x)  0
 f ( x) = g ( x)

(1) (1)  

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a. 2 x − 1 = 3x − 2
b. 2 x 2 − x + 1 = 2 x 2 + x − 3
c. 3x 2 + x − 4 = 3x 2 + 2 x − 2

7.dạng 7:

f ( x) = g ( x)(1)
 g ( x)  0

(1)  

2
 f ( x) = g ( x)

Ví dụ 7: Giải các phương trình sau:
a. 4 x2 + 3x + 2 = 2 x + 1
b. x 2 + 3x − 3 = 2 x − 1
c. 2 x 2 − 3x − 1 = x + 3

CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. 2(x+3)-5=3(2-x)+4

b. 3x-7=4(2x+2)-6
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a. (2 x − 5)2 = (3x + 4)2
b. (1 − 2 x)2 = (2 x + 3)2
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a.(3x+1)(2x-5)=0
b.(4x+3)(5x-2)=0
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a. 4 x − 2 = x + 1
b. x + 3 = 3x + 5
Bài 5: Giải các phương trình sau:

c.3-5x=4-(4-3x) d. 6(2-5x)+3=4x-7
c. (5 x − 2)2 − ( x + 1)2 = 0

c.(3-7x)(4+6x)=0 d.(1-3x)(9x+2)=0
c. 2x − 3 = 3x + 8

d. 2 x + 1 = 2 − x


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

b. 2 − 4 x = x + 3

a. x − 5 = 3x + 1

d. 5x − 2 − 3 − x = 0

c. 3x − 5 − 1 − x = 0


Bài 6: Giải các phương trình sau:
a. x2 − x + 1 = 2 − x
b. − x2 + 3x + 2 = − x + 4
d. x + 3 = 3x + 1
c. 2x2 − 3x −1 = − x + 3

c. 3x2 − 5x + 1 = x + 4
c. 2x − 3 − 3x2 − 6x + 1

III.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0
Ví dụ: Giải và biện luận các phương trình sau:
a.(m + 1) x 2 + (m + 3) x + 2 = 0
b.(4m + 1) x 2 − 4(m − 1) x + m = 0
c.(m + 1)2 x 2 − 2(m + 1) x + 1 + m 2 = 0
2.CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI:

a.Phương trình trùng phương:
+ Dạng: ax4 + bx2 + c = 0 ( a  0)
+Cách giải: Đặt t= x 2 (t  0)
Ví dụ1: Giải các phương trình sau:
a.x 4 − 5 x 2 − 6 = 0
b.3x 4 − 7 x 2 + 4 = 0

b. Phương trình dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e trong đó a+b=c+d
* Cách giải: Đặt (x+a)(x+b) = t (*) (đk.......) Ta có phương trình bậc hai ẩn t. giải pt bậc
hai đó tìm t . So sánh đk . thay vào (*) giải tìm x.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a.( x + 1)( x + 6)( x + 5)( x + 2) = 252; b.16( x 2 − 1)( x 2 + 8 x + 15) = 105

c.( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 3; d .( x 2 + 3x − 4)( x 2 + x − 6) = 24

c.Dạng : ( x + a)4 + ( x + b)4 = c
* Cách Giải: Đặt x +

a −b
a+b
a −b
a −b
.Đặt  =
, ta có pt:
=t  x+a =t+
;x+b = t −
2
2
2
2

(t +  ) 4 + (t −  ) 4 = c
 2t 4 + 12 2t 2 + 2 4 − c = 0

Ví dụ 3: giải các phương trình sau:
a.( x + 3)4 + ( x + 5)4 = 2; b.( x − 5) 4 + ( x − 2) 4 = 17; c.( x − 6) 4 + ( x − 8) 4 = 15

d.Phương trình dạng : ax 4 + bx3 + cx 2  bx + a = 0(*)
*Cách giải: + Xét x=0
+ x  0 , chia hai vế của (*) cho x 2 ,ta được pt: a( x 2 +
1
x


Đặt t= ( x  ) ta có phương trình bậc hai ẩn t
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

1
1
) + b( x  ) + c = 0
2
x
x


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

a.x 4 + 2 x3 − 6 x 2 + 2 x + 1 = 0
b.x 4 + 10 x3 + 26 x 2 + 10 x + 1 = 0
c.x 4 − 4 x3 + x 2 + 4 x + 1 = 0

e.Phương trình dạng: a. f ( x) + b f ( x) + c = 0
+ cách giải: Đặt f ( x) = t  (dk :..........)
Ta có phương trình: at 2 + bt + c = 0
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:
a.( x + 1)( x + 4) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6; b.x 2 − 4 x − 2 x 2 − 8 x + 12 − 6 = 0
c.x 2 − x + 9 + x 2 − x + 9 = 12; d .x 2 − 4 x = 3 x 2 − 4 x + 20 − 10
3
e. x − 1 − 5 =
x −1

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai:
1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
 f ( x) = g ( x)

 f ( x) = − g ( x)

Dạng 1: f ( x) = g ( x)  
Ví dụ :Giải các pt sau:

a. x − 3 = 2 x + 5 ; b. 3x −1 = 4 − 2 x ; c. 3x − 2 = 3x + 5 ; d. 2 x − 3 = 4; e. 1 − 4 x = 2
 f ( x) = m
 f ( x) = − m

Dạng 2: f ( x) = m(m  0)  

Dạng 3: f ( x) = g ( x) (1)
Cách 1: bình phương hai vế của pt (1), Ta được pt hệ quả:
(1)  f 2 ( x) = g 2 ( x)  .....  ....  x1 =; x2 = .... Thay x1 ; x2 .... vào pt (1) loại nghiệm không
thoả mãn.
 A, khiA  0
− A, KhiA  0

Cách 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối : A = 
+ Nếu f(x)  0; Ta có pt f(x)=g(x)
+ nếu f(x) < 0; ta có pt -f(x)=g(x)
  g ( x)  0

f ( x) = g ( x)
Cách 3: (1)   
 g ( x)  0

  f ( x) = − g ( x)

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. 2 x − 3 = x − 5; b.2 x + 5 = 3x − 2 ; c. 1 − 3x = 2 − x; d. 3x + 1 = x − 3

2.Phương trình chứa ẩn trong dấu căn:
Dạng 1: f ( x) = m(m  0)(1)
Đkxđ của pt: f ( x)  0
(1)  f ( x) = m2

Ví dụ: Giải các pt sau:
a. 2 x − 3 = 3; b. 3 − 5 x = 4; c. 3 x + 1 = 5; d . 2 − 5 x = 6; e. 1 − 4 x = 3


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

Dạng2:

f ( x) = g ( x)(1); Dkxd : f ( x)  0
 g ( x)  0
(1)  
2
 f ( x) = g ( x)

Cách1:

Cách 2: Bình phương hai vế của pt (1), ta được pt hệ quả: f ( x) = g 2 ( x)
Ví dụ :Giải các phương trình sau:
a. 3x + 1 = 3 − x; b. 2 x − 1 = 2 − x; c. 3 − 2 x = x − 2; d . x + 1 = x − 1; e. 1 − 2 x 2 = x − 1
f . 3 − x = 3x − 5; g. x + 5 = 2 x + 7; h. x − 2 = x − 4
k . x − 4 = 4 − x; l. x 2 − 2 x + 2 = x − 1; m. 4 x 2 − x + 4 = 3x + 2
 f ( x)  0
Dạng 3: f ( x) = g ( x)  

 f ( x) = g ( x)

Ví dụ: Giải các pt sau:
a. 2 x − 3 = 1 − 4 x ; b. 3x − 4 = x + 1; c. x 2 − 4 x − 3 = 2 x + 4; d . x 2 + 2 x = 2 x + 4

IV.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:
a1 x + b1 y = c1
a2 x + b2 y = c2

*.Dạng: 

**. Cách giải: có thể dùng pp thế hoặc cộng đại số hoặc dùng định thức(quy tắc crame):
+Tính : D =

a1 b1
a2 b2

= a 1b2 − a2b1 ; Dx =

c1 b1
c2 b2

= c1b2 − c2b1 ; Dy =

a1 c1
a2 c2

= a1c2 − a2c1

Dx


 x = D
+ Biện luận:-Nếu D  0,hệ có nghịêm duy nhất 
 y = Dy

D
-Nếu D=0 và Dx  0 hoặc Dy  0 thì hệ vơ nghiệm

-Nếu D= Dx = Dy = 0 hệ có vơ số nghiệm thoả mãn pt: a1 x + b1 y = c1
1.Dạng toán 1: giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng quy tắc crame:
Ví dụ 1:giải các hệ phương trình sau:

2 x + 3 y = 5 5 x − 6 y = 4 2 x − 5 y = −7
a. 
b. 
c. 
3x − 4 y = −1 3x + y = 7 4 x + 3 y = −1

2.Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Ví dụ 2: giải và biện luận các hệ phương trình sau:
mx + y = m + 1 mx + 4 y = m + 2  x − my = 0
a. 
b. 
c. 
 x + my = 2
 x + my = m
mx − y = m + 1
mx + 4 y = m + 2
Ví dụ 3 :Cho hệ phương trình: 
 x + my = m


a.tìm m để hệ có nghiệm
b.Tìm m ngun để hệ có nghiệm duy nhất nguyên
x − 2 y = 4 − m
2 x + y = 3m + 3

Ví dụ 4:Cho hệ phương trình: 


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

a.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
b.Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm (x;y) của hệ không phụ thuộc vào m
c.Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: x 2 + y 2 đạt giá trị bé nhất.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
mx + (m − 2) y = 2
(m − 1) x − y = 2m − 2
; b. 
2mx + 3(m − 1) y = 3  x + (m − 1) y = m

a

mx + y = 2m
 x + my = m + 1

Bài 2:Cho hệ : 

a.Giải và biện luận hệ phương trình trên theo m.
b.Khi hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) tìm hệ thức liên hệ giữa x0 , y0 khơng phụ thuộc m

c.khi hệ có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0 ), tìm giá trị nguyên của m sao cho x0 , y0 là những số
nguyên
Bài 3:Tìm m để hệ pt sau có vơ số nghiệm

 mx + y = 3

 4 x + my = 6

Bài 4: Tìm m để hệ pt sau có nghiệm (x;y) nguyên
mx + 2 y = m + 1
mx + y = 3m
; b. 
2 x + my = 2m − 1  x + my = 2m + 1

a. 

Bài 5: Cho hệ pt:
(m + 1) x + my = 2m − 1

a. 

2
mx − y = m − 2

Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) mà tích x.y đạt giá trị lớn nhất.
V.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1.HỆ GỒM 1PT BẬC NHẤT VÀ 1 PT BẬC HAI:
ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey = f (1)
+ Dạng : 
a1 x + b1 y = c1 (2)


+Cách giải: rút 1ẩn từ pt (2) thế vào pt (1)
Ví dụ 1: giải hệ pt sau:
9 x 2 + 4 y 2 = 36
a. 
2 x + y = 5

Ví dụ 2: Giải và biện luận các hệ pt sau theo m:
 x 2 + 4 y 2 = 8 9 x 2 − 16 y 2 = 144
a. 
b. 
x + 2 y = m x − y = m

Ví dụ 3: tìm a để hệ pt sau có nghiệm duy nhất;
 x2 + y 2 = 1

x − y = a
2.HỆ PT ĐỐI XỨNG LOẠI I:

+ ĐN : Hệ hai pt chứa ẩn x,y gọi là đối xứng loại 1 nếu mỗi pt của hệ khơng thay đổi nếu
ta hốn vị xvà y.


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

x + y = S
, ( S 2  4 P)
 xy = P

+ Cách Giải: Đặt : 


biến đổi hệ đã cho về hệ hai ẩn S và P.Giải hệ

này tìm SvàP.
Với mỗi cặp (S;P),( S 2  4 P) , x;y la là nghiệm của pt : X 2 − SX + P = 0
Lưu ý : nếu hệ có nghiệm (x;y) thì cũng có nghiệm (y;x)
Ví dụ 1 : Giải các hệ pt sau:
 x 2 y + xy 2 = 2  x + y + xy = 1
x
+
y
=
4
x
+
xy
+
y
=
11




2
a.  2
;
b
.
;

c
.
;
d
.
x
y
5



2
2
2
 x + xy + y = 13  x y + xy = 30  y + x + 2 = 0  xy ( x + y ) = 5


2

 x2 + y 2 = m
x + y = 6

Ví dụ 2 :Cho hệ pt: 

a.Giải hệ khi m=26
b.Tìm m để hệ vơ nghiệm
c.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
d.Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ : tìm m để hệ pt sau có nghiệm duy nhất :
 x + y + xy = m  xy + x + y = m + 2

a.  2
; b.  2
2
2
x + y = m
 x y + xy = m + 1

Hd: -Điều kiện cần: Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì cũng có nghiệm(b;a),thay vào hệ ,suy ra m
-Điều kiên đủ: thay các giá trị m vừa tìm được vào hệ và thử lại và kết luận.
Ví dụ 3: giải các hệ pt sau:
2 x 2 + 2 y 2 + 3xy + 4 x + 4 y = 15
a.  2
(ds : (3; −5), (−5;3))
2
 x + xy + y = 19
3x 2 + 3 y 2 − 3xy + 2 x + 2 y + 1 = 0
1 2
2 1

b.  2 1
ds : (− ; − ), (− ; − )
2
3 3
3 3
2 x − xy + 2 y − x − y − 2 = 0

2
 x 2 + y 2 + xy − x + y + 15 = 0
c. 
ds : vn(t = − x)

2 x − xy − 2 y − 3 = 0
3x 2 + 3 y 2 − 5 xy − x + y −`1 = 0
1 + 37 −1 + 37 1 − 37 −1 − 37
d.
ds : (
;
), (
;
)(t = − x)
6
6
6
6
3
x

3
y
+
x
y

2
=
0

3. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II

+ĐN: Hệ hai pt ẩn x,y được gọi là đối xứng loại II nếu hốn vị x,y thì pt này biến thành pt
kia của hệ.

+Cách giải: trừ vế với vế của hai pt của hệ ,ta được pt có dạng(x-y)g(x,y)=0
Từ đó ta có hai hệ pt.
Ví dụ 1 : Giải các hệ pt sau;


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

y

x − 3y = 4

 x = y − y  x = 13 x + 4 y 2 x − 3 x = y − 2 
x
a. 
; b.  2
; c.  2
; d. 
2
2
 y = x − x  y = 13 y + 4 x 2 y − 3 y = x − 2  y − 3 x = 4 x
y

2

2

2

2


 x = y 2 − y + m
Ví dụ 2: Cho hệ : 
2
 y = x − x + m

a.Giải hệ khi m=0
b.Tìm m để hệ có nghiệm
c.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.(hệ có nghiệm (a;b)thì cũng có nghiệm (b;a) suy ra
a=b)suy m=1
 x 2 + y = axy
Ví dụ 3 ; Cho hệ :  2
 y + x = axy

Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.ĐS:a=1
2
 x +1 + y − 7 = 4

 x2 − 2 y 2 = 2 x + y 
 x = 3x + 2 y 
Ví dụ 4: Cho hệ  2
; b.  2
;
c
.

2

 y = 3 y + 2x 
 y − 2x = 2 y + x 
 y +1 + x − 7 = 4


Giải các hệ pt trên
 4 x 2 = 5 x + 3my
Ví dụ 5: Cho hệ:  2
 4 y = 5 y + 3mx

a.Giải hệ khi m=1
b.tìm m để hệ có hai nghiệm.
BÀI 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I.DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT : y= ax+b (a  0)
1. Bảng xét dấu:
+ a> 0:
x

-



f(x)
+ a< 0:
x

b
a

-

-

f(x)


0



+

+
+

b
a

+

0

-

2. ỨNG DỤNG:

* xét dấu biểu thức chứa nhị thức bậc nhất :
ví dụ 1: xét dấu các nhị thức sau:
a. f(x)= 2x-5
b.f(x)= -5x-6
c.f(x)= -4x+1
ví dụ 2:xét dấu các biểu thức sau:
a. f(x)= (2x-3)(3x+5)
d.f(x) = ( x 2 − 4)(2 − 3x)


(2 x + 3)(3x − 7)
2 − 5x
(2 x − 5)(1 + 3x)
1
3

g.f(x) =
h. f ( x) =
−x −1
x + 2 2x − 3

b.f(x)= (2-5x)(3x-1)(x+2)
e. f ( x) =

−3x + 5
9 − x2

d.f(x) = 2x+3
c. f(x)=


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

* Giải các bất phương trình
ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau:
a.

1
2
−3

3
 2; b.
 4; c.
 1; d .
 2; e.(2 x − 3)(4 − x)  0; f .(− x + 3)(3x + 5)  0
2x −1
3x + 1
−2 x + 3
−4 x + 1

ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau:
a. 2 x − 3 + x − 2  2 x + 5; b. 3x + 2 + x −1  0; c. −2 x + 5 + 3x −1  0

ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau:
a. 2 x − 3  3
b. 4 − 2 x  5
c. 3x − 2  4; d. 4 x − 3  2 d. 2 x − 3  3x + 2
e. 4 x + 3  5x − 3 ; f 1 − 3x  4 x + 2 ; g. 2 − 3x  3x + 1
ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau:
a 2 x − 3 − 3x + 1  0; b. 2 − 4 x  2 x + 5; c. 4 x −1 + 3x + 5  2; d. 3 − 4 x − 3x + 1  0

ví dụ 7: Giải các bất phương trình sau:
a.

1
2
3
1
−2
1

−1
2

; b.

c.

; d.

x − 2 x + 1 2 x − 1 3x + 2 4 x − 3 3x + 5
x − 3 x +1

II.DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI :
1.đồ thị hàm số y= ax2 + bx + c (a  0) và dấu của f(x)
2. ỨNG DỤNG :
!. xét dấu tam thức bậc hai:
a.f(x)= 2x2 + 3x + 4
b. f(x)= x2 − 3x + 2

!!.giải bất phương trình bậc hai:
ví dụ1 : giải các bất phương trình sau:
a. 2x2 + 3x − 2  0
b. −x2 + 7x − 6  0
d.

3
1
2
x − 4x + 3


e.

x 2 + 3x − 1
1
x2 − 4 x + 3

!!!. xét dấu các biểu thức
ví dụ 2: xét dấu các biểu thức sau:
a.f(x)= ( x 2 − 8 x + 15)( x 2 − 3x − 4)
c. f ( x) =

d.f(x)= 2x2 − 5x − 7

c.f(x)= x2 + 6x + 9

c.- x2 + 12 2 x − 9  0
f.

2 x2 − 5x + 3
0
x 2 + 3x + 2

b.f(x)=( x 2 − 9)(3x 2 − 4 x + 1)

2x − 3
x2 + 4x + 3
;
d
.
f

(
x
)
=
x2 − 5x + 6
2x +1

Ví dụ 3: Giải các hệ bất phương trình sau:
 x 2 − 3 x + 2  0
a.  2
 2 x − 5 x + 3  0

 2 x 2 − 13 x + 18  0
b.  2
3 x − 20 x − 7  0

 x 2 − 6 x + 8  0
c.  2
 x − 5 x + 6  0

 x 2 − 7 x + 12  0
d.  2
 −2 x + 7 x + 5  0


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

*Dạng tốn 1: Tìm giá tri của tham số để tam thức bậc hai giữ nguyên dấu.
pp: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0)
  0

a  0

+ f(x) = ax2 + bx + c > 0 với mọi x  

  0
a  0

+ f(x) = ax2 + bx + c < 0 với mọi x  

  0
a  0

+ f(x) = ax2 + bx + c  0 với mọi x  

  0
a  0

+ f(x) = ax2 + bx + c  0 với mọi x  

Ví dụ 4: tìm m ,để các bất phương trình sau vơ nghiệm:
a. (2m + 3) x 2 − 6mx + 4  0 (vn)

b. (1 − 4m) x 2 + 3(m + 2) x − m  0 ( m 

20 + 2 163
)
7

Ví dụ 5: Tìm m ,để các bất phương trình sau đúng với mọi x:
a. − x 2 + (2m − 1) x + 3  0

b. (m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + 3m − 3  0
Ví dụ 6: Tìm m để các pt sau có nghiệm:
(m + 4) x 2 + 2(m − 2) x + 2m + 1 = 0; b.(2m − 1) x 2 + (3m + 1) x + m − 1 = 0
c.(m2 + 5) x 2 − (m + 4) x + 2 = 0

Ví dụ 7: Tìm m để các biểu thức sau luôn dương :
b. x 2 + (m − 2) x + 2m + 1
c. (2m − 1) x 2 − (m − 3) x − 5
a.x2 + 4x − 3m
Ví dụ 8: Tìm tập xác đinh của các hàm số sau :
a. f ( x) =

2x −1
; b. f ( x) =
x2 − 4

x2 − 5x + 4
; c. f ( x) =
3x − 2

1
2
+
x −1 x + 3

Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho tam thức bậc hai: f(x)=( m + 1) x 2 − 2mx + 4(m + 1)
a.Tìm m để f(x)>0 với mọi x
b. tìm m để f(x)  0 với mọi x

c.tìm m để bất phương trình f(x) >0 vơ nghiệm
d.Tìm m đẻ bất phương trình f(x) < 0 vơ nghiệm
Bài 2:Tìm m sao cho với mọi x,ta có:
a. 5x2 − x + m  0
b. mx2 −10x − 5  0
c. mx2 − 2(m − 1) x + 4m  0
d.( m + 2) x 2 − (3m − 1) x + m − 1  0
Bài 3:Tìm các giá trị của m sao cho phương trình: mx 2 − 2(m − 1) x + m − 3 = 0
a.Có hai nghiệm ttrái dấu.
b.Có hai nghiệm dương.


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

c. Có hai nghiệm âm.
Bài 4: Tìm m sao cho phương trình: x 4 + (1 − 2m) x 2 + a 2 − 1 = 0
a. Vơ nghiệm;
b.có đúng 1 nghiệm
c. Có đúng hai nghiệm
d. Có đúng 3 nghiệm
e. Có đúng 4 nghiệm
Bài 5 : Cho tam thức f(x)= (m+1)x 2 −2mx + 4(m + 1)
a.Tìm m để f(x)>0 với mọi x.
b. Tìm m để f(x)  0 với mọi x.
c.Tìm m để bất pt f(x)>0 vơ nghiệm
d.Tìm m để bất pt f(x) < 0 vô nghiệm.
Bài 6: Tìm m để các biểu thức sau ln dương :
b. x 2 − (m + 2) x + 8m + 1
d. (3m + 1) x 2 − (3m + 1) x + m + 4


a.x2 − 4x + m − 5
c. c.x 2 + 4 x + (m − 1)2

Bài 7: Tìm m để các biểu thức sau ln âm:
a. (m − 4) x 2 + (m + 1) x + 2m − 1
b. (m + 2) x 2 + 5 x − 4
Bài 8: giải các bất phương trình sau:
a.

2x −1 x + 5

x −1 x +1

b.

x2 − x + 2
−3

2
x −4
x−2

c.

x 2 − 3x + 8
1
x2 + x + 1

Dạng tốn 2: Giải bất phương trình chứa căn thức
1. f ( x)  g ( x) (1)


 f ( x)  0

(1)   g ( x)  0
 f ( x)  g 2 ( x)


Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
PHẦNIII: TIẾT14-23 : GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I.Kiến thức cơ bản:
1.các công thức lượng giác cơ bản:
a.sin 2  + cos 2  = 1; b.1 + tan 2  =

1

,   + k , k  Z
2
cos 
2

1

,   k , k  Z ; d .tan  .cot  = 1,   k , k  Z
2
sin 
2
2.Giá trị lượng giác của các cung đối nhau:
a.cos(− ) = cos; b.sin(− ) = − sin ; c.tan(− ) = − tan ; d.cot(− ) = − cot 
3. Gia trị lượng giác của hai cung bù nhau:
a.sin( −  ) = sin ; b.cos( −  ) = − cos ; c.tan( −  ) = − tan ; d.cot( −  ) = − cot 

4. Giá trị lượng giác của các cung hơn kém  :
a.sin( +  ) = − sin ; b.cos( +  ) = − cos ; c.tan( +  ) = tan ; d.cot( +  ) = cot 
c.1 + cot 2  =


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

5.Gia trị lượng giác của các cung phụ nhau:








a.sin( −  ) = cos  ; b.cos( −  ) = sin  ; c.tan( −  ) = cot  ; d .cot( −  ) = tan 
2
2
2
2


:
2




a.sin( + ) = cos  ; b.cos( + ) = − sin  ; c.tan( + ) = − cot  ; d .cot( + ) = − tan 

2
2
2
2

6.Giá trị lượng giác của các cung hơn kém

7.Công thức cộng:
a. cos(a-b)= cosacosb+ sinasinb
c.sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

b.cos(a+b)= cosacosb- sinasinb
d.sin(a+b)= sinacosb+ cosasinb

tan a − tan b
tan a + tan b
f. tan(a + b) =
1 + tan tan b
1 − tan tan b
cot a cot b − 1
cot a cot b + 1
g.cot(a + b) =
; h.cot(a − b) =
cot a + cot b
cot a − cot b

e.tan(a-b)=

8.Cơng thức góc nhân đơi:
cos 2 a − sin 2 a

a.cos 2a = 2cos 2 a − 1
1 − 2sin 2 a

(sin a + cos a)2 − 1
2 tan a
cot 2 a − 1
; b.sin 2a = 2sin a cos a
; c.tan 2a =
; d .cot 2a =
1 − tan 2 a
2cot a
2
1 − (sin a − cos a)

Ta cũng có : a. cos 2a =

1 − tan 2 a
2 tan a
; b.sin 2a =
2
1 + tan a
1 + tan 2 a

9.Công thức biểu diễn theo t=tan
a.sin a =

a
2

2t

1− t2
2t
1− t2
;
b
.cos
a
=
;
c
.tan
a
=
;
d
.cot
a
=
1+ t2
1+ t2
1− t2
2t

10. Công thức nhân ba:
a.sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a; b.cos 3a = 4cos3 a − 3cos a
tan a(3 − tan 2 a)

cot 3 a − 3cot a
(
a

,3
a

+
k

);
d
.cot
3
a
=
1 − 3tan 2 a
2
3cot 2 a − 1
11.Công thức hạ bậc :
1 + cos 2a
1 − cos 2a
1
a.cos 2 a =
; b.sin 2 a =
; c.sin a cos a = sin 2a
2
2
2
1 − cos 2a
− sin 3a + 3sin a
cos 3a + 3cos a
d .tan 2 a =
; e.sin 3 a =

; f .cos3 a =
1 + cos 2a
4
4
12.Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
1
1
a.cos a cos b =  cos( a − b) + cos( a + b)  ; b.sin a sin b = cos( a − b) − cos( a + b) 
2
2
1
1
c.sin a cos b = sin(a − b) + sin(a + b)  ; d .cos a sin b = [sin( a + b) − sin( a − b)]
2
2
*Đặc biệt:
c.tan 3a =


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12














a.4 cos x cos( − x) cos( + x) = cos 3 x; b.4 cos x.cos( − x) cos( + x) = cos 3 x
3
3
3
3
c.4 tan x.tan( − x).tan( + x) = tan 3x
3
3
13.Công thức biến đổi tổng thành tích :
a+b
a −b
a+b
a −b
a.cos a + cos b = 2 cos
cos
; b.cos a − cos b = −2sin
sin
2
2
2
2
a+b
a −b
a+b
a −b
c.sin a + sin b = 2sin
cos

; d .sin a − sin b = 2 cos
sin
2
2
2
2
sin(a  b)

sin(a + b)
sin(b − a)
e.tan a  tan b =
(a, b  + k );; f .cot a + cot b =
(a, b  k ); g.cot a − cot b =
cos a cos b
2
sin a sin b
sin a sin b
2
cos(a + b)
h.tan a + cot a =
; k.cot a − tan b =
; l.cot a − tan a = 2cot 2a
sin 2a
sin a cos b

Đặc biệt : y = A sin x + B cos x = A2 + B 2 sin( x +  ) ( y= A2 + B 2 cos(a −  ))
A
B
Trong đó: cos  = 2 2 ;sin  = 2 2 ( A2 + B 2  0;0    2 )
A +B

A +B





*sin x + cos x = 2 sin( x + ) = 2cos( x − )
4
4





*sin x − cos x = 2 sin( x − ) = − 2 cos( x + )
4
4





*cos a − sin a = 2 sin( − a) = 2 cos( + a)
4
4
14.bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt


a 2
- 900

hslg

-

sina
-1
cosa
0


3
- 600

-



3
2

1
2


4
- 450

-

2

2
2
2

tana
kxđ
cota
0

− 3
1

3

-1
-1


6
−300
1
2

-

3
2
1

3

− 3

0
00

0

1
0
kxđ


6
300
1
2


4
450


3
600

2
2

3
2


3
2
1
3

2
2

3

1
2


2
900

2
3
1200

3
4
1350

1

3
2


2
2



0

1

3

1

1
3

1
2

kxđ − 3
0



1
3




2
2

-1
-1

5
6
1500
1
2

3
2
1

3



1800

0

-1
0

− 3

kxđ

Ví dụ 1: Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích để tính :
1
− 4 Sin700 ( DS = 2)
0
sin10
b.cos140 + cos1340 + cos1060 ( DS = 0)
a.

Ví dụ 2: CMR:


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

a.sin 200 + 2sin 400 − sin1000 = sin 400
b.

sin(450 + a) − cos(450 + a)
= tan a
sin(450 + a) + cos(450 + a)

c.sin 2000 sin 3100 _ cos 3400 cos 500 =

3
2

Ví dụ 3: biến đổi thành tích:
a.A=sina+sinb+ sin(a+b)
b.B= cosa+cosb+cos(a+b)+1
c.C=1+sina+sinb
d.D=sin3a=sin3a+sin 5a+sin7a

II. Các dạng bài tập cơ bản:
1.sử dụng các công thức lượng giác cơ bản :
Bài 1 : Tính các giá trị lượng giác của cung  biết :


3
2
3

và     b. b.cos  = − ,     ; c.tan  = −3,     ; d .cot  = −2, 0    2
2
4
3
2
2
k
sin 

,k Z :
= cos  − cos3  ; b.sin 4 a = cos 4 a − 2cos 2 a + 1
2
tan

+
cot

Bài 2: CMR: a.với
a.sin  =

c.tan 2 a.sin 2 a = tan 2 a − sin 2 a; d . sin 4 a + 4cos 2 a + cos 4 a + 4sin 2 a = 3


Bài 3: Cho cosa - sin a = 0,2. Tính giá trị của biểu thức A = cos3 a − sin3 a ( A=0,296)
4
3
a. A = sin a cos a; b.B = sin 3 a + cos3 a; c.C = sin a − cos a

Bài 4:cho sina+ cosa= .Tính gia trị các biểu thức sau :

Bài 5:CMR: a.sin 4 a − cos4 a = 2sin 2 a − 1; b.sin 4 a + cos4 a = 1 − 2sin 2 a cos 2 a; c.

1 + cos a
sin a
=
sin a
1 − cos a

2. Sử dụng hệ thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt :
Bài 1 : CMR:
3
3
− a ) = − cos a; b.cos( − a) = − sin a
2
2
3

sin( − a ) cot( + a)
2
2
c.
.

= − sin a
tan( + a ) tan( a − 3 )
2
a.sin(

Bài 2 : Tính giá trị của biểu thức : A= tan1200 + cot1350 + sin3150 − 2cos 2100

5
1 + sin( − a) + cos( + a)
4
4
( B = 1)
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: B=
2 
2 
sin ( − a) + sin ( + a)
4
4

3. sử dụng công thức cộng :
Bài 1 : CMR : A =

sin(a − b) sin(b − c)
sin(c − a)
+
+
=0
cos a.cos b cos b.cos c cos c.c os a

( A= −


2+ 2
)
2


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12



Bài 2 : Tính : sin(2a − );cos(2a +
6

4 
2
) Biết : sin a = ;  a  
5 2
3



3
và  a   . tính tan(a+ )
3
2
5
4 0
8
b.Biết : sin a = (0  a  900 ),sin b = (900  b  1800 ) . Tính: cos(a+b) và sin(a-b)
5

17
1
1
c. cho hai góc nhọn a và b với tana= ; tan b = .Tính a+b
2
3

Bài 3: a.Biết sin a=



d.Biết tan(a+ ) = m, m  −1 .Tính tana
4

4. Sử dụng các cơng thức nhân đơi và công thức hạ bậc :
Bài 1 : CMR:
1
3
3
5
a.cos 4 a + sin 4 a = cos 4a + ; b.cos6 a + sin 6 a = cos 4a +
4
4
8
8

Bài 2 : Tính :
a. A = sin




16

.cos


16

.cos


8

; b.B = sin100 sin 500 sin 700

1
8

Bài 3: CMR: sinxcosxcos2xcos4x= cos8 x
áp dụng tính giá trị của :
a. A = sin 60 sin 420 sin 660 sin 780 ; b.B = cos

Bài 4: CMR:
a.cot a + tan a =


7

cos


3
5
cos
7
7

2
sin 2a
1 − cos 2a
; b.cot a − tan a = 2cot 2a; c.
= tan a; d .
= tan 2 a
sin 2a
1 + cos 2a
1 + cos 2a

Bài 5: tính:

11
5


5
7
11
11

cos
( A = sin 2 ); b.B = sin sin
sin

sin
(sin
= cos ....)
12
12
12
24
24
24
24
24
24
1
c.C = cos100 cos500 cos 700 ; d .D = cos 200 cos 400 cos800 ( D = )
8
tan 2a
Bài 6: Rút gọn : a.
; b. 1 + sin a − 1 − sin a
tan 4a − tan 2a
a. A = sin

Bài 7: Chừng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào a:
a. A = 2(sin 6 a + coa 6 a) − 3(sin 4 a + cos 4 a)
b.B = 4(sin 4 a + cos 4 a) − cos 4a
c.C = 8(cos8 a − sin 8 a) − cos 6a − 7 cos 2a

5. Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng :
Bài 1: cho A =cos(a+b) sin(a-b)+cos(b+c) sin(b-c)+ cos(c+d) sin(c-d)+cos(d+a)sin(d-a).
CMR : A= 0
Bài 2: CMR: sin 200.sin 400 sin 800 =


3
8

6. Sử dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích :
Bài 1; Cho tam giác ABC . CMR:
a.sin A + sin B + sin C = 4cos

A
B
C
cos cos ; b.cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 − 2cos A cos B cos C
2
2
2


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

A
2

B
2

C
2

c.cosA+ cosB+cosC=1+ 4 sin sin sin ; d .sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4sin A sin B sin C
Bài 2: Cho tam giác ABC .CMR:

A
B
B
C
C
A
sin 2 A(sin 2 B + sin 2C )
tan + tan tan + tan tan = 1; b.sin 3 A cos( B − C ) =
2
2
2
2
2
2
2

5
7
Bài 3: CMR: cos + cos + cos = 0
9
9
9
2

4
6
1
Bài 4: Tính A= cos + cos + cos ( HD : nhân hai vế với sin )( A = − )
7
7

7
7
2
a.tan

ÔN TẬP HÈ : MƠN HÌNH HỌC
BÀI 1: TIẾT:1
VÉC TƠ
I.Véc tơ và các phép toán trên véc tơ:
1. phép cộng véc tơ: AB + BC = AC

2. Hiệu của hai véc tơ: OB − OA = AB
3. Tích véc tơ véctơ một số:
+Cho a và b(b  0) khi đó a , b cùng phương khi và chỉ khi : có một số k sao cho: a = kb
+ Ba điểm A,B ,C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để : AB = k AC
4.trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:
+ Nếu I là trung điểm của AB thì với mọi M,ta có: MA + MB = 2MI
+ Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm M, ta có: MA + MB + MC = 3MG
II. Hệ trục toạ độ:
1.Hệ trục toạ độ và toạ độ của véc tơ:
a. Hệ trục toạ độ:
b.toạ độ của véc tơ: Trong mặt phẳng Oxy,cho véctơ U ,khi đó ta nói:
U = ( x; y )  U = xi + y j

 x = x,
Lưu ý: cho U ( x; y );V ( x ; y ) thì: U = V  
,
 y = y
,


,

c.Toạ độ của một điểm: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M. ta nói M (x;y) hay
M=(x;y)  OM = xi + y j
d. Lien hệ giữa toạ độ của véc tơ và toạ độ của điểm trong mặt phẳng;
Cho A( xA ; yA ); B( xB ; yB ) .Ta có: AB = ( xB − xA ; yB − yA )
2.Toạ độ của các véc tơ u + v; u − v; ku
3.Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng , toạ độ trọng tâm của tam giác :
x A + xB

 xM = 2
+ Gọi M là trungđiểm của đoạn thẳng AB, ta có: 
 y = y A + yB
 M
2


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

x A + xB + xC

 xG =
3
+Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, Ta có: 
y
+
y
+ yC
B
y = A

 G
3

III.các dạng bài tập áp dụng:
1.Tìm toạ độ của điểm
Ví dụ1: cho tam giác ABC. b Biết các trung điểm của BC, CA, AB lần lượt là M(1;2);N(1;1) và P( 3:4)
Ví dụ 2:cho hình bình hành ABCD .Biết A(3;2) , B(-11;0) C(5;4). tìm toạ độ điểm D
Ví dụ 3: cho ba điểm A(1;4) B(-2;2) và C(4;0)
a. Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b.Tính toạ độ của véctơ AM với M là trung điểm của BC
c.Tính toạ độ của trọng tâm G của tam giác ABC
Ví dụ 4: cho véctơ a = (2m + 1;3m − 2); b = (2;1)
a.tìm m để hai véctơ trên cùng phương
b.Tìm toạ độ của véctơ có độ dài bằng 1 vàcùng phương với b
Ví dụ 5: cho hai điểm A(-2;1) và B(-4;5)
a.Tìm điểm M trên trục Ox sao cho A,B,M thẳng hàng
b.Tìm N trên trục Ox sao cho ABNO là hình thang cạnh đáy AO;
c.Tìm giao điểm I của hai đường chéo của hình thang.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Cho tam giác ABC, biết A(2;-2) ,B(10;-6), C nằm trên Oy, trọng tâm G nằm trên
trục Ox.Tìm toạ độ của C và G
Bài 2 :a. Cho A(-1;8), B(1;6) và C(3;4) CMR A,B,C thẳng hàng
b. Cho A(1;1) , B(3;2) và C (m+4;2m+1) . tìm m để A,B ,C thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giác ABC .Các điểm M(1;1) N(2;3) ,P(0;-4) lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC , CA;AB. Tính toạ đọ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ ,cho ba điểm A(-3;4) , B(1;1) ,C(9;-5)
a.CMR A,B ,C thẳng hàng
b.Tìm toạ độ điểm D sao cho a là trung điểm của BD
c.Tìm toạ độ điểm E trên Ox sao cho A ,B ,E thẳng hàng.
Bài 5: TRong mặt phẳng cho các điểm A(1;2) ,B(4;0) C(m;m-2)

a.Tìm m để C nằm trên trục hồnh , trục tung
b.Tìm toạ độ điểm D để tứ giác OADB là hình bình hành
c.Tìm m để tứ giác OACB là hình thang.


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

Bài 6 : Trong mặt phẳng toạ độ , cho ba điểm A(-1;3) ; B(4;2) ; C(3;5)
a. CMR : A, B ,C khơng thẳng hàng
b. Tìm toạ độ điểm D sao cho AD = −3BC
c.Tìm toạ độ điểm E sao cho O là trọng tâm tam giác ABE

BÀI 2: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG
I Kiến thức cơ bản:
1.Định nghĩa: a.b = a . b .cos(a; b)
2. Công thức về toạ độ :
Cho vectơ a( x1; y1 ); b( x2 ; y2 ) , khi đó ta có: a.b = x1.x2 + y1. y2
3.Độ dài véctơ ,góc giữa hai vectơ;
Cho hai vectơ; a( x1; y1 ); b( x2 ; y2 ) ,khi đó ta có:
a. a = x12 + y12

b. cos(a; b) =

a.b
a.b

=

x1 x2 + y1 y2
x + y12 . x22 + y22

2
1

c. a ⊥ b  a.b = 0  x1x2 + y1 y2 = 0
d.cho A( xA ; y A ); B( xB ; yB )  AB( xB − xA ; yB − y A )  AB = ( xB − xA ) 2 + ( yB − y A ) 2
II. Các dạng bài tập cơ bản:
Bài 1: Cho tam giác ABC,với A(10;5);B(-1;-1);C(6;0).CMR tam giác ABC vuông tại B
3
2

Bài 2:Trong mặt phẳng toạ độ , cho tam giác ABC,có A(4;6),B(1;4),C(7: ) .
a.CMR;tam giác ABC vng tại A.
b.Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
Bài 3: Tính góc giữa hai vectơ a , b trong các trường hợp sau:
a.a (1; −2); b( −1; −3)
b.a (3; −4); b(4;3)
c.a (2;5); b(3; −7)

Bài 3: Cho hai điểm A(2;4) và B(1;1).Tìm toạ độ điểm C,sao cho tam giác ABCvuông cân
tại B (C(4;0) và C(-2;2) )
Bài 4: Cho hai điểm A(5;4) ,B(3;-2).một điểm M di động trên Ox,tìm giá trị nhỏ nhất của :


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

A= MA + MB .
Bài 5: Cho tam giác ABC, có A(-4;1), B(2;4),C(2;-2).
a. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.(C=6(1+ 5 );S=18)
b.Tìm toạ độ trọng tâm G,trực tâm H,và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Từ
1

2

1
4

đó suy ra GH = −2GI (H( ;1 );I(- ;1)
Bài 6:Cho tam giác ABC,có A(5;3),B(2;-1),C(-1;5).
a. Tính toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
b.Tính toạ độ chân đường cao hạ từ A.
Bài 7: Cho hai điểm A(1;2),B(6;3).Tìm toạ độ điểm C nằm trên Ox sao cho tam giác ABC
vuông tại C.
Bài 8:Cho ba điểm A(1;-3),B(0;2),C(4;5).Xác định toạ độ ba điểm E,F,G,biết rằng:
a.CE = 3 AB − 4 AC
b. AF + 2 BF − 4CF = 0

Bài 9:Cho ba điểm A(1;2),B(4;6),C(9;8).xác định toạ độ chân đường phân giác trongcủa
góc BAC ( D(

17 20
; ) )
3 3

Bài 10: cho tam giác ABC,có A(-3;6),B(1;-2),C(6;3)xác định toạ độ tâm I của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. ĐS:I(1;3)
Bài 11: Biết A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vng ABCD .Tìm toạ độ các đỉnh C

BÀI 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
I.Kiến thức cơ bản:
1. định lí cơsin: trong tam giác ABC, ta có :
+ a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A

+b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
+c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
b2 + c 2 − a 2
a.cos A =
2bc
2
a + c2 − b2
Hệ quả: b.cos B =
2ac
2
a + b2 − c 2
c.cos C =
2ab

2. Định lí sin:Trong tam giác ABC, ta có:

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

3.Công thức trung tuyến :
b2 + c2 a 2
a.m =

2
4

2
2
a + c b2
b.mb2 =

2
4
2
2
a + b c2
c.mc2 =

2
4
2
a


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

1
1
1
aha = bhb = chc
2
2
2
1
1
1

b.S = bc sin A = ac sin B = ab sin C
2
2
2
abc
4.Cơng thức tính diện tích tamgiác : c.S =
4R
d .S = pr
a.S =

e.S =

p ( p − a )( p − b)( p − c)

II.Các Dạng tốn cơ bản:
Dạng tốn 1: Tính một số yếu tố trong tam giác theo một số yếu tố cho trước .
pp:+ sử dụng trực tiếp định lí sin và định lí cơsin
+ sử dụng các hệ thức khác .
3
5

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC,có b=7cm,c=5cmvà cosA= .
a.Tính a,sinA và diện tích S của tam giác ABC.
b. Tính đường cao ha xuất phát từ đỉnh A và bán kính R của đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABC
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC,có BC=40cm,CA=13cm,AB=37cm.Tính góc nhỏ nhất của
tam giác
Ví dụ 3:Cho tam giác ABC,biết A=60 0 , b=8cm,c=5cm. Tính đường cao ha ,bán kính R của
đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC,có AB=5cm,BC=7cm,CA=8cm.Tính AB. AC và góc A

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC biết a=21cm,b=17cm,c=10cm
a.Tính diệnn tích tam giác và chiều cao ha .
b.tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
c.Tính độ dài đường trung tuyến ma
Dạng tốn 2: chứng minh các hệ thức về mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.
pp: dùng các hệ thức cơ bản đã học để biến đổi .
Ví dụ 1: cho tam giác ABC.gọi G là trọng tâm tam giác CMR:
1
GA2 + GB 2 + GC 2 = (a 2 + b 2 + c 2 )
3

Ví dụ 2:trong tam giác ABC.CMR: a=bcosC+ccosB
Ví dụ 3: trong tam giác ABC, có BC=a,CA=b,AB=c và đường trung tuyến AM=c. CMR:
a.a 2 = 2(b2 − c 2 )
b.sin 2 A = 2(sin 2 B − sin 2 C )

Dạng toán 3: Giải tam giác:
*giả thiết bài tốn có thể cho:
+Biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó (g,c,g);
+ Biết một góc và hai cạnh kề vế nó (c,g,c);
+ biết ba cạnh (c,c,c)
pp:Để tìm các yếu tố còn lại tra sử dụng các định lí sin,cosin, định lí về tổng ba góc trong
tam giác .có thể sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông.


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

Ví dụ 1; Giải tam giác ABC, biết :
a.c = 35cm, A = 400 , C = 1200 ; b.a = 7cm, b = 23cm, C = 1300 ; c.a = 14cm, b = 18cm, c = 20cm


Bài tập tương tự :
Bài1: cho tam giác ABC,có B 600 , C = 450 và BC=a.
a.Tính độ dài hai cạnh AB và AC
b.CMR: cos 750 =

6− 2
4

Bài 2: Cho tam giác ABC,có c=35,b=20, A = 600
a. Tính chiều cao h a .
b.Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác.
c.Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác .
Bài 3: CMR trong tam giác ABC,ta có : cot A + cot B + cot C =

a 2 + b2 + c2
R
abc

Bài 4: CMR trong tam giác ABC, ta có :
a.b2 − c 2 = a(b cos C − c cos B); b.(b 2 − c 2 ) cos A = a(c cos C − b cos B; c.sin C = sin A cos B + sin B cos A

Bài 5:Tam giác ABC,có BC=12,CA=13,trung tuyến AM=8.
a.Tính diện tích tam giác ABC.
b.Tính góc B
Bài 6: Giải tam giác ABC, biết :
a.a=6,3;b=6,3; C = 540 .
b.c=14; A = 600 ; B = 400 .
c.a=6;b=7,3;c=4,8.

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA

ĐƯỜNG THẲNG
A.Kiến thức cơ bản :
I.Phương trình tham số của đường thẳng :
1Cho đường thẳng d có véctơ chỉ phương U (u1; u2 ) ;đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) .Khi đó pt tham số
 x = x0 + u1t
(t  R)
 y = y0 + u2t

của đường thẳng d là: 

+Nếu d có véctơ chỉ phương là U (u1; u2 ) ,thì có hệ số góc là k=

u2
.pt đường thẳng qua
u1

M 0 ( x0 ; y0 ) ,có hệ số góc k là: y − y0 = k ( x − x0 )

+ Nếu k là hệ số góc của d thì một véctơ chỉ phương của d là U (1; k )
2.Ví dụ:
ví dụ1; viết pt tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a.d qua A(-2;3) có véctơ chỉ phương U (3; −2)
b. d qua hai điểm M(1;-3) và N(-2;5)
c. d qua B(3;-2) có hệ số góc k=2


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

II.phương trình tổng quát của đường thẳng:
1. Cho đường thẳng d có véctơ pháp tuyến n( A; B ) và đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) .Khi đó

phương trình tổng qt của đường thẳng d có dạng: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 ,hay Ax+By
+C=0(với C= −( Ax0 + By0 ) )
+nếu d có véctơ pháp tuyến là n( A; B)  vtcp : u ( B; − A)(u (− B; A))
2.Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng ;
1 : A1 x + B1 y + C1 = 0
 2 ; A2 x + B2 y + C2 = 0

Khi đó để xét vị trí tương đối của 1 ,  2 .ta xét hệ:

 A1 x + B1 y + C1 = 0
(I)

 A2 x + B2 y + C2 = 0
+Nếu hệ (I) vn thì 1 song song với  2

+ Nếu hệ (I) có 1 nghiệm thì 1 cắt  2
+ Nếu hệ (I) có vơ số nghiệm thì 1 trùng  2
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a.d1 : 2 x + 3 y + 1 = 0; d 2 : 4 x − 3 y − 7 = 0

b.d3 : 4 x − 2 y + 3 = 0; d 4 : 6 x − 3 y − 2 = 0
c.d5 : 2 x − 3 y + 4 − 0; d6 : 4 x − 6 y + 8 = 0
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng 1 : 3x − 4 y + 1 = 0;  2 : 4 x + 3 y − 7 = 0

a.Tìm giao điểm của hai đường thẳng trên.
b.tính góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 .
3.Góc giữa hai đường thẳng:
cho hai đường thẳng 1 ;  2 lần lượt có véctơ pháp t uyến là: n1 (A1; B1 ); n2 (A2 ; B2 ) thì:
cos(1;  2 ) = cos(n1; n2 ) =


n1.n2
n1 . n2

=

A1. A2 + B1.B2
A12 + B12 . A22 + B22

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
+khoảng cách từ M 0 ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  : Ax+By +C=0 là:d( M 0 ; ) =

Ax0 + By0 + C
A2 + B 2

+đường thẳng  chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa có bờ là đường thẳng  , ta ln có:
*Một nửa mf chứa các điểm M 1 ( x1 ; y1 ) ,thoã mãn: (M1 ) = Ax1 + By1 + C  0
* Một nửa mf chứa các điểm M 2 ( x2 ; y2 ) ,thoả mãn: (M 2 ) = Ax2 + By2 + C < 0
Ví dụ 1: viết pt tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a.d qua A(3;4) có véctơ pt là n(5; −2)
b.d qua B(-2;5) có véctơ chỉ phương là u (4; −3)
Ví dụ 2: cho tam giác ABC có A(3;-1),B(6;2) C(1;4).
a. Viết pttq của các cạnh của tam giác ABC.
b.Viết phương trình tổng quát của các đường cao của tam giác
c.Viết pt các đường trung tuyến của tam giác ABC.


Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12

ví dụ 3: a.tính khoảng cách từ A(3;5) đến đường thẳng a:3x+4y+1=0

b.Tính khoảng cách từ B(2;4) đến đường thẳng b: 4x-3y+2=0
Ví dụ 4: Cho đường thẳng d:x-y+2=0 và hai điểm O(0;0), A(2;0) .
a.Chứng tỏ rằng Avà O nằm cùng một phía so với d.
b.Tìm điểm O, đối xứng với O qua d.
c.Tìm điểm M trên d sao cho độ dài của đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất .
B.các dạng bài tập cơ bản :
1. lập pt của đường thẳng:
bài 1: Cho tam giác ABC,có A(3;2),B(1;1),C(-1;4).Viết pt tổng quát của :
a.đường cao AH và đường thẳng BC.
b.Đường trung trực của AB.
c.đường trung bình ứng với AB.
d.Đường phân giác trong của góc A.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD,biết pt cạnh AB là: 2x-y+5=0,đường thẳng AD qua gốc
toạ độ O và tâm hình chữ nhật là I(4;5).Viết pt các cạnh cịn lại.
Bài 3: Cho đường thẳng d: 3x-4y-12=0.
a. tính diện tích tam giác mà d hợp với hai trục toạ độ ;
b.viết pt đường thẳng d , đối xứng với d qua Ox;
c. Viết pt đường thẳng d ,, đối xứng với d qua điểm I(-1;1).
Bài 4: Cho tam giác ABC,có A(1;2),B(3;-4),C(0;6).viết pt tham số và tổng quát của các
đường thẳng sau:
a.đường thẳng BC;
b.đường cao BH;
đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và song song với đường thẳng d:3x-7y=0.
2.Tìm điểm trên đường thẳng thỗ mãn điều kiện cho trước :
 x = 2 + 2t
y = 3+t

Bài 1: cho đường thẳng d; có pt: 

a. Tìm điểm M trên d và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.

b.Tìm toạ độ giao điểm của d và đường thẳng a: x+y+1=0.
c.Tìm điểm M trên d sao cho AM ngắn nhất .
Bài 2: a. Tìm trên trục hồnh điểm cách đường thẳng d: 2x+y-7=0 một khoảng là 2 5 .
b.Tìm trên đường thẳng a: x+y+5 =0 điểm cách đường thẳngb: 3x-4y+4=0 một khoảng là
2
Bài 3: Cho hình vng ABCD,có pt các cạnh AB: 3x-2y-1=0 ;CD:3x-2y-5=0 và tâm I
thuộc đường thẳng x+y-1=0.
a.Tìm toạ độ điểm I.
b. Viết pt cạnh AD và BC.
Bài 4: Viết pt đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:


×