SKKN Phát triển năng lực học sinh thông qua thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu (DFS) và tìm kiếm theo chiều rộng (BFS)

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH THƠNG QUA THUẬT TỐN TÌM KIẾM
THEO CHIỀU SÂU (DFS) VÀ TÌM KIẾM THEO CHIỀU RỘNG (BFS)

A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Đổi mới phương pháp dạy học là một nhiệm vụ quan trọng của ngành giáo dục
nhằm nâng cao chất lượng đào tạo, góp phần thực hiện cơng nghiệp hố hiện đại
hóa đất nước.
Lý thuyết đồ thị (trong Tin học) là một chuyên ngành quan trọng đã được ứng
dụng vào nhiều ngành khoa học, kỹ thuật khác nhau vì lý thuyết đồ thị là phương
pháp khoa học có tính khái qt cao, có tính ổn định vững chắc để mã hóa các mối
quan hệ của các đối tượng được nghiên cứu.
Vận dụng lý thuyết đồ thị trong dạy học sinh để mơ hình hóa các mối quan hệ
chuyển thành phương pháp dạy học đặc thù sẽ nâng cao được hiệu quả dạy học
thúc đẩy quá trình tự học tự nghiên cứu của học sinh theo hướng tối ưu hóa đặc
biệt nhằm rèn luyện năng lực hệ thống hóa kiến thức và năng lực sáng tạo của học
sinh. Việc cung cấp thêm một phương pháp giải bài tập cho học sinh Tin học 11
tham gia học lập trình là một nhu cầu cần thiết. Xuất phát từ những lý do trên tôi
lựa chọn đề tài: “Phát triển năng lực học sinh thông qua thuật tốn tìm kiếm
theo chiều sâu (DFS) và tìm kiếm theo chiều rộng (BFS)”.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài.
- Mục tiêu của đề tài: Chỉ ra hướng vận dụng DFS và BFS trong lý thuyết đồ thị
vào giải các bài tốn và tìm ra các biện pháp để giúp học sinh trung học phổ thơng
hình thành và phát triển năng lực vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải bài tập lập
trình.
- Nhiệm vụ của đề tài:
- Tìm hiểu những nội dung cơ bản của lý thuyết đồ thị được trang bị cho học
sinh Tin học.
- Chỉ ra hệ thống bài tập có thể vận dụng lý thuyết đồ thị để giải.
- Chỉ ra được những dấu hiệu cụ thể để nhận dạng “Bài tốn” có thể khai thác lý
thuyết đồ thị trong q trình giải bài tốn.

- Chỉ ra các phương án vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán.
1


+ Tiếp cận chương trình mới mơn Tin học 2018 phần đồ thị có trong mạch kiến
thức CS
3. Giả thuyết khoa học.
Nếu ta có các phương pháp giúp học sinh Tin học 11 vận dụng kiến thức về lý
thuyết đồ thị vào giải các bài tốn thì sẽ giúp học sinh giải quyết được một số lớp
bài tốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học cũng như phát triển được năng lực
của học sinh.
4. Phương pháp nghiên cứu.
a. Nghiên cứu lý luận.
- Nghiên cứu các văn bản, tài liệu chỉ đạo của Bộ GD & ĐT liên quan đến đổi mới
phương pháp dạy học, đổi mới ra đề kiểm tra, danh mục thiết bị dạy học Tin học.
- SGK, phân phối chương trình, sách giáo viên, chuẩn của bộ môn Tin ở trung học
phổ thông, sách nâng cao, sách chuyên đề.
- Các tài liệu về lý thuyết đồ thị và những ứng dụng của nó trong thực tiễn cuộc
sống và trong dạy học.
- Các cơng trình nghiên cứu các vấn đề liên quan trực tiếp đến phương pháp đồ thị.
b. Thực nghiệm sư phạm.
- Chỉ ra cho học sinh các dấu hiệu "nhận dạng" và cách thức vận dụng lý thuyết đồ
thị vào giải bài tập.
- Biên soạn hệ thống bài tập luyện tập cho học sinh và một số đề bài kiểm tra để
đánh giá khả năng vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải các bài toán.
- Tiến hành thực nghiệm và đánh giá kết quả thực nghiệm.

2

B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ.
1. Đồ thị và tầm quan trọng.
Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực nghiên cứu đã có từ lâu và có nhiều ứng dụng
hiện đại. Các bài tốn đặt ra nếu được đưa về lý thuyết đồ thị để giải sẽ tiết kiệm
được rất nhiều thời gian, ý tưởng thuật tốn sẽ rõ ràng, chương trình ngắn gọn và
dễ hiểu. Nếu hiểu và biết vận dụng tốt lý thuyết đồ thị sẽ giúp chúng ta giải quyết
được rất nhiều bài toán đặt ra trong thực tế (xem ở phần giải quyết vấn đề). Khoa
học và kỹ thuật phát triển làm xuất hiện hàng loạt bài toán trong thực tiển được quy
về mơ hình đồ thị.
1.1. Định nghĩa đồ thị: Cho tập hợp X khác rỗng, E là tập hợp các cặp phần tử
của X được sắp xếp thứ tự hoặc không sắp thứ tự. Cặp (X, E) được gọi là một đồ
thị. Kí hiệu đồ thị là G = (X, E) hoặc đơi khi nếu khơng gây nhầm lẫn kí hiệu tắt là
G.
1.2. Một số khái nhiệm.
- Các phần tử thuộc tập X gọi là đỉnh của đồ thị G.
- Cho 2 đỉnh x1, x2X, nếu e = (x1,x2)E là cặp sắp thứ tự thì e được gọi là một
cung của đồ thị, hoặc nếu e là cặp không sắp thứ tự thì e được gọi là một cạnh của
đồ thị.
- e = (x1,x2) là cung thì x1 là đỉnh đầu của cung, x2 là đỉnh cuối của cung e.
- e = (x1,x2) là cạnh thì x1 và x2 là 2 đỉnh kề của cạnh e hoặc 2 đỉnh thuộc cạnh e.
- Hai đỉnh x1 và x2 (x1 ≠ x2) của đồ thị được gọi là 2 đỉnh kề nhau nếu chúng là 2
đầu của một cạnh hoặc một cung.
- Hai cạnh a, b (hoặc 2 cung a, b) gọi là 2 cạnh kề nhau (hoặc 2 cung kề nhau)
nếu chúng có một đỉnh chung.
- Khuyên là cạnh (hoặc cung) có 2 đầu trùng nhau.
- Đỉnh treo là đỉnh thuộc duy nhất một cạnh hoặc cung.
- Đỉnh cô lập là đỉnh không thuộc cạnh hoặc cung nào.

3

1.3. Phân loại đồ thị.
Cho đồ thị G = (X, E), nếu E chỉ gồm các cạnh thì G là đồ thị vơ hương. Nếu E
chỉ gồm các cung thì đồ thị G là đồ thị có hướng. Nếu E gồm cả cạnh và cung thì
G là đồ thị hỗn hợp.
Đa đồ thị: Đồ thị G = (X,E) vô hướng (hoặc có hướng) là đa đồ thị khi và chỉ khi
nó là đồ thị khơng khun và có ít nhất một cặp đỉnh được nối với nhau bằng ít
nhất 2 cạnh (hoặc 2 cung nối theo thứ tự của cặp đỉnh).
Đơn đồ thị: Đồ thị G = (X,E) vô hướng (hoặc có hướng) là đơn đồ thị khi và chỉ
khi nó là đồ thị khơng khun và mỗi cặp đỉnh được nối với nhau không quá một
cạnh (hoặc cung).
2. Biểu diễn đồ thị.
Biểu diễn đồ thị trên máy tính theo cấu trúc nào thì sẽ có giải thuật theo cấu trúc
đó. Với học sinh Tin học 11, biểu diễn bằng ma trận (mảng 2 chiều) là dễ hiểu và
phù hợp nhất. Cách khai thác trên mảng 2 chiều đã được học sinh làm nhiều ở
SGK Tin học 11.
Các cách biểu diễn đồ thị:
2.1. Biểu diễn bằng hình học.
Minh họa cách biểu diễn
`

Đ.Nai

Thanh Hố

An Giang

Hà Tây
TP. HCM

Long An
Hà Nội
Nam Định

Khánh Hồ
Huế

Hình 1: Đơn đồ thị, vô hướng

4


`
2

2

4

1

4

1

6
3

3

5

5

Hình 3: Đa đồ thị, có hướng

Hình 2: Đa đồ thị, vô hướng

2.2. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận liên thuộc (Ma trận kề).
Giả sử đồ thị G = (X, E) có tập đỉnh X = (x1,x2, x3,…,xn), tập cạnh (hoặc cung)
là E. Ta xây dựng ma trận vuông A cấp n sao cho  i,j, 1i,jn có:
1

2

3

Ma trận A là ma trận liên thuộc (ma trận kề)
Nhận xét : Nếu G là độ thị vơ hướng thì

4

Ma trận A sẽ đối xứng qua đường chéo chính,

5
Hình 4: Đồ thị và ma trận kề

Aij = Aji  i,j, 1i,jn.
2.3. Biểu diễn bằng ma trận trọng số.
Trong nhiều bài toán về đồ thị, mỗi cạnh (hoặc cung) e = (xi, xj) của đồ thị

thường được gắn với một số c (e) gọi là trọng số của cạnh (hoặc cung) e. Khi đó
thường xây dựng ma trận vng cấp n là ma trận C có mỗi phần tử C[i,j] = c(e) nếu
tồn tại cạnh (hoặc cung) e = (xi, xj), ngược lại khi khơng có cạnh nối xi với xj thì
C[i,j] =  (kí hiệu  là giá trị khơng xác định). Trong nhiều trường hợp, ngậm
định C[i,i] = 0 với mọi đỉnh i trong đồ thị khơng khun.
3. Tìm kiếm trên đồ thị và tìm thành phần liên thơng trên đồ thị.
Hiểu được bản chất của các phép tìm kiếm và tìm thành phần liên thơng trên đồ
thị chúng ta có thể giải quyết được rất nhiều các dạng bài toán đặt ra (thể hiện ở

5


phần áp dụng). Qua tìm kiếm trên đồ thị chúng ta có thể kết hợp tính tốn, thống
kê, sắp xếp và tổng hợp được các kết quả.
3.1. Một số khái niệm.
Định nghĩa 1: Đường đi có độ dài k (k nguyên dương) từ đỉnh u tới đỉnh v trên
đồ thị vô hướng G = (V, E) là dãy các đỉnh u = x0, x1, x2, x3,…, xk = v mà các cạnh
(xi, xi+1)E, i=0,1,2,…,k-1. Đường đi này cịn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các
cạnh: (x0,x1), (x1,x2),….,(xk-1,xk). Đỉnh u gọi là đỉnh đầu (xuất phát), đỉnh v gọi là
đỉnh cuối (đỉnh đích) của đường đi. Đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối gọi
là một chu trình.
Đường đi hay chu trình được gọi là đơn nếu khơng có cạnh nào bị lặp lại.
Đường đi hay chu trình được gọi là cơ bản nếu khơng có đỉnh nào bị lặp lại (trừ
trường hợp trong chu trình thì đỉnh đầu trùng đỉnh cuối là được lặp lại)
Định nghĩa 2: Đường đi có độ dài k (k nguyên dương) từ đỉnh u tới đỉnh v trên
đồ thị có hướng G = (V, E) là dãy các đỉnh u = x0, x1, x2, x3,…, xk = v mà các cung
(xi, xi+1)E, i = 0,1,2,…,k-1. Đường đi này cịn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các
cung: (x0,x1), (x1,x2),….,(xk-1,xk). Đỉnh u gọi là đỉnh đầu (xuất phát), đỉnh v gọi là
đỉnh cuối (đỉnh đích) của đường đi. Đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối gọi
là một chu trình (mạch vịng).

Đường đi hay chu trình được gọi là đơn nếu khơng có cung nào bị lặp lại.
Đường đi hay chu trình được gọi là cơ bản nếu khơng có đỉnh nào bị lặp lại (trừ
trường hợp trong chu trình thì đỉnh đầu trùng đỉnh cuối là được lặp lại)
Định nghĩa 3: Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là liên thơng nếu ln tìm
được đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ của nó.
Định nghĩa 4: Cho đồ thị vơ hướng G = (V, E) và đồ thị con của G là đồ thị G‟
= (V‟, E‟). Đồ thị G‟ được gọi là một vùng liên thông (hoặc thành phần liên
thông) của G nếu:
+ G‟ liên thông;
+ Không tồn tại đường đi nào từ một đỉnh thuộc G‟ tới 1 đỉnh khơng thuộc G‟
(nói cách khác là bảo đảm tính tối đại của liên thông trong G‟).
6


Ví dụ: Trong hình 5 xét 2 đồ thị G và H: G chỉ có 1 vùng liên thơng duy nhất,
H có 3 vùng liên thơng là H1, H2, H3.

H2
G
H1

H

H3

Hình 5: G liên thông, H gồm 3 vùng liên thông

Định nghĩa 5: Đỉnh v được gọi là đỉnh khớp (đỉnh rẻ nhánh) của đồ thị vô
hướng G = (V, E) nếu khi loại bỏ đỉnh v và các cạnh liên thuộc với nó thì số thành
phần liên thơng của G tăng thêm.

Cạnh e  E được gọi là cầu nếu loại bỏ nó khỏi đồ thị G thì số thành phần liên
thơng của G tăng thêm 1 đơn vị.
3.2. Tìm kiếm trên đồ thị.
Tìm kiếm trên đồ thị là duyệt (thăm) tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh đúng 1
lần.
Rất nhiều thuật toán được xây dựng dựa trên cơ sở duyệt tất cả các đỉnh của đồ
thị sao cho mỗi đỉnh của nó được viếng thăm đúng 1 lần. Vì vậy, việc xây dựng
những thuật tốn cho phép duyệt một cách hệ thống tất cả các đỉnh của đồ thị là
một vấn đề quan trọng. Các thuật toán này giữ một vai trò quan trọng trong việc
thiết kế các thuật tốn trên đồ thị.
Trên đồ thị có 2 thuật tốn tìm kiếm cơ bản:
- Thuật tốn tìm kiếm theo chiều sâu (DFS.)
- Thuật tốn tìm kiếm theo chiều rộng (BFS).
3.3. Tìm đường đi và kiểm tra tính liên thơng.
Tìm đường đi và kiểm tra tính liên thơng là một hình thức ứng dụng các thuật
tốn tìm kiếm trên đồ thị. Đường đi tìm được theo thuật tốn tìm kiếm theo chiều
rộng là đường đi ngắn nhất (theo số cạnh) từ đỉnh s đến đỉnh t.

7


4. Đường đi ngắn nhất trên đồ thị.
Trong các ứng dụng thực tế. Bài tốn tìm đường đi ngắn nhất giữa 2 đỉnh của
một đồ thị liên thơng có một ý nghĩa to lớn. Có thể dẫn về bài tốn như vậy nhiều
bài tốn thực tế quan trọng. Ví dụ, Bài tốn chọn một hành trình tiết kiệm nhất
(theo tiêu chuẩn khoảng cách hoặc thời gian hoặc chi phí) trên một mạng giao
thông đường bộ, đường thủy hoặc đường không; bài toán chọn một phương pháp
tiết kiệm để đưa một hệ động lực từ trạng thái xuất phát đến trạng thái đích, bài
tốn lập lịch thi cơng các cơng đoạn trong một cơng trình thi cơng lớn,…
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.

1. Thuận lợi.
Lý thuyết đồ thị có thể giải quyết được nhiều bài toán đặt ra trong thực tế
phù hợp với đối tượng học sinh giỏi Tin học 11, đặc biệt là những bài toán thể hiện
quan hệ nhị phân giữa các đối tượng rời rạc.
Vận dụng lý thuyết đồ thị giúp học sinh có thêm một luồng kiến thức mới để làm
giàu hơn tư duy thuật toán của mình.
Có khá nhiều tài liệu giới thiệu về các vấn đề liên quan đến lý thuyết đồ thị
như: sách cấu trúc dữ liệu và giải thuật, Sách Toán rời rạc,…và các tài liệu trên
mạng Internet.
Giáo viên và học sinh phát huy được tính năng động trong q trình dạy học đạt kết quả cao hơn.
Một số kiến thức dễ sử dụng và hiệu quả cao. Ví dụ: phép tìm kiếm và kiểm
tra vùng liên thơng trên đồ thị.
2. Khó khăn.
- Trong việc nắm bắt và hiểu được các khái niệm cơ bản liên quan đến lý thuyết đồ
thị.
- Lý thuyết đồ thị rất rộng và nhiều phần kiến thức khó nên khơng thể truyền tải
hết tới học sinh và khó để đưa vào hết trong đề tài.
- Đưa ra các giải thuật bằng ngôn ngữ Pascal và C++ để minh hoạ các kiến thức
đưa ra ở phần cơ sở lý luận.
8


- Đưa ra hệ thống các dạng bài tập có thể giải quyết hiệu quả bằng lý thuyết đồ thị
và cách giải các bài tập đó.
- Để khắc phục được một phần khó khăn nêu trên, trong đề tài tơi chỉ đề cập đến
những phần quan trọng của lý thuyết đồ thị có ứng dụng nhiều trong thực tế và phù
hợp với học sinh THPT, đặc biệt là học sinh Tin học 11.

9

III. HAI THUẬT TOÁN VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. Tìm kiếm theo chiều rộng.
Ý tưởng: Đỉnh xuất phát v ở đây cũng được thăm đầu tiên nhưng có khác
với DFS ở chổ là: Sau đó các đỉnh chưa được thăm mà là lân cận của v sẽ được
thăm kế tiếp theo nhau, rồi mới đến các đỉnh chưa được thăm là lân cận lần lượt
của các đỉnh này và cứ tương tự như vậy.
Ví dụ: Thứ tự đi trong hình 6:
Bắt đầu từ 1 => 2 => 7 => 8 => hết node ngang.
Tiếp tục 2 => 3 => 6 hết node ngang.
Bắt đầu 7 => khơng có node ngang.
Tiếp tục 8=>9 => 12 hết node ngang
Bắt đầu 3 => 4 => 5 => hết node
ngang
Tiếp tục 6 => khơng có node ngang
Bắt đầu 9 => 10=> 11 hết node ngang
Tiếp tục 12 => khơng có node ngang
Bắt đầu 4 => hết node
Tiếp tục 5 => hết node
Bắt đầu 10 => hết node
Tiếp tục 11 => hết node

Hình 6

Mơ hình thuật tốn tìm kiếm theo chiều rộng
+) Ngơn ngữ Pascal
Procedure BFS(v); {Tìm kiếm theo chiều rộng bắt đầu từ đỉnh v}
Begin
Queue:=;
Queue <= v; {nạp đỉnh v vào Queue}

Chuaxet[v] :=false ;
While Queue <>  do
10


Begin
u<= Queue; {Lấy đỉnh p từ Queue ra}
Thăm_đỉnh(u);
For y Ke(u) do
If chuaxet[y] then
Begin
Queue <= y; {nạp đỉnh v vào Queue}
Chuaxet[y]:=false;
End;
End;
End;
BEGIN
For v V do Chuaxet[v]:=true; {Khởi tạo}
For v V do
If Chuaxet[v] then BFS(v);
END.
+) Ngôn ngữ C++
Free[u]=true; //với mọi u=1...n
Queue ban đầu rỗng.
Push(s); // Đẩy đỉnh đầu tiên vào queue
Free[s]=false; // đánh dấu đỉnh s
while (not empty())
{
u = pop(); // lấy từ queue đỉnh u
for (v=1; v<=n; v++)

if ((tồn tại cạnh u,v) và Free[v]==true)
{
11


Free[v]=false; // đánh dấu đỉnh v
Push(v); // đẩy đỉnh v vào queue
}
}
Bài tập cơ sở số 1: Viết chương trình ghi ra thứ tự duyệt DFS xuất phát từ đỉnh s.
Đồ thị gồm n đỉnh, m cạnh 2 chiều, các thành phần trên đồ thị liên thông với nhau.
Dữ liệu vào:
Dòng đầu: gồm 3 số nguyên n, m, s (1<=n, m<=100, 1<=s<=n)
M dòng tiếp theo: mỗi dòng gồm 2 số u, v, mô tả 1 cạnh trong đồ thị
Dữ liệu ra:
Gồm nhiều dịng, là thứ tự duyệt DFS
Ví dụ:
Input
771
12
13
15
26
24
37
56

Output
1
2

3
5
4
6
7

+) Ngơn ngữ Pascal
Const maxn = 101;
Var a : array [1..maxn,1..maxn] of boolean;
free : array [1..maxn] of boolean;
Q : array [1..maxn] of integer;
n, m, s: integer;
dau, cuoi : integer;
Procedure init;
Begin
fillchar(a,sizeof(a),false);
fillchar(Free,sizeof(Free),true);
dau:=1; cuoi:=0;
end;
Procedure readf;
Var
i, u, v : integer;
12


Begin
readln(n,m,s);
for i := 1 to m do
begin
readln(u,v);

A[u,v] := true;
A[v,u] := true;
end;
end;
Procedure Push(u:integer);
begin
inc(cuoi);
Q[cuoi] := u;
end;
Function Pop : integer;
Begin
Pop := Q[dau];
inc(dau);
end;
Procedure BFS(i : integer);
Var u, v : integer;
Begin
Push(i);
Free[i] := false;
While dau<=cuoi do
begin
u := Pop;
writeln(u);
For v := 1 to n do
If A[u,v] and Free[v] then
begin
Push(v);
Free[v] := false;
end;
end;

end;
Procedure main;
Var
i : integer;
Begin
13


init;
readf;
BFS(s);
end;
BEGIN
main;
END.
+) Ngôn ngữ C++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[101][101];
queue <int> q;
int n,m,Free[101], u,v,s;
void BFS(int s)
{
q.push(s);
Free[s]=0;
while (!q.empty())
{
int u = q.front();
q.pop();
cout << u << endl;

for (int v=1; v<=n; v++)
if (Free[v] && a[u][v]==1)
{
Free[v] = 0;
q.push(v);
}
}
}
int main()
{
cin >> n >> m>> s;
for (int i=1; i<=n; i++)
for (int j=1; j<=n; j++)
a[i][j]=0;
14


for (int i=1; i<=m; i++)
{
cin >> u>> v;
a[u][v]=1;
a[v][u]=1;
}
for (int i=1; i<=n; i++)
Free[i]=1;
BFS(s);
return 0;
}

15

2. Tìm kiếm theo chiều sâu
Ý tưởng: Đỉnh xuất phát v được thăm. Tiếp theo đó, một đỉnh y chưa được
thăm, mà là lân cận của v, sẽ được chọn và một phép tìm kiếm theo chiều sâu xuất
phát từ y lại được thực hiện. Khi một đỉnh u đã được “với tới” mà mọi đỉnh lân cận
của nó đều đã được thăm rồi, thì ta sẽ quay ngược lên đỉnh cuối cùng vừa được
thăm, (mà cịn có đỉnh y lân cận với nó chưa được thăm), và một phép tìm kiếm
theo chiều sâu xuất phát từ y lại được thực hiện. Phép tìm kiếm sẽ kết thúc khi
khơng cịn một nút nào chưa được thăm mà vẫn có thể với tới được từ một nút đã
được thăm.

Hình 7

Ví dụ thứ tự đi trong hình7.
Bắt đầu từ 1 => 2 => 3 => 4 => hết đường đi
Quay lại 3 => 5 => hết đường đi
Tiếp tục từ 3 quay lại 2 => 6 => hết đường đi
Quay lại 2 => quay lại 1 => 7

=> hết đường đi

Tiếp tục từ 1 => 8 => 9=> 10 => hết đường đi
Quay lại 9 => 11 => hết đường đi
Tiếp tục 9=> quay lại 8 => 12 => hết đường đi
Quay lại 8 => quay lại 1 => hết đường => KẾT THÚC.

16

Mơ hình thuật tốn tìm kiếm theo chiều sâu:
+) Ngơn ngữ Pascal
Procedure DFS(v); {tìm theo chiều sâu bắt đầu từ đỉnh v, các biến Chuaxet,
ke là cục bộ}
Begin
Thăm đỉnh (v);
Chuaxet[v]:=false;
For mỗi đỉnh y Ke( v) do
If chuaxet[y] then DFS();
End;
Khi đó, tìm kiếm theo chiều sâu trên đồ thị được thực hiện nhờ thuật toán
sau:
BEGIN
For vV do Chuaxet[v]:=true;
For vV do if Chuaxet[v] then DFS(v);
END.
+) Ngôn ngữ C++
void dfs(int u)
{
free[u] = false; // đánh dấu đỉnh u đã được thăm
for (int v=1; v<=n; v++)
if ((tồn tại cạnh u, v) và (free[u][v] == true)) // tồn tại đỉnh kề với u, chưa
được thăm
dfs(v); //duyệt đỉnh v
}

17


Bài tập cơ sở số 2: Viết chương trình ghi ra thứ tự duyệt DFS xuất phát từ đỉnh s.

Đồ thị gồm n đỉnh, m cạnh 2 chiều, các thành phần trên đồ thị liên thơng với nhau.
Dữ liệu vào:


Dịng đầu: gồm 3 số nguyên n, m, s (1<= n, m <=100, 1<= s <=n)



M dòng tiếp theo: mỗi dòng gồm 2 số u, v, mô tả 1 cạnh trong đồ thị

Dữ liệu ra:


Gồm nhiều dòng, là thứ tự duyệt DFS

Ví dụ:
Input

Output

771
12

1

13

2

15

4

26

6

24

5

37

3

56

7

+) Ngơn ngữ Pascal
Const maxn = 101;
Var a : array [1..maxn,1..maxn] of boolean;
free : array [1..maxn] of boolean;
Q : array [1..maxn] of integer;
n, m, s: integer;
dau, cuoi : integer;
Procedure init;
Begin
fillchar(a,sizeof(a),false);
fillchar(Free,sizeof(Free),true);

end;
Procedure readf;
Var
i, u, v : integer;
Begin
readln(n,m,s);
18


for i := 1 to m do
begin
readln(u,v);
A[u,v] := true;
A[v,u] := true;
end;
end;
Procedure DFS(u : integer);
Var v : integer;
Begin
writeln(u);
Free[u] := false;
For v := 1 to n do
If A[u,v] and Free[v] then
dfs(v);
end;
Procedure main;
Var
i : integer;
Begin
init;

readf;
DFS(s);
end;
BEGIN
main;
END.
+) Ngôn ngữ C++
Const maxn = 101;
Var a : array [1..maxn,1..maxn] of boolean;
free : array [1..maxn] of boolean;
Q : array [1..maxn] of integer;
n, m, s: integer;
dau, cuoi : integer;
Procedure init;
Begin
fillchar(a,sizeof(a),false);
fillchar(Free,sizeof(Free),true);
end;
19


Procedure readf;
Var
i, u, v : integer;
Begin
readln(n,m,s);
for i := 1 to m do
begin
readln(u,v);
A[u,v] := true;

A[v,u] := true;
end;
end;
Procedure DFS(u : integer);
Var v : integer;
Begin
writeln(u);
Free[u] := false;
For v := 1 to n do
If A[u,v] and Free[v] then
dfs(v);
end;
Procedure main;
Var
i : integer;
Begin
init;
readf;
DFS(s);
end;
BEGIN
main;
END.
Bài tập cơ sở số 3: Tìm thành phần liên thơng của đồ thị
Cho một đồ thị G = (V,E). Hãy cho biết số thành phần liên thông của đồ thị
và mỗi thành phần liên thông gồm những đỉnh nào.
Gợi ý làm bài: Điều kiện liên thông của đồ thị thường là một yêu cầu tất
yếu trong nhiều ứng dụng, chẳng hạn một mạng giao thơng hay mạng thơng tin nếu
khơng liên thơng thì xem như bị hỏng, cần sửa chữa. Vì thế, việc kiểm tra một đồ
thị có liên thơng hay khơng là một thao tác cần thiết trong nhiều ứng dụng khác

20


nhau của đồ thị. Dưới đây ta xét một tình huống đơn giản (nhưng cũng là cơ bản)
là xác định tính liên thơng của một đồ thị vơ hướng với nội dung cụ thể như sau:
“cho trước một đồ thị vơ hướng, hỏi rằng nó có liên thơng hay khơng?”.
Để trả lời bài toán, xuất phát từ một đỉnh tùy ý, ta bắt đầu thao tác tìm kiếm
từ đỉnh này (có thể chọn một trong hai thuật tốn tìm kiếm đã nêu). Khi kết thúc
tìm kiếm, xảy ra hai tình huống: nếu tất cả các đỉnh của đồ thị đều được thăm thì
đồ thị đã cho là liên thơng, nếu có một đỉnh nào đó khơng được thăm thì đồ thị đã
cho là không liên thông. Như vậy, câu trả lời của bài toán xem như một hệ quả trực
tiếp của thao tác tìm kiếm. Để kiểm tra xem có phải tất cả các đỉnh của đồ thị có
được thăm hay không, ta chỉ cần thêm một thao tác nhỏ trong q trình tìm kiếm,
đó là dùng một biến đếm để đếm số đỉnh được thăm. Khi kết thúc tìm kiếm, câu trả
lời của bài toán sẽ phụ thuộc vào việc so sánh giá trị của biến đếm này với số đỉnh
của đồ thị: nếu giá trị biến đếm bằng số đỉnh thì đồ thị là liên thơng, nếu trái lại thì
đồ thị là khơng liên thơng. Trong trường hợp đồ thị là khơng liên thơng, kết quả
tìm kiếm sẽ xác định một thành phần liên thông chứa đỉnh xuất phát. Bằng cách lặp
lại thao tác tìm kiếm với đỉnh xuất phát khác, khơng thuộc thành phần liên thơng
vừa tìm, ta nhận được thành phần liên thông thứ hai, ..., cứ như vậy ta giải quyết
được bài toán tổng quát hơn là xác định các thành phần liên thông của một đồ thị
vô hướng bất kỳ.
Như ta đã biết, các thủ tục DFS(u) và BFS(u) cho phép viếng thăm tất cả các
đỉnh có cùng thành phần liên thơng với u nên số thành phần liên thơng của đồ thị
chính là số lần gọi thủ tục trên. Ta sẽ dùng thêm biến đếm “dem” để đếm số thành
phần liên thơng.
Và vịng lặp chính trong các thủ tục tìm kiếm theo chiều sâu hay chiều rộng
chỉ cần sửa lại như sau:
Procedure Inkq;
Begin

Fillchar(cx,sizeof(cx),false);
dem:=0;
21


For u thuộc V do
If not cx[u] then
Begin
Inc(dem); DFS(u); (*BFS(u)*)
End;
End;
Thủ tục DFS(u) hoặc BFS(u) sẽ làm công việc đánh số thành phần liên thơng của
đỉnh u:
Bài tốn: Viết chương trình tìm các thành phần liên thơng của đồ thị. Đồ thị gồm n
đỉnh, m cạnh.
Dữ liệu vào:
Cho tệp LIENTHONG.INP dòng đầu: gồm 2 số nguyên n, m(1 <= n, m<= 1000 )
M dòng tiếp theo: mỗi dòng gồm 2 số u, v, mô tả 1 cạnh trong đồ thị
Dữ liệu ra:
Ghi ra tệp LIENTHONG.OUT gồm:
Thứ tự các đỉnh của mỗi thành phần liên thơng trên mỗi dịng
Đếm số thành phần liên thơng của đồ thị. Ví dụ:
Input

Output

79

Thanh phan lien thong thu 1: 1 2 3 4 5 6 7

12

Thanh phan lien thong thu 2: 8 9

23

So luong thanh phan lien thong: 2

24
45
16
67
89

+) Ngôn ngữ Pascal
const fi = 'LIENTHONG.INP';
fo = 'LIENTHONG.OUT';
MAXN = 10000;
22


var f: text;
n: integer;
a: array [1..MAXN, 1..MAXN] of integer;
cx: array [1..MAXN] of boolean;
procedure Nhap;
var i, u,v: integer;
begin
assign(f, fi); reset(f);
readln(f, n);

for i:= 1 to n do
begin
readln(f,u,v);
a[u,v]=1;
a[v,u]=1;
end;
close(f);
end;
procedure Init;
var i: integer;
begin
for i := 1 to n do cx[i]:= true;
end;
procedure DFS(u: integer);
var v: integer;
begin
for v:= 1 to n do
if a[u, v] = 1 then
if cx[v] = true then
begin
cx[v]:= false;
write(f, ' ', v);
DFS(v);
end;
end;
procedure InKQ;
var u, dem: integer;
begin
assign(f, fo); rewrite(f);
dem := 0;

for u:= 1 to n do
23


if cx[u] = true then
begin
inc(dem);
cx[u]:= false;
write(f, 'Thanh phan lien thong thu ', dem, ': ');
write(f, u);
DFS(u);
writeln(f);
end;
writeln(f, 'So luong thanh phan lien thong la: ', dem);
close(f);
end;
BEGIN
Nhap;
Init;
InKQ;
END.
+) Ngôn ngữ C++
#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;
const string fi = "LIENTHONG.INP";
const string fo = "LIENTHONG.OUT";
const int MAXN = 10000;
fstream f;
int n;

int a[MAXN][MAXN];
bool cx[MAXN];
void Nhap()
{
int i,u,v;
f.open(fi,ios::in);
f >> n>>m;
for (i=1; i<=m; i++)
{f >> u>>v;
a[u,v]=1;
a[v,u]=1;
}
f.close();
}
void Init()
24


{
int i;
for (i=1; i<=n; i++) cx[i] = true;
}
void DFS(int u)
{
int v;
for (v=1; v<=n; v++)
if (a[u][v] == 1)
if (cx[v] == true)
{
cx[v] = false;

f << " " << v;
DFS(v);
}
}
void InKQ()
{
int u, dem;
f.open(fo, ios::out);
dem = 0;
for (u=1; u<=n; u++)
if (cx[u] == true)
{
dem++;
cx[u] = false;
f << "Thanh phan lien thong thu " << dem << ": " << u;
DFS(u);
f << endl;
}
f << "So luong thanh phan lien thong la: " << dem;
f.close();
}
int main()
{
Nhap();
Init();
InKQ();
}

25