SKKN Phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua hoạt động hình thành, phát triển các bài toán hàm ẩn từ những bài toán gốc

T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ANH SƠN 1

===***===

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đê tài “Phát triển tư duy, năng lực học sinh thơng
qua hoạt động hình thành, phát triển các bài toán hàm ẩn
từ những bài toán gốc”

1


MỤC LỤC
Phần 1. Đặt vấn đề

Trang 2

1.1 Lí do chọn đề tài

Trang 2

1.2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Trang 2

1.3 Mục đích sáng kiến

Trang 2

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trang 2

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Trang 3

1.6 Những đóng góp của đề tài

Trang 3

Phần 2. Nội dung đề tài

Trang 4

2.1 Cơ sở lí luận của đề tài

Trang 4

2.2 Cơ sở thực tiễn

Trang 5

2.3 Gải pháp phát triển tư duy, năng lực học sinh

Trang 5

2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc

Trang 5

2.3.2 Thiết kế các hoạt động định hướng phát triển
a) Xây dựng các bài toán đơn điệu dựa trên bài toán gốc

Trang 5

b) Xây dựng các bài toán cực trị dựa trên bài toán gốc

Trang 12

c) Xây dựng các bài toán tương giao dựa trên bài toán gốc.

Trang 18

2.3.3. Tổ chức thực hiện đề tài

Trang 25

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trang 27

2.4.1. Đánh giá phẩm chất năng lực

Trang 27

2.4.2. Khả năng ứng dụng, triển khai sáng kiến kinh nghiệm

Trang 29

PHẦN III. Kết luận và kiến nghị

Trang 30

Tài liệu tham khảo

Trang 31

Phụ lục

Trang 32

Trang 5

2


3


PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lí do chọn đề tài
Đối với mỗi giáo viên chúng ta, giảng dạy luôn luôn đặt mục tiêu nâng cao chất
lượng giáo dục , năng lực, tri thức, nhận thức của học sinh. Đặt mục tiêu làm sao để
tri thức, trí thức của học sinh được rèn luyện, mài dũa, một cách tốt nhất. Tôi nhận
thấy rằng rèn luyện tư duy, kĩ năng giải toán, làm việc sáng tạo là một việc cần thiết,
quan trọng để đáp ứng nhu cầu của học sinh và cũng là trách nhiệm của mỗi người
giáo viên khi giảng dạy.

Qua các kì thi THPT quốc gia và các đề thi thử trong các năm gần đây xuất hiện
khá nhiều bài toán yêu cầu học sinh biết liên hệ nhiều kiến thức, có những bài tốn
địi hỏi tư duy, khả năng liên hệ, kết hợp các kiến thưc, năng lực ở mức độ cao. Một
trong các bài tốn đó có khá nhiều bài liên quan đên các hàm hợp. Đây là phần bài
tốn trong các đề thi có đầy đủ các mức độ từ nhận biết, thông hiểu vận dụng thấp,vận
dụng cao; có khá nhiều vấn đề liên quan như đạo hàm của hàm số, bài tốn tính đơn
điệu, cực trị của hàm số, cũng như bài toán tương giao, hay là các bài tốn về phương
trình, phương trình chứa tham số, bài toán về đường tiệm cận, nguyên hàm, …
Từ những vấn đề đã nêu trên, tôi thật sự trăn trở làm sao để cỏ thể giúp học sinh
giải quyết được các bài tốn này một cách nhanh và chính xác; rèn luyện tư duy, nâng
cao năng lực cho học sinh, tôi đã liên hệ các kiến thức và mạnh dạn đưa ra sáng kiến
kinh nghiệm
‘’ Phát triển tư duy, năng lực học sinh thơng qua hoạt động hình thành, phát
triển các bài toán hàm ẩn từ những bài toán gốc’’.
1.2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 12, học sinh ôn thi THPT
- Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT.
1.3. Mục đích của sáng kiến
Trên các nghiên cứu về lý thuyết và thực tiễn, tôi đề xuất một số cách khai thác
và phát triển các dạng bài tập toán từ một số bài toán gốc, nhằm góp phần đổi mới
phương pháp dạy học, nâng cao kiến thức năng lực của học sinh.
1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lí thuyết và ứng dụng đạo hàm của hàm số.
Nghiên cứu phương pháp dạy học thich hợp: Hoạt động nhóm, dạy học dự án.
Xây dựng các tiêu chí, cơng cụ đánh giá kiến thức, phẩm chất năng lực học sinh.
Thực nghiệm sư phạm của để đánh giá hiệu quả của đề tài và có những điều
chỉnh, kiến nghị đề xuất phù hợp.
1.5. Phương pháp nghiên cứu
4

Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
Phương pháp thống kê.
Phương pháp tham vấn.
Phương pháp tổ chức hoạt động nhóm.
1.6. Những đóng góp của đề tài
Lựa chọn và nghiên cứu được cơ sở lí luân, cơ sở thực tiễn của hoạt động sáng
tạo khám phá bài toán mới.
Rèn luyện các phẩm chất trung thực trách nhiệm chăm chỉ, các năng lực tự chủ,
tự lực, tự học, giao tiếp hợp tác, giải quyết vấn đề sáng tạo, năng lực ngôn ngữ.
Rút ra được một số kinh nghiệm dạy học, phát huy tính tự giác, sáng tạo, tạo
hứng thú trong học tập cho học sinh.

5


PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Hầu hết các giáo viên chúng ta khi giảng dạy cứ quan niệm nhẹ nhàng miễn sao
học sinh cỏ thể làm ra kết quả, đáp án đúng mà lãng quên bản chất, nguyên nhân xuất
phát của bài tốn từ đâu, vì thế đánh mất sự kết hợp liên quan giữa các yếu tố, kiến
thức, nhất là với hiện tại bây giờ các đề thi chủ yếu đánh giá năng lực bằng hình thức
trắc nghiệm. Nếu chúng ta chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản cho học sinh mà bỏ qua
hoạt động rèn luyện tư duy,kết hợp kiến thức, liên hệ và phát triển thì khơng những
bản thân chúng ta sẽ bị mai một kiến thức , mà các em học sinh sẽ bị động trước một
vấn đề tưởng chừng như mới mẻ của toán học, khả năng suy luận, tư duy sáng tạo của
học sinh sẽ bị hạn chế.
2.1 Cơ sở lí luận của đề tài
2.1.1. Lí thuyết cần tìm hiểu :
- Hàm số hợp và đạo hàm của hàm số hợp
- Các ứng dụng của đạo hàm:

+) Tính đơn điệu hàm số.
+) Cực rị hàm số.
+) Tương giao giữa đồ thị các hàm số
2.1.2. Nghiên cứu phương pháp phát triển bài toán mới liên quan
Các định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc
Bài toán gốc: Cho hàm số
y  f ( x ).

Tính đơn điêu hàm

Cực trị hàm số

số g ( x)  f (u ( x))

g ( x)  f (u ( x))

Tương giao: Nghiệm
phương trình
f (u ( x))  0

Ơ đây chúng ta xây dựng các u ( x), là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là căn
thức chứa x, logarit, mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác.
2.2. Cơ sở thực tiễn
Thực trạng của việc tổ chức dạy học chủ đề gắn với việc giáo dục ý thức trách
nhiệm của học sinh.

6


Hứng thú học tập của học sinh trong việc tự tìm hiểu, sáng tạo, khám phá các bài

tập mới.
2.3. Giải pháp phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua hoạt động hình
thành, phát triển các bài tốn hàm ẩn từ những bài toán gốc.
2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc về hàm số
u ( x),
Ơ đây chúng ta xây
đa thức
Bàidựng
toáncác
gốc: Cholàhàm
số ẩn x, hoặc các biểu thức là căn
y  f ( x ).

Cực trị hàm số
Tính đơn điêu
Tương giao: Nghiệm
( x)  f (u ( x))
f (u ( x))  0
hàmchứa x, logarit,
số mũ chứagx,
trình cũng
thức
hoặc là một biểu thức phương
lượng giác,
cỏ thể là biểu
g ( x)chứa
 f (utham
( x)) ( số m.
thức

u (x),Thiết
là đakếthức,
2.3.2
các hoạt động định hướng phát triển các bài toán xuất phát từ bài
toán gốc
+) Định hướng phát triển bài toán đơn điệu.
+) Định hướng phát triển bài toán cực trị.
+) Định hướng phát triển bài toán tương giao
a) Xây dựng các bài toán đơn điệu dựa trên bài toán gốc

Bài toán gốc 1. Cho hàm số y  2 x  1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; �).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (�;0).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; �).
( Câu 21 mã đề 104 đề thi THPTQG năm 2017)
Lời giải
2

Tập xác định �
Ta có

y' 

2x
2x2  1

0� x0

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; �).

Chọn đáp án B.
7


Ta có thể đánh giá bài tốn trên ở mức vận dụng thấp, để nhằm giải quyết những
bài toán dạng này thì học sinh chỉ cần nắm vững đạo hàm của hàm hợp, đồng thời
nắm vững cách xét dấu y ' là làm được. Đặt vấn đề phát triển bài toán tương tự,
chúng ta cỏ thể định hướng cho học sinh thay biểu thức trong căn bậc hai bằng
2
những đa thức bậc nhất, bậc hai, bậc ba khác. Chẳng hạn thay 2 x  1, bởi các biểu

thức như 2 x  1, 2 x  1, 1  x , 3x  2, 4  x , x  3x ,  x  4 x,...
Với biểu thức bậc nhất khi thay vào bài toán gốc ta được lớp bài tốn ở mức độ
thơng hiểu, ví dụ như bài sau.
2

2

2

3

2

3

Bài 1. Cho hàm số y  2 x  1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên đạn

�.

1
( ; �).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng 2
1
( ; �).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

�.

Giải
1
[ ; �).
Tập xác định 2

Ta có

y'

1
1
� y'  0
x   .
2x 1
2
với
1
( ; �).

2

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

Đáp án B.
Với biểu thức bậc hai, bậc ba khi thay vào bài toán gốc ta được lớp bài toán ở
mức độ nhận biết tương đương bài toán gốc.
2
Bài 2. Cho hàm số y  1  x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên đạn [0;1].
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;0).
Giải
8


Tập xác định [1;1].
Ta có

y'

x
1  x2

� y' 0

khi 0  x  1 và y '  0 khi 1  x  0

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

(0;1).

Đáp án C.
2
Bài 3. Cho hàm số y  3x  2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; �).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (�;0).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; �).
Đáp án B.
3
2
Bài 4. Cho hàm số y  x  3x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
B.
C.
D.

Hàm số đồng biến trên khoảng (3; �).
Hàm số đồng biến trên khoảng (2; �).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; �).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; �).

Đáp án A.
3
Bài 5. Cho hàm số y   x  4 x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
B.
C.
D.

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đồng biến trên khoảng (�; 2).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (�; 2).

Đáp án D.

Bài 6. Cho hàm số
A.
B.
C.
D.

y

x 1
.
x  1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;1).
Hàm số đồng biến trên khoảng (�; 1).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; �).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (�; 1).

Đáp án B.

9


Khi kết hợp các biểu thức ở các dạng trên nhưng có chứa tham số m, thay vào
bài tốn gốc thu được lớp bài toán ở mức vận dụng, khi tổ chức thực hiện thì có nhiều
em đã sáng tạo ra nhiều bài toán hay.
y

x 1
.
x  m Tập tất cả các giá trị tham số m để hàm số đồng biến

Bài 7. Cho hàm số
trên các khoảng xác định là?
A. (1; �).

B. (�;1].

C. [1; �).

D. (�;1).

Giải
� x 1 �
:�
2
�
�
xm �
�

�
Ta có
Khi m  1, ta có y '  0,  x �1, nên không thỏ mãn yêu cầu bài tốn
Khi m  1, ta có y '  0, x �(�; m) �(1; �), hàm số đồng biến trên các khoảng xác
đinh, nên m  1, thỏa mãn yêu cầu bài toán
y' 

m  1
( x  m) 2

Khi m  1, ta có y '  0, x �(�;1) �(m; �), hàm số nghịch biến nên không thỏa mãn
bài toán.
Đáp án A.
2
Bài 8. Cho hàm số y  x  2mx  2m  1. Tập tất cả các giá trị tham số

m

để hàm số

luôn đồng biến trên khoảng (1; �), là
A. (1; �).

B. (�;1].

C. [1; �).
Giải

D. (�;1).

2
Điều kiện xác định của hàm số x  2mx  2m  1 �0.

y' 

xm

x  2mx  2m  1
Ta có :
Hàm số đã cho ln đồng biến trên khoảng (1; �), khi và chỉ khi
2

m �1
�x  m �0, x �1 �
��
� m  1.
�
2m  1  1
m 1
�
�

Đáp án D.
2
Bài 9. Cho hàm số y  x  2mx  1. Số giá trị m nguyên để hàm số luôn đồng biến

trên khoảng (1; �), là
A. 0
Đáp án D.

B. 1.

C.

2.

D.

3.
10


3
2
Bài 10. Cho hàm số y  x  3mx . Tập tất cả các giá trị tham số

m

để hàm số luôn

đồng biến trên các khoảng (0;1), là
A. (0; �).
Đáp án B.

B. (�;0).

C. [0; �).

D. (�;0].

Khi thay x, bởi u ( x), và kết hợp cộng với một hàm số v( x), vào bài toán gốc thu
được lớp bài toán hàm số dạng g ( x)  f (u ( x))  g(x). Tạo ra nhiều bài toán hay.
2
Bài 11. Cho hàm số y  2 x  1  x  1. Hàm số đồng biến trên khoảng nào ?

(

2
; �).
2

A.
Đáp án A.

B.

(�;

2
).
2

C. (0; �).

D. (�;0).

2
2
Bài 12. Cho hàm số y  2 x  1  x  3. Hàm số đồng biến trên khoảng nào ?

A. (0; �).
B. (�;0).
C. �.
D. (�;0);(0; �).
Đáp án B.
Bài toán gốc 2. Cho hàm số f ( x), bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (3; �).

B. (3; 1).

C. (1; �).
D. (�; 1).
Giải
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng (�; 3); (1;1)
Đáp án C
Thực hiện phát triển bài toán một cách tương tự bài toán gốc 1, ta thu được một
số dạng bài toán
Bài 1. Cho hàm số f ( x), xác định trên �, có bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

11


Hàm số y  f (3  2 x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2; �)

B. (3; �).

C. (�;3).

D. (2;3).

Giải
3  2 x  3 �
x 3
�
y '  2. f '(3  2 x)  0 � f '(3  2 x)  0 � �
��
3  2 x  1 �
x2
�
Ta có

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (�; 2);(3; �).
Đáp án B.
Bài 2. Cho hàm số f ( x), xác định trên �, có bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

Hàm số

y f(

x 1
)
x 1

1
(0; ).
2
A.

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

1
(�; ).
2

C. (0;1).

D. (1; �).

Giải
�4 x  2
0
�
2
x 1
x 1
x 1
1
�x  1
y' 
. f '(
)  0 � f '(
)  0 � 3 
 1 � �
�0x
2
( x  1)

x 1
x 1
x 1
2
�2 x  0
�x  1
Ta có
1
(0; ).
2

Vậy hàm số đồng biến trên
Đáp án A
Bài 3. Cho hàm số f ( x), xác định trên �, có bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

Hàm số y  f ( 2 x  4) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
12


A. �.
B. (2; �).
C. (3; 1).
D. (3; �).
Đáp án B
Bài 4. Cho hàm số f ( x), xác định trên �, có bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

2
Hàm số y  f ( x  4 x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (2; �).

B. (0; 2).

C. (�; 2).

D. (�;0).

Giải
Tập xác định D  (�;0] �[4; �).
Ta có

y'

�
�
�x  2  0
�
�
3  x 2  4 x  1
�
�
�
x2
�x  2  0
. f '( x 2  4 x )  0 � �
� x2
2
� 2
x  4x
�

�
�� x  4 x  3
�
�� 2
�
�� x  4 x  1
��
�

Kết hợp tập xác định ta có

hàm số đồng biến trên (�;0).

Đáp án D.
Bài 5. Cho hàm số f ( x), xác định trên �, có bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

2
Hàm số y  f (  x  2 x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; 2).

B. (0;1).

C. (0; 2).

D. (3; 1).
13


Đáp án B

Bài 6. Cho hàm số f ( x), xác định trên �, có bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

Tập tất cả các giá trị của m để hàm số y  f (x  m  1) đồng biến trên các khoảng (0; 2)
là.
A. (0; 4).
B. [0; 4].
C. (0; 2).
D. [0; 2].
Đáp án B
Bài 7. Cho hàm số f ( x), xác định trên �, có bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

Tập giá trị m nguyên để hàm số

y f(

x  m
)
x 1

đồng biến trên khoảng (1; �) là

A. �.
B. �\{1}.
C. (�;1).
Đáp án C
b) Xây dựng các bài toán cực trị dựa trên bài toán gốc

D. (1; �).

14

Bài toán gốc. Cho hàm số y  f ( x), liên tục trên �, và có bảng biến thiên của hàm số
f '( x) như sau

Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x) là
A. 1.

B. 2.

C. 3.
Giải

D. 5.

Dựa vào bảng trên ta có hàm số có 3 cực trị
Đáp án C.
Chúng ta có thể định hướng mẫu cho học sinh phát triển thành các bài tốn như
sau từ bài tốn gốc. Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f (u(x)) , lưu ý các biểu thức
u ( x) không cho một cách tùy ý bởi nhiều khi không giải quyết được số nghiệm các
phương trình u ( x) =a

Bài 1. Cho hàm số y  f ( x), liên tục trên �, và có bảng biến thiên của hàm số f '( x)
như sau
Số điểm cực trị của hàm số y  g ( x)  f (1  2 x) là
A. 4.

B. 3.

C. 6.

D. 5.
15


Giải
Xét hàm số y  g ( x)  f (1  2 x), ta có
1  2 x  x1 �(�; 1)
�
�
1  2 x  x2 �(1;0)
g'(x)  2 f '(1  2 x)  0 � �
�
1  2 x  x3 �(0;1)
�
1  2 x  x4 �(1; �)
�

Vậy chứng tỏ phương trình g '( x)  0, có 4 nghiệm đơn phân biệt, suy ra hàm số
y  g ( x ), có 4 điểm cực trị

Đáp án A
2
Khi chúng ta thay x bởi biểu thức x  2 x, thì thu được bài tốn đã từng được
thi trong kì thi THPTQG năm 2019
Bài 2. Cho hàm số y  f ( x), liên tục trên �, và có bảng biến thiên của hàm số f '( x)
như sau
2
Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x  2 x) là

B. 9.

B. 3.

C. 7.
Lời giải

D. 5.

x  a, a �(�; 1)
�
�
x  b, b �(1;0)
��
�
x  c, c �(0;1)
�
x  d , d �(1; �)
�
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f '( x)  0
2
Xét hàm số y  f ( x  2 x), ta có

16


x 1
�
�2
x  2x  a

�
x

1
�
�2
y '  2( x  1) f '( x 2  2 x)  0 � � 2
��
x  2x  b
f
'(x

2
x
)

0
�
�
x2  2x  c
�
�
x2  2x  d
�

(1)
(2)
(3)
(4)

2
2
Do x  2 x  ( x  1)  1 �1, suy ra ta có:

Phương trình (1) với a  1 vơ nghiệm;
Phương trình (2) với b �(1; 0) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ;
Phương trình (3) với c �(0;1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và khác các
nghiệm của phương trình (2) ;
Phương trình (4) với d �(1; �) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và khác các
nghiệm của phương trình (2) và (3).
Vậy phương trình 2y '  0 có 7 nghiệm phân biệt và qua các gia trị nghiệm đó đổi
dấu nên hàm số y  f ( x  2 x) có 7 điểm cực trị.
Đáp án C.
Đây là bài tốn địi hỏi người làm được cần có một năng lực tốn học tốt, biết
kết hợp, vận dụng nhiều kiến thức liên quan như đạo hàm của hàm hợp, kĩ năng đọc
bảng biến thiên, kĩ năng giải và biện luận số nghiệm của phương trình. Sau đây tơi
xin trình bày một số bài tốn được phát triển.

17


Bài 3. Cho hàm số y  f ( x), liên tục trên �, và có bảng biến thiên của hàm số f '( x)
như sau
Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x  1) là
A. 1.

B. 3.

C. 2.
Lời giải

D. 4.

x  a, a �(�; 1)
�
�
x  b, b �(1;0)
�
�
x  c, c �(0;1)
�
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f '( x)  0 � �x  d , d �(1; �)

Xét hàm số y  f ( x  1), ta có

� x 1  a
�
� x 1  b
1
y'
f '( x  1)  0 � �
2 x 1
� x 1  c
�
� x 1  d

(1)
(2)
(3)
(4)

Do x  1 �0, suy ra ta có:
Các phương trình (1);(2) vơ nghiệm;
18


2
Phương trình (3) với c �(0;1) có nghiệm là x  c  1�(1; 2)

2
Phương trình (4) với d �(1; �) có nghiệm x  d  1�(1; �)

Vậy phương trình y '  0 có 2 nghiệm lẻ phân biệt và qua các gia trị nghiệm đó
đổi dấu nên hàm số y  f ( x  1) có 2 điểm cực trị.
Đáp án C.
Bài 4. Cho hàm số y  f ( x), liên tục trên �, và có bảng biến thiên của hàm số f '( x)
như sau
2
Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x  1) là

A. 1.

B. 2.

C. 3.
Lời giải

D. 4.

19

x  a, a �( �; 1)
�
�
x  b, b �(1;0)
�
�
x  c, c �(0;1)
�
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f ( x)  0 � �x  d , d �(1; �)

y' 
2
Xét hàm số y  f ( x  1), ta có

x0
�
� 2
� x 1  a
�
x
f '( x 2  1)  0 � � x 2  1  b
2
x 1
� 2
� x 1  c
� 2
� x 1  d

(1)
(2)
(3)
(4)

2
Do x  1 �1,  x �� suy ra ta có:

Các phương trình (1);(2);(3) vơ nghiệm;
2
Phương trình (4) với d �(1; �) có nghiệm x  � d  1 �0
2
Vậy phương trình y '  0 có 3 nghiệm lẻ phân biệt nên hàm số y  f ( x  1) có 3 điểm
cực trị.

Đáp án C.
Bài 5. Cho hàm số y  f ( x), bảng biến thiên của hàm số f '( x) như sau

20


f  x
f  x
Tìm số điểm cực trị của hàm số y  3  2 .

A. 2 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 4 .
Đáp án D

Chúng ta cỏ thể định hướng mẫu cho học sinh phát triển thành các bài tốn như
sau từ bài tốn gốc. Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f (u(x))  v(x), ta được một
số bài toán khá hay.

21


Bài 6. Cho hàm số y  f ( x), bảng biến thiên của hàm số f '( x) như sau
g x  f  x  2019   2020 x  2021
Số điểm cực trị của hàm số  
là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải.

Ta có

g�
 x   f '  x  2019   2020; g �
 x   0 � f '  x  2019   2020.

Dựa vào đồ thị hàm số

y  f ' x

suy ra phương trình

g x
đơn duy nhất. Suy ra hàm số   có 1 điểm cực trị.
Đáp án A.

f '  x  2017   2018

có 1 nghiệm

22


Bài 7. Cho hàm số y  f ( x), bảng biến thiên của hàm số f '( x) như sau
Tìm số điểm cực trị của hàm số y  g ( x)  f ( x)  x  2.
A. 2.
Đáp án A

B.

3.

C.

0.

D. 1.

23


Bài 8. Cho hàm số y  f ( x), bảng biến thiên của hàm số f '( x) như sau
1
y  g ( x)  f ( x)  x 2  2 x  2.
2
Tìm số điểm cực trị của hàm số
A. 2.
B. 3.
C. 0.

D. 1.

Đáp án C
Bài 9. Cho hàm số y  f ( x), bảng biến thiên của hàm số f '( x) như sau
1
2
y  g ( x)  f ( x)  x 3  2 x  .
3
3
Tìm số điểm cực trị của hàm số

A. 2.
B. 3.
C. 4.
Đáp án A
c) Xây dựng các bài toán tương giao dựa trên bài toán gốc.

D. 1.

24


Với các định hướng tương tự như trên, chúng ta cỏ thể đưa ra các bài toán gốc về
tương giao của các đồ thị, hay bài tốn tìm số nghiệm của một phương trình đê các
em phát triển bài tốn tương tự và các bài toán nâng cao lên ở mức độ khó hơn
Bài tốn gốc. Cho hàm số bậc ba

y  f  x

Số nghiệm thực của phương trình

f ( x )  2 là

A.

3.

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

B. 2.

C. 1.

D.

0.

Giải

Số giao điểm của đồ thị hàm số
của phương trình là 3

y  f  x

với đường thẳng y  2, là 3 nên số nghiệm

Đáp án A
Ta cỏ thể định hướng cho học sinh phát triển bằng cách thế x bởi u ( x), hoặc là
vận dụng phép biến đổi đồ thị, hoặc kết hợp cả hai để tạo ra những bài toán mới
Bài 1. Cho hàm số bậc ba

y  f  x

Số nghiệm thực của phương trình
A.

3.

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

f ( 2 x  1)  2 là

B. 2.

C. 1.

D.

0.
25