Bộ đề thi học kì 2 môn toán lớp 11 có lời giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (755.16 KB, 30 trang )
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 1
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim
2n3 + 3n + 1
3
2
n + 2n + 1
b) lim
x →0
x +1 −1
x
Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:
x2 − x
f ( x ) = x − 1 khi x 1
khi x = 1
m
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x 2 .cos x
b) y = ( x − 2) x 2 + 1
Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC)
tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng AI ⊥ (MBC).
b) (1,0 điểm) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).
c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI).
II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau:
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm:
5x 5 − 3x 4 + 4 x3 − 5 = 0
Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 9 x + 5 .
a) Giải bất phương trình: y 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 3 nghiệm:
x 3 − 19 x − 30 = 0
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 + x 2 + x − 5 .
a) Giải bất phương trình: y 6 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6.
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .
1
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
CÂU
1
Ý
a)
b)
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 1
NỘI DUNG
3
1
2+
+
3
2n + 3n + 1
n 2 n3
I = lim
= lim
2 1
n3 + 2 n 2 + 1
1+ +
n n3
I=2
x +1 −1
= lim
x →0 x
x
lim
x →0
= lim
x →0
2
1
x +1 +1
=
(
x
)
1
2
0,25
x ( x − 1)
= lim x = 1
x →1
x →1
x →1
x −1
f(x) liên tục tại x = 1 lim f ( x) = f (1) m = 1
0,50
0,25
x →1
4
a)
y = x 2 cos x y ' = 2 x cos x − x 2 s inx
b)
y = ( x − 2) x 2 + 1 y ' = x 2 + 1 +
a)
0,50
0,50
f(1) = m
y' =
0,50
0,50
x +1 +1
lim f ( x ) = lim
3
ĐIỂM
1,00
( x − 2) x
0,50
x2 + 1
2x2 − 2x + 1
0,50
x2 + 1
M
H
0,25
I
B
C
A
Tam giác ABC đều cạnh a , IB = IC =
b)
c)
a
AI ⊥ BC
2
BM ⊥ (ABC) BM ⊥AI
Từ (1) và (2) ta có AI ⊥ (MBC)
BM ⊥ (ABC) BI là hình chiếu của MI trên (ABC)
MB
=4
( MI ,( ABC ) ) = MIB, tan MIB =
IB
AI ⊥(MBC) (cmt) nên (MAI) ⊥ (MBC)
MI = (MAI ) (MBC) BH ⊥ MI BH ⊥ (MAI )
(1)
0,25
(2)
0,25
0,25
0,50
0,50
0,25
0,25
2
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
5a
6a
a)
b)
d(B,(MAI )) = BH
0,25
1
1
1
1
4
17
2a 17
=
+ 2 = 2 + 2 = 2 BH =
2
2
17
BH
MB
BI
4a a
4a
0,25
Với PT: 5 x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 5 = 0 , đặt f ( x ) = 5x 5 − 3x 4 + 4 x 3 − 5
f(0) = –5, f(1) = 1 f(0).f(1) < 0
Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 9 x + 5 y = 3x 2 − 6 x − 9
0,25
y ' 0 3 x 2 − 6 x − 9 0 x (−;1) (3; +)
0,50
x 0 = 1 y 0 = −6
0,25
k = f ' (1) = −12
Với PT: x − 19 x − 30 = 0 đặt f(x) = x − 19 x − 30 = 0
f(–2) = 0, f(–3) = 0 phương trình có nghiệm x = –2 và x = –3
f(5) = –30, f(6) = 72 f(5).f(6) < 0 nên c0 (5;6) là nghiệm của PT
0,25
0,25
0,25
0,25
Rõ ràng c0 −2, c0 −3 , PT đã cho bậc 3 nên PT có đúng ba nghiệm thực
0,25
y = f ( x) = x3 + x 2 + x − 5 y ' = 3x 2 + 4 x + 1
0,25
y ' 6 3x 2 + 2 x + 1 6
0,25
3x 2 + 2 x − 5 0
5
x −; − (1; + )
3
0,25
3
3
6b
a)
b)
0,50
0,50
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = –12x + 6
5b
0,50
0,25
0,25
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm y '( x 0 ) = 6
x0 = 1
3x + 2 x0 + 1 = 6 3x + 2 x0 − 5 = 0
x = − 5
0
3
Với x0 = 1 y0 = −2 PTTT : y = 6 x − 8
2
0
2
0
0,25
0,25
0,25
5
230
175
0,25
PTTT : y = 6 x +
Với x0 = − y0 = −
3
27
27
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Đề số 2
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim
x →3 x 2
x −3
+ 2 x − 15
b) lim
x →1
x +3 −2
x −1
Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1:
x2 − x − 2
khi x −1
f (x) = x + 1
khi x = 1
a + 1
3
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = ( x 2 + x )(5 − 3x 2 )
b) y = sin x + 2 x
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh BD ⊥ SC.
b) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC).
c) Cho SA =
a 6
. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
3
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm:
x5 − x2 − 2x −1 = 0
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y = −2 x 3 + x 2 + 5x − 7 có đồ thị (C).
2 y + 6 0 .
a) Giải bất phương trình:
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x0 = −1 .
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
4x4 + 2x2 − x − 3 = 0
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 2 ( x + 1) có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
y 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 5x .
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 2
CÂU
1
Ý
a)
NỘI DUNG
lim
x −3
x →3 x 2
+ 2 x − 15
1
1
= lim
=
x →3 x + 5
8
b)
lim
x →1
= lim
2
1
0,50
0,50
x +3 −2
x −1
= lim
x →1 ( x − 1) ( x + 1 + 1)
x −1
x +3 +2
f(1) = a +1
x →1
x −3
x →3 ( x − 3)( x + 5)
= lim
ĐIỂM
=
1
4
0,50
0,50
0,25
4
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
( x + 1)( x − 2)
= lim( x − 2) = −1
x →1
x →1
x →1
x +1
f(x) liên tục tại x = 1 lim f ( x) = f (1) a + 1 = −1 a = −2
lim f ( x ) = lim
x →1
3
a)
b)
4
0,50
0,25
y = ( x 2 + x )(5 − 3x 2 ) y = −3 x 4 − 3 x 3 + 5 x 2 + 5 x
0,50
y ' = −12 x 3 − 9 x 2 + 10 x + 5
0,50
y = sin x + 2 x y ' =
a)
cos x + 2
2 sin x + 2 x
0,50
S
0,25
B
A
O
D
b)
c)
C
ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD
(1)
SA ⊥ (ABCD) SA ⊥ BD
(2)
Từ (1) và (2) BD ⊥ (SAC) BD ⊥ SC
BC ⊥ AB (ABCD là hình vng)
(3)
SA ⊥ (ABCD) SA ⊥ BC
(4)
Từ (3) và (4) BC ⊥ (SAB)
(SAB) ⊥ (SBC)
SA ⊥ (ABCD) hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC
Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là SCA
5a
6a
a)
b)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
a 6
SA
3
tan ( SC,( ABCD) ) = tan SCA =
= 3 =
AC a 2
3
0,25
SCA = 30 0
0,25
Đặt f ( x ) = x 5 − x 2 − 2 x − 1 f ( x) liên tục trên R.
f(0) = –1, f(2) = 23 f(0).f(1) < 0
f ( x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)
0,25
y = −2 x 3 + x 2 + 5x − 7 y = −6 x 2 + 2 x + 5
0,25
BPT 2 y + 6 0 −12 x 2 + 4 x + 16 0 3x 2 − x − 4 0
0,25
4
x −1;
3
0,50
0,50
0,25
y = −2 x 3 + x 2 + 5x − 7
x 0 = − 1 y 0 = −9
0,25
y (−1) = −3
PTTT: y = −3x − 12
0,25
0,50
5
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
Đặt f ( x ) = 4 x 4 + 2 x 2 − x − 3 f ( x) liên tục trên R.
5b
6b
a)
b)
0,25
f (−1) = 4, f (0) = −3 f (−1). f (0) 0 PT có ít nhất 1 nghiệm c1 (−1;0)
0,25
f (0) = −3, f (1) = 2 f (0). f (1) 0 PT có ít nhất 1 nghiệm c2 (0;1)
0,25
c1 c2 PT có ít nhất 2 nghiệm trên khoảng (–1; 1)
0,25
y = x 2 ( x + 1) y = x 3 + x 2 y ' = 3x 2 + 2 x
0,25
BPT y ' 0 3 x 2 + 2 x 0
0,25
2
x − ; 0
3
Vì tiếp tuyến song song với d: y = 5x nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 5
0,50
0,25
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.
x0 = 1
y '( x0 ) = 5 3x + 2 x0 = 5 3x + 2 x0 − 5 = 0
x = − 5
0
3
Với x0 = 1 y0 = 2 PTTT: y = 5x − 3
2
0
2
0
175
5
50
Với x0 = − y0 = −
PTTT: y = 5 x +
27
3
27
Đề số 3
0,25
0,25
0,25
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim
2n3 + n2 + 4
3
2 − 3n
b) lim
+
x →1
2x − 3
x −1
Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0:
x + 2a
khi x 0
f ( x) = 2
x + x + 1 khi x 0
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (4 x 2 + 2 x )(3x − 7 x 5 )
b) y = (2 + sin2 2 x )3
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC.
a) Chứng minh AC ⊥ SD.
b) Chứng minh MN ⊥ (SBD).
c) Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm với mọi m:
m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3 = 0
6
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 4 − 3x 2 − 4 có đồ thị (C).
y = 2 .
a) Giải phương trình:
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x0 = 1 .
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm với mọi m:
(m2 + m + 1) x 4 + 2 x − 2 = 0
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = ( x 2 − 1)( x + 1) có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
f ( x ) 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh.
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 3
Câu
1
Nội dung
Ý
a)
lim
= −
b)
2
3
2
2n + n + 4
2 − 3n3
1 4
+
n n3
2
−3
n3
Điểm
2+
= lim
0,50
2
3
0,50
lim(
x − 1) = 0
x →1+
Nhận xét được: lim(2
x − 3) = −1 0
+
x →1 +
x → 1 x − 1 0
2x − 3
Kết luận: lim
= −
+
x →1 x − 1
0,75
0,25
x + 2a
khi x 0
f ( x) = 2
x + x + 1 khi x 0
• lim+ f ( x ) = f (0) = 1
0,50
• lim− f ( x ) = lim(
x + 2a) = 2a
−
0,25
x →0
x →0
x →0
• f(x) liên tục tại x = 0 2a = 1 a =
3
a)
1
2
y = (4 x 2 + 2 x )(3x − 7 x 5 ) y = −28 x 7 − 14 x 6 + 12 x 3 + 6 x 2
0,25
0,50
7
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
b)
y ' = −196 x 6 − 84 x 5 + 36 x 2 + 12 x
0,50
y = (2 + sin2 2 x )3 y ' = 3(2 + sin 2 2 x )2 .4 sin 2 x.cos 2 x
0,50
y ' = 6(2 + sin 2 x ).sin 4 x
0,50
2
4
0,25
a)
b)
c)
ABCD là hình vng AC⊥BD
(1)
S.ABCD là chóp đều nên SO⊥(ABCD) SO ⊥ AC
(2)
Từ (1) và (2) AC ⊥ (SBD) AC ⊥ SD
Từ giả thiết M, N là trung điểm các cạnh SA, SC nên MN // AC (3)
AC ⊥ (SBD) (4). Từ (3) và (4) MN ⊥ (SBD)
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều và AB = SA = a nên SBC đều cạnh a.
Gọi K là trung điểm BC OK ⊥ BC và SK ⊥ BC
= ( (SBC ),( ABCD) ) = SKO
Tam giác vng SOK có OK =
6a
a)
a 3
a
, SK =
2
2
5b
0,25
0,25
0,25
Gọi f ( x ) = m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3 f ( x) liên tục trên R
f(1) = 5, f(–2) = –1 f(–2).f(1) < 0
PT f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (−2;1), m R
0,25
y = x 4 − 3x 2 − 4 y = 4 x 3 − 6 x
0,25
y = 2 4 x 3 − 6 x = 2 ( x + 1)(2 x 2 − 2 x − 1) = 0
0,25
1− 3
1+ 3
; x=
2
2
Tại x 0 = 1 y0 = −6, k = y (1) = −2
Phương trình tiếp tuyến là y = −2 x − 4
x = −1; x =
b)
0,25
0,50
0,50
0,25
a
OK
1
= 2 =
cos = cos SKO =
SK a 3
3
2
5a
0,50
2
4
Gọi f ( x ) = (m + m + 1) x + 2 x − 2 f ( x) liên tục trên R
0,50
0,25
0,50
0,50
0,50
0,25
2
1 3
f(0) = –2, f(1) = m + m + 1 = m + + 0 f(0).f(1) < 0
2 4
Kết luận phương trình f ( x) = 0 đã cho có ít nhất một nghiệm c (0;1), m
2
0,50
0,25
8
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
6b
a)
b)
y = f ( x ) = ( x 2 − 1)( x + 1) f ( x ) = x 3 + x 2 − x − 1 f ( x ) = 3x 2 + 2 x − 1
1
BPT f ( x ) 0 3 x 2 + 2 x − 1 0 x (−; −1) ; +
3
Tìm được giao điêm của ( C ) với Ox là A (–1; 0) và B(1; 0)
Tại A (–1; 0): k = f (−1) = 0 PTTT: y = 0 (trục Ox)
1
Tại B(1; 0): k2 = f (1) = 4 PTTT: y = 4 x − 4
0,50
0,50
0,50
0,25
0,25
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 4
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim
x →1
3x 2 − 2 x − 1
b) lim
x3 − 1
x →3−
x +3
x −3
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 2 :
2 x 2 − 3x − 2
f ( x) = 2 x − 4
3
2
khi x 2
khi x = 2
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2x − 3
a) y =
b) y = (1 + cot x )2
x −2
Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi một vng góc với nhau. Gọi H là chân đường
cao vẽ từ A của tam giác ACD.
a) Chứng minh: CD ⊥ BH.
b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK ⊥ (BCD).
c) Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
cos2 x − x = 0
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = − x 3 − 3x 2 + 9 x + 2011 có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
f ( x ) 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm nằm trong khoảng (−1; 2) :
(m2 + 1) x 2 − x 3 − 1 = 0
9
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y =
2x2 + x + 1
có đồ thị (C).
x −1
a) Giải phương trình:
y = 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 4
Câu
1
Ý
a)
Nội dung
lim
3x 2 − 2 x − 1
3
= lim
3x + 1
x →1 x 2
b)
+ x +1
=
+ x + 1)
4
3
x →3
x +3
= −
x −3
2 x 2 − 3x − 2
f ( x) = 2 x − 4
3
2
0,50
0,50
lim(
x − 3) = 0
x →3−
Viết được ba ý x → 3− x − 3 0
lim( x + 3) = 6 0
x →3−
Kết luận được lim−
2
( x − 1)(3 x + 1)
x →1 ( x − 1)( x 2
x −1
x →1
= lim
Điểm
0,75
0,25
khi x 2
khi x = 2
3
2
2
( x − 2)(2 x + 1)
2 x − 3x − 2
2x + 1 5
lim f ( x ) = lim
= lim
=
= lim
x →2
x →2
x →2
x →2
2x − 4
2
2
2( x − 2)
0,25
Tập xác định D = R. Tính được f(2) =
Kết luận hàm số khơng liên tục tại x = 2.
3
a)
b)
y=
2x − 3
−1
y' =
x −2
( x − 2)2
−1
y = (1 + cot x )2 y = 2(1 + cot x ) 2 = −2(1 + cot x )(1 + cot 2 x )
sin x
0,50
0,25
0,50
0,50
10
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
4
a)
0,25
a)
AB ⊥ AC, AB ⊥ AD AB ⊥ (ACD) AB ⊥ CD
AH ⊥ CD
b)
c)
(1)
0,25
(2). Từ (1) và (2) CD ⊥ (AHB) CD ⊥ BH
0,50
AK⊥ BH, AK ⊥ CD (do CD ⊥ (AHB) (cmt)
0,50
AK⊥ (BCD)
0,50
Ta có AH ⊥ CD, BH ⊥ CD ( (BCD ),( ACD ) ) = AHB
0,25
Khi AB = AC = AD = a thì AH =
BH =
AB2 + AH 2 = a2 +
cos AHB =
CD a 2
=
2
2
a2 a 6
=
2
2
AH
1
=
BH
3
Đặt f(x) = cos2 x − x f(x) liên tục trên (0; +) f(x) liên tục trên 0;
2
5a
f (0) = 1, f = −
f (0). f 0
2
2
2
6a
a)
b)
5b
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên 0;
2
0,25
y = f ( x ) = − x 3 − 3x 2 + 9 x + 2011 f ( x ) = −3x 2 − 6 x + 9
0,25
BPT f ( x ) 0 −3x 2 − 6 x + 9 0
0,25
x −3
x 1
0,50
x0 = 1 y0 = 2016 , f (1) = 0
0,50
Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 2016
0,50
Đặt f(x) = (m2 + 1) x 2 − x 3 − 1 f(x) liên tục trên R nên liên tục trên [ − 1; 2]
0,25
f (−1) = m 2 + 1, f (0) = −1 f (−1). f (0) 0, m R
0,50
phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (−1; 0) ( −1; 2 ) (đpcm)
0,25
11
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
6b
a)
b)
y=
2x2 + x + 1
2x2 − 4x − 2
, TXĐ : D = R\{1}, y ' =
x −1
( x − 1)2
x = 1− 2
Phương trình y’ = 0 2 x 2 − 4 x − 2 = 0 x 2 − 2 x − 1 = 0
x = 1 + 2
Giao của ( C) với Oy là A(0; –1)
0,50
0,25
x0 = 0, y0 = −1, k = f (0) = −2
0,20
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −2 x − 1
0,50
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 5
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim
0,50
x 2 − 3x + 2
x →2 x 3
b) lim
− 2x − 4
x →+
(
x2 + 2x −1 − x
)
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 1 :
2 x 2 − 3x + 1
khi x 1
f (x) = 2 x − 2
khi x = 1
2
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = ( x 3 + 2)( x + 1)
b) y = 3sin2 x.sin3x
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, SA vng góc với đáy.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH).
c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm với mọi m:
(9 − 5m) x 5 + (m2 − 1) x 4 − 1 = 0
Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = 4 x 2 − x 4 có đồ thị (C).
a) Giải phương trình:
f ( x ) = 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = 0 . Chứng minh rằng phương trình
sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1):
ax 2 + bx + c = 0
12
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = 4 x 2 − x 4 có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
f ( x ) 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 5
Câu
1
Ý
a)
Nội dung
lim
x →2
x 2 − 3x + 2
x − 2x − 4
= lim
x →2
b)
lim
3
x →+
( x − 1)( x − 2)
= lim
x →2 ( x − 2)( x 2
x −1
1
=
x + 2 x + 2 10
+ 2 x + 2)
0,50
0,50
2
(
Điểm
)
x 2 + 2 x − 1 − x = lim
x →+
2x −1
x2 + 2x − 1 + x
1
x
=
=1
2 1
1+ − 2 +1
x x
f(1) = 2
( x − 1)(2 x − 1)
2x −1 1
2 x 2 − 3x + 1
= lim
lim f ( x ) = lim
= lim
=
x →1
x →1
x →1
x →1
2
2( x − 1)
2
2( x − 1)
Kết luận hàm số liên tục tại x = 1
0,50
2−
2
3
a)
b)
0,50
0,25
0,50
y = ( x 3 + 2)( x + 1) y = x 4 + x 3 + 2 x + 2
0,25
0,50
y ' = 4 x 3 + 3x 2 + 2
0,50
y = 3sin2 x.sin3x y ' = 6sin x cos x.sin3x + 6sin2 x.cos3x
= 6sin x(cos x sin3x + sin x cos3x) = 5sin x sin 4 x
0,50
0,50
4
0,25
a)
SA ⊥ (ABC) BC ⊥ SA, BC ⊥ AB (gt) BC ⊥ (SAB) BC ⊥ SB
Vậy tam giác SBC vuông tại B
0,50
0,25
13
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
b)
c)
SA ⊥ (ABC) BH ⊥ SA, mặt khác BH ⊥ AC (gt) nên BH ⊥ (SAC)
BH (SBH) (SBH) ⊥ (SAC)
Từ câu b) ta có BH ⊥ (SAC) d(B,(SAC)) = BH
1
1
1
=
+
2
2
BH
AB BC 2
BH 2 =
0,50
AB 2 BC 2
2
10
= BH =
2
2
5
5
AB + BC
0,50
Gọi f ( x ) = (9 − 5m) x 5 + (m2 − 1) x 4 − 1 f ( x) liên tục trên R.
5a
0,50
0,50
0,25
2
6a
a)
5 3
f (0) = −1, f (1) = m − + f (0). f (1) 0
2 4
Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi m
y = f ( x ) = 4 x 2 − x 4 , f ( x ) = −4 x 3 + 8x f ( x ) = −4 x( x 2 − 2)
b)
x = 2
Phương trình f ( x ) = 0 −4 x ( x 2 − 2) = 0
x = 0
x = 1 y = 3, k = f (1) = 4
0
6b
0,50
0,50
0
0,50
Đặt f(x)=ax 2 + bx + c f ( x) liên tục trên R.
2 4
2
1
c
c
• f (0) = c , f = a + b + c = (4a + 6b + 12c) − = −
3 9
3
9
3
3
2
2
• Nếu c = 0 thì f = 0 PT đã cho có nghiệm (0;1)
3
3
a)
0,25
0,50
Phương trình tiếp tuyến là y − 3 = 4( x −1) y = 4x − 1
5b
0,50
2
2
c2
• Nếu c 0 thì f (0). f = − 0 PT đã cho có nghiệm 0; (0;1)
3
3
3
Kết luận PT đã cho ln có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1)
y = f ( x ) = 4 x 2 − x 4 f ( x ) = −4 x 3 + 8x f ( x ) = −4 x( x 2 − 2)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Lập bảng xét dấu :
− 2
x −
f ( x )
b)
+
0
–
0
2
0
0 –
+
+
Kết luận: f ( x ) 0 x ( − 2; 0 ) ( 2; + )
Giao của đồ thị với Oy là O(0; 0)
Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại O là k = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 0
Đề số 6
0,50
0,25
0,25
0,25
0,50
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
( x − 2)3 + 8
a) lim
x →0
x
b) lim
x →+
(
x +1 − x )
14
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 1 :
3x ² − 2 x − 1
f (x) =
x −1
2
x
+
3
khi x 1
khi x 1
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y =
x −1
2x + 1
b) y =
x2 + x − 2
2x + 1
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA ⊥ (ABC), SA =
a 3.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc (–1; 1).
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y =
x −3
. Tính y .
x+4
b) Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm I(1; –2).
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: x 3 − 3 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y = x.cos x . Chứng minh rằng: 2(cos x − y ) + x( y + y) = 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f ( x ) = 2 x 3 − 3x + 1 tại giao điểm của
(C) với trục tung.
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 6
Câu
1
Ý
a)
Nội dung
( x − 2)3 + 8
x 3 − 6 x 2 + 12 x
= lim
x →0
x →0
x
x
lim
Điểm
0,50
15
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
= lim( x 2 − 6 x + 12) = 12
0,50
x →0
b)
lim
x →+
(
x + 1 − x ) = lim
x →+
1
0,50
x +1 + x
=0
f (1) = 5
2
0,50
lim+ f ( x ) = lim+
x →1
x →1
3x ² − 2 x − 1
= lim(3
x + 1) = 4
x →1+
x −1
lim f ( x ) = lim(2
x + 3) = 5
−
x →1−
x →1
(1)
0,25
(2)
0,25
(3)
0,25
Từ (1), (2), (3) hàm số không liên tục tại x = 1
3
a)
b)
0,25
y=
x −1
3
y' =
2x + 1
(2 x + 102
0,50
y=
x2 + x − 2
2x2 + 2x + 5
y' =
2x + 1
(2 x + 1)2
0,50
4
0,25
a)
Tam giác ABC đều, M BC , MB = MC AM ⊥ BC
(1)
0,25
SAC = SAB ( c.g.c ) SBC cân tại S SM ⊥ BC
(2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAM)
0,25
b) (SBC) (ABC) = BC, SM ⊥ BC ( cmt ) , AM ⊥ BC
0,50
((SBC ),( ABC )) = SMA
0,25
a 3
SA
, SA = a 3 ( gt ) tan SMA =
=2
2
AM
Vì BC ⊥ (SAM) (SBC) ⊥ (SAM)
(SBC) (SAM) = SM, AH (SAM), AH ⊥ SM AH ⊥ (SBC)
AM =
c)
d( A,(SBC)) = AH,
0,25
0,25
0,25
0,25
3a2
1
1
1
SA . AM
4 =a 3
= 2+
AH 2 = 2
AH =
2
2
2
5
AH
SA
AM
SA + AM
3a 2
3a2 +
4
2
2
3a2 .
0,25
16
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
5a
6a
a)
Gọi f ( x ) = 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 f ( x) liên tục trên R
0,25
f(–1) = 2, f(0) = –3 f(–1).f(0) < 0 PT f ( x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 (−1; 0)
0,25
f(0) = –3, f(1) = 4 f (0). f (1) 0 PT f ( x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 (0;1)
0,25
Mà c1 c2 PT f ( x) = 0 có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng (−1;1) .
0,25
y=
x −3
7
y' =
x+4
( x + 4)2
y" =
b)
−14
0,50
( x + 4)3
y = x 3 − 3x 2 y ' = 3x 2 − 6 x k = f (1) = −3
0,50
x0 = 1, y0 = −2, k = −3 PTTT : y = −3 x + 1
0,50
x 3 − 3 x + 1 = 0 (*). Gọi f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 f ( x) liên tục trên R
5b
6b
0,50
a)
f(–2) = –1, f(0) = 1 f (−2). f (0) 0 c1 (−2; 0) là một nghiệm của (*)
0,25
f(0) = 1, f(1) = –1 f (0). f (1) 0 c2 (0;1) là một nghiệm của (*)
0,25
f (1) = −1, f (2) = 3 f (1). f (2) 0 c3 (1;2) là một nghiệm của (*)
0,25
Dễ thấy c1 , c2 , c3 phân biệt nên PT (*) có ba nghiệm phân biệt
0,25
y = x.cos x y ' = cos x − x sin x y " = − sinx − sinx − x cos x y " = − x cos x
0,50
2(cos x − y ) + x( y + y) = 2(cos x − cos x + x sin x ) + x(−2sin x − x cos x + x cos x ) =
0,25
= 2 x sin x − 2 x sin x = 0
b) Giao điểm của ( C ) với Oy là A(0; 1)
0,25
0,25
y = f ( x ) = 2 x 3 − 3x + 1 y ' = f ( x ) = 6 x 2 − 3
0,25
k = f (0) = −3
0,25
Vậy phương trình tiếp tuyến tại A(0; 1) là y = −3x + 1
0,25
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Đề số 7
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
2 x 3 + 3x 2 − 1
x →−1
x +1
a) lim
b) lim
x →+
(
x2 + x + 1 − x
)
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 2 :
2( x − 2)
f ( x ) = x ² − 3x + 2
2
khi x 2
khi x = 2
17
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2x2 − 1
a) y =
x −2
b) y = cos 1 − 2 x2
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = a 3 . Gọi I
là trung điểm của SO.
a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình : x 5 − 3 x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2).
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y = cot 2 x . Chứng minh rằng: y + 2 y 2 + 2 = 0 .
3x + 1
b) Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
1− x
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình: x17 = x11 + 1 có nghiệm.
Câu 6b: (2,0 điểm)
x −3
. Chứng minh rằng: 2 y 2 = ( y − 1)y .
x+4
3x + 1
b) Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vng
1− x
góc với đường thẳng d: 2x + 2y − 5 = 0 .
a) Cho hàm số y =
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 7
Câu
1
Nội dung
Ý
a)
2 x 3 + 3x 2 − 1
( x + 1)(2 x 2 + x − 1)
= lim
x →−1
x →−1
x +1
x +1
lim
= lim (2 x 2 + x − 1) = 0
b)
lim
x →+
(
x →−1
)
x 2 + x + 1 − x = lim
x →+
x +1
x2 + x + 1 + x
Điểm
0,50
0,50
0,50
18
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
= lim
x →+
2( x − 2)
2
= lim
=2
x
→
2
( x − 1)( x − 2)
x −1
f(2) = 2
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra f(x) liên tục tại x = 2
2
lim f ( x ) = lim
x →2
3
1
1
x
=
2
1 1
1+ +
+1
x x2
1+
a)
b)
y=
x →2
0,50
(1)
2x2 − 1
2 x 2 − 8x + 1
y' =
x −2
( x − 2)2
y = cos 1 − 2 x 2 y ' =
2 x sin 1 − 2 x 2
1 − 2x2
0,50
0,25
0,25
0,50
0,50
4
0,25
a)
b)
Gọi M, N lân lượt là trung điểm của CD và CB.
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên có: OM ⊥ CD, SM ⊥ CD CD ⊥ (SOM)
Vẽ OK ⊥ SM OK ⊥ CD OK ⊥(SCD)
(*)
I là trung điểm SO, H là trung điểm SK IH // OK IH ⊥ (SCD)
(**)
OK
Từ (*) và (**) ta suy ra IH =
2
1
1
1
4
a 3
a 3
=
+
= 2 OK =
d (I ,(SCD )) = IH =
2
2
2
2
4
OK
OM
SO
3a
SMC = SNC (c.c.c) MQ ⊥ SC NQ ⊥ SC
0,25
0,25
0,25
(SCD) (SCB) = SC ((SCD),(SCB)) = MQN
0,25
SM 2 = OM 2 + SO2 = a2 + 3a2 = 4a2
1
1
1
1
1
5
4a2
2
=
+
=
+
=
MQ
=
SMC :
5
MQ 2 MS 2 MC 2 4a2 a2 4a2
0,25
1
MQ2 + NQ2 − MN 2
= − MQN = 120 0
2
MQ.NQ
AC ⊥ BD, AC ⊥SO (SBD) (do SO⊥(ABCD)) AC⊥(SBD).
Trong SOD hạ OP ⊥ SD thì cũng có OP⊥ AC
cos MQN =
c)
0,25
0,25
0,50
19
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
5a
6a
a)
b)
5b
6b
a)
1
1
1
1
1
5
a 30
=
+
= 2 + 2 = 2 d ( AC , BD ) = OP =
2
2
2
5
OP
SO OD
3a 2a
6a
5
Gọi f ( x ) = x − 3 x − 1 liên tục trên R
f (−1) = 1, f (0) = −1 f (−1). f (0) 0
phương trình dã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0)
2
y = cot 2 x y = − 2
sin 2 x
2
y + 2 y 2 + 2 = −
+ 2 cot 2 2 x + 2
2
sin 2 x
0,50
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
= −2(1 + cot 2 2 x ) + 2 cot 2 2 x + 2
0,25
= −2 − 2 cot 2 2 x + 2 cot 2 2 x + 2 = 0
3x + 1
4
y=
y =
1− x
( x − 1)2
0,25
k = y (2) = 4
PTTT: y = 4 x − 15
0,25
Gọi f ( x ) = x17 − x11 − 1 f ( x) liên tục trên R
0,25
f(0) = –1, f (2) = 217 − 211 − 1 = 211(26 − 1) − 1 0 f (0). f (2) 0
phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm
x −3
7
−14
y=
y" =
y' =
2
x+4
( x + 4)
( x + 4)3
0,50
2 y 2 = 2.
49
4
=
0,50
0,25
98
( x + 4)
( x + 4)4
x − 3 −14
−7
−14
98
( y − 1)y =
− 1 .
=
.
=
3
3
x + 4 ( x + 4)
( x + 4)4
x + 4 ( x + 4)
0,25
0,25
(*)
0,25
(**)
0,25
Tử (*) và (**) ta suy ra: 2 y 2 = ( y − 1)y
b)
Vì tiếp tuyến vng góc với d: 2x + 2y − 5 = 0 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 1
Gọi ( x 0 ; y0 ) là toạ độ tiếp điểm.
f ( x0 ) = k
x = −1
4
= 1 ( x0 − 1)2 = 4 0
2
( x0 − 1)
x0 = 3
0,25
0,25
0,25
Với x0 = −1 y0 = −1 PTTT : y = x
0,25
Với x0 = 3 y0 = −5 PTTT : y = x − 8
0,25
Đề số 8
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
20
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
x2 − 4x + 3
x →3
x −3
a) lim
b) lim
x →−
(
)
x2 + 1 + x −1
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 1 :
x³ − x² + 2x − 2
khi x 1
f ( x) =
x −1
khi x = 1
4
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = tan 4x − cos x
b) y =
(
x2 + 1 + x
)
10
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA = a 2
. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.
a) Chứng minh rằng MN // BD và SC ⊥ (AMN).
b) Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng
góc.
c) Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc
khoảng (–1; 1).
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số f ( x ) = x 5 + x 3 − 2 x − 3 . Chứng minh rằng:
f (1) + f (−1) = −6. f (0)
2 − x + x2
b) Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
x −1
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 5 − 10 x 3 + 100 = 0 có ít nhất một nghiệm âm.
Câu 6b: (2,0 điểm)
x2 + 2x + 2
. Chứng minh rằng:
2 y.y − 1 = y 2 .
2
2 − x + x2
b) Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ
x −1
số góc k = –1.
a) Cho hàm số y =
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 8
21
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
Câu
Ý
a)
1
Nội dung
Điểm
x2 − 4x + 3
( x − 3)( x − 1)
= lim
x →3
x →3
x −3
x −3
lim
0,50
= lim( x − 1) = 2
0,50
x →3
b)
lim
x →−
(
)
x →−
= lim
x →−
2
2x
x 2 + 1 + x − 1 = lim
x . 1+
1
x2
0,50
− x +1
2
1
1
− 1+
−1+
2
x
x
−1
0,50
( x − 1)( x 2 + 2)
x →1
x −1
lim f ( x ) = lim
x →1
0,25
= lim( x 2 + 2) = 3
0,25
f(1) = 4
hàm số không liên tục tại x = 1
0,25
0,25
x →1
3
a)
b)
y = tan 4 x − cos x y ' =
y=
(
x2 + 1 + x
)
10
4
cos2 4 x
+ sin x
0.50
y ' = 10 x 2 + 1 + x
9
x
+ 1
2
x +1
0,25
10
10 x 2 + 1 + x
y' =
0,25
2
x +1
4
a)
SAD = SAB , AN ⊥ SD, AM ⊥ SB
SN SM
=
MN
SD SB
BD
SC.AN = ( AC − AS ) .AN = ( AD + AB − AS ) .AN = AD.AN + AB.AN − AS.AN
= ( AD − AS ) .AN = SD.AN = 0 SC ⊥ AN
SC.AM = ( AC − AS ) .AM = ( AD + AB − AS ) .AM = AD.AM + AB.AM − AS.AM
= ( AB − AS ) .AM = SD.AM = 0 SB ⊥ AM
0,25
0,25
0,25
22
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
b)
c)
Vậy SC ⊥ ( AMN )
0,25
SA ⊥ ( ABCD) SA ⊥ BD, AC ⊥ BD BD ⊥ (SAC) BD ⊥ AK (SAC)
0,50
AK ( AMN ) ,MN // BD MN ⊥ AK
0,50
SA ⊥ ( ABCD) AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ( SC ,( ABCD ) ) = SCA
0,50
tan SCA =
5a
6a
a)
SA a 2
=
= 1 ( SC,( ABCD) ) = 450
AC a 2
Gọi f ( x ) = 3x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 f ( x) liên tục trên R
0,25
f(–1) = 5, f(0) = –1 f(–1).f(0) < 0 f ( x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 (−1;0)
0,25
f0) = –1, f(1) = 1 f (0). f (1) 0 f ( x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 (0;1)
0,25
c1 c2 phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng ( –1; 1)
0,25
f ( x ) = x 5 + x 3 − 2 x − 3 f ( x ) = 5x 4 + 3x 2 − 2, f (1) = 6, f (−1) = 6, f (0) = −2
0,50
Vậy: f (1) + f (−1) = −6. f (0)
b)
5b
y=
0,50
2 − x + x2
x2 − 2x −1
y' =
k = f (2) = −1
x −1
( x − 1)2
0,50
x0 = 2, y0 = 4, k = −1 PTTT : y = − x + 2
0,50
Gọi f ( x ) = x 5 − 10 x 3 + 100 f ( x) liên tục trên R
0,25
f(0) = 100, f (−10) = −105 + 104 + 100 = −9.104 + 100 0
f (0). f (−10) 0
6b
0,50
0,50
phương trình có ít nhất một nghiệm âm c (−10;0)
0,25
a)
y = x + 1 y = 1 2 y.y1 = ( x 2 + 2 x + 2).1 − 1 = ( x + 1)2 = y2 (đpcm)
0,50
b)
2 − x + x2
x2 − 2x − 1
y=
y' =
x −1
( x − 1)2
0,25
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ tiếp điểm.
y ( x0 ) = 1
x02 − 2 x0 − 1
( x0 − 1)2
x = 0
= −1 x02 − 2 x0 = 0 0
x0 = 2
0,25
Nếu x0 = 0 y0 = −2 PTTT : y = − x − 2
0,25
Nếu x0 = 2 y0 = 4 PTTT : y = − x + 6
0,25
Đề số 9
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
23
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
a) lim
2x2 + x − 1
b) lim
2
3x + 2 x
x →+
x →2
x +2 −2
x2 − 4
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 1 :
x +1
f ( x) = 1
x ² − 3x
khi x 1
khi x 1
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x2 − 2x + 3
2x + 1
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và
SA ⊥ (ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên các cạnh SB và SD.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD).
b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC).
c) Tính tan với là góc giữa cạnh SC với (ABCD).
a) y = sin(cos x)
b) y =
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc
(–1; 2).
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y = cos3 x . Tính y .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =
3x + 1
tại giao điểm của (C) với trục
1− x
hồnh.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 3 + 4 x 2 − 2 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y = 2 x − x 2 . Chứng minh rằng:
y3 y + 1 = 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =
2x −1
tại điểm có tung độ bằng 1.
x −2
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SBD :. . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 9
CÂU
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
24
Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591
1
a)
lim
2
2x + x −1
3x 2 + 2 x
x →+
=
b)
= lim
x →+
0,50
2
3
lim
0,50
x +2 −2
2
x −4
x →2
= lim
= lim
x →+
x →+ ( x + 2)
(
x −2
( x − 2 )( x + 2 ) (
1
x + 2 + 2)
x+2 +2
)
=0
x →1
a)
b)
0,50
x →1
1
1
=−
x →1+
x →1 x − 3 x
2
f ( x) không liên tục tại x =1
y = sin(cos x) y ' = − sin x.cos(cos x)
lim f ( x ) = lim+
y=
=
0,25
2
2
x − 2x + 3
y' =
2x + 1
0,50
0,50
x +1
khi x 1
f ( x) = 1
khi x 1
x ² − 3x
lim− f ( x ) = lim− ( x + 1) = f (1) = 2
2
3
1 1
−
x x2
2
3+
x
2+
0,25
0,50
( x − 2)( 2 x + 1) − 2
x2 − 2x + 3
2
x − 2x + 3
0,25
2
( 2 x + 1)
x −8
( 2 x + 1)
2
x2 − 2x + 3
0,25
4
a)
b)
c)
Vì SA ⊥ ( ABCD) SA ⊥ BC, BC ⊥ AB BC ⊥ (SAB)
SA ⊥ ( ABCD) SA ⊥ CD, CD ⊥ AD CD ⊥ (SAD)
SA ⊥ ( ABCD), SA = a , các tam giác SAB, SAD vng cân FE là đường
trung bình tam giác SBD FE BD
BD ⊥ AC FE ⊥ AC, SA ⊥ ( ABCD) BD ⊥ SA FE ⊥ SA
FE ⊥ (SAC), FE ( AEF) (SAC) ⊥ ( AEF)
0,50
0,50
SA ⊥ ( ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) = SCA
0,50
0,25
0,50
0,25
25
