SKKN phát triển tư duy, năng lực học sinh thông qua hoạt động hình thành, phát triển các bài toán hàm ẩn từ những bài toán gốc

T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ANH SƠN 1

===***===

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đê tài “Phát triển tư duy, năng lực học sinh thơng
qua hoạt động hình thành, phát triển các bài toán hàm ẩn
từ những bài toán gốc”

1


MỤC LỤC
Phần 1. Đặt vấn đề

Trang 2

1.1 Lí do chọn đề tài

Trang 2

1.2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Trang 2

1.3 Mục đích sáng kiến

Trang 2

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trang 2

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Trang 3

1.6 Những đóng góp của đề tài

Trang 3

Phần 2. Nội dung đề tài

Trang 4

2.1 Cơ sở lí luận của đề tài

Trang 4

2.2 Cơ sở thực tiễn

Trang 5

2.3 Gải pháp phát triển tư duy, năng lực học sinh

Trang 5

2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc

Trang 5

2.3.2 Thiết kế các hoạt động định hướng phát triển
a) Xây dựng các bài toán đơn điệu dựa trên bài toán gốc

Trang 5

b) Xây dựng các bài toán cực trị dựa trên bài toán gốc

Trang 12

c) Xây dựng các bài toán tương giao dựa trên bài toán gốc.

Trang 18

2.3.3. Tổ chức thực hiện đề tài

Trang 25

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trang 27

2.4.1. Đánh giá phẩm chất năng lực

Trang 27

2.4.2. Khả năng ứng dụng, triển khai sáng kiến kinh nghiệm

Trang 29

PHẦN III. Kết luận và kiến nghị

Trang 30

Tài liệu tham khảo

Trang 31

Phụ lục

Trang 32

Trang 5

2


PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lí do chọn đề tài
Đối với mỗi giáo viên chúng ta, giảng dạy luôn luôn đặt mục tiêu nâng cao chất
lượng giáo dục , năng lực, tri thức, nhận thức của học sinh. Đặt mục tiêu làm sao để
tri thức, trí thức của học sinh được rèn luyện, mài dũa, một cách tốt nhất. Tôi nhận
thấy rằng rèn luyện tư duy, kĩ năng giải toán, làm việc sáng tạo là một việc cần thiết,
quan trọng để đáp ứng nhu cầu của học sinh và cũng là trách nhiệm của mỗi người
giáo viên khi giảng dạy.
Qua các kì thi THPT quốc gia và các đề thi thử trong các năm gần đây xuất hiện
khá nhiều bài toán yêu cầu học sinh biết liên hệ nhiều kiến thức, có những bài tốn
địi hỏi tư duy, khả năng liên hệ, kết hợp các kiến thưc, năng lực ở mức độ cao. Một

trong các bài tốn đó có khá nhiều bài liên quan đên các hàm hợp. Đây là phần bài
tốn trong các đề thi có đầy đủ các mức độ từ nhận biết, thông hiểu vận dụng thấp,vận
dụng cao; có khá nhiều vấn đề liên quan như đạo hàm của hàm số, bài tốn tính đơn
điệu, cực trị của hàm số, cũng như bài toán tương giao, hay là các bài tốn về phương
trình, phương trình chứa tham số, bài toán về đường tiệm cận, nguyên hàm, …
Từ những vấn đề đã nêu trên, tôi thật sự trăn trở làm sao để cỏ thể giúp học sinh
giải quyết được các bài tốn này một cách nhanh và chính xác; rèn luyện tư duy, nâng
cao năng lực cho học sinh, tôi đã liên hệ các kiến thức và mạnh dạn đưa ra sáng kiến
kinh nghiệm
‘’ Phát triển tư duy, năng lực học sinh thơng qua hoạt động hình thành, phát
triển các bài toán hàm ẩn từ những bài toán gốc’’.
1.2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 12, học sinh ôn thi THPT
- Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT.
1.3. Mục đích của sáng kiến
Trên các nghiên cứu về lý thuyết và thực tiễn, tôi đề xuất một số cách khai thác
và phát triển các dạng bài tập toán từ một số bài toán gốc, nhằm góp phần đổi mới
phương pháp dạy học, nâng cao kiến thức năng lực của học sinh.
1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lí thuyết và ứng dụng đạo hàm của hàm số.
Nghiên cứu phương pháp dạy học thich hợp: Hoạt động nhóm, dạy học dự án.
Xây dựng các tiêu chí, cơng cụ đánh giá kiến thức, phẩm chất năng lực học sinh.
Thực nghiệm sư phạm của để đánh giá hiệu quả của đề tài và có những điều
chỉnh, kiến nghị đề xuất phù hợp.
3


1.5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
Phương pháp thống kê.

Phương pháp tham vấn.
Phương pháp tổ chức hoạt động nhóm.
1.6. Những đóng góp của đề tài
Lựa chọn và nghiên cứu được cơ sở lí luân, cơ sở thực tiễn của hoạt động sáng
tạo khám phá bài toán mới.
Rèn luyện các phẩm chất trung thực trách nhiệm chăm chỉ, các năng lực tự chủ,
tự lực, tự học, giao tiếp hợp tác, giải quyết vấn đề sáng tạo, năng lực ngôn ngữ.
Rút ra được một số kinh nghiệm dạy học, phát huy tính tự giác, sáng tạo, tạo
hứng thú trong học tập cho học sinh.

4


PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Hầu hết các giáo viên chúng ta khi giảng dạy cứ quan niệm nhẹ nhàng miễn sao
học sinh cỏ thể làm ra kết quả, đáp án đúng mà lãng quên bản chất, nguyên nhân xuất
phát của bài tốn từ đâu, vì thế đánh mất sự kết hợp liên quan giữa các yếu tố, kiến
thức, nhất là với hiện tại bây giờ các đề thi chủ yếu đánh giá năng lực bằng hình thức
trắc nghiệm. Nếu chúng ta chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản cho học sinh mà bỏ qua
hoạt động rèn luyện tư duy,kết hợp kiến thức, liên hệ và phát triển thì khơng những
bản thân chúng ta sẽ bị mai một kiến thức , mà các em học sinh sẽ bị động trước một
vấn đề tưởng chừng như mới mẻ của toán học, khả năng suy luận, tư duy sáng tạo của
học sinh sẽ bị hạn chế.
2.1 Cơ sở lí luận của đề tài
2.1.1. Lí thuyết cần tìm hiểu :
- Hàm số hợp và đạo hàm của hàm số hợp
- Các ứng dụng của đạo hàm:
+) Tính đơn điệu hàm số.
+) Cực rị hàm số.
+) Tương giao giữa đồ thị các hàm số

2.1.2. Nghiên cứu phương pháp phát triển bài toán mới liên quan
Các định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc
Bài toán gốc: Cho hàm số
y  f ( x).

Tính đơn điêu
hàm số
g ( x)  f (u ( x))

Cực trị hàm số
g ( x)  f (u ( x))

Tương giao:
Nghiệm phương
trình f (u ( x))  0

Ơ đây chúng ta xây dựng các u ( x ), là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là căn
thức chứa x, logarit, mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác.
2.2. Cơ sở thực tiễn
Thực trạng của việc tổ chức dạy học chủ đề gắn với việc giáo dục ý thức trách
nhiệm của học sinh.
Hứng thú học tập của học sinh trong việc tự tìm hiểu, sáng tạo, khám phá các bài
tập mới.
5


2.3. Giải pháp phát triển tư duy, năng lực học sinh thơng qua hoạt động hình
thành, phát triển các bài toán hàm ẩn từ những bài toán gốc.
2.3.1 Định hướng xây dựng bài toán xuất phát từ bài toán gốc về hàm số
Bài toán gốc: Cho hàm số

y  f ( x).

Tính đơn điêu
Tương giao: Nghiệm
Cực trị hàm số
phương trình
hàm
số
g ( x)  f (u ( x))
f (u ( x))  0
g ( x)  f (u ( x)) (
là đa
Ơ đây chúng ta xây dựng các u ( x ), là đa thức ẩn x, hoặc các biểu thức là căn
thức chứa x, logarit, mũ chứa x, hoặc là một biểu thức lượng giác, cũng cỏ thể là biểu
thức chứa tham số m.
2.3.2 Thiết kế các hoạt động định hướng phát triển các bài toán xuất phát từ bài
toán gốc
+) Định hướng phát triển bài toán đơn điệu.
+) Định hướng phát triển bài toán cực trị.
+) Định hướng phát triển bài toán tương giao
a) Xây dựng các bài toán đơn điệu dựa trên bài toán gốc
Bài toán gốc 1. Cho hàm số y  2 x 2  1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (; 0).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ).
( Câu 21 mã đề 104 đề thi THPTQG năm 2017)
Lời giải
Tập xác định
Ta có y ' 

2x
2x2  1

0 x0

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; ).
Chọn đáp án B.
6


Ta có thể đánh giá bài tốn trên ở mức vận dụng thấp, để nhằm giải quyết những
bài toán dạng này thì học sinh chỉ cần nắm vững đạo hàm của hàm hợp, đồng thời
nắm vững cách xét dấu y ' là làm được. Đặt vấn đề phát triển bài toán tương tự,
chúng ta cỏ thể định hướng cho học sinh thay biểu thức trong căn bậc hai bằng
những đa thức bậc nhất, bậc hai, bậc ba khác. Chẳng hạn thay 2 x 2  1, bởi các biểu
thức như 2 x  1, 2 x  1, 1  x 2 , 3 x 2  2, 4  x 2 , x 3  3 x 2 ,  x3  4 x,...
Với biểu thức bậc nhất khi thay vào bài toán gốc ta được lớp bài toán ở mức độ
thơng hiểu, ví dụ như bài sau.
Bài 1. Cho hàm số y  2 x  1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên đạn

.

1
2

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ).
1
2

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Giải
1
2

Tập xác định [ ; ).
Ta có y ' 

1
1
 y '  0 với x   .
2
2x  1
1
2

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ).
Đáp án B.
Với biểu thức bậc hai, bậc ba khi thay vào bài toán gốc ta được lớp bài toán ở
mức độ nhận biết tương đương bài toán gốc.
Bài 2. Cho hàm số y  1  x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên đạn [0;1].
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 0).
Giải
Tập xác định [1;1].

7


Ta có y ' 

x
1  x2

 y '  0 khi 0  x  1 và y '  0 khi 1  x  0

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).
Đáp án C.
Bài 3. Cho hàm số y  3x 2  2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (; 0).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ).
Đáp án B.
Bài 4. Cho hàm số y  x3  3x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (3; ).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; ).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; ).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; ).
Đáp án A.
Bài 5. Cho hàm số y   x3  4 x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (; 2).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 2).
Đáp án D.

Bài 6. Cho hàm số y 

x 1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x 1

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;1).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (; 1).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; ).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 1).
Đáp án B.
Khi kết hợp cám số f ( x), xác định trên

, có bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

Hàm số y  f ( 2 x  4) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B. (2;  ).
A. .
Đáp án B
Bài 4. Cho hàm số f ( x), xác định trên

C. (3; 1).

D. (3; ).

, có bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

11

Hàm số y  f ( x 2  4 x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2; ).

B. (0; 2).

C. (; 2).
Giải

D. (;0).

Tập xác định D  (;0] [4; ).
Ta có

y'

  x  2  0

2
3  x  4 x  1

x2
. f '( x 2  4 x )  0    x  2  0
 x2
x2  4x
   2
   x  4 x  3
 2
   x  4 x  1

Kết hợp tập xác định ta có hàm số đồng biến trên (;0).

Đáp án D.
Bài 5. Cho hàm số f ( x), xác định trên

, có bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

Hàm số y  f (  x 2  2 x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B. (0;1).
A. (1; 2).
Đáp án B
Bài 6. Cho hàm số f ( x), xác định trên

C. (0; 2).

D. (3; 1).

, có bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

Tập tất cả các giá trị của m để hàm số y  f (x  m  1) đồng biến trên các khoảng (0;2)
là.
12


A. (0; 4).

B. [0; 4].

Đáp án B
Bài 7. Cho hàm số f ( x), xác định trên

C. (0; 2).

D. [0; 2].

, có bảng xét dấu hàm số f '( x) như sau

Tập giá trị m nguyên để hàm số y  f (  x  m ) đồng biến trên khoảng (1; ) là
x 1

A. .
B. \ {1}.
C. (;1).
D. (1; ).
Đáp án C
b) Xây dựng các bài toán cực trị dựa trên bài toán gốc
Bài toán gốc. Cho hàm số y  f ( x), liên tục trên , và có bảng biến thiên của hàm số
f '( x) như sau

Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x) là
A. 1.

B. 2.

C. 3.
Giải

D. 5.

Dựa vào bảng trên ta có hàm số có 3 cực trị
Đáp án C.
Chúng ta có thể định hướng mẫu cho học sinh phát triển thành các bài toán như

sau từ bài toán gốc. Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f (u(x)) , lưu ý các biểu thức
u ( x) không cho một cách tùy ý bởi nhiều khi khơng giải quyết được số nghiệm các
phương trình u ( x) =a
Bài 1. Cho hàm số y  f ( x), liên tục trên , và có bảng biến thiên của hàm số f '( x)
như sau

13


Số điểm cực trị của hàm số y  g ( x)  f (1  2 x) là
A. 4.

B. 3.

C. 6.
Giải

D. 5.

Xét hàm số y  g ( x)  f (1  2 x), ta có
1  2 x  x1  (; 1)

1  2 x  x2  (1; 0)
g'(x)  2 f '(1  2 x)  0  
1  2 x  x3  (0;1)

1  2 x  x4  (1; )

Vậy chứng tỏ phương trình g '( x)  0, có 4 nghiệm đơn phân biệt, suy ra hàm số
y  g ( x), có 4 điểm cực trị

Đáp án A
Khi chúng ta thay x bởi biểu thức x 2  2 x, thì thu được bài tốn đã từng được
thi trong kì thi THPTQG năm 2019
Bài 2. Cho hàm số y  f ( x), liên tục trên , và có bảng biến thiên của hàm số f '( x)
như sau

Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x 2  2 x) là
B. 9.

B. 3.

C. 7.
Lời giải

D. 5.

 x  a, a  (; 1)
 x  b, b  (1; 0)
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f '( x)  0  
 x  c, c  (0;1)

 x  d , d  (1; )
14


Xét hàm số y  f ( x 2  2 x), ta có
x  1
 2
x  2x  a
1

x



y '  2( x  1) f '( x 2  2 x)  0  
 x2  2x  b
2
 f '(x  2 x)  0
x2  2x  c

x2  2x  d


(1)
(2)
(3)
(4)

Do x 2  2 x  ( x  1) 2  1  1, suy ra ta có:
Phương trình (1) với a  1 vơ nghiệm;
Phương trình (2) với b  (1;0) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ;
Phương trình (3) với c  (0;1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và khác các
nghiệm của phương trình (2) ;
Phương trình (4) với d  (1; ) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và khác các
nghiệm của phương trình (2) và (3).
Vậy phương trình y '  0 có 7 nghiệm phân biệt và qua các gia trị nghiệm đó đổi
dấu nên hàm số y  f ( x 2  2 x) có 7 điểm cực trị.
Đáp án C.
Đây là bài tốn địi hỏi người làm được cần có một năng lực tốn học tốt, biết
kết hợp, vận dụng nhiều kiến thức liên quan như đạo hàm của hàm hợp, kĩ năng đọc

bảng biến thiên, kĩ năng giải và biện luận số nghiệm của phương trình. Sau đây tơi
xin trình bày một số bài tốn được phát triển.
Bài 3. Cho hàm số y  f ( x), liên tục trên , và có bảng biến thiên của hàm số f '( x)
như sau

Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x  1) là
A. 1.

B. 3.

C. 2.
Lời giải

D. 4.

15


 x  a, a  (; 1)
 x  b, b  (1;0)
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f '( x )  0  
 x  c, c  (0;1)

 x  d , d  (1; )




1
f '( x  1)  0  

Xét hàm số y  f ( x  1), ta có y ' 
2 x 1




x  1  a (1)
x  1  b (2)
x  1  c (3)
x  1  d (4)

Do x  1  0, suy ra ta có:
Các phương trình (1);(2) vơ nghiệm;
Phương trình (3) với c  (0;1) có nghiệm là x  c 2  1  (1; 2)
Phương trình (4) với d  (1; ) có nghiệm x  d 2  1  (1;  )
Vậy phương trình y '  0 có 2 nghiệm lẻ phân biệt và qua các gia trị nghiệm đó
đổi dấu nên hàm số y  f ( x  1) có 2 điểm cực trị.
Đáp án C.
Bài 4. Cho hàm số y  f ( x), liên tục trên
như sau

, và có bảng biến thiên của hàm số f '( x)

Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x 2  1) là
A. 1.

B. 2.

C. 3.
Lời giải

D. 4.

 x  a, a  (; 1)
 x  b, b  (1;0)
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f ( x)  0  
 x  c, c  (0;1)

 x  d , d  (1; )

16


Xét hàm số y  f ( x 2  1), ta có y ' 

Do x 2  1  1,  x 

x  0
 2
 x 1  a

x
f '( x 2  1)  0   x 2  1  b
x2  1
 2
 x 1  c
 2
 x 1  d

(1)

(2)
(3)
(4)

suy ra ta có:

Các phương trình (1);(2);(3) vơ nghiệm;
Phương trình (4) với d  (1; ) có nghiệm x   d 2  1  0
Vậy phương trình y '  0 có 3 nghiệm lẻ phân biệt nên hàm số y  f ( x 2  1) có 3 điểm
cực trị.
Đáp án C.
Bài 5. Cho hàm số y  f ( x), bảng biến thiên của hàm số f '( x) như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số y  3 f  x   2 f  x  .
A. 2 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 4 .
Đáp án D
Chúng ta cỏ thể định hướng mẫu cho học sinh phát triển thành các bài toán như
sau từ bài tốn gốc. Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f (u(x))  v(x), ta được một
số bài toán khá hay.
Bài 6. Cho hàm số y  f ( x), bảng biến thiên của hàm số f '( x) như sau

17


Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x  2019   2020 x  2021 là
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải.

Ta có g   x   f '  x  2019   2020; g   x   0  f '  x  2019   2020.
Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  suy ra phương trình f '  x  2017   2018 có 1 nghiệm
đơn duy nhất. Suy ra hàm số g  x  có 1 điểm cực trị.
Đáp án A.
Bài 7. Cho hàm số y  f ( x), bảng biến thiên của hàm số f '( x) như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số y  g ( x)  f ( x)  x  2.
B. 3.
C. 0.
D. 1.
A. 2.
Đáp án A
Bài 8. Cho hàm số y  f ( x), bảng biến thiên của hàm số f '( x) như sau

1
2

Tìm số điểm cực trị của hàm số y  g ( x)  f ( x)  x 2  2 x  2.
A. 2.
B. 3.
C. 0.
D. 1.

Đáp án C
Bài 9. Cho hàm số y  f ( x), bảng biến thiên của hàm số f '( x) như sau

18


1
3

2
3

Tìm số điểm cực trị của hàm số y  g ( x)  f ( x)  x3  2 x  .
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 1.
Đáp án A
c) Xây dựng các bài toán tương giao dựa trên bài toán gốc.
Với các định hướng tương tự như trên, chúng ta cỏ thể đưa ra các bài toán gốc về
tương giao của các đồ thị, hay bài tốn tìm số nghiệm của một phương trình đê các
em phát triển bài toán tương tự và các bài toán nâng cao lên ở mức độ khó hơn
Bài tốn gốc. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số nghiệm thực của phương trình f ( x)  2 là
A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Giải
Số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  với đường thẳng y  2, là 3 nên số nghiệm
của phương trình là 3
Đáp án A
Ta cỏ thể định hướng cho học sinh phát triển bằng cách thế x bởi u( x), hoặc là
vận dụng phép biến đổi đồ thị, hoặc kết hợp cả hai để tạo ra những bài toán mới
Bài 1. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

19


Số nghiệm thực của phương trình f ( 2 x  1)  2 là
A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Giải
 2 x  1  x1  (1; 0) : vn

Từ đồ thị ta có  2 x  1  x2  (1; 2)
.

 2 x  1  x3  (2;3)

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt. Đáp án B
Bài 2. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số nghiệm thực dương của phương trình f (x 2  2 x)  1 là
A. 3.

B. 2.

C. 5.

D. 4.

 x 2  2 x  x1  (1;0)
 x 2  2 x  x1  0(1)


Từ đồ thị ta có  x 2  2 x  1
  x 2  2 x  1  0(2) .
 x 2  2 x  x  (1;3)
 x 2  2 x  x  0(3)
3
3



Phương trình (1) có  '  1  x1  0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương là
x  1   '(0   '  1)

Các phương trình (2); (3) mỗi phương trình có hai nghiệm trái dấu

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm dương
Đáp án D
20


Bài 3. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số nghiệm thực của phương trình f ( 2 x  1)  2 là
A. 3.

B. 2.



 f ( 2 x  1)  2

Từ đồ thị ta có 

 f ( 2 x  1)  2




C. 1.

D. 0.

2 x  1  x1  (1; 0) : vn
2 x  1  x2  (0; 2)
2 x  1  x3  (2;3)

.

2 x  1  x3  (3; )

Suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Đáp án A
Bài 4. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm thực
của phương trình f  x 3  3x  

A. 8 .

3
là
2

B. 4 .

C. 7 .

D. 3 .
21


Lời giải
 x 3  3 x  a1 ,  1  a1  0 
3

3
 3

 f  x  3x   2
 x  3 x  a2 , 1  a2  2 
3
3
.
Ta có f  x  3 x    
 3
2
 f  x3  3x    3
 x  3 x  a3 ,  2  a3  3 

2
 3
 x  3 x  a4 ,  a3  3 

Bảng biến thiên hàm số y  x 3  3 x :
x



1

+

y'
y



1

-

0

0

+


2



2

Từ đó, ta có:
Phương trình

x 3  3 x  a1

có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình

x 3  3 x  a2

có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình

x 3  3 x  a3

có 1 nghiệm.

Phương trình

x 3  3 x  a4

có 1 nghiệm.

Vậy phương trình f  x 3  3x  

3
có 8 nghiệm phân biệt.
2

Đáp án A
Bài 5. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên.

22


Số nghiệm thực của phương trình f  x3  3x  
A. 6 .
Đáp án B

1
là
2

B. 10 .

Bài 6. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

C. 12 .

D. 3 .

và có đồ thị như hình.

Tập hợp tất cả các giá trị thực tham số

m

để phương trình f  cos x   m có 3

3
nghiệm phân biệt thuộc khoảng  0;  là

A.  1;1.


B.  1;1 .

2 

C.  1;3 .
D. (0;1).
Lời giải.

Để phương trình f  cos x   m có 3 nghiệm x phân biệt thuộc khoảng

 3 
 0;  thì phương trình f  cos x   m phải có hai nghiệm cos x phân biệt, trong đó có
 2 
1 nghiệm thuộc  1;0 và một nghiệm thuộc  0;1 .

Dựa vào đồ thị, suy ra m  1;1 .
Đáp án B.
Bài 7. Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên

, có đồ thị như hình vẽ.

23


Với m là tham số bất kì thuộc  0;1. Phương trình f  x3  3x 2   3 m  4 1  m  3
có bao nhiêu nghiệm thực?
B. 3.
C. 5.
D. 9.
A. 2.
Lời giải.
Đặt k  3 m  4 1  m  3  0  k  2.
Đặt t  x   x3  3x 2 , có t   x   3x 2  6 x; t   x   0  x  0 hoặc x  2.
Bảng biến thiên hàm số y  x 3  3 x 2 :
x

0



+

y'
y

0



2

-

0



0


+

4

Phương trình trở thành f  t   k với k   0; 2
t  a  (1; 0)
Từ đồ thị suy ra t  b  (0; 2) .
t  c  (2;3)

Từ bảng biến thiên suy ra
t  a phương trình có 3 nghiệm
t  b phương trình có 1 nghiệm

t  c phương trình có 1 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm.
Đáp án C.
Bài 8. Cho hàm số f  x  liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

24


Số

giá

trị

nguyên

của

tham
số
để
phương

trình
m
f  cos x    m  2020  f  cos x   m  2021  0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn
0; 2  là
2

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Đáp án B.
Bài 9. Cho hàm số f  x  liên tục trên

và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương
trình f  f  cos 2 x    0 ?
A. 10 điểm.

B. 9 điểm.

C. 8 điểm.

D. Vô số.

Đáp án A

Bài 10. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hỏi phương trình f  f  cos x   1  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn  0; 2  ?
A. 2.
Đáp án B.

B. 4.

C. 5.

D. 6.
25


Bài 11. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

m
để phương trình f  2 sin x   f  
2




có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn   ; 2  ?
A. 2.
B. 3.

Đáp án B.
2.3.3. Tổ chức thực hiện đề tài

C. 4.

D. 5.

Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập hay là những buổi học chuyên
đề. Thầy giáo đưa ra một số ví dụ về cách xây dựng bài tốn mới từ bài tốn cơ bản,
sau đó hướng dẫn học sinh tự tìm tịi và phát hiện một số vấn đề xung quanh nó.
Hình thức giáo viên giao nhiệm vụ, học sinh nghiên cứu các bài toán với sự
hướng dẫn của giáo viên.
Tiết 1
Hoạt động của giáo viên
Nêu mục tiêu và ý tưởng đề tài

Hoạt động của học sinh
Quan sát, chú ý lắng nghe

Đưa ra bài toán gốc ( Bài toán gốc 1) và Quan sát, thảo luận
một số ví dụ bài tốn ( Các bài 1, 3, 5) Thực hiện nhiệm vụ
đã được giáo viên phát triển, cho học Trình bày báo cáo
sinh giải bài tốn gốc và các bài tốn đó Nhận xét báo cáo của các bạn
Đánh giá và nhận xét
Cho học sinh phát triển và giải các bài Thực hiện nhiệm vụ
toán này trên lớp bài tốn gốc được đưa Trình bày báo cáo
26


ra

Nhận xét báo cáo của các bạn

Phân công nhiệm vụ về nhà
Chia lớp thành 3 nhóm
Cử các em: Mạnh, Trang, Trà lần lượt
làm nhóm trưởng của 3 nhóm 1, 2, 3
Giao nhiệm vụ phát triển bài tốn cho
các nhóm
Nhóm 1. Phát triển bài tốn tính đơn
điệu của hàm số ( Bài tốn gốc 2 phần
đơn điệu).
Nhóm 2: Phát triển bài tốn cực trị ( Bài
tốn gốc phần cực trị)
Nhóm 3: Phát triển bài toán tương giao
( Bài toán gốc phần tương giao)

Phân chia các nhóm theo sự phân cơng
của giáo viên
Các thành viên của mỗi nhóm phân
cơng phát triển bài tốn ở các mức độ
thơng hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao
Nhóm trưởng mỗi nhóm tổng hợp bài
các thành viên tổ mình và cử thành viên
báo cáo.

Tiết 2-3
Hoạt động giáo viên

Hoạt động học sinh

Tổ chức cho đại diện các nhóm báo cáo Chú ý, quan sát và thực hiện các nhiệm
Cho các thành viên trong mỗi nhóm tự vụ
nhận xét nhóm mình ( Nội dung, mức
độ hợp tác, khối lượng hồn thành cơng
việc của các thành viên)
Cho các nhóm nhận xét chéo
Giáo viên tổng hợp đánh giá, nhận xét
cho mỗi nhóm
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Đánh giá phẩm chất năng lực
- Số lượng học sinh được khảo sát: 44 em
1.
2.

Tơi đã học được kiến thức gì?
Hiểu biết về nội dung kiến thức có liên quan tới dự án: 44 em
Tôi đã phát triển được những kĩ năng gì?
Làm việc, học tập theo nhóm/tập thể: 44 em
27


Làm việc tư duy độc lập, hoạt động cá nhân: 40 em
Thuyết trình: 3 em
Học cách lắng nghe, tơn trọng ý kiến khác: 6 em
Giao tiếp tốt: 8 em
Bình tĩnh giải quyết vấn đề: 10 em
Tìm kiếm, chọn lọc dữ liệu, xử lí thơng tin: 20 em
Tơi đã xây dựng được thái độ nào tích cực?
Vui vẻ hồ đồng, hăng say tích cực làm việc: 30 em

Cẩn thận: 6 em
Kiên nhẫn: 5 em
Làm việc nghiêm túc: 35 em
Đoàn kết: 44 em
Tôn trọng ý kiến khác: 15 em
3. Biết bảo vệ ý kiến cá nhân: 6 em
Tự tin: 6 em
Tích cực học hỏi: 15 em
Tinh thần đóng góp, phối hợp: 30 em
Tự giác hồn thành cơng việc: 25 em
Chia sẻ ý kiến và thảo luận: 30 em
Có trách nhiệm: 36 em
Tơi có hài lịng với các kết quả nghiên cứu của dự án khơng? Vì sao?
4. Hài lịng, vì nhóm đã làm việc và cố gắng hết mình: 25 em
Hài lịng, vì cả nhóm đồn kết làm việc: 30 em
Hài lịng, do kết quả sản phẩm dự án tốt, tăng vốn kiến thức: 9 em
Tương đối hài lịng, vì vẫn cịn một số sai sót khơng như ý: 25 em
5. Tơi đã gặp phải những khó khăn gì Tơi đã giải quyết những khó khăn
khi thực hiện dự án?
đó như thế nào?
Thu thập và chọn lọc thơng tin khó Hỗ trợ tư vấn cho các em
khăn: 20 em
Phân công công việc: 3 em nhận nhiệm - Cùng nhóm giải quyết
vụ chính làm nhóm trưởng
- Tìm trên mạng: 15 em
28