Phân dạng và hệ thống các bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (734.19 KB, 41 trang )
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1/Lý do chọn đề tài:
Bài tập hình học khơng gian nói chung và bài tập về đườ ng thẳng, mặt phẳng
và quan hệ song song nói riêng là một nội dung quan tr ọng trong ch ương trình
mơn Tốn THPT, các kiến thức liên quan của dạng tốn này thườ ng xun xuất
hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi vào các trườ ng Đại học,
cao đẳng trong cả nước.
Đườ ng thẳng và mặt phẳng là những khái niệm quen thuộc trong đời sống
hàng ngày, chúng cũng là những đối tượ ng cơ bản, mở đầu của hình học khơng
gian, học sinh đượ c nghiên cứu chúng trong Chương II hình học lớp 11. Do tính
trừu tượng của hình học khơng gian và sự bỡ ngỡ mới tiếp xúc nên học sinh
thườ ng lúng túng, mất định hướng và thiếu tự tin vào bản thân khi làm các bài
tập về phần này ,về phần giáo viên củng gặp khơng ít khó khăn khi truyền đạt
nội dung kiến thức. Việc phân loại bài tốn, đưa ra phương pháp giải phù hợp
đối với từng trường hợp và hệ thống các ví dụ phong phú sẽ giúp học sinh định
hướ ng đượ c phươ ng pháp trong q trình giải bài tập.
Xuất phát từ tầm quan trọng của n ội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở
ngại cho học sinh trong q trình tiếp cận với bài tập hình học khơng gian, cùng
với sự tích luỹ kinh nghiệm có đượ c của bản thân qua nhiều năm giảng dạy;
Kết hợp với những kiến th ức mà tơi đã lĩnh hội đượ c trong chươ ng trình Đại
học Tốn và đặc biệt là sự động viên, đóng góp ý kiến tận tình của các đồng
nghiệp. Tơi mạnh dạn chọn đề tài “ Phân dạng và hệ thống các bài tập về
đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng gian”.
Qua đề tài, tơi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này,
tự phân loại được một số dạng bài tập thườ ng gặp, nêu lên một số phương
pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong
việc giải bài tập và phát huy đượ c khả năng phân tích, tổng hợp, khái qt hố
các bài tập nhỏ. Từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo trong
học tập. Hy vọng rằng đề tài này sẽ là một tài liệu có ích cho các đồng nghiệp,
cũng như học sinh trong q trình giảng dạy và học tập.
2/Mục tiêu nghiên cứu:
Nhằm hệ thống được các kiến thức về đườ ng thẳng, mặt phẳng và quan
hệ song song trong khơng gian, trình bày các kết quả qua q trình nghiên cứu.
Giúp các em học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt
==========================================================
1
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
vào việc giải bài tập, đồng thời định hướ ng cho các em học sinh suy nghĩ và
sáng tạo những bài tốn mới.
Hệ thống đượ c các ví dụ theo dạng giúp củng cố lý thuyết và rèn luyện
kỹ năng giải bài tập thơng qua đó nâng cao khả năng phân tích, định hướng cách
giải bài tập.
3/Nhiệm vụ nghiên cứu:
Thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy Tốn làm cho học sinh sáng
tạo tìm những hướng giải quy ết mới cho bài tốn đượ c đưa ra.
Lựa chọn các ví dụ phù hợp, sau khi dạy mỗi dạng có bài tập tương tự
cho học sinh tự luy ện t ập ở nhà.
Hệ thộng bài tập đưa ra đượ c sắp xếp từ dễ đến khó.
4/Các phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận chung.
Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
Nghiên cứu tài liệu, tổng hợp lựa chọn phương pháp giải và ví dụ phù hợp.
Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm.
Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ mơn.
Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua q trình
giảng dạy.
5/Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
Đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian.
Quan hệ song song trong khơng gian.
Các kiến thức hình học phẳng.
6/Đối tượng khảo sát và thời gian thực hiện đề tài:
Đề tài được áp dụng đối với học sinh các lớp 11A3, 11A4,11A10 – Trường
THPT nơi tơi đang cơng tác với đối tượng là các học sinh học lực trung bình, trung
bình khá. Thực hiện trong học kỳ I năm học 20132014 vào các giờ luyện tập, tự
chọn và tăng buổi sau khi học sinh đã được học xong từng bài của chương II hình
học 11 tương ứng.
==========================================================
2
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
II . PHẦN NỘI DUNG
1/ Cơ sở lý khoa học của đề tài
1.a) Cơ sở lý luận của đề tài
1.a.1 Các tính chất thừa nhận của hình học khơng gian
Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm khơng thẳng hàng.
Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt
phẳng thì
mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm khơng cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng cịn có
một điểm chung khác nữa.
Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng
đều
đúng.
1.a.2 Hai đường thẳng song song
a) Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong
một mặt phẳng và khơng có điểm chung.
b) Các tính chất:
Định lý 1: Trong khơng gian, qua một điểm khơng nằm trên đường thẳng cho
trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Định lý 2(về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đơi một cắt nhau
theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một
song song.
==========================================================
3
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song
song thì giao tuyến của chúng ( nếu có)cũng song song với hai đường thẳng đó
hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Định lý 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau.
1.a.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng
a) Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu
chúng khơng có điểm chung.
b) Các tính chất:
Định lý 1: Nếu đường thẳng d khơng nằm trong mặt phẳng và d song song
với đường thẳng d ' nằm trong thì d song song với .
Định lý 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng
chứa a và cắt theo giao tuyến b thì b song song với a .
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng
thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Định lý 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chúa
đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
1.a.4 Hai mặt phẳng song song
a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng khơng
có điểm chung.
b) Các tính chất:
Định lý 1: Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a,b cùng
song song với mặt phẳng thì song song với .
Định lý 2: Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một
mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng thì qua d có duy
nhất một mặt phẳng song song với .
Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau.
Hệ quả 3: Cho điểm A khơng nằm trên mặt phẳng . Mọi đường thẳng đi qua
A và song song với đều nằm trên mặt phẳng đi qua A và song song với .
Định lý 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này
thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
1.b) Cơ sở thực tiễn của đề tài
Trong q trình giảng dạy của mình, tơi nhận thấy rằng học sinh thường lúng
túng, e ngại khi học hình học, đặc biệt là hình học khơng gian. Học sinh khơng vẽ
được hình biễu diễn hoặc vẽ khơng đúng, khơng tưởng tượng được khơng gian
==========================================================
4
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
trên nền mặt phẳng, khơng xác định được sự cắt nhau của các đường thẳng , của
đường thẳng với mặt phẳng; từ đó dẫn đến tâm lý bng xi, bỏ qua khơng học.
2/ Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Sau khi dạy xong “Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng” của chương
II Hình học 11 Ban cơ bản, trước khi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến cho học
sinh lớp 11A3, 11A4, 11A10 tơi đã ra bài tập về nhà cho học sinh với thời gian
chuẩn bị một tuần. Nội dung bài tập như sau:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P lần
lượt là trung điểm SB,SD,OC
a) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC).
b) Tìm giao điểm của SA và (MNP).
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP)
Kết quả thu được như sau:
Điểm từ 5 đến dưới
Điểm 8 trở lên
Điểm dưới 5
8
Tổng
Lớp
số
Số
Số
Tỷ lệ Số lượng
Tỷ lệ
Tỷ lệ
lượng
lượng
11A3
45
2
4,5%
10
22,2%
33
73,3%
11A4
45
1
2,2 %
8
17,8%
36
80%
11A10
44
0
0%
10
22,7%
34
77,3%
Từ kết quả thu được ta thấy mặc dù bài tập tương đối dễ, dạng tốn cơ bản và
thời gian chuẩn bị thoải mái nhưng học sinh vẫn chưa nắm được kỹ năng giải nên
việc thực hiện đề tài là cần thiết.
3/Nội dung nghiên cứu:
3.1 Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
3.1.a) Lý thuyết
Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng
Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng .
Chú ý : Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng
đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó . Giao điểm , nếu có của hai
đường thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng .
3.1.b) Ví dụ áp dụng
==========================================================
5
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng ( ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối khơng song
song và điểm S ( ) .
a. Xác định giao tuyến của (SAC ) và (SBD).
b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD).
Giải:
a. Xác định giao tuyến của (SAC) và
(SBD)
Ta có :
S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
Trong (α), gọi O = AC ∩ BD
O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC)
O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD)
⇒ O là điểm chung của (SAC) và (SBD)
Vậy: SO là giao tuyến của (SAC) và
(SBD)
b.Xác định giao tuyến của (SAB) và
(SCD)
Ta có:
S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
Trong (α) , AB khơng song song với CD, Gọi I = AB ∩ CD
I ∈ AB mà AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB)
I ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD)
Nên I là điểm chung của (SAB) và (SCD)
Vậy : SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD).
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD , M là một điểm thuộc miền trong tam giác ABD , N
là một điểm thuộc miền trong tam giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mặt
phẳng sau: a. (AMN) và (BCD).
b. (DMN) và (ABC).
Giải:
==========================================================
6
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
a. Tìm giao tuyến của (AMN) và (BCD)
A
Trong (ABD ) , gọi E = AM ∩ BD
• E ∈ AM mà AM ⊂ ( AMN)
P
⇒ E∈ ( AMN)
M
• E ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD)
⇒ E∈ ( BCD)
N
Q
Nên E là điểm chung của mp (AMN) và B
D
(BCD )
E
Trong (ACD ) , gọi F = AN ∩ CD
• F ∈ AN mà AN ⊂ ( AMN)
F
⇒ F∈ ( AMN)
C
• F ∈ CD mà CD ⊂ ( BCD)
⇒ F∈ ( BCD)
Nên F là điểm chung của mp ( AMN) và (BCD )
Vậy: EF là giao tuyến của mp( AMN) và (BCD )
b. Tìm giao tuyến của (DMN) và (ABC)
Trong (ABD ) , gọi P = DM ∩ AB
• P ∈ DM mà DM ⊂ ( DMN) ⇒ P∈ (DMN )
• P ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ P∈ (ABC)
⇒ P là điểm chung của mp ( DMN) và (ABC )
Trong (ACD) , gọi Q = DN ∩ AC
• Q ∈ DN mà DN ⊂ ( DMN) ⇒ Q∈ ( DMN)
• Q ∈ AC mà AC ⊂ ( ABC) ⇒ Q∈ ( ABCA)
Nên Q là điểm chung của mp ( DMN) và (ABC ).
Vậy: PQ là giao tuyến của mp ( DMN) và (ABC )
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nằm trong mp ( P) và a là một đường thẳng nằm
trong mp ( P) và khơng song song với AB và AC . S là một điểm ở ngồi mặt
phẳng ( P) và A’ là một điểm thuộc SA . Xác định giao tuyến của các cặp mặt
phẳng sau:
a. mp (A’,a) và (SAB)
b. mp (A’,a) và (SAC)
Giải:
==========================================================
7
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
a. • A’ ∈ SA mà SA ⊂ ( SAB)
⇒ A’∈ ( SAB)
•A’∈(A’,a)
⇒ A’ là điểm chung của (A’,a) và (SAB )
Trong ( P), ta có a khơng song song với
AB, Gọi E = a ∩ AB
• E ∈ AB mà AB ⊂ (SAB )
⇒ E ∈ (SAB )
• E ∈ ( A’,a)
⇒ E là điểm chung của ( A’,a) và (SAB )
Vậy: A’E là giao tuyến của ( A’,a) và (SAB)
b. Xác định giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC)
• A’ ∈ SA mà SA ⊂ ( SAC) ⇒ A’∈ ( SAC)
• A’ ∈ ( A’,a)
⇒ A’ là điểm chung của ( A’,a) và (SAC )
Trong ( P) , ta có a khơng song song với AC, Gọi F = a ∩ AC
• F∈ AC mà AC ⊂ (SAC ) ⇒ F ∈ (SAC )
• F ∈ ( A’,a)
⇒ F là điểm chung của ( A’,a) và (SAC )
Vậy: A’F là giao tuyến của ( A’,a) và (SAC )
3.1c) Bài tập tương tự :
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M,N lần lượt là
trung điểm SB,SD; P là điểm thuộc cạnh Sc sao cho PC
b) (NMP) và các mặt của hình chóp.
Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy lớn AD. Gọi M,N là trung điểm
BC,CD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) (SAC) và (SBD). b) (SMN) và (SAD).
c) (SAB) và (SCD). d) (SMN) và (SAC). e) (SMN) và (SAB).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thng đáy lớn AD. Gọi I là trung điểm
SA, M là điểm nằm trên AD sao cho MD
1
AD; K là điểm nằm trên cạnh SB sao
4
cho SK=2BK. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) (IMK) và (ABCD).
b) (INK) và (SBD).
c) (IMK) và (SBC).
==========================================================
8
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD coa đáy là hình bình hành tâm O. M, N lần lượt là
các điểm thuộc cạnh SA,SB sao cho: BM
1
BS ; SN
4
3
SA . Tìm giao tuyến của :
4
a) (OMN) và (SAB).
b) (OMN) và (SAD).
c) (OMN) và (SBC).
d) (OMN) và (SCD).
3.2) Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
3.2.a) Lý thuyết
Bài tốn : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (α)
Phương pháp : • Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (α)
• Giao điểm của a và b là giao đường thẳng a và mặt phẳng
(α)
Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp (α) và mp (β) ⊃ a
Cần chọn mp (β) chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của
mp (α) và mp (β) dễ xác định và giao tuyến khơng song song với
a
3.2.b) Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1 : Trong mp (α) cho tam giác ABC . Một điểm S khơng thuộc (α). Trên
cạnh AB lấy một điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm
M, N sao cho MN khơng song song với AB.
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (α)
Giải:
==========================================================
9
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
a. Tìm giao điểm của đường thẳng
S
MN với mặt phẳng (SPC )
Trong (SAB) , gọi E = SP ∩
M
MN
• E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC)
E
⇒ E ∈(SPC)
• E ∈ MN
N
Vậy : E = MN ∩ (SPC )
C
A
b. Tìm giao điểm của đường thẳng
MN với mp (α)
P
Trong (SAB) , MN khơng song
B
song với AB, Gọi D = AB ∩ MN
D
• D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α)
• D ∈ MN
Vậy: D = MN ∩ (α)
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD . Trên đoạn SC lấy một điểm M khơng
trùng với S và C . Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM )
Giải:
• Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SD
S
• Tìm giao tuyến của hai mp ( SBD)
N
và (ABM )
Ta có B là điểm chung của ( SBD)
M
và (ABM )
K
Tìm điểm chung thứ hai của
D
( SBD) và (ABM )
A
Trong (ABCD ) , gọi O = AC ∩ BD
O
C
Trong (SAC ) , gọi K = AM ∩ SO
B
K∈ SO mà SO ⊂ (SBD)
⇒ K ∈( SBD)
K∈ AM mà AM ⊂ (ABM )
⇒ K ∈( ABM )
⇒K là điểm chung của (SBD)và (ABM )
⇒ ( SBD) ∩ (ABM ) = BK
• Trong (SBD) , gọi N = SD ∩ BK
==========================================================
10
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không
gian
===========================================================
=
N∈ BK mà BK ⊂ (AMB) ⇒ N
∈(ABM)
N ∈ SD . Vậy : N = SD ∩ (ABM)
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, trên cạnh AB lấy một điểm M , trên cạnh SC
lấy một điểm N ( M , N khơng trùng với các đầu mút ) .
a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
Giải:
a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN
với mặt phẳng (SBD)
• Chọn mặt phẳng phụ (SAC) ⊃ AN
• Tìm giao tuyến của ( SAC) và
(SBD)
Trong (ABCD) , gọi P = AC ∩ BD
⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SP
• Trong (SAC), gọi I = AN ∩ SP
I ∈ AN
I ∈ SP
mà SP ⊂ (SBD) ⇒ I ∈ (SBD)
Vậy : I = AN ∩ (SBD)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng
MN với mặt phẳng (SBD)
• Chọn mặt phẳng phụ (SMC) ⊃
MN
• Tìm giao tuyến của ( SMC ) và
(SBD)
Trong (ABCD) , gọi Q = MC ∩ BD
⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SQ
• Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SQ
S
I
N
J
A
D
P
M
Q
C
B
J∈ MN
==========================================================
11
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
J ∈ SQ mà SQ ⊂ (SBD)⇒J∈ (SBD)
Vậy: J = MN ∩ (SBD)
3.2.c) Bài tập tương tự :
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD//BC). M,N là hai
điểm bất kỳ trên SB,SD. Tìm giao điểm của:
a) SA và (MCD) b) MN và (SAC) c) SA và (MNC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SC.
a) Tìm giao điểm I của AM và (SBD)
b) Tìm giao điểm J của SD và (ABM).
c) Gọi N là điểm thuộc cạnh AB. Tìm giao điểm của MN và (SBD).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M,N,P
lần lượt là các điểm nằm trên cạnh SA, AB, BC. Tìm giao điểm của
a) MP và (SBD) b) SD và (NMP) c) SC và (MNP)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N
lần lượt là trung điểm SB,AD và G là trọng tâm tam giác SAD.Tìm giao tuyến của:
a) GM và (ABCD) b) AD và (OMG) c) SA và (OMG)
Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB//CD,AB>CD). Lấy
các điểm I,M,K lần lượt nằm trên các cạnh SA,CD,BC.
a) Tìm giao tuyến của (IMK) với mặt phẳng (SAB).
b) Tìm giao tuyến của (IMK) với mặt phẳng (SAC).
c) Tìm giao tuyến của (IMK) với mặt phẳng (SAD).
d) Tìm giao điểm của SB và (IMK).
e) Tìm giao điểm của IC và (SMK).
3.3) Dạng 3: Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.
3.3.a) Lý thuyết
Thiết diện( hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi mặt phẳng là phần chung
của H và .
Để xác định thiết diện của hình H khi cắt bởi mặt phẳng ta tìm giao tuyến
của với các mặt của hình chóp từ đó tìm các đoạn giao tuyến và kết luận.
Chú ý: Nếu những giao tuyến của với các mặt của H nằm hồn tồn phía
ngồi hình H ta khơng cần tìm( nếu khơng cần thiết).
3.3.b) Ví dụ áp dụng
==========================================================
12
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm các đoạn
thẳng AB , AD và SC. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
(MNP)
Giải:
Trong (ABCD) , gọi E = MN ∩ DC
F = MN ∩ BC
Trong (SCD) , gọi Q = EP ∩ SD
Trong (SBC) , gọi R = FP ∩ SB
Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD . Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC
. Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM khơng song song với BD . Tìm
thiết diện của tứ diện với mp (HKM ).
Giải:
A
Ta xét hai trường hợp :
TH1 : M ở giữa C và D :
H
Ta có : HK , KM là đoạn giao tuyến
N
L
của (HKM) với (ABC) và (BCD)
D
Trong (BCD), gọi L = KM ∩ BD
B
M
Trong (ABD), gọi N = AD ∩ HL
K
Vậy : thiết diện là tứ giác HKMN
C
TH2: M ở ngồi đoạn CD:
Trong (BCD), gọi L = KM ∩ BD
Vậy : thiết diện là tam giác HKL
A
M
H
L
B
D
K
C
==========================================================
13
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả
sử AD và BC khơng song song .
a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC)
b. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN) .
Giải:
a. Xác định giao tuyến của (SAD) và
( SBC):
Trong (ABCD) , gọi I = AD ∩ BC
Vậy : SI = (SAD) ∩ ( SBC)
b. Xác định thiết diện của hình chóp
S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN)
Trong (SBC) , gọi J = MN ∩ SI
Trong (SAD) , gọi K = SD ∩ AJ
Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M, trong tam
giác SCD lấy một điểm N.
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)
c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
Giải:
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN
S
với mặt phẳng(SAC):
• Chọn mp phụ (SMN) ⊃ MN
N
• Tìm giao tuyến của (SAC ) và
E
D
O
(SMN)
Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và
A
M
(SMN)
N'
Trong (SBC), gọi M’ = SM ∩ BC
I
B
C
M'
Trong (SCD), gọi N’ = SN ∩ CD
Trong (ABCD), gọi I = M’N’ ∩ AC
==========================================================
14
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong không
gian
===========================================================
=
I ∈ M’N’mà M’N’ ⊂ (SMN)
S
⇒ I ∈ ( SMN)
I ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC)
Q
⇒ I là điểm chung của (SMN ) và
N
(SAC)
O
E
D
⇒ ( SMN) ∩ (SAC) = SI
A
• Trong (SMN), gọi O = MN ∩ SI
M
N'
I
C
P
O ∈ MN
B
M'
O ∈ SI mà SI ⊂ ( SAC)
⇒ O ∈ ( SAC)
Vậy : O = MN ∩ ( SAC )
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
• Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC
• Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN)
Ta có : ( SAC) ∩ (AMN) = AO
• Trong (SAC), gọi E = AO ∩ SC
E ∈ SC
E ∈ AO mà AO ⊂ ( AMN) ⇒ E ∈ ( AMN)
Vậy : E = SC ∩ ( AMN )
c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD:
Trong (SBC), gọi P = EM ∩ SB
Trong (SCD), gọi Q = EN ∩ SD
Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ
3.3.c) Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P
lần lượt là trung điểm SB,SD,OC
a) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC).
b) Tìm giao điểm của SA và (MNP).
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, M nằm trên cạnh SC, N,P lần lượt là trung điểm
AB,AD
a) Tìm giao điểm của CD và (MNP).
b) Tìm giao điểm của SD và (MNP).
c) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SBC).
d) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP).
==========================================================
15
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang( AB//CD, AB>CD) .
Gọi I,N theo thứ tự là trung điểm cạnh SA,SB; M là điểm thuộc cạnh SD
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mặt phẳng (SBC).
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mặt phẳng (INM).
d) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (INM).
Bài 4: Cho tứ diện ABCD , trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J,K lần lượt
là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK và
(ABC).
a) Hãy xác định điểm L.
b) Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK).
3.4) Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy.
3.4.a) Lý thuyết
Phương pháp:
Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm
chung của hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến
của hai mặt phẳng đó .
Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai
đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba
.
3.4.b) Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD. S là điểm khơng thuộc (ABCD), M và N lần
lượt là trung điểm của đoạn AB và SC .
a. Xác định giao điểm I = AN (SBD)
b. Xác định giao điểm J = MN (SBD)
c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Giải:
a. Xác định giao điểm I = AN (SBD )
S
Chọn mp phụ (SAC) AN
Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SBD)
S
( SAC) (SBD) = SO
N
Trong (SAC), gọi I = AN SO
I AN
I SO mà SO ( SBD)
I ( SBD) Vậy: I = AN ( SBD)
A
D
I
I
A
J O
J
E
C
N
M
B
M
==========================================================
O
16B
E
C
D
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
b. Xác định giao điểm J = MN (SBD)
Chọn mp phụ (SMC) MN
Tìm giao tuyến của (SMC ) và (SBD)
S là điểm chung của (SMC ) và (SBD)
Trong (ABCD) , gọi E = MC BD ( SAC) (SBD) = SE
Trong (SMC), gọi J = MN SE
J MN, J SE mà SE ( SBD) J ( SBD)
Vậy J = MN ( SBD)
c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Ta có :
B là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
I SO mà SO ( SBD) I ( SBD)
I AN mà AN (ANB) I (ANB)
I là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
J SE mà SE ( SBD) J ( SBD)
J MN mà MN (ANB) J (ANB)
J là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
Vậy : B , I , J thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB,
AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M .
a. Tìm giao điểm K = IJ (SAC)
b. Xác định giao điểm L = DJ (SAC)
c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Giải:
a. Tìm giao điểm K = IJ (SAC)
S
Chọn mp phụ (SIB) IJ
J
Tìm giao tuyến của (SIB ) và
M
(SAC)
L
K
B
S là điểm chung của (SIB ) và (SAC)
A
Trong (ABCD) , gọi E = AC BI
E
I
C
F
(SIB) ( SAC) = SE
D
Trong (SIB), gọi K = IJ SE
K IJ
K SE mà SE (SAC )
O
K (SAC) Vậy: K = IJ ( SAC).
b. Xác định giao điểm L = DJ (SAC)
==========================================================
17
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
Chọn mp phụ (SBD) DJ
Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)
S là điểm chung của (SBD ) và (SAC)
Trong (ABCD) , gọi F = AC BD (SBD) ( SAC) = SF
Trong (SBD), gọi L = DJ SF
L DJ
L SF mà SF (SAC ) L (SAC) Vậy : L = DJ ( SAC)
c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Ta có :A là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
K IJ mà IJ (AJO) K (AJO)
K SE mà SE (SAC ) K (SAC )
K là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
L DJ mà DJ (AJO) L (AJO)
L SF mà SF (SAC ) L (SAC )
L là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
M JO mà JO (AJO) M (AJO)
M SC mà SC (SAC ) M (SAC )
M là điểm chung của (SAC) và (AJO)
Vậy: A ,K ,L ,M thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA,
SB và AC sao cho LM khơng song song với AB, LN khơng song song với SC.
a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
b. Tìm giao điểm I = BC ( LMN) và J = SC ( LMN)
c. Chứng minh rằng ba đường thẳng IJ, SB, MN đồng quy.
Giải:
S
a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và
(ABC)
Ta có :
L
N là điểm chung của (LMN) và (ABC)
C
N
Trong (SAB) , LM khơng song song
với AB, Gọi K = AB LM
A
I
M
K LM mà LM (LMN )
J
K (LMN )
B
K
K AB mà AB ( ABC)
K ( ABC)
Vậy KN là giao tuyến của (LMN) và (ABC)
b. Tìm giao điểm I = BC ( LMN)
==========================================================
18
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
Chọn mp phụ (ABC) BC
Tìm giao tuyến của (ABC ) và (LMN)
(ABC) ( LMN) = NK
Trong (ABC), gọi I = NK BC
I BC
I NK mà NK (LMN )
I (LMN)
Vậy : I = BC ( LMN)
Tìm giao điểm J = SC ( LMN)
Trong (SAC), LN khơng song song với SC, gọi J = LN SC
J SC
J LN mà LN (LMN )
J (LMN). Vậy : J = SC ( LMN)
c. Chứng minh rằng ba đường thẳng IJ, SB, MN đồng quy
Ta có: M = SB MN M ( LMN) (SBC)
Mặt khác: IJ=( LMN) (SBC)
Vậy: M IJ hay ba đường thẳng IJ, SB, MN đồng quy tại M.
Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD và S (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.
a. Tìm giao điểm I = BN ( SAC)
b. Tìm giao điểm J = MN ( SAC)
c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng
Giải:
a. Tìm giao điểm I = BN ( SAC)
Chọn mp phụ (SBD) BN
S
Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)
Trong (ABCD), gọi O = AC BD
N
(SBD) ( SAC) = SO
Trong (SBD), gọi I = BN SO
I
I BN
J
I SO mà SO (SAC )
D
A
I (SAC). Vậy : I = BN ( SAC)
b. Tìm giao điểm J = MN ( SAC) :
Chọn mp phụ (SMD) MN
O
K
C
B
Tìm giao tuyến của (SMD ) và (SAC)
M
Trong (ABCD), gọi K = AC DM
(SMD) ( SAC) = SK
==========================================================
19
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
Trong (SMD), gọi J = MN SK
J MN
J SK mà SK (SAC )
J (SAC). Vậy : J = MN ( SAC)
c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng :
Ta có : C , I , J là điểm chung của
(BCN ) và (SAC)
Vậy : C , I , J thẳng hàng.
3.4.c) Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD có AB cắt CD tại E và I,K lần lượt là
trung điểm cạnh SA,SB, N là điểm tùy ý trên cạnh SD.
a) Tìm giao điểm M của SC và (IKN).
b) CMR: Ba đường thẳng IK, MN, SE đồng quy.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, M,N lần lượt là
trung điểm SA,SC. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M,N,B
a) Tìm giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SAB),(SBC).
b) Tìm giao điểm I của SO với (P), giao điểm K của SD với (P).
c)Xác định giao tuyến của (P) với (SAD) và (SCD).
d)Xác định các giao điểm E,F của các đường thẳng DA,DC với (P). CMR: E,B,F
thẳng hàng.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, có I, M là hai điểm nằm trên AD và SB.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAC) và (SBI).
b) Tìm giao điểm K của IM và (SAC).
c) Tìm giao điểm L của DM và (SAC).
d) CMR: A,K,L thẳng hàng.
3.5) Dạng 5: Chứng minh hai đường thẳng song song.
3.5.a) Lý thuyết
Các phương pháp thường dùng để chứng minh hai đường thẳng song song:
Chứng minh a và b đồng phẳng và khơng có điểm chung (áp dụng các
tính
chất của hình học phẳng)
Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba
Sử dụng các định lý .
Chứng minh bằng phản chứng.
3.5.b) Ví dụ áp dụng
==========================================================
20
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và
ABD. Chứng minh rằng: IJ ∕ ∕ CD
Giải:
Gọi E là trung điểm AB
A
I CE
Ta có :
IJ và CD đồng
J DE
E
phẳng
Do đó :
tâm)
EI
EC
EJ
ED
Vậy : IJ // CD .
1
(tính chất trọng
3
B
I
J
C
D
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và
CD (AB CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
b. Tìm P = SC (ADN)
c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I .Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD .
Tứ giác SABI là hình gì ?
Giải:
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :
S
I
Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕
AB
N
Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình
M
thang )
Vậy : MN ∕ ∕ CD
B
A
b. Tìm P = SC (ADN):
P
Chọn mp phụ (SBC) SC
Tìm giao tuyến của (SBC ) và (ADN)
C
D
Ta có : N là điểm chung của (SBC )
và (ADN)
E
Trong (ABCD), gọi E = AD AC
( SBC) (ADN ) = NE
Trong (SBC), gọi P = SC NE
Vậy : P = SC ( ADN )
c. Chứng minh : SI // AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
==========================================================
21
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
SI (SAB) ( SCD )
AB ( SAB)
Ta có :
CD ( SCD )
AB / / CD
SI // AB // CD
Xét ASI , ta có : SI // MN ( vì cùng song song AB), M là trung điểm AB
SI//MN, SI 2MN
Mà AB//MN, AB 2.MN
Do đó : SI // AB, SI=AB
Vậy : Tứ giác SABI là hình bình hành.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M ,N ,P ,
Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD,AD sao cho MN // BS,
NP//CD, MQ // CD
a. Chứng minh : PQ // SA.
b. Gọi K = MN PQ , Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi
M di động trên cạnh BC.
Giải:
a. Chứng minh : PQ // SA.
Xét tam giác SCD :
S
t
K
Ta có : NP // CD
NP
DS
CN
CS
(1)
P
Tương tự : MN // SB
CN
CS
CM
(2)
CB
CM
CB
DQ
(3)
DA
A
N
D
Q
Tương tự : MQ // CD
Từ (1) , (2) và (3), suy ra:
DP
DS
DQ
Vậy : PQ // SA
DA
B
M
C
b. Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC
Ta có :
BC // AD
BC ( SBC )
AD ( SAD)
S ( SBC ) ( SAD)
giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng St qua S
song song BC và AD
Mà K (SBC) (SAD)
==========================================================
22
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
K St (cố định ) Vậy : K St cố định khi M di động trên cạnh BC.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi
A’,B’,C’ ,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.
b. Gọi M là điểm bất kì trên BC. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp
S.ABCD
Giải:
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình
S
hành :
Trong tam giác SAB, ta có :
1
2
D'
A’B’= AB, A’B’//AB
Trong tam giác SCD, ta có :
1
C’D’= CD , C’D’//CD
2
A'
C'
B'
D
C
N
Mặt khác AB =CD. AB=CD.
M
A
A’B’ // C’D’, A’B’ =C’D’
B
Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:
Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)
Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’
Gọi N = Mx AD
Vậy :
thiết diện là hình thang A’B’MN.
3.5.c) Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có M,N,P,Q lần lượt là
trung điểm của BC,CD,SB,SD.
a) CMR: PQ//MN.
b) Gọi I là trọng tâm tam giác ABC, K là điểm thuộc cạnh SA sao cho
KS
KA
1
.
2
CMR: IK//SM.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB, Gọi M,N lần lượt
là trung điểm SA,SB.
a) Chứng minh rằng MN//CD.
b) Tìm giao điểm P của SD và (AND).
c) AN cắt DP tại I. CMR: SI//AB//CD. Tứ giác SABI là hình gì?
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung
điểm của SC, N là trung điểm OB.
==========================================================
23
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
a) Tìm giao điểm I của SD và (AMN).
b) Tính tỉ số
SI
.
ID
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M,N,P là trung điểm AB,BC,SC, SB=AC.
a) Tìm giao điểm E của SA và (MNP).
b) CMR: NP//ME//SB. Tứ giác MNPE là hình gì?
c) Tìm giao tuyến (ANP) và (SMC)
3.6) Dạng 6: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
3.6.a) Lý thuyết
Bài tốn: Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng :
d ( )
Phương pháp : Vận dụng định lý: d // a
a ( )
d //( )
3.6.b) Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M ,N lần
lượt là trung điểm các cạnh AB và CD .
a. Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD)
b. Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh SB và SC đều song song với
(MNP)
c. Gọi G 1 ,G 2 lần lượt là trọng tâm của ABC và SBC. Chứng minh rằng:
G1G2 // (SAB)
Giải:
a. Chứng minh MN // (SBC):
S
Ta có :
MN ( SBC )
MN // BC
BC ( SBC )
MN //( SBC )
Q
P
Tương tự :
MN ( SAD)
MN // AD
AD ( SAD)
A
MN //( SAD)
b. Chứng minh SB // (MNP):
Ta có :
SB ( MNP )
SB // MP
MP ( MNP )
D
N
M
B
C
SB //( MNP )
==========================================================
24
Bài tập về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song song trong khơng
gian
===========================================================
=
Chứng minh SC // (MNP):
Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD)
Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD),
MN // AD
Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song MN, cắt SD tại Q
PQ = (MNP) (SAD)
Xét SAD , Ta có : PQ // AD
P là trung điểm SA Q là trung điểm SD
Xét SCD , Ta có : QN // SC
SC ( MNP)
SC // NQ
NQ ( MNP)
SC //( MNP )
S
c. Chứng minh G1G2 // (SAB) :
IG
IG2 1
Xét SAI , ta có : 1
IA
IS
3
G1G2 // SA
Q
P
Do đó :
G 1G 2
N G2
C
( SAB)
G 1G 2 // SA
SA
D
G 1G 2 //( SAB)
( SAB)
A
M
G1
I
B
Ví dụ 2: Cho hai hình vng ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau.
Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN.
Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M , N .
a) Chứng minh:
b) Chứng minh: M’N’//(DEF) .
c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.
Giải:
==========================================================
25
