Chuyên đề giải phương trình bồi dưỡng toán 8

CHUN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CĨ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG
Phương pháp giải:
2
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x , rồi đặt ẩn phụ
Bài 1: Giải phương trình: x + 3x + 4 x + 3x + 1 = 0
HD:
2
Thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình: Chia hai vế cho x ta được:
3 1
1 


x2 + 3x + 4 + + 2 = 0 =  x 2 + 2  + 3  x +  + 4 = 0
x x
x  
x

1
1
Đặt x + = y = x 2 + 2 = y 2 − 2 , Thay vào phương trình ta có:
x
x
2
y − 2 + 3y + 4 = 0
4

3

2

Bài 2: Giải phương trình: 6 x + 25x + 12 x − 25x + 6 = 0
HD:
Nhận thấy x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của PT
2
x  0 ta được:


25 6
1
1
6 x 2 + 25x + 12 − + 2 = 0 = 6  x 2 + 2  + 25  x −  + 12 = 0
x x
x
x 


4

3

2

1
1
= t = x 2 + 2 = t 2 + 2 , Thay vào phương trình ta được:
x
x
6 t 2 + 2 + 25t + 12 = 0 = 6t 2 + 25t + 24 = 0

Đặt: x −

(

)

Bài 3: Giải phương trình: x + 5x − 12 x + 5x + 1 = 0
HD:
2
Nhận thấy x=0 không phải nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho x  0 , ta
được:

5 1
1 
1
x 2 + 5x − 12 + + 2 = 0 =  x 2 + 2  + 5  x +  − 12 = 0
x x
x
x  

4

3

2

1
1
= t = x 2 + 2 = t 2 − 2 , Thay vào phương trình ta được:
x
x

2
t + 5t − 14 = 0 = ( t + 7)( t − 2 )

Đặt: x +

4
3
2
Bài 4: Giải phương trình: x + 2 x + 4 x + 2 x + 1 = 0

Bài 5: Giải phương trình: x − 3x − 6 x + 3x + 1 = 0
HD:
2
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho x  0 , ta
được:

3 1
1 
1
x 2 − 3x − 6 + + 2 = 0 =  x 2 + 2  − 3  x −  − 6 = 0
x x
x
x  

4

Đặt x −

3

2

1
2
= t , Phương trình tương đương với: t − 3t − 4 = 0
x

4
3
2
Bài 6: Giải phương trình: 2 x − 9 x + 14 x − 9 x + 2 = 0
HD:

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

1


Nhận thấy x=0 khơng phải là nghiệm của phương trình , chia cả hai vế của PT cho
x  0 ta được:

9 2
1 
1
2 x 2 − 9 x + 14 − + 2 = 0 = 2  x 2 + 2  − 9  x +  + 14 = 0
x x
x
x  

2

Đặt: x +

1
2
= t , phương trình trở thành: 2t − 9t + 10 = 0
x

4
3
2
Bài 7: Giải phương trình: x − 3x + 4 x − 3x + 1 = 0
4
3
2
Bài 8: Giải phương trình: 3x − 13x + 16 x − 13x + 3 = 0

4
3
2
Bài 9: Giải phương trình: 6 x + 5x − 38x + 5x + 6 = 0
4
3
2
Bài 10: Giải phương trình: 6 x + 7x − 36 x − 7x + 6 = 0
4
3
2
Bài 11: Giải phương trình: 2 x + x − 6 x + x + 2 = 0
4

3
2
Bài 12: Giải phương trình: 2 x − 5x + 6 x − 5x + 2 = 0
4
3
2
Bài 13: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: x − x + 2 x − x + 1 = 0

Bài 14: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: x + x + x + x + 1 = 0
HD:
Nhân hai vế của phương trình với x-1 ta được:
( x − 1) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = x 5 − 1 = 0 = x 5 = 1 = x = 1
4

(

Cách 2: Đặt y = x +

3

2

)

1
x

4
3
2

Bài 15: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: x − 2 x + 4 x − 3x + 2 = 0
HD:
Biến đổi phương trình thành: x 2 − x + 1 x 2 − x + 2 = 0

(

)(

)

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

2


DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = k
Phương pháp:
Nhận xét về tích a + d = b + c , rồi nhóm hợp lý tạo ra biểu thức chung để đạt ẩn phụ
Đôi khi ta phải nhân thêm với các hệ số để có được biểu thức chung
Bài 1: Giải phương trình: ( x − 7)( x − 5)( x − 4 )( x − 2 ) = 72
HD:
Phương trình tương đương với
( x − 7)( x − 2)( x − 5)( x − 4) = 72 = x 2 − 9x + 14 x 2 − 9x + 20 − 72 = 0

(

)(

)

Đặt x − 9 x + 14 = t , khi đó phương trình trở thành:
t ( t + 6) − 72 = 0 = ( t + 12 )( t − 6) = 0
2

2


9  23
=0
Với t = −12 = x − 9 x + 14 = −12 =  x −  +
2
4

Với t = 6 = x 2 − 9x + 14 = 6 = ( x − 1)( x − 8) = 0
2

Bài 2: Giải phương trình: ( x − 1)( x − 3)( x + 5)( x + 7) = 297
HD:

Phương trình tương đương với:
( x − 1)( x + 5)( x − 3)( x + 7) − 297 = 0 = x 2 + 4 x − 21 x 2 + 4 x − 5 − 297 = 0

(

)(

)

2
Đặt x + 4 x − 5 = t khi đó phương trình trở thành:

( t − 16) t − 297 = 0 = ( t − 8)

2

− 192 = 0 = ( t − 27)( t + 11) = 0

Với t = 27 = x 2 + 4 x − 5 = 27 = ( x + 8)( x − 4 ) = 0

Với t = −11 = x 2 + 4 x − 5 = −11 = ( x + 2 ) + 2 = 0
2

Bài 3: Giải phương trình sau: ( x − 7)( x − 5)( x − 4 )( x − 2 ) = 72
HD:

(

)(

)

Biến đổi phương trình thành: x 2 + x x 2 + x − 2 = 24
Đặt x 2 + x − 1 = y , Khi đó phương trình trở thành:

( y + 1)( y − 1) = 24 = y − 1 = 24 = y = 25
Bài 4: Giải phương trình: ( x + 1)( x + 2)( x + 4 )( x + 5) = 40
Bài 5: Giải phương trình: x ( x + 1)( x − 1)( x + 2 ) = 24
Bài 6: Giải phương trình: ( x − 4 )( x − 5)( x − 6)( x − 7) = 1680
Bài 7: Giải phương trình: x ( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) = 24
Bài 8: Giải phương trình: ( x − 1)( x − 3)( x + 5)( x + 7) = 297

2

2

Bài 9: Giải phương trình: x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 24
Bài 10: Giải phương trình:

( x + 2)( x − 2) ( x

2

)

− 10 = 72

HD:

GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức

3


Đặt x 2 − 4 = y . Phương trình trở thành:
y ( y − 6 ) = 72 = y 2 − 6 y + 9 = 81 = ( y − 3) − 92 = 0
2

Bài 11: Giải phương trình: 2 x ( 8x − 1) ( 4 x − 1) = 9
2

HD:

Nhân 8 vào hai vế ta được: 8x ( 8x − 1) ( 8 x − 2 ) = 72
2

(

)(

)

Đặt 8x − 1 = y , ta được : ( y + 1) y 2 ( y − 1) = 72 = y 2 − 9 y 2 + 8 = 0
Bài 12: Giải phương trình: (12 x + 7) ( 3x + 2 )( 2 x + 1) = 3
2

HD:

Nhân hai vế với 24 ta được: (12 x + 7) (12 x + 8)(12 x + 6 ) = 72
2

Đặt 12 + 7 = y
Bài 13: Giải phương trình:
HD:

( 2 x + 1)( x + 1) ( 2 x + 3) = 18
2

Nhân hai vế với 4 ta được: ( 2 x + 1)( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) = 0 , Dặt 2 x + 2 = y
2

Bài 14: Giải phương trình: ( 6 x + 7) ( 3x + 4 )( x + 1) = 6

2

HD:

Nhân hai vế với 12 ta được: ( 6 x + 7) ( 6 x + 8)( 6 x + 6 ) = 72
2

Đặt y = 6 x + 7

Bài 15: Giải phương trình: ( 4 x + 1)(12 x − 1)( 3x + 2 )( x + 1) − 4 = 0
HD :
Phương trình
= ( 4 x + 1)( 3x + 2 )(12 x − 1)( x + 1) − 4 = 0 = 12 x 2 + 11x + 2 12 x 2 + 11x − 1 − 4 = 0

(

)(

)

Đặt 12 x + 11x − 1 = t khi đó phương trình trở thành:
(t + 3) t − 4 = 0 = (t + 4)(t − 1) = 0
2

2
2
Với t = −4 = 12 x + 11x − 1 = −4 = 12 x + 11x + 3 = 0
Với t = 1 = 12 x 2 + 11x − 1 = 1 = ( 3x − 2 )( 4 x + 1) = 0

(

)

Bài 16: Giải phương trình: ( x + 1) 4 x 2 + 8x + 3 = 18
2

HD:
Biến đổi phương trình thành:

( x + 1)

2

(

)

2
2
 4 x 2 + 2 x + 1 − 1 = 18 = ( x + 1)  4 ( x + 1) − 1 = 18





Đặt ( x + 1) = t , ( t  0 ) , Thay vào phương trình ta được:
2

t ( 4t − 1) = 18 = 4t 2 − t − 18 = 0

Bài 17: Giải phương trình: ( x + 2)( x − 3)( x + 4)( x − 6) + 6 x2 = 0
HD:
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

4


Vì x = 0 khơng là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x 2 ta
được:
12
 12
 12 
 x − − 4  x − + 1 + 6 = 0 . Đặt t = x − x , ta có:
x
x



t = 1
( t − 4)( t + 1) + 6 = 0  t 2 − 3t + 2 = 0  
t = 2
x = 4
12
Với t = 1  x − = 1  x 2 − x − 12 = 0  
x
 x = −3

Với t = 2  x2 − 2x −12 = 0  x = 1 13
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x = −3; x = 4; x = 1  13

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG
PHƯƠNG

( x + a) + ( x + b)
4

Bài 1: Giải phương trình:
HD:

( x + 1) + ( x + 3)
4

4

=c

= 82

Đặt y = x + 2 , ta có: ( y + 1) + ( y − 1) = 82 = y 4 + 6 y 2 − 40 = 0
4

Bài 2: Giải phương trình:
HD:

4

4

( x − 6 ) + ( x − 8)
4

4

= 16

Đặt x − 7 = y , phương trình trở thành: ( y − 1) + ( y + 1) = 16
4

4

Rút gọn ta được: 2y4 + 12 y2 + 2 = 16 = y4 + 6y2 − 7 = 0
Bài 3: Giải phương trình:
Bài 4: Giải phương trình:
Bài 5: Giải phương trình:
Bài 6: Giải phương trình:
Bài 7: Giải phương trình:
Bài 8: Giải phương trình:
Bài 9: Giải phương trình:

( x − 2 ) + ( x − 6) = 82
( x + 3) + ( x + 5) = 2
( x + 3) + ( x + 5) = 16
( x − 2 ) + ( x − 3) = 1
( x + 1) + ( x − 3) = 82
( x − 2,5) + ( x − 1,5) = 1
( 4 − x ) + ( x − 2 ) = 32
4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

Bài 10: Giải phương trình: ( x + 1) + ( x + 3) = 2
4

4

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

5


DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ
Bài 1: Giải phương trình:
Bài 2: Giải phương trình:
Bài 3: Giải phương trình:
HD :

(2x + 3x − 1) − 5(2x + 3x + 3) + 24 = 0
( x + x ) + 4 ( x + x ) = 12
( x − 6x + 9) − 15( x − 6x + 10) = 1
2

2

2

2

2

2

2

2

2

Đặt : x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) = t , ( t  0 ) , Thay vào phương trình ta được :
2

t 2 − 15 ( t + 1) = 1 = t 2 − 15t − 16 = 0 = ( t + 1)( t − 16) = 0

Bài 4: Giải phương trình:

(x

2

)

− 4 x + 2 ( x − 2 ) = 43

HD :

2

2

(

Biến đổi phương trình : x 2 − 4 x
Bài 5: Giải phương trình:
HD :

(2x

2

)

2

(

)

+ 2 x 2 − 4 x + 4 = 43 . Đặt x 2 + 4 x = y

− 3) − 16 ( x + 3) = 0
2

2

Ta có: PT = ( 2 x 2 − 3) − ( 4 x + 12 ) = 0
2

2

= ( 2 x 2 − 3 − 4 x − 12 )( 2 x 2 − 3 + 4 x + 12 ) = 0

= ( 2 x 2 − 4 x − 15)( 2 x 2 + 4 x + 9 ) = 0

4
3
Bài 6: Giải phương trình sau: x − 4 x + 8x − 5 = 0
HD:

Biến đổi phương trình thành: x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x 2 + 8x − 5 = 0

(

(

)

(

2

)

)

= x 2 − 2 x − 4 x 2 − 2 x − 5 = 0
Bài 7: Giải phương trình: ( 3 − x ) + ( 2 − x ) = ( 5 − 2 x )
4

4

4

HD:
3 − x = y
= 5 − 2 x = y + z , phương trình trở thành:
Đặt 
2 − x = z

(

)

y4 + z 4 + ( y + z ) = yz 2y2 + 3yz + 2z 2 = 0
4

Bài 8: Giải phương trình:

( x − 7) + ( x − 8) = (15 − 2 x )
4

4

4

HD:
4


3
Đặt x − 7 = a, x − 8 = b = a 4 + b 4 − ( a + b ) = 0 = 4ab  a2 + ab + b2  = 0
2



Bài 9: Giải phương trình: ( x + 1) + ( x − 2 ) = ( 2 x − 1)
3

3

3

HD:
x + 1 = y
= 1 − 2 x = t thì ta có: x + y + z = 0
Đặt 
x − 2 = z
Phương trình trở thành: y3 + z3 + t 3 = 0 vậy yzt = 0 ( x + 1)( x − 2 )(1 − 2 x ) = 0

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

6


Bài 10: Giải phương trình:
HD:

( x + 1) + ( x − 2 ) = ( 2 x − 1)
3

3

3

Đặt x + 1 = a, x − 2 = b,1 − 2 x = c = a + b + c = 0
Phương trình tương đương với ( x + 1) + ( x − 2 ) + (1 − 2 x ) = 0 = a3 + b 3 + c 3 = 0
3

( x + 1)

2

Bài 11 : Giải phương trình:
HD:

2

3

(

3

)

+ 3x x 2 + 1 + 2 x 2 = 0

Đặt x 2 + 1 = y = y2 + 3xy + 2 x 2 = 0 = ( x + y )( y + 2 x = 0 )

Bài 12: Giải phương trình: x 4 − 4 x 2 ( 2 x − 1) − 12 ( 2 x − 1) = 0
2

HD :

 x 2 = a
Đặt 
. Khi đó phương trình trở thành:
( 2 x − 1) = b
a2 − 4ab − 12b2 = 0 = ( a − 6b )( a + 2b ) = 0
Với a = 6b = x 2 = 6 ( 2 x − 1) = x 2 − 12 x + 6 = 0 = ( x − 6 ) = 30

2

Với a = −2b = x 2 + 4 x − 2 = 0 = ( x + 2 ) =
2

(

)(

)

( 6)

2

Bài 13: Giải phương trình: 3x 2 − 8x + 4 x 2 − 4 + 12 x 4 = 0
HD:

Phương trình tương đương với:  ( 3x − 2 )( x − 2 )( x − 2 )( x + 2 ) + 12 x 4 = 0

(

)

(

)

 3x 2 + 4 x − 4 ( x − 2) + 12 x 4 = 0  4 x 2 − x 2 + 4 x − 4 ( x − 2) + 12 x 4 = 0
2

2

2
2
2
2
  4 x 2 − ( x − 2 )  ( x − 2 ) + 12 x 4 = 0  4 x 2 ( x − 2 ) − ( x − 2 ) + 12 x 4 = 0



x2 = a
Đặt: 
, Khi đó phương trình trở thành:
2
x
−
2
=
b
(
)


2
12a + 4ab − b2 = 0  12a2 + 6ab − 2ab − b2 = 0  6a ( 2a + b ) − b ( 2a + b ) = 0  ( 6a − b )( 2a + b

 6a = b
 6a − b = 0



 6 x 2 = x 2 − 4 x + 4  5x 2 + 4 x − 4 = 0
a
=
b
=
0
l
()

 2a + b = 0

−2  2 6
5
2
Bài 14: Giải phương trình: x − 1 x 2 + 4 x + 3 = 192
Giải pt trên ta được: x =

(

)(

)

HD:

(x

Biến đổi phương trình thành:

2

)

− 1 ( x + 1)( x + 3) = 192 = ( x − 1)( x + 1) ( x + 3) = 192
2

(

)

Đặt x + 1 = y = Phương trình trở thành: ( y − 2 ) y 2 ( y + 2 ) = 192 = y 2 y 2 − 4 = 192
Đặt y2 − 2 = z , Phương trình trở thành: ( z + 2)( z − 2 ) = 192 = z = 14
Bài 15: Giải phương trình: x 3 + ( x + 1) + ( x + 2 ) = ( x + 3)
3

3

3

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

7


HD:

Đặt x = y + 3 , Phương trình trở thành: ( y + 3) + ( y + 4 ) + ( y + 5) = ( y + 6 )
3

(

3

3

3

)

= 2 y y 2 + 9 y + 21 = 0
Bài 16: Giải phương trình: 3 ( x 2 − x + 1) − 2 ( x + 1) = 5 ( x3 + 1)
2

2

HD :
Vì x = −1 khơng là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x 3 + 1 ta được:

x2 − x + 1
x +1
−2 2
. Đặt
x +1
x − x +1
x2 − x + 1
2
1
t=
 3t − = 5  3t 2 − 5t − 2 = 0  t = 2, t = −

x +1
t
3
3  13
t = 2  x 2 − 3x − 1 = 0  x =
2
3

1
t = −  3x 2 − 2 x + 4 = 0 phương trình vơ nghiệm
3

Bài 17: Giải phương trình: ( x + 1)( x + 2 )( x + 3) ( x + 4 )( x + 5) = 360
2

HD:

(

)(

)(

)

Phương trình  x 2 + 6 x + 5 x 2 + 6 x + 8 x 2 + 6 x + 9 = 360
Đặt t = x + 6 x , ta có phương trình: ( y + 5)( y + 8)( y + 9) = 360
2

x = 0

 y y 2 + 22 y + 157 = 0  y = 0  x 2 + 6 x = 0  
 x = −6
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0; x = −6 .

(

)

Bài 18: Giải phương trình: ( x3 + 5 x + 5 ) + 5 x3 + 24 x + 30 = 0
3

HD:

(

)

Ta có: x3 + 5x + 30 = 5 x3 + 5x + 5 − x + 5 nên phương trình tương đương

(x

3

)

3

(

)

+ 5 x + 5 + 5 x3 + 24 x + x3 + 24 x + 30 = 0 . Đặt u = x3 + 5 x + 5 . Ta được hệ:

3

u + 5u + 5 = x
 ( u − x ) u 2 + ux + x 2 + 6 = 0  u = x .
 3

 x + 5x + 5 = u
 x3 + 4 x + 5 = 0  ( x + 1) ( x 2 − x + 5) = 0  x = −1 .

(

)

Vậy x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 19: Giải phương trình: ( x 2 + x + 2 )( x 2 + x + 3) = 6
HD:

t = 2
Đặt x 2 + x + 2 = t . Phương trình đã cho thành t ( t + 1) = 6  
.
t = −3
Với t = 2 thì x 2 + x + 2 = 2  x 2 + x = 0  x = 0 hoặc x = −1 .
−1  21
Với t = −3 thì x 2 + x + 2 = −3  x 2 + x + 5 = 0  x =
.
2


−1 − 21 −1 + 21 


Vậy tập nghiệm của phương trình là S = −1;0;
;
.
2
2




Bài 20: Giải phương trình:

( 6 x + 7 ) (3x + 4)( x + 1) = 1
2

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

8


HD:
Biến đổi phương trình thành ( 36 x 2 + 84 x + 49 )( 36 x 2 + 84 x + 48) = 12 .

t = 3
Đặt t = 36 x 2 + 84 x + 48 thì phương trình trên thành t ( t + 1) = 12  
.
t = −4
5

3
Với t = 3 thì 36 x 2 + 84 x + 48 = 3  36 x 2 + 84 x + 45 = 0  x = − hoặc x = − .
6
2
2
2
t
=
−
4
Với
thì 36 x + 84 x + 48 = −4  36 x + 84 x + 52 = 0 , phương trình này vơ nghiệm.
 5 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − ; −  .
 6 2

Bài 21: Giải phương trình:

( x −1) + ( x + 3)
4

4

= 82

HD:

y =1
x = 0


Đặt y = x + 1 thì phương trình đã cho thành 24 y 4 + 48 y 2 + 216 = 82  
.
 y = −1  x = −2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = −2;0 .
Bài 22: Giải phương trình:
HD:

( x + 1)( x + 2)( x + 4)( x + 5) = 10

x +1+ x + 2 + x + 4 + x + 5
= x + 3 thì phương trình trở thành:
4
y = − 6
x = − 6 − 3
.
y 2 − 4 y 2 − 1 = 10  y 4 − 5 y 2 − 6 = 0  

 y = 6
 x = 6 − 3

Đặt y =

(

)(

)





Vậy tập nghiệm của phương trình là S = − 6 − 3; 6 − 3 .
Bài 23: Giải phương trình:

(x

2

+ x + 2 )( x 2 + 2 x + 2 ) = 2 x 2

HD:
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho x 2 ta được:
2 
2
2


 x + + 1 x + + 2  = 2 . Đặt y = x + x thì phương trình trở thành.
x 
x


2

x+ =0

y = 0
 x = −1
x



( y + 1)( y + 2 ) = 2  
 y = −3  x + 2 = −3  x = −2

x
Bài 24: Giải phương trình: ( x − 2)( x −1)( x − 8)( x − 4) = 4x2
HD:
Biến đổi phương trình thành:
(( x − 2)( x − 4)) (( x −1)( x − 8)) = 4x2  ( x2 − 6x + 8)( x2 − 9 x + 8) = 4 x2 .
Do x = 2 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x 2 ta được:

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

9


8
8 
8


 x + − 6  x + − 9  = 4 . Đặt y = x + x thì phương trình trở thành
x
x 


y = 5
.
( y − 6 )( y − 9 ) = 4  y 2 − 15 y + 50 = 0  

 y = 10
8
Với y = 5 thì x + = 5  x 2 − 5 x + 8 = 0 (vô nghiệm).
x
 x = 5 − 17
8
Với y = 10 thì x + = 10  x 2 − 10 x + 8 = 0  
.
x
 x = 5 + 17

(

)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 5 − 17;5 + 17 .
Bài 25: Giải phương trình: 3 ( x 2 + 2 x − 1) − 2 ( x 2 + 3x − 1) + 5 x 2 = 0
2

HD:

2

Do x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho x 2 ta

được
2

2

1
1
1




3  x − + 2  − 2  x − + 3  + 5 = 0 . Đặt y = x − , phương trình trở thành:
x
x
x




y =1
2
2
3 ( y + 2 ) − 2 ( y + 3) + 5 = 0  y 2 − 1 = 0  
. Suy ra
 y = −1

1
−1  5

x =
x − x = 1
2
.



1

1 5
 x − = −1
x =

x

2


 −1  5 1  5 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 
;
.
2
2




4
3
2
Bài 26: Giải phương trình: 3x − 4 x − 5 x + 4 x + 3 = 0
HD:
Phương trình khơng nhận x = 0 là nghiệm, chia hai vế cho x 2 được :
1 

1
1

3  x 2 + 2  − 4  x −  − 5 = 0 . Đặt t = x − thì phương trình trở thành
x
x  
x

2
3t − 4t + 1 = 0
1
3t 2 − 4t + 1 = 0  t = 1 hoặc t = .
3
1
1+ 5
1− 5
Với t = 1 thì x − = 1  x 2 − x − 1 = 0  x =
hoặc x =
.
x
2
2
1 1
1 + 37
1 − 37
1
Với t = thì x − =  3x 2 − x − 3 = 0  x3 =
hoặc x4 =
.
3

x 3
2
2

1 + 5 1 − 5 1 + 37 1 − 37 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 
;
;
;
.
2
2
2 

 2

Bài 27: Giải phương trình: 2 x 4 − 21x3 + 34 x 2 + 105 x + 50 = 0 (1)
HD:

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

10


105
50
= 25 nên phương trình là phương trình bậc bốn có
= −5 và k 2 =
−21

2
25 
5
5


hệ số đối xứng tỉ lệ. (1)  2  x 2 + 2  − 21 x −  + 34 = 0 . Đặt t = x − suy ra
x
x 
x


25
9
t 2 = x 2 + 2 − 10 . Phương trình trở thành 2t 2 − 21t + 54 = 0  t = 6 hoặc t = .
x
2
5
Với t = 6 thì x − = 6  x 2 − 6 x − 5  x 2 − 6 x − 5 = 0 .
x
Phương trình có hai nghiệm x1 = 3 + 14; x2 = 3 − 14 .
5 9
9
Với x = thì x − =  2 x 2 − 9 x − 10 = 0 .
x 2
2
9 + 161
9 − 161
Phương trình có hai nghiệm x3 =
.

; x4 =
4
4

9 + 161 9 − 161 


Vậy PT (1) có tập nghiệm S = 3 + 14;3 − 14;
;
.
4
4




1
1
1
1
1
Bài 28: Giải phương trình:
+
+
+
+
=0
x x +1 x + 2 x + 3 x + 4
HD:
Điều kiện x −1; −2; −3; −4;0 . Ta biến đổi phương trình thành:

Ta thấy k =

2 ( x + 2) 2 ( x + 2)
1   1
1 
1
1
1
+
=0 2
+ 2
+
=0
 +
+
+
x + 4x x + 4x + 3 x + 2
 x x + 4   x +1 x + 3  x + 2
1
1
1
 2
+ 2
+
= 0 . Đặt u = x 2 + 4 x , phương trình trở thành
2
x + 4 x x + 4 x + 3 2( x + 4 x + 4)


−25 + 145

u =
2
1
1
1
10
+
+
= 0  5u + 25u + 24 = 0  
.
u u + 3 2 (u + 4)
2u ( u + 3)( u + 4 )

−25 − 145
u =


10

 2
−25 + 145
 x + 4x =
10
Do đó 
. Tìm được tập nghiệm của phương trình là
 2
−25 − 145
 x + 4x =

10


15 + 145
15 + 145
15 − 145
15 − 145 


S = −2 −
; −2 +
; −2 +
; −2 −
.
10
10
10
10




x + 4 x − 4 x +8 x −8
8
Bài 29: Giải phương trình:
+
−
−
=−
x −1 x + 1 x − 2 x + 2

3
HD:
5
−5
10
10
8
10
40
8
Biến đổi phương trình thành
+
−
+
=−  2
− 2
=−
x −1 x +1 x − 2 x + 2
3
x −1 x − 4
3
2
.
Đặt u = x ( u  1, u  4; u  0) dẫn đến phương

trình

GV: Ngơ Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức

11

u = 16
4u − 65u + 16 = 0  
. bTìm được tập nghiệm của phương trình là
u = 1

4
1 
 1
S = − ; −4; ;4 .
2 
 2
x +1
x+6
x+2
x+5
+ 2
= 2
+ 2
Bài 30: Giải phương trình:
x ( x + 2 ) x + 12 x + 35 x + 4 x + 3 x + 10 x + 24
2

HD:

Điều kiện x −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1;0 . Biến đổi phương trình thành

x +1
x+6

x+2
x+5
+
=
+
x ( x + 2 ) ( x + 5)( x + 7 ) ( x + 1)( x + 3) ( x + 4 )( x + 6 )
x +1  1
1  x+6 1
1 
−
 −
+


2  x x+2
2  x+5 x+7 
x+2 1
1  x+5 1
1 
=
−
−

+


2  x +1 x + 3 
x  x+4 x+6
1
1

1
1
1
1
1
1
 +
+
+
=
+
+
+
x x + 2 x + 5 x + 7 x +1 x + 3 x + 4 x + 6
1   1
1   1
1   1
1 
1
 +
+
+
+
+
=
+

 x x + 7   x + 2 x + 5   x + 1 x + 6x   x + 3 x + 4 
1
1

1
 1

 ( 2x + 7)  2
+ 2
− 2
− 2
=0
 x + 7 x + 7 x + 10 x + 7 x + 6 x + 7 x + 12 
7

x = − 2

.
1
1
1
 1 +
+
−
= 0(*)
 x 2 + 7 x x 2 + 7 x + 10 x 2 + 7 x + 6 x 2 + 7 x + 12
Đặt u = x 2 + 7 x thì phương trình (*) có dạng
1
1
1
1
1   1
1 
1

+
+
+
=0 −
−
+
=0
u u + 10 u + 6 u + 12
 u u + 6   u + 10 u + 12 
 u 2 + 18u + 90 = 0 .
2
Mặt khác u 2 + 18u + 90 = ( u + 9 ) + 9  0 với mọi u . Do đó phương trình (*) vơ
nghiệm.
7
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = − .
2
2
2
2
x + x + 1 x + 2 x + 2 x + 3x + 3 x 2 + 4 x + 4
+
−
−
=0
Bài 31: Giải phương trình:
x +1
x+2
x+3
x+4
HD:

Điều kiện x −4; −3; −2; −1 . Biến đổi phương trình thành


1
2
3
4
4   2
3 
 1
+
−
−
=0
−
−
+
=0
x +1 x + 2 x + 3 x + 4
 x +1 x + 4   x + 2 x + 3 
x = 0
3
1



.
 x 2
+ 2
3

1
=0  
+
=
0(*)
 x + 5x + 4 x + 5x + 6 
 x2 + 5x + 4 x2 + 5x + 6
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

12


Đặt u = x 2 + 5x thì phương trình (*) trở thành
Từ đó ta có 2 x2 + 10 x + 11 = 0  x =

3
1
11
+
=0u=− .
u+4 u+6
2

−5  3
.
2

 −5 − 3 −5 + 3 
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = 0;
;

.
2
2 

4x
3x
Bài 32: Giải phương trình:
+ 2
=1
2
4 x − 8 x + 7 4 x − 10 x + 7
HD:
Do x = 0 khơng là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức
7
ở vế trái của phương trình cho x , rồi đặt y = 4 x + ta được
x

4
3
+
=1.
y − 8 y − 10
Phương trình trên có 2 nghiệm y = 16, y = 9 .
7
= 9  4 x 2 − 9 x + 7 = 0 . Phương trình này vơ nghiệm.
x
7
Với y = 16 thì 4 x + = 16  4 x 2 − 16 x + 7 = 0 . Phương trình này có hai nghiệm
x
1

7
x1 = ; x2 = .
2
2
1 7 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S =  ;  .
2 2
2
2
Bài 33: Giải phương trình: 2 x − 3x + 1 2 x + 5 x + 1 = 9 x 2

Với y = 9 thì 4 x +

(

)(

)

HD:
Đặt t = 2 x 2 + x + 1 , phương trình (1) thành
(t − 4x )(t + 4x ) = 9x2  t 2 −16x2 = 9x2  t 2 = 25x2  t = −5x hoặc t = 5x .

−3  7
.
2
2 2
Với t = 5x thì 2 x2 + x + 1 = 5x  2 x 2 − 4 x + 1 = 0  x =
.
2


 −3  7 2  2 

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 
;

2 

 2

Với t = −5x thì 2 x 2 + x + 1 = −5x  2 x 2 + 6 x + 1 = 0  x =

Bài 34: Giải phương trình:
HD:

(x

2

− 5 x + 1)( x 2 − 4 ) = 6 ( x − 1)

2

Đặt u = x −1 đưa phương trình (2) về dạng tổng quát ( u 2 − 7u − 3)( u 2 − 2u − 3) = 6u 2 .
Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu. Ta có thể giải bằng cách khác như sau

(

)(

)

2
2
Viết phương trình đã cho về dạng x − 4 − 5 x + 5 x − 4 − 6 ( x − 1) = 0 .
2

Đặt t = x 2 − 4 , Phương trình thành
t 2 + ( −5x + 5) t + ( −6x + 6)( x −1) = 0  ( t − 6 x + 6)(t + x −1) = 0

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

13


x = 3  7
 x2 − 4 = 6x − 6
 x2 − 6x + 2 = 0
t = 6 x − 6


 2
 2

−1  21 .
x
−
4
=
−

x
+
1
x
+
x
−
5
=
0
t = − x + 1


 x =
2


−1 + 21
 −1 − 21

Vậy tập nghiệm của PT(2) là S = 
;3 − 7;
;3 + 7  .
2
2




4

3
2
Bài 35: Giải phương trình: x − 9 x + 16 x + 18 x + 4 = 0
HD:
PT tương đương với x 4 − 9 x x 2 − 2 + 16 x 2 + 4 = 0

(

)

Đặt t = x 2 − 2 thì t 2 = x 4 − 4 x 2 + 4 , PT trên thành:
t 2 − 9xt + 20x2 = 0  (t − 4x )(t − 5x ) = 0

x = 2  6
 x2 − 2 = 4x
 x2 − 4x − 2 = 0
t = 4 x


 2
 2

5  33 .
t = 5 x
x
=
 x − 2 = 5x
 x − 5x − 2 = 0

2


5 − 33
5 + 33 


Vậy tập nghiệm của phương trình là 2 − 6;
;2 + 6;
.
2
2 



2
x − 12
= 3x 2 − 6 x − 3
Bài 36: Giải phương trình:
2
( x + 2)
HD:

Điều kiện x  −2 . Khử mẫu thức ta được phương trình tương đương:
3x 4 + 6 x3 − 16 x 2 − 36 x − 12 = 0  3x 4 + 6 x ( x 2 − 6 ) − 16 x 2 − 12 = 0 .
Đặt t = x 2 − 6 thì t 2 = x 4 − 12 x 2 + 36 , suy ra 3x 4 = 3t 2 + 36 x 2 − 108 ,
PT trên thành: 3t 2 + 6 xt + 20t = 0  t (3t + 6 x + 20) = 0  t = 0 hoặc 3t = −6 x − 20 .
Với t = 0 thì x 2 − 6 = 0 , suy ra x =  6 (thỏa mãn đk).
Với 3t = −6 x − 20 ta có 3x 2 − 18 = −6 x − 20 hay 3x 2 + 6 x + 2 = 0 suy ra x =

−3  3
3



−3 + 3
 −3 − 3

(thỏa mãn ). Vậy tập nghiệm của PT(4) là S = 
; − 6;
; 6 .
3


 3

2x
13 x
Bài 37: Giải phương trình:
+ 2
=6
2
3x − 5 x + 2 3x + x + 2
HD:
2x
13 x
Đặt t = 3x 2 + 2 PT(5) trở thành
+
= 6 . ĐK: t  5 x, t  − x .
t − 5x t + x
Khử mẫu thức ta được PT tương đương
2t 2 −13tx + 11x2 = 0  (t − x )( 2t −11x ) = 0

11
 t = x hoặc t = x (thỏa mãn ĐK)
2
2
Với t = x thì 3x + 2 = x  3x 2 − x + 2 = 0 .Phương trình vơ nghiệm.
11
11
1
4
Với t = x thì 3x 2 + 2 = x  6 x − 11x + 2 = 0  x = hoặc x = .Vậy tập
2
2
2
3
1
4


nghiệm của PT(5) là  ;  .
2 3
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

14


Bài 38: Giải phương trình: x 2 ( x 4 − 1)( x 2 + 2 ) + 1 = 0
HD:

Lời giải: PT  x 2 ( x 2 + 1)( x 2 − 1)( x 2 + 2 ) + 1 = 0

 ( x4 + x 2 )( x 4 + x 2 − 2 ) + 1 = 0

 ( x4 + x2 ) − 2 ( x4 + x2 ) + 1 = 0
2

 ( x 4 + x 2 − 1) = 0  x 4 + x 2 − 1 = 0 .
2



−



Giải phương trình trùng phương trên ta được tập nghiệm của PT là
5 −1
5 −1 

;
.
2
2 


x2 − 4
 x−2
 x+2
Bài 39: Giải phương trình: 20 
+
5

−
20
=0



x2 −1
 x +1 
 x −1 
HD:
Điều kiện x  1 .
x−2
x+2
Đặt
= y;
= z , PT có dạng:
x +1
x −1
2
20 y 2 + 5z 2 − 20 yz = 0  5 ( 2 y − z ) = 0  2 y = z
2

2

x−2 x+2
=
 2 ( x − 2 )( x − 1) = ( x + 2 )( x + 1)
x + 1 x −1
9 + 73
9 − 73

 2 x 2 − 6 x + 4 = x 2 + 3x + 2  x 2 − 9 x + 2 = 0  x =
hoặc x =
2
2

Dẫn đến 2.


 9 − 73 9 + 73 

(thỏa mãn ). Vậy tập nghiệm của PT(2) là 
;
.
2 

 2

4
3
2
Bài 40: Giải phương trình: x − 4 x − 19 x + 106 x − 120 = 0

4
3
2
Bài 41: Giải phương trình: 4 x + 12 x + 5x − 6 x − 15 = 0
4
Bài 42: Giải phương trình : x = 8x + 7
HD :

( )

 x 4 + 2 x 2 + 1 = 2 x 2 + 8x + 8  x 2

(

)

2

(

+ 2 x 2 + 12 = 2 x 2 + 4 x 2 + 22

)

 x 2 + 1 = 2 ( x + 2)  x 2 + 1 = 2 x + 2
2

2

 x 2 + 1 = 2 x + 2  x 2 + 1 = 2.x + 2 2
2
x2 + 1 = 2.x + 2 2  x2 − 2.x = 2 2 − 1  x − 2.x +

1
1
=2 2−
2
2

2


2
4 2 −1
x−
 =


2 
2

Bài 43: Giải phương trình: 2 x ( 8x − 1) ( 4 x − 1) = 9
2

Bài 44: Giải phương trình: 2 x − x − 5x + x + 2 = 0
HD:
2
Thấy x = 0 khoong phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x  0 ta
được:
4

3

2

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

15


1 
1
1 2
+ 2 = 0 = 2  x 2 + 2  −  x −  − 5 = 0
x x
x
x  

1
1
Đặt: x − = t = x 2 + 2 = t 2 + 2 , Thay vào phương trình ta được:
x
x
2
2t − t − 1 = 0 = ( 2t + 1)( t − 1) = 0
2x2 − x − 5 +

4
3
2
Bài 45: Giải phương trình: x − 4 x + 6 x − 4 x − 24 = 0

Bài 46: Giải phương trình: ( x − 4 ) − x ( x − 2 )( x + 8) + 96 = 0
3

(

)

Bài 47: Giải phương trình: x 4 + ( x − 1) x 2 − 2 x + 2 = 0
HD:
2
Biến đổi phương trình thành: x 4 + ( x − 1) ( x − 1) + 1 = 0


Đặt: y = x − 1 = x = y + 1 , Thay vào phương trình ta được:

( y + 1)

4

(

)

+ y y2 + 1 = 0 = y4 + 5y3 + 6y2 + 5y + 1 = 0

Thấy y = 0 không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho y2  0 , ta được:

5 1
y 2 + 5y + 6 + + 2 = 0
y y
2



1

1
=  y +  + 5  y +  − 2 = 0
y
y



(

)

2

(

)

(

2

)

Bài 48: Giải phương trình: 2 x 2 + x + 1 − 7 x − 1 = 13 x 3 − 1
HD:

(

)

(

2

)

2

( )(
13 ( x − 1)
=

)

Biến đổi phương trình thành: 2 x 2 + x + 1 − 7 x − 1 = 13 x − 1 x 2 + x + 1
2

 x −1 
2
Chia hai vế cho x + x + 1 , ta được: 2 − 7  2

x2 + x + 1
 x + x +1
x −1
= y , phương trình trở thành: 2 − 7y2 − 13y = ( y + 2 )(1 − 7y ) = 0
Đặt: 2
x + x +1

(

)

3

(

Bài 49: Giải phương trình: x 2 − 3x + 2 = x 6 − 3x − 2
HD:

(

) (
3

)

3

) ( )
3

Biến đổi phương trình thành: x 2 − 3x + 2 + 3x − 2 = x 2

3

2
2
Dễ thấy: x − 3x + 2 + 3x − 2 = x , Thay vào phương trình trên ta được:

(x

2

)

(

)

− 3 x + 2 + ( 3 x − 2 ) =  x 2 − 3x + 2 + ( 3 x − 2 ) 



(

3

3

)

(

)

3

(

)

( )

= x 2 − 3x + 2 + ( 3x − 2) = x 2 − 3x + 2 + ( 3x − 2) + 3 x 2 − 3x + 2 (3x − 2) x 2
3

3

3

3

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

16


x = 1

 x − 3x + 2 = 0
x = 2

= 3 x 2 − 3x + 2 ( 3x − 2 ) x 2 = 0 = 3x − 2 = 0
= 
2
x =
 x2 = 0
3



 x = 0
2

(

)

(

)(

)

Bài 50: Giải phương trình: x 2 + 9 x 2 + 9x = 22 ( x − 1)
HD:

2

(

)(

)

Đặt y = x − 1 , Phương trình trở thành: y 2 + 2 y + 10 y 2 + 11y + 10 = 22 y 2
Vì y = 0 không phải là nghiệm của PT nên chia cả hai vế của phương trình cho y2  0
.


10 

10 
Phương trình trở thành:  y + 2 +  y + 11 +  = 22
y 
y

t = 2
10
Đặt: y + + 2 = t , Phương trình: t ( t + 9) = 22 = t 2 + 9t − 22 = 0 = 
y
t = −11

10
y2 + 10
+ 2 = 2 =
= 0 ( Vô lý)
y
y
10
Với t = -11, ta được : y + + 2 = −11 = y2 + 13y + 10 = 0
y
Với t = 2, ta được: y +

(

)(

)

Bài 51: Giải phương trình: x 2 − 3x + 3 x 2 − 2 x + 3 = 2 x 2
HD:

2
Nhận thấy x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho x  0 ta

được:



3 
3
3
 x + x − 3  x + x − 2  = 2 , Đặt: x + x = t , phương trình trở thành:



(t − 3)(t − 2) = 2 = t 2 − 5t + 4 = 0

(

)

2

(

)

Bài 52: Giải phương trình: x 2 + 1 + 3x x 2 + 1 + 2 x 2 = 0
HD:

Đặt x 2 + 1 = t , ( t  1) , Khi đó phương trình trở thành:

t = − x
t 2 + 3xt + 2 x 2 = 0 = ( t + x )( t + 2 x ) = 0 = 
t = −2 x
2


1 3
Với t = − x = − x = x + 1 =  x +  + = 0 ( Vô nghiệm)
2 4

2

Với t = −2 x = −2 x = x 2 + 1 = ( x + 1) = 0 = x = −1
2

(

)

2

Bài 53: Giải phương trình: x 2 − 9 = 12 x + 1
HD:
2
Cộng cả hai vế với 36x ta được:

(x

2

)

2

( )

− 9 + 36 x 2 = 36 x 2 + 12 x + 1 = x 2

2

+ 18x 2 + 81 + 36 x 2 = ( 6 x + 1)

2

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

17


( ) + 18x + 81 = (6x + 1) = ( x + 9) − (6x + 1)
= ( x + 9 − 6 x − 1)( x + 9 + 6 x + 1) = 0
2

= x 2

2

2

2

2

2

=0

2

Bài 54: Giải phương trình: ( x − 7) + ( x − 8) = (15 − 2 x )
2

HD:

2

2

2

Nhận thấy: ( x − 7) + ( x − 8) = 2 x − 15 , Thay vào phương trình ta được:

( x − 7) + ( x − 8) = ( 7 − x + 8 − x )
= ( x − 7) + ( x − 8) = ( 7 − x ) + ( 8 − x )
= 2 ( 7 − x )( 8 − x ) = 0
2

2

2

2

2

2

2

+ 2 ( 7 − x )( 8 − x ) = 0

1
3
3
2
Bài 56: Giải phương trình: 4 x − 6 x + 12 x − 8 = 0
3
2
Bài 55: Giải phương trình: x − x + x =

Bài 57: Giải phương trình:

(x

2

)

2

− 9 = 12 x + 1

HD:

(

)

2

2
Cộng thêm 36x vào hai vế ta được: x 2 − 9 + 36 x 2 = 36 x 3 + 12 x + 1
x
x
x−1
Bài 58: Giải phương trình : 6 + 1 = 8 − 27
HD :

2x.3x = 23x − 3 ( ) − 1
2 x = a
3
3
Đặt  x −1
, Phương trình trở thành : a3 + ( −b ) + ( −1) = 3a ( − b )( −1)
3 = b
3 x −1

(

)

Vì x 3 + y3 + z 3 − 3xyz = ( x + y + z ) x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ,
x
x−1
Khi đó : 2 = 3 + 1
Bài 59: Giải phương trình: 8x − 4 x 2 − 1 x 2 + 2 x + 1 = 4 x 2 + x + 1

(

)(

) (

)

HD:

Nhận thấy x = −1 không phải là nghiệm của phương trình
8x − 4 x 2 − 1 x 2 + x + 1
= 2
Với x  −1 , phương trình đã cho tương đương với
4
x + 2x + 1
Ta có:
2
2
3 x2 + 2x + 1 + x2 − 2x + 1
x + x +1
4x2 + 4x + 4
3 ( x − 1)

3
=
=
= +

2
2
2
2
4 4 ( x + 1)
4
x + 2x + 1 4 x + 2x + 1
4 x + 2x + 1

(

)

(

(

) (

)

)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x − 1 = 0 = x = 1
(1)

2
2
2
8x − 4 x − 1 3 − 4 x − 2 x + 1 3
3
=
= − ( x − 1) 
Lại có:
4
4
4
4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x − 1 = 0 = x = 1
(2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm khi x = - 1

(

(

)

)

2

(

)

Bài 60: Giải các phương trình sau: x 2 + x + 4 + 8x x 2 + x + 4 + 16x 2 = 0
HD:
Đặt x 2 + x + 4 = t , ta có: t 2 + 8xt + 16 x 2 = 0
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức

18


= ( t + 4 x ) = 0 = x 2 + x + 4 + 4 x = 0 = x 2 + 5x + 4 = 0
2

( x + 1)( x + 4) = 0

(

Bài 61: Giải các phương trình sau: x 2 + x
HD:

2

(

)

+ 4 x 2 + x = 12

Đặt y = x 2 + x , Phương trình trở thành: y2 + 4 y − 12 = 0 = ( y + 6)( y − 2 ) = 0

(

Bài 62: Tìm x biết: x 2 + x
HD:

)

)

2

(

)

+ 4 x 2 + x = 12

Đặt x 2 + x = t , Phương trình trở thành: t 2 + 4t − 12 = 0 = ( t + 6)( t − 2 ) = 0

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

19


DẠNG 5 : NHẨM NGHIỆM ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Phương pháp :
+ Nếu phương trình có tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình có một nhân tử là :
( x − 1)

( x + 1)

+ Nếu phương trình có hiệu hệ số bậc chẵn với bậc lẻ bằng 0 thì có một nhân tử là :

+ Nếu phương trình có nghiệm ngun thì nghiệm đó là ước của hệ số tự do
+ Nếu phương trình có nghiệm phân số, thì tử là ước của hệ số tự do, mẫu là ước của
hệ số bậc cao nhất
+ Sửa dụng phương pháp đồng nhất để tách phương trình bậc 4 thành hai phương trình
bậc 2
Bài 1: Giải phương trình: x + 2 x + 5x + 4 x − 12 = 0
HD:
Phương trình tương đương với ( x − 1)( x + 2 ) x 2 + x + 6 = 0
4

3

2

(

)

4
3
2
Bài 2: Giải phương trình: x + 2 x − 4 x − 5x − 6 = 0
HD:
Phương trình tương đương với: ( x − 2 )( x + 3) x 2 + x + 1 = 0

(

)

Bài 3: Giải phương trình: x + x + 6 x − 8 = 0
HD:
Phương trình tương đương với ( x − 1)( x + 2 ) x 2 − x + 4 = 0
4

2

(

)

4
3
2
Bài 4: Giải phương trình: 6 x − x − 7x + x + 1 = 0
HD:
Phương trình tương đương với: x 2 − 1 ( 2 x − 1)( 3x + 1) = 0

(

)

Bài 5: Giải phương trình: x − 2 x + 4 x − 3x + 2 = 0
HD:
Phương trình tương đương với x 2 − x + 1 x 2 − x + 2 = 0
4

3

2

(

)(

)

Bài 6: Giải phương trình: 2 x + 3x + 8x + 6 x + 5 = 0
HD :
Phương trình tương đương với x 2 + x + 1 2 x 2 + x + 5 = 0
4

3

2

(

(

Bài 7: Giải phương trình sau: x 2 − 4

)

2

)(

)

= 8x + 1

HD :

(x

2
Thêm 16x vào hai vế ta được :
2

)

(

)(

)

+ 4 = ( 4 x + 1) = x 2 + 4 x + 5 x 2 − 4 x + 3 = 0
2

2

4
2
Bài 8: Giải phương trình sau: x − 4 x + 12 x − 9 = 0
HD:

Biến đổi phương trình x 4 − ( 2 x − 3) = 0
2

Bài 9: Giải phương trình: x 4 − 10 x 2 − x + 20 = 0
HD:

GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức

20


Biến đỏi phương trình thành :  ( x2 − x − 5)( x 2 + x − 4) = 0  x =

−1  17
2

và

1  21
2
Bài 10: Giải phương trình: x 4 − 22 x 2 − 8 x + 77 = 0
HD:
x=

 x = −1  2 2
Biến đổi phương trình thành:  ( x 2 + 2 x − 7)( x 2 − 2 x − 11) = 0  
 x = 1  2 3
Bài 11: Giải phương trình: x 4 − 6 x3 + 8x 2 + 2 x − 1 = 0
HD:

x = 2 +


x = 2 −
2
2
Biến đổi phương trình thành:  ( x − 4 x + 1)( x − 2 x − 1) = 0  
x = 1+
x = 1+


3
3

,

2
2

Bài 12: Giải phương trình: x + 2 x − 5 x + 6 x − 3 = 0
HD:
4

3

2


−3 + 21
x =
2
Biến đổi phương trình thành:  ( x 2 + 3x − 3)( x 2 − x + 1) = 0  


−3 − 21
x =

2
4
2
Bài 13: Giải phương trình : x − 4 x + 12 x − 9 = 0
HD :
Biến đổi phương trình thành:
 x2 + 2 x − 3 = 0
 ( x2 + 2 x − 3)( x 2 − 2 x + 3) = 0   2
 x = 1; x = 3
x
−
2
x
+
3
=
0

4
2
Bài 14: Giải phương trình : x − 13x + 18x − 5 = 0
HD:
Biến đổi phương trình thành:  ( x 4 − 4 x 2 + 4 ) − ( 9 x 2 − 18x + 9 ) = 0
Bài 15: Giải phương trình : 2 x 4 − 10 x3 + 11x 2 + x − 1 = 0
HD:
Biến đổi phương trình thành:
2

2
1
1 2 3
9 1
3
1
 2 5

  x − x −  = x + x + =  x +    x 2 − 2 x +  ( x 2 − 3x − 1) = 0
2
4
4
4
16  2
4
2



2 2
x
=
2

2 x − 4 x + 1 = 0
2
 2


3  13

 x − 3x − 1 = 0
x =

2
Bài 16: Giải phương trình: x + x + 2 x − 4 = 0
HD:
Phương trình = x 4 + x 3 + 2 x − 4 = 0 = ( x − 1)( x + 2 ) x 2 + 2 = 0
4

3

(

)

4
2
Bài 17: Giải phương trình: x − 30 x + 31x − 30 = 0

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

21


HD:

(

)

x 4 − 30 x 2 + 31x − 30 = 0 = x 4 + x − 30 x 2 − x + 1 = 0

(

)

(

)

(

)

(

)

= x x 3 + 1 − 30 x 2 − x + 1 = 0 = x ( x + 1) x 2 − x + 1 − 30 x 2 − x + 1 = 0

(

)(

)

= x 2 − x + 1 x 2 + x − 30 = 0 ,
2



1 3
2
Vì x − x + 1 =  x −  +  0 = x + x − 30 = 0 = ( x + 6 )( x − 5) = 0
2 4

2

Bài 18: Cho đa thức: P ( x ) = x 4 + x 3 + 6 x 2 − 40 x + m − 1979
a) Tìm m sao cho P(x) chia hét cho x-2
b) Với m tìm được, hãy giải phương trình P(x) =0
HD:
a, P ( x ) = ( x − 2 ) x 3 + 3x 2 + 12 x − 16 + m − 2011 , Do p ( x ) chia hết cho x − 2 nên

(

)

m − 2011 = 0 = m = 2011

(

b, Với m=2011=> P ( x ) = ( x − 2 ) x 3 + 3x 2 + 12 x − 16

)

Do đó:
P ( x ) = 0 = ( x − 2 ) x 3 + 3x 2 + 12 x − 16 = 0 = ( x − 2 )( x − 1) x 2 + 4 x + 16 = 0

(

)

(

)

x = 2
= ( x − 2)( x − 1) = 0 Vì x 2 + 4 x + 16  0 = 
x = 1

(

)

(

) (
2

Bài 19: Giải bất phương trình: 2 x 2 + 3x + 4 − x 2 + x + 4
HD:

(

)

2

0

)

Biến dổi phương trình về dạng: x ( x + 2 ) 3x 2 + 4 x + 8  0
Nhận thấy: 3x 2 + 4 x + 8 = ( x + 2 ) + 2 x 2 + 4  0 = x ( x + 2 )  0 = x  −2 hoặc
2

x0
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình:

10x2 + 20y2 + 24xy + 8x − 24y + 51  0
HD:

Biến đổi thành: ( 3x + 4 y ) + ( x + 4 ) + ( 2 y − 6 ) − 1  0
2

2

2

3x + 4 y = 0
 x = −4

=  x + 4 = 0 = 
y = 3
2 y − 6 = 0


GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức

22

DẠNG 6 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
Bài 1: Giải phương trình: x − x + 3x + 3x − x + 1 = 0
HD:
Nhận thấy x = −1 là 1 nghiệm của phương trình ta có:
( x + 1) x 4 − 2 x 3 + 5x 2 − 2 x + 1 = 0
5

4

3

(

( x + 1)
2

2

2

)

(

)

− x x2 + 1 = 0

Bài 2: Giải phương trình: x = x + x + x + x + 2
HD:
Phương trình tương đương với
x 5 − 1 − x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 = ( x − 2 ) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0
5

(

4

3

) (

2

)

(

)

4
3
2
Ta thấy phương trình x + x + x + x + 1 vơ nghiệm
Bài 3: Giải phương trình sau: x 5 + x 3 + 3x = 2 x 4 + x 2 + 3

(

HD:

)

(

)

Phương trình tương đương với 2 ( x − 2 ) x 4 + x 2 + 3 = 0

Bài 4: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: x + x + x + x + x + x + 1 = 0
HD:
7
Nhân hai vế với x − 1 ta được: x − 1 = 0 = x = 1
Bài 5: Giải phương trình: x5 + x 2 + 2 x = −2
HD :
Ta có: PT = x5 + x 2 + 2 x + 2 = 0 = ( x5 + x 2 ) + ( 2 x + 2 ) = 0
6

5

4

3

2

= x 2 ( x 3 + 1) + 2 ( x + 1) = 0 = x 2 ( x + 1) ( x 2 − x + 1) + 2 ( x + 1) = 0

= ( x + 1)  x 2 ( x 2 − x + 1) + 2  = 0

Ta thấy x 2  0, x 2 − x + 1  0 = x 2 ( x 2 − x + 1) + 2  2 vậy PT có 1 nghiệm x = −1
Bài 6: Giải phương trình: x + 2 x + 3x + 3x + 2 x + 1 = 0
HD:
Phương trình có 1 nghiệm x = -1
Bài 7: Giải phương trình: x6 + 3x5 − 6 x 4 − 21x3 − 6 x 2 + 3x + 1 = 0
HD :
Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách
giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng.
Ta thấy x = 0 khơng là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho x 3
ta được:
1
1 
1
1

x3 + 3 + 3  x 2 + 2  − 6  x +  − 21 = 0 . Đặt t = x + , t  2 . Ta có:
x
x
x  
x

1
1
x 2 + 2 = t 2 − 2; x3 + 3 = t ( t 2 − 3) nên phương trình trở thành:
x
x
2
2
t ( t − 3) + 3 ( t − 2 ) − 6t − 21 = 0

5

4

3

3

t = 3
2
 t 3 − 3t 2 − 9t − 27 = 0  ( t + 3) ( t − 3) = 0  
t = −3
1
3 5
t = 3  x + = 3  x 2 − 3x + 1 = 0  x =
x
2
GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

23


t = −3  x2 + 3x + 1 = 0  x =

x=

−3  5
. Vậy phương trình có bốn nghiệm :
2

−3  5
3 5
.
;x =
2
2

Bài 8: Giải phương trình: x − 7x − 8 = 0
HD:
3
Đặt x = t , phương trình trở thành: t 2 − 7t − 8 = 0 = ( t + 1)( t − 8) = 0
6

3

Bài 9: Tìm x, y, z biết: 10x 2 + y2 + 4z2 + 6x − 4y − 4xz + 5 = 0
HD :

= 9x2 + 6x + 1 + y2 − 4y + 4 + 4z2 − 4xz + x 2 = 0
= ( 3x + 1) + ( y − 2 ) + ( 2 z − x ) = 0
2

2

2

Do đó : 3x + 1 = 0 và y − 2 = 0 và 2z − x = 0
Bài 10: Tìm x, y, z biết: 9x 2 + y2 + 2z2 − 18x + 4z − 6y + 20 = 0
HD:
= 9 x 2 − 18x + 9 + y 2 − 6 y + 9 + 2 z 2 + 2 z + 1 = 0

(

) (

) (

)

= 9 ( x − 1) + ( y − 3) + 2 ( z + 1) = 0 ,
2

2

2

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

24


DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Bài 1: Tìm x biết:
x +1 x + 3 x + 5 x + 7
x −3 x −3 x −3 x −3
+
+
=
=
+

+
a,
b,
65
13
63
14
61
15
59
16
HD:
x −3 x −3 x −3 x −3
1 1 1 1
a,
=
+
−
−
= 0 = ( x − 3)  + − −  = 0
13
14
15
16
 13 14 15 16 
1 1
1 1
1 1 1 1
−  0 và
−  0 nên

+ − − 0
=> x = 3 vì
13 15
14 16
13 14 15 16
b,

x + 66 x + 66 x + 66 x + 66
 x +1   x + 3   x + 5   x + 7 
= 
+ 1 + 
+ 1 = 
+ 1 + 
+ 1 =
+
=
+
65
63
61
59
 65
  63
  61
  59

1 1 1 1
 1 1 1 1 
+ − − 0
=> ( x + 66)  + − −  = 0 = x = −61 vì

65 63 61 59
 65 63 61 59 
Bài 2: Tìm x, biết:
29 − x 27 − x 25 − x 23 − x 21 − x
+
+
+
+
= −5
a,
b,
21
23
25
27
29
x − 10 x − 14 x − 5 x − 148
+
+
+
=0
30
43
95
8
HD:
 29 − x   27 − x   25 − x   23 − x   21 − x 
a,
= 
+ 1 + 

+ 1 + 
+ 1 + 
+ 1 + 
+ 1 = 0
 21
  23
  25
  27
  29

50 − x 50 − x 50 − x 50 − x 50 − x
+
+
+
+
= 0 =>
=>
21
23
25
27
29
1 1 1
1
1
( 50 − x )  + + + +  = 0
 21 23 25 27 29 
 x − 10   x − 14
  x − 5   x − 148 
b,

=> 
− 3 + 
− 2 + 
− 1 + 
+ 6 = 0
 30
  43
  95
  8

x − 100 x − 100 x − 100 x − 100
+
+
+
= 0 =>
=>
30
43
95
8
1 1 1 1
( x − 100)  + + +  = 0
 30 43 95 8 
Bài 3: Tìm x, biết:
x − 5 x − 4 x − 3 x − 100 x − 101 x − 102
x − 2 x −1 x − 4 x − 3
+
+
=
+

+
+
=
+
a,
b,
100 101 102
5
4
3
7
8
5
6
HD:
a,
 x − 5   x − 4   x − 3   x − 100   x − 101   x − 102 
= 
− 1 + 
− 1 + 
− 1 = 
− 1 + 
− 1 + 
− 1
 100
  101
  102
  5
  4
  3


x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 x − 105 x − 105
+
+
=
+
+
=>
100
101
102
5
4
3
=> x −105 = 0 = x = 105

GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức

25