Bài 1 chương 3 hình học 11

LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Chương III: VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN.
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Bài 1: Vectơ trong khơng gian (Tiết 1)
I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN VỀ VÉC TƠ
TRONG KHÔNG GIAN (Tiết 1)
II ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VECTƠ (Tiết 2)


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Chương III: VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN.
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Bài 1: Vectơ trong khơng gian (Tiết 1)
I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN VỀ VÉC TƠ
TRONG KHƠNG GIAN
1. ĐỊNH NGHĨA
2. CÁC PHÉP TỐN VỀ VÉC TƠ


LỚP
11

I

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN CỦA VEC TƠ TRONG
KHƠNG GIAN .

1 Định nghĩa

Véc tơ trong khơng gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu
chỉ vec tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B. Vec tơ cịn được
kí hiệu là ,

B

A

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như: giá của vectơ, độ dài vectơ, sự
cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ, và các
quy tắc thực hiện các phép toán về vectơ được định nghĩa tương tự trong
mặt phẳng.


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Ví dụ 1

Cho tứ diện ABCD, kể tên các vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là
các đỉnh còn lại của tứ diện. Các vectơ đó có cùng nằm trong một mặt
phẳng khơng?
Bài giải

Các vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối
là các đỉnh cịn lại của tứ diện là:

Chúng khơng cùng thuộc một mặt phẳng

LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Ví dụ 2

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a) Kể tên các vectơ bằng với vectơ
b) Có tất cả bao nhiêu vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh
của hình hộp?
Bài giải

a) Các vectơ bằng với vectơ là:
b) Vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là các
đỉnh của hình hộp có tất cả = 56 vectơ
Hai vectơ bằng nhau khi nào?


LỚP
11

I

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN CỦA VEC TƠ TRONG
KHƠNG GIAN .

2 Phép cộng và phép trừ các vectơ, phép nhân vec tơ với một số

• Qui tắc 3 điểm.
Với ba điểm A,B,C bất kì ln có:
• Qui tắc hiệu.
Với ba điểm A,B,C bất kì ln có:
• Qui tắc hình bình hành.
Nếu ABCD là hình bình hành thì:

;

Nhắc lại qui tắc 3 điểm,
Qui tắc hiệu, qui tắc hình
bình hành?


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

I

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN CỦA VEC TƠ TRONG
KHƠNG GIAN .

2

Phép cộng và phép trừ các vectơ, phép nhân vec tơ với một số
Ví dụ 3

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a) Thực hiện phép tốn .
b) Chứng minh .

Bài giải


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

I

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN CỦA VEC TƠ TRONG
KHƠNG GIAN .

2

Phép cộng và phép trừ các vectơ, phép nhân vec tơ với một số

• Qui tắc hình hộp.
Với ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì:
.


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Ví dụ 4

Cho tứ diện ABCD; M, N lần lượt là trung điểm AB và CD; G là trung điểm
của MN ( G được gọi là trọng tâm của tứ diện)
uuu
r uuu
r uuur uuur r
GA  GB  GC  GD  0

a. Chứng minh rằng:
b. Chứng minh rằng: Với điểm O bất kì

uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
OG  OA  OB  OC  OD
4





Bài giải
uuu
r uuu
r
uuuu
r
M
a. M là trung điểm AB nên ta có GA  GB  2GM
uuu
r uuu

r
uuur
N là trung điểm CD nên ta có GA  GB  2GN
uuu
r uuu
r uuur uuur
uuuu
r uuur
� GA  GB  GC  GD  2(GM  GN )
uuuu
r uuur r
uuu
r uuu
r uuur uuur r
Do G là trung điểm của MN nên GM  GN  0 � GA  GB  GC  GD  0

G

N


LỚP
11

HÌNH
HỌC

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

BÀI 1

Ví dụ 4

Cho tứ diện ABCD; M, N lần lượt là trung điểm AB và CD; G là trung điểm
của MN ( G được gọi là trọng tâm của tứ diện)
uuu
r uuu
r uuur uuur r
GA  GB  GC  GD  0

a. Chứng minh rằng:
b. Chứng minh rằng: Với điểm O bất kì
Bài giải

uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
OG  OA  OB  OC  OD
4



b. Với điểm O bất kì :

uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
OA  OB  OC  OD  OG  GA  OG  GB  OG  GC  OG  GD

uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
uuur r
uuur
 4OG  GA  GB  GC  GD  4OG  0  4OG
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
� OG  OA  OB  OC  OD
4







Ghi nhớ: Tính chất trọng tâm tứ diện.

M
G

N


LỚP
11

HÌNH

HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1

Cho hình hộp chữ nhật . Khi đó, vectơ cùng phương với vectơ là
vectơ nào dưới đây?

B

A
Bài giải

Chọn
A.

C

D


LỚP
11

HÌNH

HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Câu 2

Cho tứ diện , gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Khi đó,
vectơ cùng hướng với vectơ là vectơ nào dưới đây?

B

A

D

C

Bài giải
M

Chọn
D.

N


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Câu 3

Cho tứ diện , gọi M, N lần lượt là điểm thuộc cạnh AB, AD sao cho .
Tìm số thực k thỏa mãn ?

A

B
Bài giải

MN 3
 .
BD 4

C

D

AM AN 3

 � MN / / BD;
M

AB AD 4
.

?

Chọn
C.

N


LỚP
11

HÌNH
HỌC

Câu 4

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Cho hình hộp . Chọn đẳng thức vectơ đúng:

A

B

C

D
Bài giải
Chọn
A.


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Cho t. Có M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Đặt
Câu 5
uuu
r r uuur r uuur r
.K
AB  a, AC  b, AD  c

A

B

C

D
Bài giải

=
= =
=-

Chọn

).

M

N


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN
HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ

- Làm các bài tập 1-7 (SGK- 91,92)
- Đọc phần II: Điều điện đồng phẳng của ba vectơ.

LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Chương III: VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN.
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Bài 1: Vectơ trong khơng gian (Tiết 1)
I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN VỀ VÉC TƠ
TRONG KHÔNG GIAN (Tiết 1)
II ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VECTƠ (Tiết 2)


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

II ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1

Khái niệm về sự đồng phẳng của 3 vectơ trong khơng
gian.
Vậy trong khơng gian khi nào thì ba
vectơ đồng phẳng?

C . Từ một điểm O bất kì vẽ .

A

A

Nếu OA, OB, OC không cùng nằm trong
một mặt phẳng thì ta nói
khơng
đồng phẳng.
Nếu OA, OB, OC cùng nằm trong
một mặt phẳng thì ta nói
đồng
phẳng.

O

B

O

B

C

C
Ba vectơ
khơng đồng phẳng

Ba vectơ đồng
phẳng

Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hay không đồng phẳng của ba vectơ khơng phụ
thuộc vào vị trí điểm O.


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

II ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

2 Định nghĩa
Định nghĩa

Trong không gian ba vectơ
gọi là đồng phẳng nếu các
giá của chúng cùng song
song với một mặt phẳng.


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Ví dụ 2
Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
Chứng minh rằng ba vectơ , , đồng phẳng.
Bài giải

Gọi là trung điểm

Ta có nên
nên
Mặt phẳng chứa và song song với ,
Suy ra , cùng song song với một mặt phẳng.
Do đó, ba vectơ , , đồng phẳng

LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Ví dụ 3
Cho hình hộp . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
Chứng minh rằng ba vectơ , , đồng phẳng.
Bài giải

Xét tam giác có là trung điểm

là hình bình hành
Mặt phẳng chứa và song song với ,
, cùng song song với một mặt phẳng
Do đó, ba vectơ , , đồng phẳng


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

II ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ
3 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Định lý 1
Trong không gian cho hai vectơ không cùng phương và vectơ .
Khi đó ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số sao cho
cặp số m,n là duy nhất.

. Ngoài ra


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Ví dụ 4
Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Trên các cạnh và lần lượt lấy các
điểm sao cho và . Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng
Bài giải

Ta có
và

Do đó
hay

Suy ra đồng phẳng

nên bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

II ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

3 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Định lý 1

Trong không gian cho hai vectơ không cùng phương và vectơ . Khi đó ba
vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số sao cho
. Ngồi ra cặp
số m,n là duy nhất.
Định lý 2

Trong không gian cho hai vectơ khơng đồng phẳng. Khi đó với mọi vectơ ta

đều tìm được một bộ ba số sao cho . Ngồi ra bộ ba số là duy nhất


LỚP
11

HÌNH
HỌC

BÀI 1

VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN

Ví dụ 5
Cho hình hộp có ; ; . Gọi là trung điểm của đoạn . Hãy biểu thị vectơ qua ba vectơ
Bài giải
Vì là trung điểm
Trong đó
Suy ra
Vậy

nên