Bài tập Chương II hình học 11 nâng cao

BÀI TẶP CHƯƠNG II
(HH 11 NC)
I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD)
b) Gọi M, N là hai điểm trên hai đoạn thẳng AB, AC theo thứ tự. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
(IBC) và (DMN)
Bài 2. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD
lấy P sao cho BP = 2PD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mp(ACD)
b) Tìm giao tuyến của hai mp (MNP) và (ACD)
Bài 3. Cho 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng. hai đoạn AB và CD không song song. Cho điểm S không thuộc mp
(ABCD), M là trung điểm của đoạn thẳng SC.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mp(MAB)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.
Bài 4. Cho tứ diện ABCD, M là một điểm nằm trên tia đối của tia AD, I là điểm thuộc miền trong của tam giác
ABC.
a) Chứng minh rằng đường thẳng BC cắt mp (MAI)
b) Chứng minh mp(MBI) cắt mp(ACD
Bài 5. Cho hai hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn là AB và không đồng phẳng.
a) Xác định giao tuyến của các cặp mp (AEC) và (BFD), (BCE) và (ADF)
b) Lấy trên DF điểm M. tìm giao điểm của AM và (BCE)
c) Chứng minh
AC BF∩ = ∅
Bài 6. Cho tứ diện ABCD, M, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , CD. O là trung điểm của MP, G là trọng
tâm của tam giác BCD. Chứng minh ba điểm A, O, G thẳng hang. Tính tỉ số
AO
OG
Bài 7. Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình thang với AB là đáy nhỏ. Gọi K là một điểm bất kỳ trên AB,nhưng
khác A, B. Trong mp (ABCD) dựng
( )

/ /KM BC M CD∈
. Trong mp (SCD) dựng
( )
/ / SMI SC I D∈
. Xác định
giao tuyến của hai mp (MIK) và (SAB)
Bài 8. Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mp đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và ko
song song với các cạnh của mp (ABCD).gọi C’ là một điểm nằm trên SC. Tìm thiết diện của chop được cắt bởi mp
(d, C’)
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD. M là trung điểm của SC, trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho
2
3
EB
EC
=
. Gọi N
là giao điểm của SB và ME.
a) Hãy xác định thiết diện của hình chop khi cắ bởi mặt phẳng (EMD)
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (EMD) với giao tuyến của hai mp (SAC) và (SBD)
c) Tính SN và NB theo cạnh SB = a.
Bài 10. Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình bình hành. M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD,SC. Xác
định các giao điểm Q, R lần lượt của SB,SC với mp(MNP)
Bài 11. Cho hình chop S.ABCD. Ba điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên SA, SB, SC. Tìm thiết diện của chop khi cắt
bởi mp (A’B’C’)
Bài 12. Cho tứ diện S.ABC. gọi I, K lần lượt là hai điểm thuộc miền trong của tam giác SAB và ABC. Giả sử IK
cắt mp(SBC) tại E, xác định điểm E.
Bài 13. Cho hình chop S.ABCD. Trên cạnh SC lấy điểm M không trùng với S, C.
a) Tim giao điểm N của SD và (ABM)
b) Giả sử AB và CD cắt nhau tại I. Hãy chứng minh ba điểm I, M, N thẳng hang
II. HAI MẶT PHẮNG SONG SONG.

Bài 1. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi O là một điểm không thuộc a, b. chứng minh rằng tồn tại hai
đường thẳng phân biệt m, n cắt nhau tại O sao cho
/ / , / /m a n b
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm P, Q phân biệt. chứng minh:
a) Hai đường thẳng CP,và DQ chéo nhau.
b) Hai đường thẳng CQ và DP chéo nhau.
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Lấy bốn điểm E, F, I, K lần lượt trên AB,BC, CD, AD sao cho chúng đồng phẳng.
a) Chứng minh rằng ba đường EF, IK, AC đôi một song song hoặc đồng quy.
b) Chứng minh ba đường EK, FI, BD đôi một song song hoặc đồng quy.
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Lấy ba điểm P, Q, R trên ba cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm S của mp
(PRQ) với cạnh AD nếu:
a) PR song song với AC
b) PR cắt AC
Bài 5. Cho tứ diện ABCD với P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi R là điểm nằm trên BC sao cho BR =
2 RC và S là giao điểm của AD với mp (PRQ). Chứng minh AS = 2SD.
Bài 6. Cho tứ diện ABCD, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của MN. Chứng
minh:
a) Đường thẳng AG đi qua trọng tâm A’ của tam giác BCD. Chứng minh tương tự với BG, CG, DG
b) GA = 3GA’
Bài 7. Cho hình chop S.ABCD có đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh bên SA, SB,
SC, SD. Chứng minh:
a)
/ / , / /MP AC NQ BD
b) Ba đường thẳng MP, NQ, và SO (O là giao điểm của AC và BD) đồng quy
c) Bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
Bài 8. Cho hình chop S.ABCD có đáy là tứ giác lồi. Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SAB và SAD,
R là trung điểm của CB
a) Chứng minh
/ /PQ BD
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp (PQR)

c) Gọi K, L lần lượt là giao điểm của mp(PQR) với các cạnh SB, SD. Chứng minh
/ /KL BD
III. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.
Bài 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng.
a) Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD và ABEF.Chứng minh đường thẳng OO’ song
song với hai mp (ADF) và (BCF).
b) Gọi M, N lần lượt là các trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng MN song song với (CEF)
Bài 2. Cho hình chop S.ABC, mặt phẳng (p) chứa B, song song với AC,cắt các cạnh SA, SC tại D, E(không
trùng với các điểm A, S, C).
a) Chứng minh
/ /DE AC
b) Xác định giao tuyến của mp(p) và mp(ABC)
Bài 3. Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình bình hành.
a) Chứng minh
( ) ( )
AB//mp , / /SCD BC mp ABC
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh
( )
/ /MN SAC
c) Điểm J thuộc cạnh SA sao cho
1
3
SJ
SA
=
và I là giao điểm của hai đường thẳng AC, DM.
Chứng minh IJ// (SBD)
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ và trung điểm P của AB. Chứng minh AC’ //(PB’C)
Bài 5. Cho hình chop S.ABCD đáy là một hình thang (AB//CD, AB > CD). Gọi M là một điểmở giữa C và D.
mặt phẳng (a) đi qua M, song song với BC và SA.

a) Xác định thiết diện của hình chop S.ABCD cắt bởi mp (a)
b) Tìm giao tuyến của hai mp(a) và (SAD)
Bài 6. Cho hình chop S.ABCD đáy là một hình thang (AB//CD, AB > CD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của AB, CD, SA
a) Xác định giao điểm Q của cạnh SD và mp(MNP)
b) Chứng minh SB, SC cùng song song với mp(MNP)
c) Chứng minh MP,NQ cắt nhau. Chứng minh giao điểm của MP, NQ và giao điểm của AB, CD, và S thẳng
hang
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD,I là một điểm thuộc cạnh BC sao cho
BI = 2IC. Chứng minh IG// (ACD)
Bài 8. Cho hai hình thoi ABCD và ADEF, không đồng phẳng. Trên các cạnh AB và DE,lấy các điểm M,N sao
cho AM = ND.
a) Tứ giác BCEF là hình gì?
b) Xác định giao điểm của đường thẳng BF và (MED)
c) Chứng minh MN//(BCE)
Bài 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tứ diện đó. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD
khi cắt boiwrmp (P) trong các trường hợp:
a) Mp (P) chứa điểm G,chứa điểm E thuộc BC (khác trung điểm BC) và (P) song song với AD
b) (P) chứa G và song song với BC và AD.
IV. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Bài 1. Cho điểm B không thuộc mặt phẳng chứa tam giác ADC, Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng BA, BC, BD.
a) Chứng minh rằng các mặt phẳng (MNP) và (ADC) song song với nhau
b) Tìm diện tích của tam giác MNP biết diện tích tam giác ADC bằng 48.
Bài 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC,
A’B’C’, ACC’.
a) Chứng minh (IKG)//mp(BB’,CC’)
b) Xác đinh thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mp (IKG)
c) Chứng minh mp(A’KG)//mp(AIB’)
Bài 3. Cho hai đường thẳng cắt nhau a, b và điểm A không nằm trong mp chứa các đường này. Chứng minh

rằng có duy nhất một mặt phẳng qua A và song với cả hai đường thẳng a, b
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng(P) song song với (ABCD) cắt các
cạnh bênSA, SB,SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành
khi và chỉ khi mp(P) song song với mp(ABCD)
Bài 5. Cho chóp S.ABC. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCA.
a) Chứng minh mp(IJK) // mp(ABC)
b) Tìm tập hợp các điểm M nằm trong hình chóp S.ABC kể cả các mặt chứa hình chóp sao cho KM/song song
với mp(ABC)
Bài 6. Chứng minh rằng sau trung điểm của các cạnh AB, AD, DD’, D’C’ C’B’ và BB’ của hình hộp
ABCD.A’B’C’D’ cùng nằm trẻn một mặt phẳng và mp này song song với mp(AB’D’)
Bài 7. Cho chóp cụt ABC.A’B’C’ có ABC là đáy lớn và các cạnh bên là AA’, BB’, CC’. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và M’, N’, P’ lần lượt là trung điểm của A’B’, B’C, C’A’.
Chứng minh các đường thẳng MM’, NN’, PP’ đồng quy và MN//M’N’, NP//N’P’, MP//M’P’( tức là
MNP.M’N’P’ là chóp cụt)
Bài 8. Cho tứ diện DABC,trên các cạnh DA, DB, DC lấy các điểm M, N, P sao cho:
DM DN DP
MA NB PC
= =
.
Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song vơi mp(ABC)
Bài 9. Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm giữa A,B. Hãy xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp
chứa điểm M và song song với mp(BCD)
Bài 10. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ và một điểm M nằm giữa B, C. Hãy xác định thiết diện của hình
hộp này khi cắt bởi mp chứa điểm M và song song với mp(BC’D)
Bài 11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. gọi M, N là các điểm trên
AD’ và DB sao cho:
( )
0 2AM DN x x a= = < <
a) Chứng minh khi x thay đổi, đường thẳng MN luôn // với một mp cố đinh.
b)

2
3
a
x =
thì MN//A’C
V. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Trên hai đường chéo AC
và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Mặt phẳng
( )
α
chứa MN và song song với AB cắt
AD, AF tại M’, N’.
a) Tứ giác MNN’M’ là hình gì?
b) Chứng minh M’N’ //EC
c) Chứng minh MN // (DEF)
Bài 2. Cho tứ diện ABCD
a) Hãy xác định thiết diện của tứ diện này khi cắt bởi mp chứa cạnh AB và trung điểm M của cạnh CD
b) Chứng minh rằng mp chứa các trung điểm E, O, F của đoạn thẳng BC, CM, AC song song với
mp(ABM). Hãy tìm diện tích của tam giác EOF nếu diện tích tam giác ABM bằng 24
Bài 3. Cho tứ diện ABCD.Gọi
( )
α
là mp thay đổi khi đi qua trung điểmI,K của DA, DB. Giả sử
( )
α
cắt
các cạnh AB, BC lần lượt tại M, N.
a) Tứ giác MNKI là hình gì? Với vị trí nào của
( )
α

thì nó là hình bình hành.
b) Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng MI và NK.Chứng tỏ rằng điểm O luôn nằm trên một đường
thẳng cố định
c) Gọi d là giao tuyến của hai mp
( )
α
và (OAB). Chứng minh rằng khi
( )
α
thay đổi thì đường thẳng d
luôn nằm trong một mp cố định.
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N là các trung điểm của hai cạnh bên AA’ và CC’, P nằm
trên DD’.
a) Xác đinh giao điểm Q của BB’ và mp(MNP)
b) Thiết diện của ABCD.A’B’C’D’ được cắt boowirmp(MNP) là hình gì?
c) Tìm giao tuyến của mp(MNP) và (ABCD)
Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên AD và CC’ sao cho:
'
AM CN
MD NC
=
a) Chứng minh
( )
/ / 'MN ACB
b) Xác định thiết diện cảu hình hộp cắt bởi mp đi qua MN và song song với mp (ACB’)
Bài 6. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. I là tâm hình bình hành
BCC’B’
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và IG cắt nhau.
b) Gọi giao điểm của AA’ và IG là J. Hãy so sánh độ dài của AA’ và JA
c) Gọi M là trung điểm của A’B’. Chứng minh MI //mp(ACC’)

d) Hãy xác định giao tuyến của hai mp(IMG) và (ACC’)
Bài 7.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Gọi E, F, G lần lượt là giao điểm của mp(A’BD) và các đường thẳng C’C, C’B’, C’D’. Hãy xác định
các giao điểm đó.
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của hai cạnh DC và A’D’. Chứng minh MN//(A’BD)
c) Hãy xác định đường thẳng song song với đường thẳng MN đồng thời cắt cả hai đường thẳng AC’, BD