Bài tập lớn Cách viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan Chủ đề Nguyên hàm tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ
KHOA TỐN

Hồng Nguyễn Mỹ Anh

CÁCH VIẾT CÂU HỎI
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Chủ đề

: Nguyên hàm – Tích phân

Học phần

: Lý luận dạy học toán nâng cao và đánh giá
trong dạy học toán.

GVHD

: Nguyễn Đăng Minh Phúc.

Huế, 4/2017


Mục đích của chủ đề này nhằm giúp người soạn câu hỏi trắc nghiệm
khách quan đặt ra nhiệm vụ xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù
hợp, và trình bày một số điểm cần tránh khi soạn câu hỏi. Giả sử một giáo viên
phải soạn những câu hỏi trắc nghiệm khách quan cho một phần nội dung nào đó
của chương trình và giáo viên đó biết ở mức độ khả năng nào để đặt những câu
hỏi của mình. Đòi hỏi sau này đặt ra 2 điều phải cân nhắc cho người viết câu

hỏi, thứ nhất là những câu hỏi phải đúng mức độ khó và thứ 2 là chũng phải bao
quát được các mức độ tư duy đòi hỏi: kiến thức, hiểu, áp dụng hay những khả
năng cao nhất.
Sau đây là một ví dụ về chủ đề nguyên hàm – tích phân mà từ câu hỏi
truyền thống chúng ta có thể xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù
hợp.
I. Câu hỏi truyền thống
Giả sử chúng ta đang cần viết một hay nhiều câu hỏi để đánh giá khả năng
tốn của học sinh trong một tình huống cụ thể là sử dụng công thức và các
phương pháp khác nhau để tính nguyên hàm của một hàm số. Trong kì thi thơng
thường, điều này có thể được làm tốt bằng cách dùng cơng cụ câu hỏi sau:
Bài tốn: Tìm nguyên hàm của hàm số: I1

³

x 2 dx
x 4
2

.

Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các kiến thức về nguyên hàm
đã được học để có thể giải quyết bài toán. Bước này liên quan đến khả năng hệ
thống các kiến thức của học sinh, khả năng áp dụng lý thuyết, cơng thức vào
một bài tốn tính ngun hàm cụ thể.
Ở bài toán này học sinh thấy rằng mẫu số là căn bậc 2 và phương pháp
giải quyết thích hợp là đổi biến số để đơn giản hóa bài tốn. Và khi gặp dạng
căn bậc 2 có chứa a 2  x 2 thì một trong các cơng cụ hữu hiệu mà các em có là
phương pháp đổi biến lượng giác hóa.
Nếu hàm f(x) có chứa a 2  x 2 thì đặt:

x

adt
­
°°dx d  a tan t
cos 2t
a tan t o ®
° x2  a2
a 2 tan 2 t  a 2
°¯

a
cos t


Nhìn vào hàm số có dạng a 2  x 2 , học sinh đặt x

a tan t với a 2 và tiếp

theo học sinh sẽ thu được tích phân mới đơn giản hơn tích phân ban đầu, từ đó tiếp tục
áp dụng các phép biến đổi thích hợp để có thể đưa ra đáp số.

I

x 2 dx

³

x 4

2

; a

2


2dt
­
2
tan
2 1  tan 2 t
dt
dx
d
t



°
2
cos t
Đặt x 2 tan t o ®
° x2  4
4 tan 2 t  4
¯
oI

³

4³ tan 2 t 1  tan 2 t dt

2 1  tan t
sin 2 t
sin 2 t.cos t
4³
dt 4³
dt
cos3 t
cos 4 t

Đặt u

oI

4 tan 2 t.2 1  tan 2 t
dt
2

³

sin 2 t.d (sin t )

1  sin t

2

2

sin t

2

§ u ·
³ 1  u 2 2 d (u ) 4 ăâ 1  u 2 áạ du


u2



2



o I3

2

1
1
1 Ã
Đ 1

 ă

á du
1 u 1 u
â1 u 1 u ạ

1 Ã

Đ 1
ăâ 1  u  1  u áạ du



Đ 1 1  u
 1  u
Ã
4 ă
á du
u
u


2
1
1





â
ạ

du



du

du
1
1



1 u 1 u
1 u
1 u
2du

du

(1  u )  ³ (1  u )  ³ 1  u
1  u

2

2

d 1  u

d 1  u

1  u
 1  u
d  u

³
 ³

2
2
(1  u )
(1  u )
1  u
1  u


1
1

 ln 1  u  ln u  1  C
1 u 1 u

1
1
u 1

 ln
C
u 1 u 1
u 1

1
1
u 1

 ln
C
u 1 1 u

u 1

1
1
sin t  1

 ln
C
sin t  1 sin t  1
sin t  1

Từ giả thiết x 2tan t
œ tan t

œ sin t

x
1
o
2
cos 2 t
x
4 x

2

x2
1  tan t 1  œ cos 2 t
4

o I3

2

1
x
4  x2


1

x2
4
2
o sin t
4  x2
4  x2
x
1
2
1

x
4
 ln
C
x
x
1
1

4  x2
4  x2


Khi phân tích theo cách này, ta thấy bài tốn đang cố gắng để làm nhiều
thứ cùng một lúc. Nếu các em thất bại ngay ở bước đầu, không biết cách đổi
biến số sao cho phù hợp thì bài tốn tự luận này khơng cho ta biết điều gì về khả
năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi, ví dụ như:
¾ Đổi biến số theo phương pháp lượng giác hóa.
¾ Xử lí khi gặp tích phân chứa hàm lượng giác. Bởi vì, khi đặt ẩn phụ,

học sinh thu được tích phân hàm lượng giác. Qua đó, kiến thức về
nguyên hàm của các hàm lượng giác cơ bản, các công thức của hàm
lượng giác như công thức nhân đơi, cơng thức nhân 3, hạ bậc,…sẽ được
thể hiện.
¾ Đổi biến số và cách xử lí hàm hữu tỉ. Nếu tích phân lượng giác thu

được khá phức tạp, học sinh không thể áp dụng các nguyên hàm lượng
giác cơ bản để tính được thì khía cạnh cụ thể được thể hiện trong bài
toán tự luận trên là khả năng đổi biến, đưa hàm lượng giác về hàm hữu
tỉ để xác định nguyên hàm.
Trắc nghiệm khách quan cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào
của bài tốn thì học sinh có thể trả lời được.
II. Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương
Khía cạnh 1:
Đầu tiên chúng ta sẽ kiểm tra phương pháp đổi biến theo phương pháp
lượng giác hóa. Với cách đổi biến như ở ví dụ trên, một số câu hỏi phù hợp để
kiểm tra kiến thức này như sau:
Ví dụ 1:
Đổi biến x 3tan t thì tích phân I

9dt

A.

³ cos

C.

dt
³ cos 2t

3

t

³

x 2  9 trở thành:

dt

B.

³ cos t

D.

³ cos tdt

3dt
­
dx
d
t
3tan



°°
cos 2t
Đặt x 3tan t o ®
° x2  9
9 tan 2 t  9
°¯

3
cos t