Bài tập lớn Chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TỐN
**********

VÕ THỊ VÂN HỊA

TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
CHỦ ĐỀ:
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
(PHẦN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG)

HỌC PHẦN
LÝ LUẬN DẠY HỌC TOÁN NÂNG CAO VÀ
ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN

Huế, tháng 4 năm 2017


TL-TN-PTĐT

Mở đầu
Câu hỏi trắc nghiệm khách quan đã thể hiện nhiều ưu điểm trong đánh giá khả
năng toán của học sinh như đo lường các quá trình tư duy cao hơn, đo lường sự áp
dụng trong những tình huống mới tốt hơn so với câu hỏi tự luận. Ngoài ra, trắc
nghiệm khách quan còn cung cấp các đơn vị kiến thức trên diện rộng, tương đối đủ
và phù hợp với mục tiêu giáo dục tốn. Vì vậy, việc chuyển từ câu hỏi truyền thống
sang câu hỏi trắc nghiệm khách quan sẽ phát huy những ưu điểm trên, đồng thời hạn
chế những khuyết điểm của câu hỏi truyền thống.

Một số bài toán minh họa

Bài 1: Cho tam giác 𝑨𝑩𝑪, 𝑴(𝟏; 𝟐), 𝑵(𝟎; 𝟐), 𝑷(𝟐; 𝟑) lần lượt là trung điểm của
𝑨𝑩, 𝑩𝑪, 𝑪𝑨. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Giải:

Cách 1: 𝑀𝑃, 𝑃𝑁, 𝑁𝑀 là các đường trung bình
của tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên ta có:
𝑀𝑃 ∥ 𝑁𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑃 = (1; 1)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0)
𝑁𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑁 = (−2; −1)

𝑃𝑁 ∥ 𝑀𝐵

𝑁𝑀 ∥ 𝑃𝐴

𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 = (−1; 1)

𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (0; 1)

𝑛

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (1; −2)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Phương trình tổng quát của đường thẳng 𝐵𝐶 đi qua 𝑁(0; 2) và nhận 𝑛
𝐵𝐶 = (−1; 1)
làm vector pháp tuyến là: −𝑥 + 𝑦 − 2 = 0

Phương trình tổng quát của đường thẳng 𝐴𝐵 đi qua 𝑀(1; 2) và nhận ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑛𝐴𝐵 = (1; −2)
làm vector pháp tuyến là: 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0

Phương trình tổng quát của đường thẳng 𝐴𝐶 đi qua 𝑃(2; 3) và nhận 𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (0; 1)
làm vector pháp tuyến là: 𝑦 − 3 = 0

Vì 𝐴 là giao điểm của 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 nên tọa độ điểm 𝐴 là nghiệm của hệ
𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
𝑥=3
⇔{
{
𝑦=3
𝑦−3=0
VÕ THỊ VÂN HÒA

1


TL-TN-PTĐT

Vậy 𝐴(3; 3)

Vì 𝐵 là giao điểm của 𝐴𝐵 và 𝐵𝐶 nên tọa độ điểm 𝐵 là nghiệm của hệ
𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
𝑥 = −1
⇔{
{
𝑦= 1
−𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
Vậy 𝐵(−1; 1)

Vì 𝐶 là giao điểm của 𝐵𝐶 và 𝐴𝐶 nên tọa độ điểm 𝐶 là nghiệm của hệ
−𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
𝑥=1
⇔{
{
𝑦=3
𝑦−3=0
Vậy 𝐶(1; 3)

Cách 2: 𝑀𝑃, 𝑃𝑁, 𝑁𝑀 là các đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên ta có:

𝑀𝑃 ∥ 𝑁𝐶, 𝑀𝑃 = 𝑁𝐶

𝑃𝑁 ∥ 𝑀𝐵, 𝑃𝑁 = 𝑀𝐵

𝑁𝑀 ∥ 𝑃𝐴, 𝑁𝑀 = 𝑃𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 1)

𝑀𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝐶 ; 𝑦𝐶 − 2)
𝑁𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; −1)
𝑃𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵 = (𝑥𝐵 − 1; 𝑦𝐵 − 2)

⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐴 = (𝑥𝐴 − 2; 𝑦𝐴 − 3)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0)
𝑁𝑀

𝑥 =1
=1
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ { 𝑥𝐶
𝑁𝐶
⇔{ 𝐶
𝑦𝐶 = 3
𝑦𝐶 − 2 = 1

Vậy 𝐶(1; 3)

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑁𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ {𝑥𝐴 − 2 = 1 ⇔ {𝑥𝐴 = 3

𝑃𝐴
𝑦𝐴 − 3 = 0
𝑦𝐴 = 3
Vậy 𝐴(3; 3)

𝑥 − 1 = −2
𝑥 = −1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵
𝑃𝑁 ⇔ { 𝐵
⇔{ 𝐵
𝑦𝐵 − 2 = −1
𝑦𝐵 = 1

Vậy 𝐵(−1; 1)
Cách 3:

𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 )

𝑥 + 𝑥𝐵 = 2
(I)
{ 𝐴
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 4

𝐵(𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 )

𝑥 + 𝑥𝐶 = 4
(II)
{ 𝐴
𝑦𝐴 + 𝑦𝐶 = 6

𝐶(𝑥𝐶 ; 𝑦𝐶 )

𝑥 + 𝑥𝐶 = 0
(III)
{ 𝐵
𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 = 4
VÕ THỊ VÂN HÒA

2


TL-TN-PTĐT

𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 = 0
𝑥𝐵 = −1
𝑦𝐵 = 1
𝑥𝐵 − 𝑥𝐶 = −2
𝑥 = 1
𝑦 + 𝑦𝐶 = 4
Từ (I), (II), (III), suy ra 𝐵
⇔ 𝐶
𝑦𝐵 − 𝑦𝐶 = −2
𝑦𝐶 = 3
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = 2
𝑥𝐴 = 3
{ 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 4
{ 𝑦𝐴 = 3
Vậy 𝐴(3; 3), 𝐵(−1; 1), 𝐶(1; 3)

Cách 4: 𝑀𝑃, 𝑃𝑁, 𝑁𝑀 là các đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên ta có:

𝑀𝑃 ∥ 𝑁𝐶, 𝑀𝑃 = 𝑁𝐶

𝑃𝑁 ∥ 𝑀𝐵, 𝑃𝑁 = 𝑀𝐵

𝑁𝑀 ∥ 𝑃𝐴, 𝑁𝑀 = 𝑃𝐴

Suy ra 𝐴𝑀𝑁𝑃, 𝐵𝑁𝑃𝑀, 𝐶𝑃𝑀𝑁 là các hình bình hành.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 1)
𝑀𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; −1)
𝑃𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0)
𝑁𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; 0)
𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; −1)
𝑃𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; 1)
𝑁𝑃

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta được:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 − 1; 𝑦 − 2)
𝑀𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 − 2; 𝑦 − 3)
𝑃𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥; 𝑦 − 2)
𝑁𝐴

𝑥−1=0
𝑥=1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶
𝑀𝑁 ⇔ {
⇔{
𝑦−2=1
𝑦=3
Vậy 𝐶(1; 3)

Tương tự ta tính được 𝐴(3; 3), 𝐵(−1; 1)

Bài tốn này có khá nhiều cách giải, trong đó mỗi cách thể hiện một hoặc hai
nội dung kiến thức và kỹ thuật giải toán. Chẳng hạn, cách 4 dùng kiến thức về đường
trung bình và quy tắc hình bình hành, cịn cách 3 chỉ sử dụng quy tắc trung điểm.
Khi làm bài toán tự luận này, học sinh chỉ lựa chọn giải theo một cách nhất định và
ta cũng chỉ kiểm tra được một kỹ thuật nào đó, ví dụ như cách 3 ta chỉ biết học sinh
dùng quy tắc trung điểm. Trong lúc đó, cịn nhiều kỹ thuật ở những cách giải khác
nữa, ví dụ như ta muốn kiểm tra kỹ thuật viết phương trình đường thẳng ở cách 1,
kiến thức về hai vector bằng nhau ở cách 2. Ở đây, các câu hỏi trắc nghiệm sẽ phát
huy tác dụng của mình.
Hoặc là, trong trường hợp cách 1, 2, 4, học sinh cần sử dụng tính chất đường

trung bình. Nếu khơng nhớ hoặc nhầm lẫn tính chất này thì học sinh khơng thể làm
VÕ THỊ VÂN HÒA

3


TL-TN-PTĐT

tiếp bài tốn được, ta cũng khơng thể biết học sinh có làm được các kỹ thuật, kiến
thức ở phần sau hay không. Trắc nghiệm khách quan sẽ cho ta cơ hội tìm ra ở phần
nào của bài tốn thì học sinh có thể là được. Tận dụng cả bốn cách giải trên, ta có
thể đặt ra các câu hỏi trắc nghiệm tương ứng nhằm kiểm tra nhiều kiến thức, kỹ thuật
hơn . Cụ thể, ta có những câu hỏi trắc nghiệm sau.

Những câu hỏi trắc nghiệm tương ứng
Câu 1: Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh của tam giác có tính chất nào sau
đây?
A. Định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng bằng nhau
B. Có độ dài bằng nửa cạnh thứ ba
C. Là đường trung tuyến của tam giác đó
D. Song song với cạnh thứ ba

Để chọn được đáp án đúng là D, học sinh cần biết định nghĩa và tính chất của
đường trung bình.
Phương án A, B, C gây nhiễu cho những học sinh không học kĩ kiến thức, nhớ
mang máng các tính chất.
Câu 2: Cho đường thẳng 𝑑 có vectơ chỉ phương 𝑢
⃗ = (−2; −1). Hãy tìm một vectơ
pháp tuyến của nó.
A. 𝑛⃗ = (−2; 4)

B. 𝑛⃗ = (−4; −2)
C. 𝑛⃗ = (−1; −2)
D. 𝑛⃗ = (1; 2)

Để chọn được đáp án đúng là A, học sinh phải biết quy tắc đổi tọa độ vector
chỉ phương sang vector pháp tuyến và lưu ý nếu 𝑛⃗ là vector pháp tuyến thì 𝑘𝑛⃗ cũng
là vector pháp tuyến.
Phương án C, D gây nhiễu cho những học sinh không biết cách đổi tọa độ
vector chỉ phương sang vector pháp tuyến, nhầm dấu.
Câu 3: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng 𝑑 đi qua
điểm 𝑀(1; 2) và có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ = (1; −2)?
A. 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 B. 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 C. 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 D. 2𝑥 − 𝑦 = 0

Để chọn được đáp án đúng là B, học sinh phải biết viết phương trình tổng quát
của đường thẳng.
VÕ THỊ VÂN HÒA

4


TL-TN-PTĐT

Phương án C gây nhiễu cho những học sinh nhầm lẫn giữa điểm và vector,
phương án A gây nhiễu cho những học sinh nhầm lẫn giữa vector pháp tuyến và
vector chỉ phương.
Câu 4: Giả sử 𝐼 là giao điểm của 𝑑: 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 và 𝑙: −𝑥 + 𝑦 − 2 = 0. Tìm tọa
độ điểm 𝐼.
A. 𝐼(1; 3)
B. 𝐼(1; 2)
C. 𝐼(−1; 1)

D. Không tồn tại 𝐼

Để chọn được đáp án đúng là C, học sinh phải biết vị trí tương đối của hai
đường thẳng và kỹ năng giải hệ phương trình.
Phương án A, B gây nhiễu cho những học sinh sử dụng phương pháp thế tọa
độ điểm vào phương trình, học sinh có thể đưa ra những kết luận vội vàng khi tọa
độ điểm thỏa một phương trình.
Câu 5: Hai vector nào sau đây là hai vector bằng nhau?
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑁𝐶
B. 𝑃𝑀
A. 𝑀𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
C. 𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑁𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D. 𝑀𝑁

Để chọn được đáp án đúng là A, học sinh phải biết kiến thức về vector và điều
kiện để hai vector bằng nhau.
Phương án B, C, D gây nhiễu những học sinh chưa hiểu điều kiện để hai vector
bằng nhau là phải cùng hướng (phương án B, D) và cùng độ dài (phương án C)
Câu 6: Cho 𝑀 là trung điểm của 𝐴𝐵, biểu thức tọa độ nào sau đây được biểu diễn
đúng?
𝑥 +𝑥 =𝑥
𝑥 + 𝑥𝐵 = 2𝑥𝑀

2𝑥 + 2𝑥𝐵 = 𝑥𝑀
𝑥 + 𝑥𝑀 = 2𝑥𝐵
A.{𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 𝑦𝑀 B.{ 𝐴
C.{ 𝐴
D.{ 𝐴
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 2𝑦𝑀
2𝑦𝐴 + 2𝑦𝐵 = 𝑦𝑀
𝑦𝐴 + 𝑦𝑀 = 2𝑦𝐵
𝐴
𝐵
𝑀

Để chọn được đáp án đúng là B, học sinh cần biết biểu thức tính tọa độ trung
điểm của đoạn thẳng.
Phương án A, C gây nhiễu cho những học sinh không nhớ hoặc nhớ mang
máng biểu thức tọa độ, nếu học sinh nhầm lẫn giữa vị trí các điểm thì có thể chọn
phương án D
VÕ THỊ VÂN HỊA

5


TL-TN-PTĐT

Câu 7: Cho 𝑀𝑁𝑃𝑄 là hình bình hành. Biểu thức vector
nào sau đây đúng?
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
A. 𝑀𝑁
𝑀𝑃 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑄 = ⃗0

B. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑄 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝑄
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
C. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑄 − 𝑀𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
D. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑄 = 2𝑀𝑃

Để chọn được đáp án đúng là C, học sinh cần hiểu quy tắc hình bình hành.

Phương án A, B, D gây nhiễu cho những học sinh khơng hiểu quy tắc hình
bình hành, nhầm lẫn giữa các quy tắc trung điểm (phương án D) hay quy tắc trọng
tâm (phương án A), hoặc áp dụng sai quy tắc ba điểm (phương án B).
Tóm lại, để làm được những câu trắc nghiệm khách quan, học sinh cần nắm vững
kiến thức và những kỹ năng tính tốn cơ bản, điều đó giúp các em hạn chế sa vào
những phương án nhiễu, tiết kiệm thời gian làm bài và hiệu quả bài kiểm tra cao
hơn.
Bài 2: Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là (𝟒; 𝟎). Biết phương trình các
đường thẳng chứa hai cạnh là 𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟎 và 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟐 = 𝟎. Tìm tọa độ ba
đỉnh cịn lại của hình bình hành đó.
Giải: Gọi 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 là bốn đỉnh của
hình bình hành.

Vì 𝐶 là giao điểm của 𝐵𝐶 và 𝐷𝐶 nên
tọa độ điểm 𝐶 là nghiệm của hệ
𝑥 − 3𝑦
=0
𝑥 = −6
⇔{
{
𝑦 = −2
2𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0

Vậy 𝐶(−6; −2)

Trước khi bắt tay vào giải bài tốn này, học sinh cần vẽ hình để xác định vị
trí các điểm và đường thẳng mà đề bài cho. Học sinh có thể chọn cách vẽ các dữ kiện
trên hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦. Nhưng thật mất thời gian và phải thật chính xác. Thay vào
đó, học sinh có thể xét xem điểm (4; 0) có nằm trên các đường thẳng 𝑥 − 3𝑦 = 0
và 2𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0 hay không và các đường thẳng đó có cắt nhau hay khơng, từ đó
xác định được vị trí của điểm, đường thẳng ứng với phần nào của hình bình hành.
Tiếp tục bài tốn, ta có thể giải theo các cách sau.
VÕ THỊ VÂN HÒA

6


TL-TN-PTĐT

𝑥 = −1
Cách 1: 𝑂 là trung điểm của 𝐴𝐶 nên tọa độ 𝑂 là {
𝑦 = −1
𝐷 ∈ 𝐶𝐷 nên 𝐷(3𝑎; 𝑎)

𝑥 = −2 − 3𝑎
𝑂 là trung điểm của 𝐵𝐷 nên tọa độ 𝐵 là {
𝑦 = −2 − 𝑎

Vì 𝐵 ∈ 𝐵𝐶 nên tọa độ B thỏa phương trình 2(−2 − 3𝑎) − 5(−2 − 𝑎) + 2 = 0

⇒𝑎=8

Vậy 𝐵(−26; −10), 𝐷(24; 8)

Cách 2: 𝐷 ∈ 𝐶𝐷 nên 𝐷(3𝑎; 𝑎)
⃗⃗⃗⃗⃗ = (3𝑎 − 4; 𝑎)
𝐴𝐷

𝐵 ∈ 𝐵𝐶 nên 𝐵(5𝑏 − 1; 2𝑏)

⃗⃗⃗⃗⃗ = (−5 − 5𝑏; −2 − 2𝑏)
𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ { 3𝑎 − 4 = −5 − 5𝑏 ⇔ { 3𝑎 + 5𝑏 = −1 ⇔ {𝑎 = 8
𝐴𝐷 = 𝐵𝐶
𝑎 + 2𝑏 = −2
𝑏 = −5
𝑎
= −2 − 2𝑏
Vậy 𝐵(−26; −10), 𝐷(24; 8)

Đối với bài tốn này, học sinh cần phân tích, tính tốn xem điểm và đường

thẳng trong giả thiết có mối liên hệ gì với nhau để có cơ sở vẽ hình đúng. Nếu khơng
làm được bước này, học sinh có thể nhầm lẫn, làm sai hoặc khơng giải được bài
tốn.Việc đặt ra các câu hỏi trắc nghiệm có nội dung tương ứng với các phần kiến
thức, kỹ năng cần có để giải bài toán này giúp kiểm tra, đánh giá được nhiều kỹ năng
và mức độ hiểu của học sinh đối với các kỹ năng khác. Sau đây là một số câu hỏi
trắc nghiệm được sinh ra từ bài toán trên.

Những câu hỏi trắc nghiệm tương ứng
Câu 1: Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng 2𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0?
A. 𝑀(4; 0)
B. 𝑁(−1; 0)
C. 𝑃(4; 2)
D. 𝑄(−6; −2)

Để chọn được đáp án đúng là A, học sinh chỉ cần hiểu tính chất một điểm
thuộc một đường thẳng thì tọa độ của nó thỏa phương trình đường thẳng đó.
Nếu khơng đọc kĩ câu hỏi, học sinh có thể chọn ba phương án B, C, D do
nhầm tưởng các điểm thuộc đường thẳng.
VÕ THỊ VÂN HÒA

7


TL-TN-PTĐT

𝑥 − 3𝑦
=0
.
2𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0
C. (−1; 0)

D. (2; 2)

Câu 2: Tìm nghiệm (𝑥; 𝑦) của hệ phương trình {
A. (3; 1)

B. (−6; −2)

Để chọn được đáp án đúng là B, học sinh cần biết cách giải hệ, câu này cũng
có thể sử dụng máy tính.
Nếu khơng biết kĩ năng sử dụng máy tính, cũng khơng thể giải bằng các
phương pháp đã học, học sinh có thể thế các phương án vào hệ và có thể bị bẫy ở
phương án A (chỉ thỏa phương trình thứ nhất), C (chỉ thỏa phương trình thứ hai).
Câu 3: Nếu M thuộc đường thẳng 2𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0 thì tọa độ điểm M là
A. 𝑀(2𝑡 − 1; −5𝑡) B. 𝑀(2𝑡; −5𝑡 + 2) C. 𝑀(5𝑡 − 1; 2𝑡)
D. 𝑀(5𝑡; 2𝑡 − 1)

Để chọn được đáp án đúng là C, học sinh cần hiểu tính chất một điểm thuộc
đường thẳng thì tọa độ của nó thỏa phương trình đường thẳng. Đặt một ẩn làm tham
số và đưa ẩn còn lại về biểu thức theo tham số đó.
Học sinh có thể thế tọa độ các điểm vào để thử, nhưng có vẻ khá rối rắm và
đáng sợ đối với những học sinh chưa hiểu kĩ thuật này. Câu này có thể để ở mức độ
thông hiểu.
Để dễ hiểu hơn, ta có thể đưa về câu hỏi sau
Câu 4: Cho đường thẳng 𝑑 có phương trình tổng qt 2𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0. Phương
trình nào sau đây là phương trình tham số của 𝑑?
𝑥 = −1 + 2𝑡
𝑥=
2𝑡
𝑥=
5𝑡

𝑥 = −1 + 5𝑡
A. {
B. {
C. {
D. {
𝑦=
−5𝑡
𝑦 = 2 − 5𝑡
𝑦 = −1 + 2𝑡
𝑦=
2𝑡

Để chọn được đáp án đúng là D, học sinh cần biết cách đổi từ phương trình
tổng quát sang phương trình tham số và ngược lại, mà kĩ thuật có thể là đổi từ vector
pháp tuyến sáng vector chỉ phương.
Phương án A, B gây nhiễu cho những học sinh nhầm lẫn giữa vector chỉ
phương và vector pháp tuyến, không đổi được tọa độ giữ hai loại vector đó. Học sinh
khơng xác định được điểm nào thuộc đường thẳng cũng dễ mắc sai lầm và lựa chọn
phương án C (vector chỉ phương đúng nhưng điểm (0; −1) khơng thuộc đường thẳng
𝑑)
Bây giờ, câu 3 có thể đưa về mức độ nhận biết.

VÕ THỊ VÂN HÒA

8


TL-TN-PTĐT

𝑥 = −1 + 5𝑡

thì tọa độ điểm M là:
𝑦=
2𝑡
A. 𝑀(2𝑡 − 1; −5𝑡) B. 𝑀(2𝑡; −5𝑡 + 2) C. 𝑀(5𝑡 − 1; 2𝑡)
D. 𝑀(5𝑡; 2𝑡 − 1)
Câu 3: Nếu M thuộc đường thẳng {

Câu 5: Cho ba điểm 𝑀(1; 2), 𝑁(0; 2), 𝑃(2; 3). Điểm 𝑄 có tọa độ bằng bao nhiêu để
tứ giác 𝑀𝑁𝑄𝑃 là hình bình hành?
A. 𝑄(1; 3)
B. 𝑄(−1; 1)
C. 𝑄(3; 3)
D. Không tồn tại 𝑄

Để chọn được đáp án đúng là A, học sinh cần biết điều kiện để một tứ giác trở
thành một hình bình hành đó chính là bốn đỉnh của tứ giác tạo thành hai vector bằng
nhau.
Phương án B, C gây nhiễu cho những học sinh nhầ đỉnh của hình bình hành,
khơng xác định được hoặc xác định nhầm hai vector bằng nhau.
Câu 6: Tìm tọa độ điểm 𝐸 để 𝑀(−1; −1) là trung điểm của 𝐸𝐹 với 𝐹(24; 8).
A. 𝐸(49; 17)
B. 𝐸(−26; −10)
C. 𝐸(22; 6)
D. 𝐸(47; 15)

Để chọn được đáp án đúng là B, học sinh cần hiểu biểu thức tính tọa độ trung
điểm, có sự biến đổi linh hoạt để tính tọa độ một điểm mút của đoạn thẳng khi biết
điểm mút còn lại và trung điểm của đoạn thẳng đó.
Các phương án A, C, D gây nhiễu cho những học sinh chưa hiểu kĩ công thức
hoặc áp dụng sai, tính nhầm.

Kết luận
Câu hỏi khách quan khơng phải là ưu việt nhất, nó cũng tồn tại những nhược
điểm mà câu hỏi truyền thống có thể khắc phục được. Vì vậy, nên có sự kết hợp giữa
cả hai loại câu hỏi trên một cách phù hợp trong đánh giá năng lực tốn của học sinh.
Sự kết hợp đó có thể bổ trợ cho nhau để giúp đánh giá toàn diện các mặt, các khía
cạnh khác nhau của năng lực tốn ở học sinh. Từ đây ta cũng thấy rằng, việc đưa ra
những câu hỏi trắc nghiệm khách quan cũng phải dựa vào các câu hỏi truyền thống,
phân tích những kiến thức, kỹ năng mà học sinh có thể thực hiện được hoặc không,
những sai lầm học sinh thường mắc phải, những nhầm lẫn trong cách hiểu, tư duy
đặt ra những câu hỏi hay, những đáp án tốt đánh giá đúng năng lực của học sinh.
VÕ THỊ VÂN HÒA

9