Tài liệu Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (247.13 KB, 22 trang )
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
ĐS. F(x) =
Cx
xx
++− ln
2
3
3
23
2. f(x) =
2
4
32
x
x +
ĐS. F(x) =
C
x
x
+−
3
3
2
3
. f(x) =
2
1
x
x −
ĐS. F(x) = lnx +
x
1
+ C
4. f(x) =
2
22
)1(
x
x −
ĐS. F(x) =
C
x
x
x
++−
1
2
3
3
5. f(x) =
4
3
xxx ++
ĐS. F(x) =
C
xxx
+++
5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3
6. f(x) =
3
21
xx
−
ĐS. F(x) =
Cxx +−
3
2
32
7. f(x) =
x
x
2
)1( −
ĐS. F(x) =
Cxxx ++− ln4
8. f(x) =
3
1
x
x −
ĐS. F(x) =
Cxx +−
3
2
3
5
9. f(x) =
2
sin2
2
x
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan
2
x ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos
2
x ĐS. F(x) =
Cxx ++ 2sin
4
1
2
1
12. f(x) = (tanx – cotx)
2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =
Cx +− 3cos
3
1
16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx +−− cos5cos
5
1
17. f(x) = e
x
(e
x
– 1) ĐS. F(x) =
Cee
xx
+−
2
2
1
18. f(x) = e
x
(2 +
)
cos
2
x
e
x−
ĐS. F(x) = 2e
x
+ tanx + C
19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
ĐS. F(x) =
C
a
a
xx
++
3ln
3
ln
2
20. f(x) = e
3x+1
ĐS. F(x) =
Ce
x
+
+13
3
1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x
2
+ x + 3
2. f’(x) = 2 – x
2
và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) =
1
3
2
3
+−
x
x
3. f’(x) = 4
xx −
và f(4) = 0 ĐS. f(x) =
3
40
23
8
2
−−
xxx
4. f’(x) = x -
2
1
2
+
x
và f(1) = 2 ĐS. f(x) =
2
3
2
1
2
2
−++ x
x
x
5. f’(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x
4
– x
3
+ 2x + 3
6. f’(x) = ax +
2)1(,4)1(,0)1(',
2
=−== fff
x
b
ĐS. f(x) =
2
51
2
2
++
x
x
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I =
∫
dxxuxuf )(')].([
bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)
dxxudt )('=⇒
I =
∫ ∫
= dttfdxxuxuf )()(')].([
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
∫
− dxx )15(
2.
∫
−
5
)23( x
dx
3.
dxx
∫
− 25
4.
∫
−12x
dx
5.
∫
+ xdxx
72
)12(
6.
∫
+ dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1
2
∫
+
8.
∫
+
dx
x
x
5
2
9.
∫
+
dx
x
x
3
2
25
3
10.
∫
+
2
)1( xx
dx
11.
dx
x
x
∫
3
ln
12.
∫
+
dxex
x 1
2
.
13.
∫
xdxxcossin
4
14.
∫
dx
x
x
5
cos
sin
15.
∫
gxdxcot
16.
∫
x
tgxdx
2
cos
17.
∫
x
dx
sin
18.
∫
x
dx
cos
19.
∫
tgxdx
20.
∫
dx
x
e
x
21.
∫
− 3
x
x
e
dxe
22.
∫
dx
x
e
tgx
2
cos
23.
∫
− dxx .1
2
24.
∫
−
2
4 x
dx
25.
∫
− dxxx .1
22
26.
∫
+
2
1 x
dx
27.
∫
−
2
2
1 x
dxx
28.
∫
++ 1
2
xx
dx
29.
∫
xdxx
23
sincos
30.
dxxx .1
∫
−
31.
∫
+1
x
e
dx
32.
dxxx .1
23
∫
+
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ ∫
−= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay
∫ ∫
−= vduuvudv
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
∫
xdxx sin.
2.
∫
xdxxcos
3.
∫
+ xdxx sin)5(
2
4
∫
++ xdxxx cos)32(
2
5.
∫
xdxx 2sin
6.
∫
xdxx 2cos
7.
∫
dxex
x
.
8.
∫
xdxln
9.
∫
xdxxln
10.
dxx
∫
2
ln
11.
∫
x
xdxln
12.
∫
dxe
x
13.
∫
dx
x
x
2
cos
14.
∫
xdxxtg
2
15.
∫
dxxsin
16.
∫
+ dxx )1ln(
2
17.
∫
xdxe
x
cos.
18.
∫
dxex
x
2
3
19.
∫
+ dxxx )1ln(
2
20.
∫
xdx
x
2
21.
∫
xdxx lg
22.
∫
+ dxxx )1ln(2
23.
∫
+
dx
x
x
2
)1ln(
24.
∫
xdxx 2cos
2
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx+ +
∫
2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
+ + +
∫
2.
3
1
2x dx−
∫
3.
2
1
1x dx+
∫
4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
π
π
+ +
∫
5.
1
0
( )
x
e x dx+
∫
6.
1
3
0
( )x x x dx+
∫
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ − +
∫
8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x
π
π
+ +
∫
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx+ +
∫
10.
2
2
3
1
( )x x x x dx+ +
∫
11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx− + +
∫
12.
3
3
1
x 1 dx( ).
−
+
∫
13.
2
2
2
-1
x.dx
x +
∫
14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x
− −
∫
15.
x 2
5
2
dx
x 2+ + −
∫
16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
+
+
∫
17.
2
3
3
6
x dx
x
cos .
sin
π
π
∫
18.
4
2
0
tgx dx
x
.
cos
π
∫
19.
1
x x
x x
0
e e
e e
dx
−
−
−
+
∫
20.
1
x
x x
0
e dx
e e
.
−
+
∫
21.
2
2
1
dx
4x 8x+
∫
22.
3
x x
0
dx
e e
ln
.
−
+
∫
22.
2
0
dx
1 xsin
π
+
∫
24.
∫
−
++
1
1
2
)12( dxxx
25.
∫
−−
2
0
3
)
3
2
2( dxxx
26.
∫
−
−
2
2
)3( dxxx
27.
∫
−
−
4
3
2
)4( dxx
28.
dx
xx
∫
+
2
1
32
11
29.
∫
−
2
1
3
2
2
dx
x
xx
30.
∫
e
e
x
dx
1
1
31.
∫
16
1
.dxx
32.
dx
x
xx
e
∫
−+
2
1
752
33.
dx
x
x
∫
−
8
1
3
2
3
1
4
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
2.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
3.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫
3.
4
0
tgxdx
π
∫
4.
4
6
cot gxdx
π
π
∫
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
6.
1
2
0
1x x dx+
∫
7.
1
2
0
1x x dx−
∫
8.
1
3 2
0
1x x dx+
∫
9.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫
10.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
11.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
12.
1
2
0
1
1
dx
x+
∫
13.
1
2
1
1
2 2
dx
x x
−
+ +
∫
14.
1
2
0
1
1
dx
x +
∫
15.
1
2 2
0
1
(1 3 )
dx
x+
∫
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
17.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫
18.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
19.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
20.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
21.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫
22.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
23.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
24.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
25.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫
26.
4
0
tgxdx
π
∫
27.
4
6
cot gxdx
π
π
∫
28.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
29.
1
2
0
1x x dx+
∫
30.
1
2
0
1x x dx−
∫
31.
1
3 2
0
1x x dx+
∫
32.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫
33.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
34.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
35.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
37.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
38.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
41.
2
1
1 1
x
dx
x+ −
∫
42.
1
0
2 1
x
dx
x +
∫
43.
1
0
1x x dx+
∫
44.
1
0
1
1
dx
x x+ +
∫
45.
1
0
1
1
dx
x x+ −
∫
46.
3
1
1x
dx
x
+
∫
46.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
48.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
49.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
50.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
51.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
52.
1
2 3
0
5+
∫
x x dx
53.
( )
2
4
0
sin 1 cos+
∫
x xdx
π
54.
4
2
0
4 x dx−
∫
55.
4
2
0
4 x dx−
∫
56.
1
2
0
1
dx
x+
∫
57.
dxe
x
∫
−
+
0
1
32
58.
∫
−
1
0
dxe
x
59.
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
60.
1
0
x
dx
2x 1+
∫
61.
1
0
x 1 xdx−
∫
62.
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫
63.
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
64.
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
65.
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
66.
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫
67.
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫
68.
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
69.
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx
π
π
+ +
+
∫
70.
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
.
71.
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
72.
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
73.
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
74.
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x
x
75.
∫
−
−+
+
0
2
2
32
22
dx
xx
x
76.
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx
77.
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
78.
2
5
0
cos xdx
π
∫
79.
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
π
+
∫
80.
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
81.
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
82.
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
83.
e
1
1 lnx
dx
x
+
∫
84.
4
0
1
dx
cosx
π
∫
85.
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫
87.
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
− +
∫
88.
3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫
89.
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x
π
+
+
∫
90.
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
91.
∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
92.
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x
93.
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx
94.
∫
−
4
0
8
)1(
π
dxxtg
95.
∫
+
−
2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
96.
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
97.
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
98.
∫
+
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe
x
99.
∫
−+
2
1
11
dx
x
x
100.
∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31
101.
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
102.
1
2
0
1 x dx−
∫
103.
1
2
0
1
dx
1 x+
∫
104.
1
2
0
1
dx
4 x−
∫
105.
1
2
0
1
dx
x x 1− +
∫
106.
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
107.
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫
108.
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
109.
2
2 2
1
x 4 x dx−
∫
110.
2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫
101.
3
2
2
1
9 3x
dx
x
+
∫
112.
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
113.
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫
114.
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
π
+
∫
115.
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
116.
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
117.
∫
++
−
0
1
2
22xx
dx
118.
∫
++
1
0
311 x
dx
119.
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx
120.
8
2
3
1
1
dx
x x +
∫
121.
7
3
3 2
0
1
x
dx
x+
∫
122.
3
5 2
0
1x x dx+
∫
123.
ln2
x
0
1
dx
e 2+
∫
124.
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
125.
2
2 3
0
1x x dx+
∫
126.
∫
+
32
5
2
4xx
dx
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin
( )
ax
ax
f x cosax dx
e
β
α
∫
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= =
⇒
= =
∫
@ Dạng 2:
( )ln( )f x ax dx
β
α
∫
Đặt
ln( )
( )
( )
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx
=
=
⇒
=
=
∫
@ Dạng 3:
sin
.
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1
2
2
0
( 1)
x
x e
dx
x +
∫
đặt
2
2
( 1)
x
u x e
dx
dv
x
=
=
+
b/
3
8
4 3
2
( 1)
x dx
x −
∫
đặt
5
3
4 3
( 1)
u x
x dx
dv
x
=
=
−
c/
1 1 1 1
2 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
+ −
= = − = −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Tính I
1
1
2
0
1
dx
x
=
+
∫
bằng phương pháp đổi biến số
Tính I
2
=
1
2
2 2
0
(1 )
x dx
x+
∫
bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2
(1 )
u x
x
dv dx
x
=
=
+
Bài tập
1.
3
3
1
ln
e
x
dx
x
∫
2.
1
ln
e
x xdx
∫
3.
1
2
0
ln( 1)x x dx
+
∫
4.
2
1
ln
e
x xdx
∫
5.
3
3
1
ln
e
x
dx
x
∫
6.
1
ln
e
x xdx
∫
7.
1
2
0
ln( 1)x x dx
+
∫
8.
2
1
ln
e
x xdx
∫
9.
2
0
( osx)sinxx c dx
π
+
∫
10.
1
1
( )ln
e
x xdx
x
+
∫
11.
2
2
1
ln( )x x dx
+
∫
12.
3
2
4
tanx xdx
π
π
∫
13.
2
5
1
ln x
dx
x
∫
14.
2
0
cosx xdx
π
∫
15.
1
0
x
xe dx
∫
16.
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
Tính các tích phân sau
1)
∫
1
0
3
. dxex
x
2)
∫
−
2
0
cos)1(
π
xdxx
3)
∫
−
6
0
3sin)2(
π
xdxx
4)
∫
2
0
2sin.
π
xdxx
5)
∫
e
xdxx
1
ln
6)
∫
−
e
dxxx
1
2
.ln).1(
7)
∫
3
1
.ln.4 dxxx
8)
∫
+
1
0
2
).3ln(. dxxx
9)
∫
+
2
1
2
.).1( dxex
x
10)
∫
π
0
.cos. dxxx
11)
∫
2
0
2
.cos.
π
dxxx
12)
∫
+
2
0
2
.sin).2(
π
dxxxx
13)
2
5
1
lnx
dx
x
∫
14)
2
2
0
xcos xdx
π
∫
15)
1
x
0
e sinxdx
∫
16)
2
0
sin xdx
π
∫
17)
e
2
1
xln xdx
∫
18)
3
2
0
x sinx
dx
cos x
π
+
∫
19)
2
0
xsinxcos xdx
π
∫
20)
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
21)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫
22)
1
2 2x
0
(x 1) e dx+
∫
23)
e
2
1
(xlnx) dx
∫
24)
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
∫
25)
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +
∫
26)
1
2
0
xtg xdx
∫
27)
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
28)
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
29)
∫
e
dx
x
x
1
ln
30)
∫
+
2
0
3
sin)cos(
π
xdxxx
31)
∫
++
2
0
)1ln()72( dxxx
32)
∫
−
3
2
2
)ln( dxxx
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1.
∫
+−
−
5
3
2
23
12
dx
xx
x
2.
∫
++
b
a
dx
bxax ))((
1
3.
∫
+
++
1
0
3
1
1
dx
x
xx
4.
dx
x
xx
∫
+
++
1
0
2
3
1
1
5.
∫
+
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
6.
∫
++
1
0
22
)3()2(
1
dx
xx
7.
∫
+
−
2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
8.
∫
−
+−
++−
0
1
2
23
23
9962
dx
xx
xxx
9.
∫
−
3
2
22
4
)1(
dx
x
x
10.
∫
+
−
1
0
2
32
)1(
dx
x
x
n
n
11.
∫
++
−
2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
12.
∫
+
2
1
4
)1(
1
dx
xx
13.
∫
+
2
0
2
4
1
dx
x
14.
∫
+
1
0
4
1
dx
x
x
15.
dx
xx
∫
+−
2
0
2
22
1
16.
∫
+
1
0
32
)1(
dx
x
x
17.
∫
+−
4
2
23
2
1
dx
xxx
18.
∫
+−
++
3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
19.
∫
+
−
2
1
4
2
1
1
dx
x
x
20.
∫
+
1
0
3
1
1
dx
x
21.
∫
+
+++
1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
22.
∫
+
−
1
0
2
4
1
2
dx
x
x
23.
∫
+
+
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
24.
1
2
0
4 11
5 6
x
dx
x x
+
+ +
∫
25.
1
2
0
1
dx
x x+ +
∫
26.
∫
−
+
3
2
1
2
dx
x
x
27.
dx
x
x
∫
−
+
−
1
0
3
1
22
28.
∫
−
+−
−
−
0
1
12
12
2
dxx
x
x
29.
dxx
x
x
∫
−−
+
−
2
0
1
2
13
30.
dx
x
xx
∫
+
++
1
0
2
3
32
31.
dxx
x
xx
∫
−
+−
−
++
0
1
2
12
1
1
32.
dxx
x
xx
∫
+−
+
−+
1
0
2
1
1
22
33.
∫
++
1
0
2
34xx
dx
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1.
xdxx
4
2
0
2
cossin
∫
π
2.
∫
2
0
32
cossin
π
xdxx
3.
dxxx
∫
2
0
54
cossin
π
4.
∫
+
2
0
33
)cos(sin
π
dxx
5.
∫
+
2
0
44
)cos(sin2cos
π
dxxxx
6.
∫
−−
2
0
22
)coscossinsin2(
π
dxxxxx
7.
∫
2
3
sin
1
π
π
dx
x
8.
∫
−+
2
0
441010
)sincoscos(sin
π
dxxxxx
9.
∫
−
2
0
cos2
π
x
dx
10.
∫
+
2
0
sin2
1
π
dx
x
11.
∫
+
2
0
2
3
cos1
sin
π
dx
x
x
12.
∫
3
6
4
cos.sin
π
π
xx
dx
13.
∫
−+
4
0
22
coscossin2sin
π
xxxx
dx
14.
∫
+
2
0
cos1
cos
π
dx
x
x
15.
∫
−
2
0
cos2
cos
π
dx
x
x
16.
∫
+
2
0
sin2
sin
π
dx
x
x
17.
∫
+
2
0
3
cos1
cos
π
dx
x
x
18.
∫
++
2
0
1cossin
1
π
dx
xx
19.
∫
−
2
3
2
)cos1(
cos
π
π
x
xdx
20.
∫
−
++
+−
2
2
3cos2sin
1cossin
π
π
dx
xx
xx
21.
∫
4
0
3
π
xdxtg
22.
dxxg
∫
4
6
3
cot
π
π
23.
∫
3
4
4
π
π
xdxtg
24.
∫
+
4
0
1
1
π
dx
tgx
25.
∫
+
4
0
)
4
cos(cos
π
π
xx
dx
26.
∫
++
++
2
0
5cos5sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
27.
∫
+
π
2
0
sin1 dxx
28.
∫
++
4
0
13cos3sin2
π
xx
dx
29.
∫
+
4
0
4
3
cos1
sin4
π
dx
x
x
30.
∫
+
++
2
0
cossin
2sin2cos1
π
dx
xx
xx
31.
∫
+
2
0
cos1
3sin
π
dx
x
x
32.
∫
−
2
4
sin2sin
π
π
xx
dx
33.
∫
4
0
2
3
cos
sin
π
dx
x
x
34.
∫
+
2
0
32
)sin1(2sin
π
dxxx
35.
∫
π
0
sincos dxxx
36.
∫
−
3
4
3
3 3
sin
sinsin
π
π
dx
xtgx
xx
37.
∫
++
2
0
cossin1
π
xx
dx
38.
∫
+
2
0
1sin2
π
x
dx
39.
∫
2
4
53
sincos
π
π
xdxx
40.
∫
+
4
0
2
cos1
4sin
π
x
xdx
41.
∫
+
2
0
3sin5
π
x
dx
2.
∫
6
6
4
cossin
π
π
xx
dx
43.
∫
+
3
6
)
6
sin(sin
π
π
π
xx
dx
4.
∫
+
3
4
)
4
cos(sin
π
π
π
xx
dx
45.
∫
3
4
6
2
cos
sin
π
π
x
xdx
46.
dxxtgxtg )
6
(
3
6
π
π
π
∫
+
47.
∫
+
3
0
3
)cos(sin
sin4
π
xx
xdx
48.
∫
−
+
0
2
2
)sin2(
2sin
π
x
x
49.
∫
2
0
3
sin
π
dxx
50.
∫
2
0
2
cos
π
xdxx
51.
∫
+
2
0
12
.2sin
π
dxex
x
52.
dxe
x
x
x
∫
+
+
2
0
cos1
sin1
π
53.
∫
+
4
6
2cot
4sin3sin
π
π
dx
xgtgx
xx
54.
∫
+−
2
0
2
6sin5sin
2sin
π
xx
xdx
55.
∫
2
1
)cos(ln dxx
56.
∫
3
6
2
cos
)ln(sin
π
π
dx
x
x
57.
dxxx
∫
−
2
0
2
cos)12(
π
58.
∫
π
0
2
cossin xdxxx
59.
∫
4
0
2
π
xdxxtg
60.
∫
π
0
22
sin xdxe
x
61.
∫
2
0
3sin
cossin
2
π
xdxxe
x
62.
∫
+
4
0
)1ln(
π
dxtgx
63.
∫
+
4
0
2
)cos2(sin
π
xx
dx
64.
∫
−+
−
2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(
π
dx
xx
xx
65.
2
2
sin 2 sin 7
−
∫
x xdx
π
π
66.
2
4 4
0
cos (sin cos )
+
∫
x x x dx
π
67.
2
3
0
4sin
1 cos
+
∫
x
dx
x
π
68.
∫
−
2
2
3cos.5cos
π
π
xdxx
69.
∫
−
2
2
2sin.7sin
π
π
xdxx
70.
∫
4
0
cos
2
sin
π
xdx
x
71.
∫
4
0
2
sin
π
xdx
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
∫
b
a
dxxfxR ))(,(
Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
+) R(x,
xa
xa
+
−
) §Æt x = a cos2t, t
]
2
;0[
π
∈
+) R(x,
22
xa −
) §Æt x =
ta sin
hoÆc x =
ta cos
+) R(x,
n
dcx
bax
+
+
) §Æt t =
n
dcx
bax
+
+
+) R(x, f(x)) =
γβα
+++ xxbax
2
)(
1
Víi (
γβα
++ xx
2
)’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t =
γβα
++ xx
2
, hoÆc ®Æt t =
bax +
1
+) R(x,
22
xa +
) §Æt x =
tgta
, t
]
2
;
2
[
ππ
−∈
+) R(x,
22
ax −
) §Æt x =
x
a
cos
, t
}
2
{\];0[
π
π
∈
+) R
( )
1 2 i
n n n
x x x; ; ;
Gäi k = BCNH(n
1
; n
2
; ; n
i
)
§Æt x = t
k
1.
∫
+
32
5
2
4xx
dx
2.
∫
−
2
3
2
2
1xx
dx
3.
∫
−
+++
2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
4.
∫
+
2
1
3
1xx
dx
5.
∫
+
2
1
2
2008dxx
6.
∫
+
2
1
2
2008x
dx
7.
∫
+
1
0
22
1 dxxx
8.
∫
−
1
0
32
)1( dxx
9.
∫
+
+
3
1
22
2
1
1
dx
xx
x
10.
∫
−
+
2
2
0
1
1
dx
x
x
11.
∫
+
1
0
32
)1( x
dx
12.
∫
−
2
2
0
32
)1( x
dx
13.
∫
+
1
0
2
1 dxx
14.
∫
−
2
2
0
2
2
1 x
dxx
15.
∫
+
2
0
2cos7
cos
π
x
xdx
16.
∫
−
2
0
2
coscossin
π
dxxxx
17.
+
2
0
2
cos2
cos
x
xdx
18.
+
+
2
0
cos31
sin2sin
dx
x
xx
19.
+
7
0
3 2
3
1 x
dxx
20.
3
0
23
10 dxxx
21.
+
1
0
12x
xdx
22.
++
1
0
2
3
1xx
dxx
23.
++
7
2
112x
dx
24.
dxxx
+
1
0
815
31
25.
2
0
5
6
3
cossincos1
xdxxx
26.
+
3ln
0
1
x
e
dx
27.
+++
1
1
2
11 xx
dx
28.
+
2ln
0
2
1
x
x
e
dxe
29.
1
4
5
2
8412 dxxx
30.
+
e
dx
x
xx
1
lnln31
31.
+
+
3
0
2
35
1
dx
x
xx
32.
dxxxx
+
4
0
23
2
33.
++
0
1
3
2
)1( dxxex
x
34.
+
3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x
35.
+
3
0
2
2
cos
32
cos
2cos
dx
x
tgx
x
x
36.
+
2ln
0
3
)1(
x
x
e
dxe
37.
+
3
0
2cos2
cos
x
xdx
38.
+
2
0
2
cos1
cos
x
xdx
39.
dx
x
x
+
+
7
0
3
3
2
40.
+
a
dxax
2
0
22
VI. MT S TCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
+=
aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3
] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x2cos22
,
Tính:
2
3
2
3
)(
dxxf
+) Tính
+
+
1
1
2
4
1
sin
dx
x
xx
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:
a
a
dxxf )(
= 0.
Ví dụ: Tính:
++
1
1
2
)1ln( dxxx
++
2
2
2
)1ln(cos
dxxxx
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
a
a
dxxf )(
= 2
a
dxxf
0
)(
Ví dụ: Tính
+
1
1
24
1xx
dxx
2
2
2
cos
4 sin
+
x x
dx
x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:
=
+
aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1
b>0,
a)
Ví dụ: Tính:
+
+
3
3
2
21
1
dx
x
x
+
2
2
1
5cos3sinsin
dx
e
xxx
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
], thì
=
2
0
2
0
)(cos)(sin
dxxfxf
Ví dụ: Tính
+
2
0
20092009
2009
cossin
sin
dx
xx
x
+
2
0
cossin
sin
dx
xx
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:
=
00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf
Ví dụ: Tính
+
0
sin1
dx
x
x
+
0
cos2
sin
dx
x
xx
Bài toán 6:
=+
b
a
b
a
dxxfdxxbaf )()(
=
bb
dxxfdxxbf
00
)()(
Ví dụ: Tính
+
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
+
4
0
)1ln(4sin
dxtgxx
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
=
+ TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(
=
TnT
dxxfndxxf
00
)()(
Ví dụ: Tính
2008
0
2cos1 dxx
Các bài tập áp dụng:
1.
∫
−
+
−
1
1
2
21
1
dx
x
x
2.
∫
−
+−+−
4
4
4
357
cos
1
π
π
dx
x
xxxx
3.
∫
−
++
1
1
2
)1)(1( xe
dx
x
4.
∫
−
−
+
2
2
2
sin4
cos
π
π
dx
x
xx
5.
∫
−
+
−
2
1
2
1
)
1
1
ln(2cos dx
x
x
x
6.
dxnx)xsin(sin
2
0
∫
+
π
7.
∫
−
+
2
2
5
cos1
sin
π
π
dx
x
x
8.
1
)1(1
cot
1
2
1
2
=
+
+
+
∫∫
ga
e
tga
e
xx
dx
x
xdx
(tga>0)
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1.
∫
−
−
3
3
2
1dxx
2.
∫
+−
2
0
2
34 dxxx
3.
∫
−
1
0
dxmxx
4.
∫
−
2
2
sin
π
π
dxx
5.
∫
−
−
π
π
dxxsin1
6.
∫
−+
3
6
22
2cot
π
π
dxxgxtg
7.
∫
4
3
4
2sin
π
π
dxx
8.
∫
+
π
2
0
cos1 dxx
9.
∫
−
−−+
5
2
)22( dxxx
10.
∫
−
3
0
42 dx
x
11.
∫
−
−
3
2
3
coscoscos
π
π
dxxxx
12. 2)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫
13.
5
3
( x 2 x 2)dx
−
+ − −
∫
14.
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −
∫
15.
3
x
0
2 4dx−
∫
16.
0
1 cos2xdx
π
+
∫
17.
2
0
1 sinxdx
π
+
∫
18.
dxxx
∫
−
2
0
2
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ th hm s y = x + x
-1
, trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x
= 1
b/ th hm s y = e
x
+1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x =
1
c/ th hm s y = x
3
- 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x
= 4
d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2
Vớ d 2 : Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
a/ th hm s y = x + x
-1
, trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x
= 1
b/ th hm s y = e
x
+1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x =
1
c/ th hm s y = x
3
- 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x
= 4
d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2
Bài 1 : Cho (p) : y = x
2
+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2. Tìm m để diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x
4
- 4x
2
+m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích
ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi
=
=
0
1
3
y
xo
xx
y
Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y
2
=2x chia hình phẳng giới bởi x
2
+y
2
= 8 thành hai phần.Tính diện tích
mỗi phần
Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
+
=
+
++
=
4
2
4
22
1
1
32
a
axa
y
a
aaxx
y
Tìm a để
diện tích lớn nhất
Bài 6: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng sau:
1) (H
1
):
2
2
x
y 4
4
x
y
4 2
=
=
2) (H
2
) :
2
y x 4x 3
y x 3
= +
= +
3) (H
3
):
3x 1
y
x 1
y 0
x 0
=
=
=
4) (H
4
):
2
2
y x
x y
=
=
5) (H
5
):
2
y x
y 2 x
=
=
6) (H
6
):
2
y x 5 0
x y 3 0
+ =
+ =
7) (H
7
):
lnx
y
2 x
y 0
x e
x 1
=
=
=
=
8) (H
8
) :
2
2
y x 2x
y x 4x
=
= +
9) (H
9
):
2
3 3
y x x
2 2
y x
= +
=
10) (H
10
):
2
y 2y x 0
x y 0
− + =
+ =
11)
−=
=
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
12)
=∆
=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x
13)
−=
+=
1
12
2
xy
xy
14)
=+
−−=
03
4
2
2
yx
xy
15)
=
=−+
=
0
02
y
yx
xy
16
+
=
=
2
2
1
1
2
x
y
x
y
17
===
=
3,0,
2
2
yyxy
xy
18)
==
==
ex
e
x
yxy
,
1
0,ln
19.
==
==
3
;
6
cos
1
;
sin
1
22
ππ
xx
x
y
x
y
20): y = 4x – x
2
; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
21)
−=
+−=
+−=
114
42
54
2
xy
xy
xxy
22)
−=
−+−=
−+−=
153
34
56
2
2
xy
xxy
xxy
23)
=
=
=
=
ex
y
x
y
xy
0
1
24)
+=
−=
5//
/1/
2
xy
xy
25)
=
=
xy
xy
2
3
26)
=
+−−=
0
2//3
2
y
xxy
27)
−=
+=
xy
xy
4
2
2
28)
=
++=
+−=
1
54
22
2
2
y
xxy
xxy
29)
+−=
−=
7
/1/
2
2
xy
xy
30)
=−=
=
=
1;2
0
3
xx
y
xy
31)
==
=
−=
π
xx
y
xxy
;0
3
cos2sin
32)
=
++=
0
2
3
y
x
xy
33)
+=
+=
2
2
2
xy
xxy
34)
==
−+=
−=
4;0
63
22
2
2
xx
xxy
xxy
35)
=
+−=
6
/65/
2
y
xxy
36)
=
−−=
=
2
12
2
2
2
y
xxy
xy
37)
=
+−=
2
/23/
2
y
xxy
38)
+=
+−=
1
/65/
2
xy
xxy
39)
−=
+−=
2
2
/23/
xy
xxy
40)
=
+−=
3
/34/
2
y
xxy
41)
=
=
=
−
1x
ey
ey
x
Ï
42)
==
−
=
1;0
62
2
xx
xx
x
y
43)
−=
=
π
//
/sin/
xy
xy
44)
=
−−=
=
8
44
2
2
2
y
xxy
xy
45)
=
=++
=
0
0122
2
2
y
yx
xy
46)
−=
0
)(
2222
a
xaxy
47)
=
+=
yx
xy
π
sin
)1(
2
48)
=
−=
2
/1/
2
x
xy
49)
=
−=
2
/1/
2
x
yx
32)
=
=
+=
0
sin
)1(
2
x
xy
yx
33)
=
−=
24
4
4
2
2
x
y
x
y
34)
=
−
=
=
=
0;
1
2
1
;0
4
y
x
x
y
x
x
35)
−==
=
=
−
xyx
y
y
x
3;0
0
5
2
36)
=+
=
16
6
22
2
yx
xy
37)
=
=
=
x
y
x
y
xy
27
27
2
2
38)
=
−=
xy
xy
4
)4(
2
32
39)
==
=
=
10,
10
1
0
/log/
xx
y
xy
40)
=
=
2
2
xay
yax
(a>0) 41)
≤≤
+=
=
π
x
xxy
xy
0
sin
2
42)
−=
=
22
2
)1(827
2
xy
xy
43) x
2
/25+y
2
/9 = 1 vµ hai
tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x
2
vµ ®iÓm A(2;5) ®êng th¼ng (d) ®i qua A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh
k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt
45)
=
−+−=
0
342
23
y
xxxy
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Công thức:
a
b
0
=
y
)(:)( xfyC
=
b
ax
=
bx
=
x
y
O
b
a
x
y
0
=
x
O
)(:)( yfxC
=
by
=
ay
=
[ ]
dxxfV
b
a
2
)(
∫
=
π
[ ]
dyyfV
b
a
2
)(
∫
=
π
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x
2
+ x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
y x;y 2 x;y 0= = − =
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường :
2
y (x 2)= −
và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường :
2 2
4 ; 2y x y x= − = +
.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
2
2
1
;
1 2
x
y y
x
= =
+
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x
2
và y = 2x + 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y
2
= 4x và y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y =
22
1
.
x
ex
; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x
)1ln(
3
x+
; y = 0 ; x = 1
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
1)
=
−=
4
)2(
2
y
xy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
2)
=
==
4
4,
22
y
xyxy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
3)
===
+
=
1,0,0
1
1
2
xxy
x
y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4)
=
−=
0
2
2
y
xxy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
5)
==
=
=
exx
y
xxy
;1
0
ln.
quay quanh trôc a) 0x;
6) (D)
=
+−=
>=
1
103
)0(
2
y
xy
xxy
quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x
2
7)
=
=
xy
xy
2
quay quanh trôc a) 0x;
8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)
2
+ y
2
= 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
9) MiÒn trong (E):
1
49
22
=+
yx
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
10)
≤≤=
=
=
10;,1
0
xx
y
xey
Ï
quay quanh trôc 0x;
11)
==
=
+=
π
π
xx
y
xxy
;
2
0
sincos
44
quay quanh trôc 0x;
12)
−=
=
xy
xy
310
2
quay quanh trôc 0x;
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
14)
==
−
=
2;0
4
4
xx
x
y
quay quanh trôc 0x;
15)
==
=
−=
0;0
2
1
yx
y
xy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
