Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 - ThS. Lê Nhật Nguyên

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ThS. Lê Nhật Nguyên


Chương 1: Ma trận – Định thức – Hệ Phương Trình

Bài 1: Ma trận
1. Định nghĩa.
Cho các số nguyên dưương m, n. Ma trận A cỡ m  n là
một bảng hình chữ nhật gồm m.n số aij (i=1,…,m;
j=1,…,n) đưược sắp thành m dòng, n cột:

 a11
a
21

A


 am1

a12
a22

am 2

 a1n 

 a2 n    a   a
 ij  mn  ij mn
 


 amn 


aij là phần tử (số hạng) nằm ở dòng thứ i, cột thứ j.
Khi m=1, A đưược gọi là ma trận dòng:
A   a1 1 a1 2  a1 n 
Khi n=1, A đưược gọi là ma trận cột
 a1 1 
a 
A   21 
  


 a m1 
Đặc biệt khi m=n=1, A gồm chỉ một phần tử:

A   a1 1 
Ta có thể đồng nhất A với phần tử đó.


Ví dụ.
 3 2 4 0 
A  1 3 0 5
 2 1 1 3 
0 0 0
D

0
0

0



1
 3
B 
2
 
0

C   2 0 0 3 4 

2. Ma trận khơng. Là ma trận có tất cả các phần tử đều
bằng 0.
Ký hiệu: Omn hay O.
Ví dụ.
0 0
O23

0 0 0
0 0

O

32



0

0
0


0 0 

Nhận xét. Có nhiều ma trận không khác nhau.


3. Ma trận bằng nhau.
Hai ma trận A và B cùng cỡ mn gọi là bằng nhau nếu tất
cả các phần tử ở các vị trí tưương ứng bằng nhau.
Ký hiệu. A = B
3 2 4 0 
3 2 4 0 
Ví dụ.
A  1 3 0 5 E  1 3 0 5
2 1 1 3 
2 1 1 3 

A=E
So sánh O23 và O32 ?
O23  O32


4. Ma trận vuông.
Khi số hàng bằng số cột (m=n), A = [aij]n gọi là ma trận
vuông cấp n
Đường chéo phụ

 a11 a12
a a
21
22

A
 

an1 an 2

 a1n 

 a2n 
 

 ann 

Một số ma trận vuông đặc biệt:

Đường chéo
chính
a11 a22 . . . ann


4. Ma trận vuông.
a) Ma trận đơn vị. Là ma trận vng có các phần tử
trên đưường chéo chính bằng 1: a11 = a22 = . . . = ann =1
và tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng
0.
Ký hiệu. In hay I. 1 0  0 

0 1  0

In  
    


0 0  1
1 cấp
0 2
0 và cấp 3 ?
vị
Hỏi: Viết các 1ma0trận
đơn

I2  
0

1 

I3  0

 0

1

0

0

1 

4. Ma trận vuông.
b) Ma trận đối xứng. Là ma trận vuông A   aij 
n
thỏa mãn: aij  a ji với mọi i,j.
Ví dụ.
 2 3 1
A   3 4
 1 5

5 
0 

Nhận xét. Các phần tử đối xứng nhau qua đưường chéo
chính bằng nhau.
c) Ma trận phản đối xứng. Là ma trận vuông
A   aij  thỏa mãn: aij  a ji với mọi i,j.
n
Hỏi:

aii =?

aii = - aii  2 aii = 0  aii = 0 (i=1,2,…,n)


4. Ma trận vuông.
b) Ma trận phản đối xứng. Là ma trận vuông
A = [aij]n thỏa mãn: aij = - aji với mọi i,j.
Hỏi:

aii =?

aii = - aii  2 aii = 0  aii = 0 (i=1,2,…,n)
Nhận xét. Các phần tử đối xứng nhau qua đưường chéo
chính đối nhau, các phần tử trên đưường chéo chính bằng
0.
 0 2 3
Ví dụ.
A   2 0 1 
 3 1 0 


Bài 2: Các phép toán trên các ma trận
1. Phép cộng.
Cho các ma trận A   aij 

Ví dụ.

và B  bij 

mn

A  B   aij  bij 
 1 0 3
A


2
1

2



 1 1 7 
A B  


2
3
3



m n

cùng cỡ mn

m n

 2 1 4 
B

0
2
1



 3 1 1

A B  


2

1
1




2. Phép nhân một số với một ma trận.
Cho ma trận A   aij 
Ví dụ.

m n

cỡ mn và một số k

kA   kaij 
1
A
 2
2
2A  
 4

m n

0 3

 2 1
B

1 2
0 2
0 6
 6
3B  

2 4
0
 8 3 6 
2 A  3B  


4

4
1



4
1 
3 12 
6 3 

Tìm ma trận X sao cho 4X +3B =2A  2

1

4X = 2A-3B  X  (2 A  3B )  
4

3
4

 1 1


3 
2

1
4 


3. Phép nhân hai ma trận.
Cho A   aij  mn cỡ mn
Số cột A = số hàng B
=n
và B  bij  n p cỡ np.
Tích của A với B là ma trận AB  C  cij  m p trong đó các
phần Tử cij đưược xác định như sau:

cij  a i 1 b1 j  a i 2 b 2 j    a in b n j
Xét các ví dụ đặc biệt:
2

1

2

1

2
0


1
3

1
3  0

 4
1
3   0
 4

1
3 
0


6
 4







  2.1  (  1).0  3 .4   1 4 
2
5 
1 

 1 4

6

2
5 
1 

1 4
 
24

6
 9 

Hàng nhân cột


3. Phép nhân hai ma trận.
Cho A = [aij] mn cỡ mn
Số cột A = số hàng B
=n
và B=[bij]np cỡ np.

Tích của A với B là ma trận C = [cij] mp trong đó các phần
tử cij đưược xác định nhưư sau:
cij = a i 1 b1 j  a i 2 b 2 j    a in b n j
Ta có sơ đồ phép nhân:
+

 ai1

ai 2  ain 

b1 j 
b 
 2j
 
 
 bnj 

  cij 


Ví dụ. Cho các ma trận
 2 0
 1 0 3
1 1


A
B  3 1 C  




2
1
2
2
3




 1 4

Các ma trận nào có thể nhân đưược với nhau?
AB, BC, CA, BA
 2 0
 1 0 3 
 5 12

AB  
3 1  




2
1
2

5
9


  1 4 




 2 0
 2 2
1 1 



BC  3 1 


1
6
 

2
3


 1 4
 9 11

1 1 1 0 3  3 1 1 
CA 





2
3

2
1
2

4
3
12


 

 2 0
2 0 6
 1 0 3 



BA  3 1 


5
1

7
 



2
1
2


 1 4
7 4 11 


Luỹ thừa của ma trận vuông A:
Nếu A là ma trận vuông cấp n và p là số tự
nhiên, ta định nghĩa luỹ thừa bậc p của ma trận
A, ký hiệu Ap , là ma trận vuông cấp n xác định
như sau:
A0 = In (A  O),
A2 = A.A
A3 = A2.A =A.A.A
Ap = Ap-1A (p>1)
=A.A….A (p lần)


Luỹ thừa của ma trận vng A:
Ví dụ.
1 1
A

1
1




Tính

2

A , A , A

1 1 1
A 
 1
1
1


2
3
2
A  A A
2
4
4
3
A  A A
4
2

Tổng quát:

3

1  2


1  2
2  1
2  1
4  1
4  1

4

2
2 
1  4


1  4
1 8


1 8

p 1
p 1


2
2

p
A   p 1
p 1 
2 
2

4
4 
8
8


Luỹ thừa của ma trận vng A:
Ví dụ.
 1 1
B

Tương tự tính

1
1


Tính B 2 , B 3 , B 4 , B 2 0 0 9

B 2019

I.I=I
 1 1  1 1  0 2 
B 






I.B=B

1
1

1
1

2
0


 

 0 2   1 1  2 2 
3
2
B B B






2

0

1
1

2

2


 

 2 2   1 1  4 0 
1 0 
4
3
B B B

 4 
 4 I 2





 2 2   1 1  0 4 
0 1 
2

2009 = 502.4+1

B 2009  B 4.502 1  B 4.502 B  ( B 4 )502 B
502

4
 (4 I )502 B  (4)502 I B  4502 B   502
 4

4502 
502 
4 


4. Chuyển vị ma trận
Cho ma trận A = [aij]mn cỡ mn. Ma trận cỡ n  m có
đưược từ ma trận A bằng cách đổi hàng thành cột (cột
thành
t.
hàng) gọi là ma trận chuyển vị của A,
ký
hiệu
A
1

2


Ví dụ. A   1 0 3   At  0 1 
 2 1 2 





 3 2 
Nhận xét.
A đối xứng
 At=A
A phản đối xứng  At=-A


4. Tính chất của các phép tốn:
A, B, C, P, Q, R: các ma trận,
k, l: các số
(A+B)+C =
A+(B+C)
A+O=O+A=A
A+(-A)=(-A)+A= O
A+B=B+A
k(A+B)=kA+kB
(k+l)A=kA+lA
(kl)A=k(lA)
1A=A

(AP)R=A(PR)
A(P+Q)=AP+AQ
(A+B)P=AP+BP
k(AP)=(kA)P=A(kP)
AI=A=IA
(A+B)t=At+Bt
(kA)t=k(At)

(At)t=A
(AP)t=PtAt


Bài tập
1. Cho các ma trận:
 1 0 2 3 
 1 2 0 3 
 2 1 3 1 
A   2 1 1 0  , B   0 4 1 2  , C   4 0 1 2 
 4 2 3 1
 3 0 3 1 
 3 2 0 2 

a) Tính (A+B)+C, (A+2B)-3C
b) Tính At , B t , C t , At  B t  C t
c) Tìm ma trận X cỡ 3x4 sao cho 2X-3A =2B


Bài tập
1. Cho các ma trận:
 1 0 2 3 
 1 2 0 3 
 2 1 3 1 
A   2 1 1 0  , B   0 4 1 2  , C   4 0 1 2 
 4 2 3 1
 3 0 3 1 
 3 2 0 2 

a) Tính (A+B)+C, (A+2B)-3C

t
t
t
t
t
t
b) Tính A , B , C , A  B  C
c) Tìm ma trận X cỡ 3x4 sao cho 2X-3A =2B
2. Cho các ma trận:

1 2
 1 0 2
 1 2 0 3
 0 1
 0 1 2






A  2 3 1 , B   0 4 1 2 , C 
, D
3 1
1 2 0 

 0 1 2
3 0 3 1




2
0



Tính: AB, BC, CD, DA, ABC, A2, A3


Bài tập
3. Cho

1 2
f ( x)  3x  2x  4 và
A 

3
1


Tìm f(A) ?
1 0
2
)
(Hướng dẫn: f ( A)  3A  2 A  4I , I  

0 1
2

Bài tập
3. Cho

1 2
f ( x)  3x  2x  4 và
A 

3
1


Tìm f(A) ?
1 0
2
)
(Hướng dẫn: f ( A)  3A  2 A  4I , I  

0 1

Giải.
2

1 2 1 2 7 0
A 





3

1
3
1
0
7


 

7 0 1 2 1 0
2
f ( A)  3A  2 A  4I  3 
2
 4



0
7
3
1
0
1

 
 

21 0  2 4 4 0 27 4









0
21
6
2
0
4

6
23

 
 
 

2


Bài 3: Định thức
1. Ma trận con ứng với một phần tử.
Cho ma trận vuông A   aij  cấp n.
n
Ma trận con ứng với phần tử aij là ma trận vuông cấp
n-1 thu được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j.
Ký hiệu: M

ij


1 2 3 


A   0 1 4 
 5 6 7 
 1 4 
0 4 
 0  1
M 11  
M 12  
M 13  



 6 7
5 7 
5 6 
1 3 
1 2 
2 3
M 22  
M 23  
M 21  



5

7
5
6




6 7 
1 2 
 2 3
1 3 
M 33  
M 31  
M 32  



 0  1
 1 4 
0 4 

Ví dụ.