Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Chương 3: Ánh xạ tuyến tính


Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Định nghĩa và ví dụ.
II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở
IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng


I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa ánh xạ
Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng.
Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x
thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x)

f : X Y

x  X , ! y  Y : y  f ( x)

Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu y  Y , x  X : y  f ( x)

Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh.

I. Định nghĩa và ví dụ
-----------------------------------------------------------------------Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Cho V và W là hai khơng gian véctơ trên cùng trường số K.
Ánh xạ tuyến tính f : V  W giữa hai không gian véctơ V, W
là một ánh xạ thỏa
1.

(v1 , v2 V ) f (v1  v2 )  f (v1 )  f (v2 )

2. (  K , v  V ) f ( v )   f (v )


I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Chứng tỏ ánh xạ f : R3  R2 cho bởi

x  ( x1 , x2 , x3 ); f ( x)  ( x1  2 x2  3 x3 , 2 x1  x3 )

là ánh xạ tuyến tính.

x  ( x1, x2 , x3 ); y  ( y1, y2 , y3 )  R3
f ( x  y )  f ( x1  y1, x2  y2 , x3  y3 )

f ( x  y )  ( x1  y1  2 x2  2 y2  3 x3  3 y3 , 2 x1  2 y1  x3  y3 )
f ( x  y )  ( x1  2 x2  3x3 , 2 x1  x3 )  ( y1  2 y2  3 y3 , 2 y1  y3 )
f ( x  y )  f ( x)  f ( y )
Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến

tính.


I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho f : V  W là ánh xạ tuyến tính.
Cho E ={e1, e2, …, en} là tập sinh của V.
Giả sử biết f(e1), f(e2), …, f(en).
x  V  x  x1e1  x2e2    xn en
f ( x)  f ( x1e1  x2e2    xn en )
f ( x)  f ( x1e1 )  f ( x2 e2 )    f ( xn en )
f ( x)  x1 f (e1 )  x2 f (e2 )    xn f (en )
Ánh xạ tuyến tính được xác định hồn tồn nếu biết được
ảnh của một tập sinh của V.


I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 2 , biết
f (1,1,0)  (2, 1), f (1,1,1)  (1, 2), f (1, 0,1)  (1,1);
1. Tìm f (3,1,5)

2. Tìm f (x)

1. Giả sử (3,1,5)   (1,1, 0)   (1,1,1)   (1, 0,1)

    

 
  

 f (3,1,5) 

 3
 1    2,   3,   2
 5
f ( (1,1,0)   (1,1,1)   (1,0,1))

 f (3,1,5)   f (1,1,0)   f (1,1,1)   f (1,0,1)
f (3,1,5)  2(2, 1)  3(1, 2)  2( 1,1)  (3,10)


I. Định nghĩa và ví dụ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 2 , biết
f (1,1,0)  (2, 1), f (1,1,1)  (1, 2), f (1, 0,1)  (1,1);
1. Tìm f (3,1,5)

2. Tìm f (x)

2. Giả sử x  ( x1 , x2 , x3 )   (1,1,0)   (1,1,1)   (1,0,1)

    

  

  




x1




x2
x3



 




x1  x3
  x1  x2  x3

x1  x2

 f ( x)  f ( x1, x2 , x3 )   f (1,1,0)   f (1,1,1)   f (1,0,1)
f ( x)  ( x1  x3 )(2, 1)  ( x1  x2  x3 )(1, 2)  ( x1  x2 )(1,1)
f ( x)  (2 x2  x3 , 2 x1  x2  3x3 )

I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính?
1. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( 2 x1  3 x2 , x1 )
2. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( x1  2 x2 ,0)
3. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( 2 x1  x2 , x1  1)
4. f : R2  R2 ; f ( x1 , x2 )  (1, x1  x2 )
2
f
:
R

R
;
f
(
x
,
x
)

(
x

x
,
x
5.

2
2
1 2
1
2 1)

6 f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( x2 , x1 )


II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tính. f : V  W
Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x
của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0.

Kerf  x V | f ( x)  0
V

W

Kerf

0


II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tính. f : V  W
Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các phần tử y
của không gian véctơ W sao cho tồn tại x  V để y = f(x).

Im f  y  W | x  V : y  f ( x)
V

W

Imf


II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý
Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W
1. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là khơng gian con của V.
2. Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của W.
3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V)
Chứng minh.


II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mệnh đề
Ảnh của ánh xạ tuyến tính là khơng gian con được sinh ra
bởi ảnh của một tập sinh của V.

Chứng minh. Giả sử tập sinh của V là E  {e1 , e2 ,..., en}

y  Im f  x V : y  f ( x) Vì x thuộc V nên x là thtt của E.
y  f ( x1e1  x2e2  ...  xn en ) Ánh xạ f là tuyến tính nên ta có

y  x1 f (e1 )  x2 f (e2 )  ...  xn f (en )
F  {f (e1 ), f (e2 ),..., f (en )} sinh ra y.
 Im f  f (e1 ), f (e2 ),..., f (en ) 
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:


II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 3 , biết
x  ( x1 , x2 , x3 )  R3 :

f ( x)  f ( x1, x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , 2 x1  3 x2  x3 ,3 x1  5 x2  x3 )

1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf.
x  ( x1 , x2 , x3 )  Kerf

 f ( x)  0

 ( x1  x2  x3 , 2 x1  3 x2  x3 ,3 x1  5 x2  x3 )  (0, 0, 0)
 x1  x2  x3

  2 x1  3 x2  x3
3x  5 x  x

 1
2
3

 0  x1  2 ; x2   ; x3  
 0  x  (2 ,  ,  )
 0  x   (2, 1,1)

Vậy E={(2,-1,1)} là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf
dim(Kerf) = 1.


II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết
x  ( x1 , x2 , x3 )  R3 :

f ( x)  f ( x1, x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , 2 x1  3 x2  x3 ,3 x1  5 x2  x3 )

2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.
Chọn cơ sở chính tắc của R3 là E  {(1, 0, 0), (0,1, 0),(0,0,1)}
Ảnh của ánh xạ tuyến tính là khơng gian con được sinh ra bởi
ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3.

Im f  f (1, 0, 0), f (0,1,0), f (0, 0,1) 
Im f  (1, 2,3), (1,3,5),(1, 1, 1) 
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:

dim(Im f )  2

Cơ sở: E={(1,1,1), (0,1,2)}


II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết
f (1,1,1)  (1, 2,1); f (1,1, 2)  (2,1, 1); f (1, 2,1)  (5, 4, 1);
1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf.

Cách 1(thường sử dụng). x  (x 1, x 2 , x 3 )  R 3

x  (x 1 , x 2 , x 3 )   (1,1,1)   (1,1,2)   (1,2,1)

    

     2
  2   


 x1
 x2
 x3




 



 3x 1  x 2  x 3



x 3  x1
x 2  x1

 f (x )  ( 4x 1  4x 2  x 3 , x 1  2x 2  x 3 ,5x 1  2x 2  2x 3 )
x  (x 1, x 2 , x 3 )  K erf  f (x )  0 Hệ thuần nhất

 x  (2 , ,4 )  x   (2,1,4)
Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1.


II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết
f (1,1,1)  (1, 2,1); f (1,1, 2)  (2,1, 1); f (1, 2,1)  (5, 4, 1);
2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.

Chọn cơ sở của R3 là E  {(1,1,1), (1,1, 2), (1, 2,1)}
Ảnh của ánh xạ tuyến tính là khơng gian con được sinh ra bởi
ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3.

Im f  f (1,1,1), f (1,1, 2), f (1, 2,1) 
Im f  (1, 2,1),(2,1, 1),(5, 4, 1) 
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:

dim(Im f )  2

Cơ sở: E={(1,2,1), (0,1,1)}


III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính.
Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W
E = {e1, e2, …, en} là một cơ sở của V.
F = {v1, v2, …, vm} là một cơ sở của W.
Ma trận cở mxn với cột thứ j là tọa độ của véctơ f (e j ) trong
cơ sở F được gọi là ma trận của f trong cặp cơ sở E và F .

[ f ]E , F


  [ f (e1 )]F




[ f (e2 )]F



 [ f (en )]F 





I. Định nghĩa và ví dụ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

f : R3 R2 cho bởi
x  ( x1 , x2 , x3 ); f ( x)  ( x1  2 x2  3 x3 , 2 x1  x3 )
Ánh xạ

Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở

E  {(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)};F  {(1,1),(1,2)}

 3 
f (1,1,1)  (0,3)  [f (1,1,1)]F   
3

Vậy ma trận cần tìm là

 7 
f (1,0,1)  (2,3) [f (1, 0,1)]F   
 3 7 4 
 5  A   3 5 1 



4
f (1,1,0)  (3,2) [f (1,1,0)]F   
 1 


III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý
1. Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W . Khi đó tồn tại duy nhất
một ma trận [f]E,F cở mxn sao cho
[ f ( x)]F  [ f ]E , F [ x]E
với E và F là hai cơ sở trong V và W tương ứng.
2. Cho ma trận A  ( aij )mn trên trường số K. Khi đó tồn tại
duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : K n  K m thỏa
[ f ( x)]F  [ f ]E , F [ x]E

Chú ý: Mỗi một ánh xạ tuyến tính tương ứng duy nhất một ma trận
và ngược lại.
Ta coi ánh xạ tuyến tính là ma trận. Thông thường không phân biệt
hai khái niệm này.


III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R2 , biết ma trận của f trong

cặp cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} là
[ f ]E , F

 2 1 3 


0
3
4



1. Tìm f (3,1,5)

 3
Bước 1. Tìm tọa độ của (3,1,5) trong cơ sở E: [(3,1,5)]E   2 
 
 2 
 
Bước 2. Sử dụng công thức [ f ( x)]F  [ f ]E , F [ x]E

 3
 2 1 3     14 
[ f (3,1,5)]F  
2  

 0 3 4     2 
 2 

Bước 3. Đổi tọa độ của ảnh cần tìm sang cơ sở chính tắc.

f (3,1,5)  14(1,1)  2(2,1)  (10,12)


III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R2 , biết ma trận của f trong
cặp cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} là
[ f ]E , F

 2 1 3 


0
3
4



2. Tìm f (x)

x  ( x1 , x2 , x3 )   (1,1,1)   (1,0,1)   (1,1,0)
   x 1  x 2  x 3 ;   x 1  x 2 ;  x 1  x 3

 x 1  x 2  x 3 
 [x ]E   x 1  x 2 



 x x



1
3


III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Theo cơng thức ta có: [f ( x )]F  [ f ]E , F .[x ]E

 x 1  x 2  x 3 
 2 1 3  

 [f (x )]F  
x

x
1
2


0
3
4




x

x


1
3

 4x 1  x 2  5x 3 
 [f (x )]F  

7
x

3
x

4
x
 1
2
3
 f (x )  (4x 1  x 2  5x 3 )(1,1)  (7x 1  3x 2  4x 3 )(2,1)
 f (x )  (10x 1  5x 2  3x 3 ,3x 1  2x 2  x 3 )


III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Cho

f : R 3  R3

là ánh xạ tuyến tính.

Giả sử
f ( x)  f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , 2 x1  x2  x3 ,3 x1  4 x2  x3 )
1. Tìm f(2,1,5).
2. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở
E = {(1,1,1); (1,1,2); (1,2,1)}.
3. Tính f(2,1,5) sử dụng 2), so sánh với 1).


III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Cho f : R3  R3
là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của
f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} là
 1 1 1 
[ f ]E , E   2 3 3 


1 2 4 


1. Tìm f (2,3,-1) 2. Tìm cơ sở và chiều của nhân Kerf.
Cách 1. Để tìm kerf, có thể tìm f(x) rồi làm tiếp.

Cách 2.
x  ker f  f ( x)  0

Giả sử

 [ f ( x)]E  0  [ f ]E , E .[ x]E  0
 x1 
[ x]E   x2 
 
x 
 3