Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Chương 4: Trị riêng, véctơ riêng


Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
4.2 – Chéo hóa ma trận.
4.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao.
4.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.
4.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính.


4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Số  được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác
khơng, sao cho Ax   x .
Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A
tương ứng với trị riêng  .


4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử 0 là trị riêng của ma trận A  x 0  0 : A x 0  0x 0

 A x 0  0x 0  0  (A  0I )x 0  0
Hệ thuần nhất có nghiệm khác không

 det(A  0I )  0

det( A   I )  0 được gọi là phương trình đặc trưng của
ma trận vuông A.
Đa thức PA ( )  det( A   I ) gọi là đa thức đặc trưng của A.
Vậy  là trị riêng khi và chỉ khi  là nghiệm của phương
trình đặc trưng.


4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa
Bội đại số của trị riêng  là bội của trị riêng 
trình đặc trưng.

trong phương

Định nghĩa
Khơng gian nghiệm của hệ (A  1I )X  0 được gọi là
không gian con riêng ứng với TR 1 , ký hiệu E 1

Định nghĩa
Bội hình học của trị riêng là số chiều của khơng gian con riêng
tương ứng với trị riêng đó.


4.2 Chéo hóa ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý
Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng (tức là

cùng chung tập trị riêng).
Giả sử hai ma trận A và B đồng dạng, tức là (P ) P 1A P  B .

det(B   I )  det(P 1A P   I )  det(P 1A P   P 1IP )
 det(P 1 (A   I )P )  det(P 1 ).det( A   I ).det( P )

 det(A   I )

Vậy A và B cùng đa thức đặc trưng.

Chú ý.
Hai ma trận đồng dạng có cùng trị riêng nhưng các véctơ
riêng thì khác nhau.


4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 3 1 1
Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của


A

2
4
2
Ví dụ.

 các kgian con riêng ứng.

1 1 3


Lập phương trình đặc trưng của A:

3
 2
1

det( A   I )  0

1
1
4
2  0  (  2)2 (  6)1  0
1
3

Trị riêng 1  2

BĐS = 2

BHH chưa biết?

Trị riêng 2  6

BĐS = 1

BHH = 1

4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tìm cơ sở, chiều của kgian con riêng ứng với 1  2.

( A  1I ) X  0

1
1  x 1 
3 2
 2
42
2  x 2   0

 
 1
 x 
1
3

2

 3 

Giải hệ bằng cách biến đổi ma trận hệ số ta được nghiệm tổng quát

 1   0   là cơ sở của kgian
 x1 
1

0
 x   x  0   x  1    0  ,  1   con riêng E   E 2
1
    
 2  1  2  
 1
 1
x 
 1  1  dim(E  )  2
 3
 
 
    
1
Hoàn tồn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian con
riêng ứng với trị riêng 2  6.


4.2 Chéo hóa ma trận
------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa
Ma trận vng A gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với
ma trận chéo.
Tức là tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho P 1A P  D
trong đó D là ma trận chéo.

 1 0  0 
0    
2



D
   0
0  0  

k


4.2 Chéo hóa ma trận
------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý
Ma trận vng A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại n
véctơ riêng độc lập tuyến tính.
Hệ quả 1.
Nếu ma trận vng A cấp n có đúng n trị riêng phân biệt thì
A chéo hóa được.

Hệ quả 2 (thường sử dụng trong bài tập)
Ma trận vng A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình
học của mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng.


4.2 Chéo hóa ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Các bước chéo hóa ma trận vng A cấp n.
Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng. Xác
định bội đại số của từng trị riêng.

Bước 2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị
riêng. Tìm cơ sở của các khơng gian con riêng. Xác định
bội hình học của trị riêng.
Bước 3. Nếu bội hình học của một TR nào đó nhỏ hơn BĐS
của TR này thì A khơng chéo hóa được.
Giả sử hệ quả 2 thỏa, suy ra A chéo hóa được. Ma trận P có
các cột là các cơ sở của những kgian con riêng. Các phần tử
trên đường chéo chính của D là các trị riêng.


4.2 Chéo hóa ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ. Chéo hóa ma trận A (nếu được).

1 3 3
A  3 5 3


 3 3 1 
Bước 1. Tìm tất cả các trị riêng của A

0  det( A   I )   3  3 2  4  (  1)(  2) 2

1  1

Bội đại số = 1

Bội hình học = 1

2  2 Bội đại số = 2

Bội hình học = ?


4.2 Chéo hóa ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bước 2. Tìm 3 véctơ riêng độc lập tuyến tính của A

1  1

Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

 0 3 3   x1   0 
 A  1I  X   3 6 3   x2    0 
 3 3 0  x   0

 3   
1
 
Cơ sở : E (1  1) v1  1
 
1
 
Cơ sở : E (2  2)

 1
 1
u2   1  ; u3   0 

 
 
0
1
 
 


4.2 Chéo hóa ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bước 3. BHH của 2  dim(E  )  2 = BĐS của 2 .
2
BHH của 1  dim( E  )  1 = BĐS của 1 .
1
Vậy A chéo hóa được.
Thiết lập ma trận P:

 1 1 1
P   1 1 0 


 1 0 1 

Thiết lập ma trận D:

1 0 0 
D   0 2 0 



 0 0 2 

Chú ý: các cột của ma trận P có thể đổi chổ cho nhau, miễn
sao TR và VTR tương ứng nằm trên cùng một cột.


4.2 Chéo hóa ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 6. Chéo hóa ma trận A (nếu được).

2 4 3
A   4 6 3


 3 3 1 

0  det( A   I )   3  3 2  4  (  1)(  2) 2
Cơ sở : 1  1

1
u1   1 Cơ sở: 2  2
 
1
 

BĐS của 2  2 là 2 lớn hơn BHH của 2 .
Suy ra A khơng chéo hóa được.

 1

u2   1 
 
0
 


4.2 Chéo hóa ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ. a) Chéo hóa ma trận A nếu được.

5 0 0 0
0 5 0 0

A
 1 4 3 0 
 1 2 0 3


b) Tính A100

0  det( A   I )  (  5) 2 (  3) 2

 8 
 16 
 4
 4 

Cơ sở của E (1  5) u1    ; u2  
1

 0 
 0
 1 
 




4.2 Chéo hóa ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cơ sở của E  2  3

 8 16
4
4

P
0
1
0
1


0 0
0 0

1 0
0 1 

0
 0
0
 0
u3    ; u4   
1
 0
0
1
 
 
5 0 0 0 
0 5 0 0 

D
0 0 3 0 
0 0 0 3



P 1 AP  D  A  PDP 1
 A100  ( PDP 1 )  ( PDP 1 ) ( PDP 1 )  ( PDP 1 )
 A100  PD( P 1P) DP 1  PD ( P 1P ) DP 1
 A 100  PD 100 P 1


4.2 Chéo hóa ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ. Tìm ma trận vng thực cấp 3 có ba trị riêng là 2, -3, 1

2
1
1






x

1
;
x

2
;
x

1
có 3 véctơ riêng tương ứng là 1
  2   3  
1
1
1
 
 
 
A chéo hóa được bởi ma trận P và ma trận D như sau:

 2 1 1
P   1 2 1


 1 1 1



2 0 0
D   0 3 0 


0 0 1



Suy ra ma trận vng cần tìm là A  PDP 1


4.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa ma trận đối xứng thực
Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i = 1,….n và j =1,…,n
được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT)

Định nghĩa ma trận trực giao
Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu A-1=AT.

 1/ 2 1/ 18 2 / 3 


P 0
4 / 18 1/ 3 


 1/ 2 1/ 18 2 / 3 


4.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao
----------------------------------------------------------------------------------------------------

Để thiết lập ma trận trực giao ta dùng hệ quả sau.
Hệ quả
Ma trận vuông A là ma trận trực giao nếu các cột của A tạo nên
họ trực chuẩn.

Định nghĩa
Ma trận vng A được gọi là chéo hóa trực giao nếu tồn tại
ma trận trực giao P và ma trận chéo D sao cho
P-1AP = PTAP=D.


4.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Các bước chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực.
Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng.
Bước 2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị

riêng. Tìm cơ sở TRỰC CHUẨN của các kgian con riêng.
Bước 3. Ma trận P có các cột là các cơ sở TRỰC CHUẨN của
những kgian con riêng.
Các phần tử trên đường chéo chính của D là các trị riêng.
Chú ý: Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được nên khơng cần
xác định bội đại số và bội hình học.
Để tìm cơ sở trực chuẩn của một khơng gian con riêng nào đó ta
chọn một cơ sở tùy ý rồi dùng quá trình Gram – Schmidt (nếu cần).


4.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực sau:

 3 2 4 
A   2 6 2 


 4 2 3


Lập phương trình đặc trưng

0  det( A   I )  (  7)2 (  2)
Cơ sở của không gian con
riêng E  1  7  :

1

 1 
x1   0  ; x2   2 
 
 
1
0
 
 


4.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dùng quá trình Gram – Schmidt, tìm cơ sở trực giao F  {f 1 , f 2}
của không gian con riêng E  1  7 

1
f1  x1   0  ;
 
1
 

 1
( x2 , f1 )
f 2  x2 
f1  f 2   4 
 
( f1 , f1 )
1
 

Trực chuẩn hóa, tìm cơ sở trực chuẩn của E  1  7 

1/ 2   1/ 18  

 
 
E   0  ;  4 / 18  

 


1/ 2   1/ 18  


4.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cơ sở của không gian con riêng
cũng là cơ sở trực giao:

có một véctơ nên đó

E

2

 2
x3   1  ; Cơ sở trực chuẩn của E 
 

 2 
 

2

 2/3 
f3   1/ 3  ;


 2 / 3 



Vậy ma trận trực giao P và ma trận chéo D là:




P





1
2
0
1
2

1
2 
18 3 

4
1/ 3 

18

1
2 

3
18


7 0 0 
D  0 7 0 


 0 0 2 




4.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong chương ánh xạ tuyến tính ta biết: có thể coi ánh xạ tuyến
tính là ma trận, cho nên tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ

tuyến tính là tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận.
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính là chéo hóa ma trận.
Định nghĩa
Cho V là K-kgvt, ánh xạ tuyến tính f :V V.
Số   K được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x V
khác không, sao cho f ( x)   x.
Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ánh xạ tuyến
tính f tương ứng với trị riêng  .
Chú ý: véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính là véctơ có ảnh tỉ lệ
với véctơ ban đầu.
Nếu xét trong khơng gian thực: VTR là véctơ có ảnh cùng
phương với véctơ ban đầu (tạo ảnh).