CHUYÊN ĐỀ 1 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Chuyên đề 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba (3 buổi – 9 tiết)
Ngày soạn: 21/02/2022
Buổi 1: CĂN THỨC BẬC HAI HẰNG ĐẲNG THỨC
A - MỤC TIÊU
Qua buổi học này học sinh cần:
- Nắm vững việc tìm CBHSH của một số, tìm điều kiện các định của căn thức bậc
hai. Vận dụng vào việc tìm ĐKXĐ của một biểu thức thành thạo.
- Nắm vững và được vận dụng thành thạo hằng đẳng thức
B - CHUẨN BỊ
GV: - Tham khảo các bài tập trong sách BT, các dạng bài trong sách ôn tập tuyển
sinh vào 10 về chủ đề căn thức bậc hai. Hệ thống bài tập và định hướng giải các bài
tập trong buổi học
HS: -Ôn các kiến thức về căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
C – CÁC HOẠT ĐỘNG LÊN LỚP
HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS

NỘI DUNG BÀI HỌC

Dạng 1: CĂN BẬC HAI SỐ HỌC

* GV đưa nội dung bài tập 1, 2 lên
bảng phụ.
- YC HS suy nghĩ.
- Gọi 2 HS lên trình bày (mỗi HS trình
bày 1 bài)
- HS dưới lớp làm bài vào vở.

* GV nêu bài tập 3:
- Để so sánh hai số đó ta cần làm gì?
(Đưa cùng về cùng 1 dạng căn bậc hai
hoặc số nguyên)

* HS làm bài vào vở.
- Gọi 4 HS lên trình bày.
* Nếu HS làm tốt, GV đưa ra bài tập
sau:
So sánh hai số sau:
a) và 3
(HD: )
b) và 12
(HD: )

Bài 1:
Tìm căn bậc hai số học của mối số sau:
0,09; 0,49; 324; 361;
Bài 2: Số nào sau đây có căn bậc hai? Vì
sao?
9; 1,3; - 4; ;
Bài 3: So sánh các số sau:
a) 2 và 1 +
b) 1 và
c) và 12
d) -10 và
Giải:
a) Ta có: 2 = 1 + 1 = 1
Vì
Vậy 2 < 1 +
b) Ta có: 1 = 2 - 1 =
Vì
Vậy 1 >.
c) Ta có: 12 = 3.4 = 3.
Vì

Vậy < 12
d) Tương tự -10 >

Dạng 2: CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

1


HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS

NỘI DUNG BÀI HỌC

* GV nêu BT: (Đưa bài trên bảng phụ) Bài 4:Tìm điều kiện để mỗi căn thức sau
có nghĩa
- YC HS làm bài tại lớp.
a) ;
b)
c)
d,
- 2 HS lên bảng trình bày (câu a, b)
Giải
a) ĐS: x
b) x < 3
c) (x – 1)(x – 3) ≥ 0
ó x ≥ 3 hoặc x ≤ 1
d) (x – 2)(x + 2) ≥0
* Lưu ý: Tích A. B ≥ 0 khi nào?
- Gọi 2 HS lên bảng tiếp tục làm câu
c, d
Bài 5:

* GV đưa BT 5
Tìm x để căn thức sau có nghĩa:
- Câu a đối với lớp thường.
a)
b)
c)
d)
- Riêng câu c), d) nếu HS có khó khăn Giải:
thì GV có thể HD:
a) có nghĩa khi
ó ó ó
Tìm ĐK để các biểu thức có chứa dấu Vậy Đk là x ≥ 2 hoặc x < -3
căn không âm và mẫu của các biểu
b) = có nghĩa khi
thức phải khác 0.
(x – 1)(x + 3) > 0
ó x < - 3 hoặc x > 1
* HS làm bài dưới sự HD của GV.

c) có nghĩa khi
2 x  1 �0 (1)
�
�
�x  2 x  1 (2)

Giải (1) ta được x
Giải (2) Ta có:
x2 > 2x + 1
x2 – 2x – 1 > 0
x >0

x>0
2
x – 2x + 1 > 2
(x – 1)2 > 2
x>0
x>0
x – 1 > hoặc x – 1< Kết hợp ta được
d) ĐS: x hoặc x
2


HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS

* GV đưa bài tập.
- HS làm bài vào vở.

NỘI DUNG BÀI HỌC

x≠
Bài 6: Tính
a)
b)
Giải:
a) ;
b)

- 2 HS lên bảng trình bày.
* GV nêu bài tập
- HS làm bài vào vở.
- 4 HS lên bảng trình bày

Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
b)
c) với x < 0
d) x – 4 + với x > 4
Giải:
a) = = - 1
b) = =
c)
d) x – 4 + = x – 4 + x – 4 = 2x – 8

HDVN:
- Nắm chắc hằng đẳng thức.
- Xem lại các bài đã làm.

3


Ngày soạn: 21/02/2022
Buổi 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. MỤC TIÊU

- Kiến thức: Ôn tập các phép biến đổi căn thức bậc hai và vận dụng vào bài tập.
- Kĩ năng: Rèn kĩ năng tính tốn, thực hiện các phép biến đổi căn thức, kỹ năng rút
gọn.
- Thái độ: u thích mơn học, tự tin trong trình bày. Phát triển tư duy trừu tượng và
tư duy logic cho học sinh.
II. CHUẨN BỊ

Các công thức biến đổi căn thức: Hằng đẳng thức, các quy tắc khai phương,
công thức biến đổi đơn giản biểu thức có chứa căn thức bậc hai.
III. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY, TRỊ

NỘI DUNG GHI BẢNG

GV cho học sinh đọc bài tốn lựa chọn Bài toán 1: Xét xem mỗi biểu thức sau
đúng sai:
đúng hay sai:
2
2
1. Nếu a  0 và b  0 thì a b = a b
1. Nếu a  0 và b  0 thì a b = a b
2
(đúng)
2. Nếu a  0 và b  0 thì a b = - a b
2
a
2. Nếu a  0 và b  0 thì a b = - a b
ab
(đúng)
3. Nếu a 0 và b > 0 thì b = b
4. Nếu a  0 và b < 0 thì

a
ab
b =- b

1

5. 2 80 < 3 2

7. Nếu x > 0 thì

1
x = x
1
x
x = x

8. Nếu a < 0 thì

1
a
a = a

6. Nếu x > 0 thì

x

14  6
9. 3  7 = 2
1
5 3 = 5 3

10.

3. Nếu a 0 và b > 0 thì
4. Nếu a  0 và b < 0 thì
(đúng)

a
b =
a
b =-

ab
b (đúng)
ab
b

1
5. 2 80 < 3 2 (sai)
1
x = x (đúng)
6. Nếu x > 0 thì
1
x
7. Nếu x > 0 thì x = x (đúng)
1
a
8. Nếu a < 0 thì a = a (sai)
x

14  6

3 7 = 2
1
GV tổ chức cho học sinh thảo luận và yêu
10. 5  3 = 5  3

cầu học sinh đứng tại chỗ trả lời.

9.

(sai)
(sai)
4


HS trả lời.
GV nhận xét đánh giá.
GV: đọc yêu cầu của bài tốn sau:
HS: Thực hiện phép tính:
1, 5 18 - 50 + 8
2, (2 6 + 5 )(2 6 - 5 )
3, ( 20 - 3 10 + 5 ) 5 + 15 2
7 7
4, 7  1
15
16
27
5
4 + 2 10 - 3 3
5,

6. 4  2 3
GV gọi 4 HS làm bài tập.

Bài toán 2: Thực hiện phép tính:
1, 5 18 - 50 + 8

= 5 9.2 - 25.2 + 4.2
= 15 2 - 5 2 + 2 2
= (5 - 15 + 2) 2 = 12 2
2, (2 6 + 5 )(2 6 - 5 )
= (2 6 )2 - ( 5 )2
= 4.6 - 5 = 19
3. ( 20 - 3 10 + 5 ) 5 + 15 2
= 100 - 3 50 + 5 + 15 2
= 10 - 3.5 2 + 5 + 15 2
= 15 - 15 2 + 15 2 = 15

HS làm bài tập.

7 7
7 1 =

4,

7



 7

7 1
7 1

15
16
5.3 3

27
4 + 2 10 - 3 3
5,
= 2 + 2
3.4
3
9 3
15
3
2 - 3 = 2
+ 3 -4 3 = 2
5

GV chữa bài tập còn lại và nhận xét bài
làm của học sinh.

2
1 3
6. 4  2 3 = (1  3) =
= 3 -1
Học sinh tiếp tục thực hành với bài toán 3 Bài toán 3: Rút gọn:
GV yêu cầu học sinh đọc bài toán 3.
3  5  (3  5)
2 5
1
1
HS đọc bài.
2
2
a. 3  5 - 3  5 = (3  5)(3  5) = 3 ( 5) =

GV: Nêu cách làm bài tập 3.

a.
b.
c.

1
1
3 5 - 3 5
7 3
7 3

7 3 + 7 3
2  3  10  15
1 5

� 3  3 �� 6  3 �
�
�2  1  3 �
��
�2  2  1 �
�
��
�
d. �
64 2
64 2

e.

2  64 2 + 2  64 2

5
2
2

( 7  3) 2  ( 7  3)
7 3
7 3
b. 7  3 + 7  3 = ( 7  3)( 7  3) =
7  2 21  3  7  2 21  3
5
73
.

2(1  5)  3(1  5)
2  3  10  15
1 5
1 5
c.
=
=
( 2  3)(1  5)
1 5
= 2 3
5


GV chỉ yêu cầu học sinh làm a, b, c, d
còn phần e GV hướng dẫn.

HS lên bảng làm theo hướng dẫn GV

Gv nhận xét, sửa chữa bài làm hs.

� 3  3 �� 6  3 �
�
�2  1  3 �
��
�2  2  1 �
�
��
�=
d. �
� 3( 3  1) �� 3( 2  1) �
�
�2  1  3 �
��
�2  2  1 �
�
�
��
� = (2  3)(2  3) =
22  ( 3) 2  1
64 2

64 2

2  64 2 + 2  64 2 =
64 2
64 2

64 2
2
2
2  (2  2) + 2  (2  2) = 2 2  2 +
2
(2  2)2
2 2
6  4 2 (2  2)
2 +
2 2  2 = 2(2  2) + 2(2  2) =

e.

2 2
2 =2 2

Bài tập 57 (SBT -12)
Đưa thừa số vào trong dấu căn:

Bài tập 57

a. / x. 5 ( x 0)

a. / x. 5  5 x 2 ( x 0)

b. / x. 13 ( x 0)

b. / x. 13  13 x 2 ( x 0)

c. / x.

11
( x  0)
x

c. / x.

11
 11 x ( x  0)
x

d . / x.

 29
( x  0)
x

d . / x.

 29
  29.x ( x  0)
x

Bài tập 58 (SBT -12)
Rút gọn các biểu thức:

Bài tập 58

a. / 75  48 

b. / 98 

b. / 98 

300

77  0,5 8

c. / 9a  16a  49a.

a. / 75  48 

300  3

77  0,5 8 2 2

c. / 9a  16a  49a. 6 a
d . / 16b  2 40b  3. 90b 4 b  5 10b

d . / 16b  2 40b  3. 90b

Bài tập 59 (SBT -12)
Rút gọn các biểu thức:



60
b. / 5. 2  2. 5  5  . 125
c. /  28  12  7 . 7  2. 21
d . /  99  18  11 . 11  3. 22

a. / 2 3  5 . 3 

Bài tập 59



60 6  15
b. / 5. 2  2. 5  5  . 125 10
c. /  28  12  7 . 7  2. 21 7
d . /  99  18  11 . 11  3. 22 22
a. / 2 3  5 . 3 

Bài tâp luyện:
Bài 1 Rút gọn các biểu thức sau:
1 �� 1
1 � 1
� 1
A1  �

:

��
�
1  x 1  x ��
1 x 1 x � 1 x
�

kq:

1

xx
6


�a a  1 a a  1 �a  2
A2  �
�a  a  a  a �
�: a  2
�
�

2a  4
kq: a  2

�
�
x �� 1
2 x
A3  �
1

:

��
� x  1 �� x  1 x x  x  x  1 �
�
�
��
�

x  x 1
kq: x  1

� x
1 �� 1
2 �
A4  �

:

�
�
� x  1 x  x �� x  1 x  1 �
�
�
�

x 1
kq: x

Bài 2. Cho biểu thức:

� 4 x
1 �x  2 x
B�
1


�
� x 1

�: x  1
x

1
�
�

kq:

x 3
x 2

1, Tìm x để biểu thức B xác định.
2, Rút gọn B.
3, Tính giá trị của biểu thức B khi x = 11  6 2
4, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B bằng -2.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B âm.
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B nhỏ hơn -2.
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B lớn hơn x  1
4/ HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC Ở NHÀ:

- Học thuộc các công thức biến đổi.
- Xem lại các bài đã làm.
- Làm các bài tập ở SBT: bài 56, 57, 58, 59; (trang 14);
Bài 69, 70, 75 (Trang 17)
(phần biến đổi đơn giải biểu thức có chứa căn thức bậc hai)

7

Ngày soạn: 25/2/2022
Buổi 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI
A - MỤC TIÊU
Qua bài này học sinh cần:
- HS ghi nhớ và khắc sâu thêm các phép biến đổi căn thức bậc hai.
- HS được rèn luyện kỹ năng rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai dạng chứa
chữ, làm các dạng toán liên quan sau khi đã rút gọn biểu thức (tính giá trị biểu thức,
giải pt, tìm hía trị ngun của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên, tìm Max, Min,...).
- Giáo dục tính cẩn thận và phương pháp trình bày.
B - CHUẨN BỊ
GV: Các dạng bài tập và định hướng cách giải;
HS: Ơn tập lại dạng tốn rút gọn căn thức và các dạng toán liên quan sau khi rút gọn.
- Máy tính bỏ túi
C – CÁC HOẠT ĐỘNG LÊN LỚP
I.Kiến thức cơ bản:
1.Các bước cơ bản để làm bài tốn rút gọn:
-Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức.
- Phân tích tử thức,mẫu thức thành nhân tử (nếu có),giản ước các nhân tử chung (nếu
có).
- Quy đồng mẫu chung (nếu có)
-Thực hiện các phép tốn thu gọn biểu thức.
*Chú ý: Nắm vững thứ tự thực hiện các phép tính.

  �  �  .;

a n � ��
,: , 

và các phép tính về đơn thức, đa thức, phân thức, căn thức.

*Một số bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử cần nhớ:
2
1) x 2 x  1 ( x  1) (với x 0 )
2
2) x 2 x. y  y ( x  y ) (với x,y 0 )

3) x - y =



x



y. x
3

3

y





(với x,y 0 )



4)x x  y y = x  y  x  y . x  x. y  y

5) x y �y x = xy ( x � y ) (với x,y 0 )
6) x  1  ( x  1)( x  1) (với x,y 0 )



(với x,y 0 )

2.Một vài bài toán phụ thường gặp:
2.1. Tính giá trị của biểu thức A(x) với x = m.
+ Hướng dẫn:
- Nếu biểu thức đã rút gọn chứa căn, giá trị của biến chứa căn, ta biến đổi giá trị của
biến về dạng HĐT.
- Nếu giá trị của biến chứa căn ở mẫu, ta trục căn thức ở mẫu trước khi thay vào biểu
thức.
2.2 Tìm giá trị của x để: A(x) = a. (a là hằng số)
8


+ Hướng dẫn: - Thực chất là giải PT : A(x) = a.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
2.3. Tìm giá trị của x để: A(x) lớn hơn, hoặc bé hơn một số (một biểu thức).
+ Hướng dẫn: - Thực chất là giải BPT: A(x) > B(x) (hoặc A(x) < B(x)).
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
2.4. Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức đã rút gọn nhận giá trị nguyên.
+ Hướng dẫn: - Tách phần nguyên, xét ước.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
2.5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đã rút gọn.
+ Hướng dẫn: Có thể đánh giá bằng nhiều cách, tuỳ bài tốn cụ thể mà ta chọn
cách nào đó cho phù hợp.
2.6. So sánh biểu thức đã rút gọn với một số hoặc một biểu thức.

+ Hướng dẫn: Xét hiệu A - m so sánh với 0
- Nếu A - m > 0 thì A > m.
- Nếu A - m < 0 thì A < m.
- Nếu A - m = 0 thì A = m.
II. Một số ví dụ:
Ví dụ 1. (Đề thi vào 10 THPT năm 2011-2012 (01/7/2011)

Rút gọn biểu thức
Ví dụ 2.

�a  3 a
��a  1
�
A�
.�
 1�
� a  3  2�
�
�
�� a  1 �, với a �0; a �1

(Đề thi vào 10 THPT năm 2010-2011 (03/7/2010)

P

a3  1
a3 1

a 2  a  1 a 2  a  1 (với a �R )

Cho biểu thức
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P > 3.

�x x  1 x x  1 �� 3  x �
A�
: 1
�
�x  x  x  x ��
��
x 1 �
�
��
�

Ví dụ 3. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 6  2 5
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
d) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3.
e) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1.
Ví dụ 4. Cho biểu thức
� a
1 �� 1
2 �

:�

�
�

�
�
a  1�
�
A = � a  1 a  a �� a  1

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A biết a = 4 +2 3
c) Tìm a để A < 0.
III. Bài tập áp dụng:
Bài 1: (Đề thi vào 10 THPT năm 2009-2010 (10/7/2009)
9


x x
 x  x





1

1
 x  1  x  1 

 với
Rút gọn biểu thức A = 

Bài 2:

x 0; x 1

(Đề thi vào 10 THPT năm 2008-2009(22/6/2008)


 2
 
2

 1  x  : 
 1
  1  x2
 với -1 < x < 1
Rút gọn biểu thức: P =  1  x

Bài 3:

(Đề thi vào 10 THPT năm 2008-2009(20/6/2008)
a  b  2 ab

1

:

a b
a b
Rút gọn biểu thức: P =
Bài 4: (Đề thi vào 10 THPT năm 2007-2008(26/6/2007)
x  2 x 1

Cho biểu thức: A =
1. Rút gọn A

x 1



x 1
x1

x



6
z
2. Tìm x  z để A

Bài 5:

(Đề thi vào 10 THPT năm 2007-2008(28/6/2007)

2 2

Rút gọn biểu thức: A =

2 1



2

2

21

x 3
x 1 2

P

Bài 6: Cho biểu thức
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - 3 ).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
a2  a
2a  a
A

 1.
a  a 1
a
Bài 7: Xét biểu thức

a) Rút gọn A.
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
C

A

.

1
1
x


2 x  2 2 x  2 1 x

Bài 8: Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức C.

b) Tính giá trị của C với

x

4
9.

1
C .
3
c) Tính giá trị của x để
Bài 9: Xét biểu thức

Q

2 x9

x  5 x 6

x  3 2 x 1

.
x  2 3 x
10


a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên.

11