Tài liệu Khảo sát cực trị hàm số 12 doc

CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
I,Tóm tắt lý thuyết:
1.Hàm số
dcxbxaxxfy +++==
23
)(
(
0
≠
a
)
2.Đạo hàm :
cbxaxxfy ++== 23)(''
2
3.Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số
)(xfy =
có cực trị
⇔
)(xfy =
có cực đại và cực tiểu
0)(' =⇔ xf
có
hai nghiệm phân biệt
⇔
03'
2
acb −=∆
.
4.Kỹ năng tính nhanh cực trị:
Bước1:Thực hiện phép chia

)(xf
cho
)(' xf
ta có:







−+






−+






+=
a
bc
dx
a

b
cxf
a
b
xxf
933
2
)('
93
1
)(
Tức là:
)()(').()( xrxfxqxf +=
Bước 2:Do



=
=
0)2('
0)1('
xf
xf
nên








−+−===
−+−===
)
9
(2)
3
(
3
2
)2()2(2
)
9
(1)
3
(
3
2
)1()1(1
a
bc
dx
a
b
cxrxfy
a
bc
dx
a
b

cxrxfy
.Hệ quả:Đường thẳng đi qua CĐ,CT có phương trình là:

)(xrY =
hay
)
9
()
3
(
3
2
a
bc
d
a
b
cy −+−=
II.Các dạng bài tập:
Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:
Bài tập:
Bài 1:Tìm m để hàm số :
)12()6(
3
1
23
+−+++= mxmmxxy
có cực đại và cực tiểu
Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔

phương trình
0)(' =xy
có hai nghiệm phân
biệt
⇔
0)6(2
2
=+++ mmxx

có hai nghiệm phânbiệt
)3()2(06'
2
>∪−<⇔>−−=∆⇔ mmmm

Bài 2:Tìm m để hàm số
53)2(
23
−+++= mxxxmy
có cực đại và cực tiểu
Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔
phương trình
0)(' =xy
có hai nghiệm phân biệt
⇔

06)2(3
2
=+++ mxxm

có hai nghiệm phân biệt
123
032
2
0963'
02
22
<−≠<−⇔



<−+
−≠
⇔



>+−−=∆
≠+
⇔ m
mm
m
mm
m
Bài 3:Tìm m để hàm số
)1()45()2(
3
1
223
++++−+= mxmxmxy

đạt cực trị tại
x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
Giải: yêu cầu bài toán
0)45()2(2)('
2
=++−+=⇔ mxmxxy
có hai nghiệm phân
biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
3093)1('.1 −<⇔<+=−⇔ mmy
Bài 4:Tìm m để hàm số
)()3(4)3(
3
1
223
mmxmxmxy −+++++=
đạt cực trị tại
x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<<x2
Giải: yêu cầu bài toán
0)3(4)3(2)('
2
=++++=⇔ mxmxxy
có hai nghiệm phân
biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<x2
3
2
7
)3(1
072
032
2

1
0)1('.1
0'
2
−<<
−
⇔





+−<−
>+
>−+
⇔







<−
>−
>∆
⇔ m
m
m
mm

S
f
Bài 5: Tìm m để hàm số
)5()13()2(
3
1
2223
−++++−+= mxmxmmxy
đạt cực tiểu
tại x=2.
Giải:
*Điều kiện cần:
Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra
0)2(' =−f
ta có
13)2(2)('
222
+++−+= mxmmxxf
suy ra
3;1034
2
==⇔=−+− mmmm
*Điều kiện đủ:
Nếu m=3 thì
2012)2(''162)('' −=⇒>=−⇒+=
CT
xfxxf
Nếu m=1 thì
0)2(''42)('' =−⇒+= fxxf
nhưng lúc đó ta có

⇒∀≥+= xxxf 0)2()('
2
Hàm số không có cực trị
*Kết luận:m=3
Dạng 2:phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
Bài 1:Tìm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của
hàm số
863)(
23
+−−= xxxxf
Giải:
.Ta có
)22(3)('
2
−−= xxxf





+=
−=
⇔=−−=⇔=
312
311
022)(0)('
2
x
x
xxxgxf

suy ra hàm số
)(xfy =
đạt cực trị tại x1,x2
.Thực hiện phép chia
)(xf
cho
)(xg
ta có
)1(6)1)(()( −−−= xxxgxf
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nên





−=−−==
=−−==
36)12(6)2(2
36)11(6)1(1
xxfy

xxfy
.





−==
==
⇒





>=
<−=
⇒−=
36)2(
36)1(
036)2(''
036)1(''
)1(6)(''
xff
xff
xf
xf
xxf
cd
ct

.Phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT là
)1(6 −−= xy
Bài 2:Tìm m để hàm số
1)2(6)1(32)(
23
−−+−+= xmxmxxf
có đường thẳngđi qua
CĐ,CT song song với đường thẳng
baxy +=

Giải:
.Đạo hàm
)2)1((6)('
2
−+−+= mxmxxf

02)1()(0)('
2
=−+−+=⇔= mxmxxgxf
hàm số có CĐ,CT
0)(0)(' ==⇔ xhaygxf
có hai nghiệm phân biệt
30)3(
2
≠⇔>−=∆⇔ mm
g
.Thực hiện phép chia
)(xf
cho
)(xg

ta có
)33()3()]1(2)[()(
22
+−−−−−+= mmxmmxxgxf
Với
3≠m
thì
0)( =xg
có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại
x1,x2
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nên





+−−−−==
+−−−−==
)33(2)3()2(2
)33(1)3()1(1

22
22
mmxmxfy
mmxmxfy
suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là(
∆
):
)33()3(
22
+−−−−= mmxmy
ta có (
∆
) song song với đường



−±=
<
⇔



−±=−
<
⇔



−=−
<≠

⇔



=−−
≠
⇔+=
am
a
am
a
am
am
am
m
baxy
3
0
3
0
)3(
0,3
)3(
3
22
vậy nếu
0
≥
a
thì không tồn tại m;nếu a<0 thì

am −±= 3
Bài 3: Tìm m để hàm số
xmmxmxxf )21(6)1(32)(
23
−+−+=
có cực đại và cực
tiểu nằm trên đường thẳng
xy 4−=
Giải:
.Đạo hàm
))21()1((6)('
2
mmxmxxf −+−+=

0)21()1()(0)('
2
=−+−+=⇔= mmxmxxgxf
hàm số có CĐ,CT
0)(0)(' ==⇔ xhaygxf
có hai nghiệm phân biệt
3
1
0)13()21(4)1(
22
≠⇔>−=−−−=∆⇔ mmmmm
g
.Thực hiện phép chia
)(xf
cho
)(xg

ta có
)21)(1()13()]1(2)[()(
2
mmmxmmxxgxf −−+−−−+=
Với
3
1
≠m
thì
0)( =xg
có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại
x1,x2
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nên





−−+−−==
−−+−−==

)21)(1(2)13()2(2
)21)(1(1)13()1(1
2
2
mmmxmxfy
mmmxmxfy
suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là(
∆
):
)21)(1()13(
2
mmmxmy −−+−−=
Ta có CĐ,CT nằm trên đường thẳng
1
2
1
;1;0
213
0)21)(1(
4)13(
)4()(4
2
=⇔












∈
=−
⇔



=−−
−=−−
⇔−=≡∆⇔−= m
m
m
mmm
m
xyxy
Bài 4: Tìm m để hàm số
37)(
23
+++= xmxxxf
có đường thẳng đi qua cực đại và
cực tiểu vuông góc với đường thẳng
73 −= xy
Giải:
Hàm số có CĐ,CT
0)(' =⇔ xf
có hai nghiệm phân biệt
21021'

2
>⇔>−=∆⇔ mm
g
.Thực hiện phép chia
)(xf
cho
)(' xf
ta có
9
7
3]21[
9
2
]
9
1
3
1
)[(')(
2
m
xmmxxfxf −+−−+=
Với
21>m
thì
0)(' =xf
có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại
x1,x2
do




=
=
0)2('
0)1('
xf
xf
nên







−+−==
−+−==
9
7
32)21(
9
2
)2(2
9
7
31)21(
9
2
)1(1

2
2
m
xmxfy
m
xmxfy
suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là(
∆
):
9
7
3)21(
9
2
2
m
xmy −+−=
ta có (
∆
) vuông góc với đường thẳng
73 −= xy





−=−
>
⇔
13)21(

9
2
21
2
m
m
dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị
bài 1:Cho
1)2cos1(8)sin3(cos
3
2
)(
23
++−−+= xaxaaxxf
1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x1
2
+x2
2
18≤
Giải:
1.Xét phương trình:
0)2cos1(8)sin3(cos22)('
3
=+−−+= axaaxxf
Ta có
)2cos1(16)sin3(cos'
2
aaa ++−=∆

aaaa ∀≥+−=∆ 0cos32)sin3(cos'
22
Nếu
0'
=∆
thì



=
=
⇔



=−
=
0sin
0cos
0sin3cos
0cos
a
a
aa
a
⇒=⇒=+=⇒ 101sincos0
22
aa
vôlý
Từ đó suy ra

0)('0' =⇔∀>∆ xfa
có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực
trị tại x1,x2.
2.Theo định lý Viét ta có



+−=
−=+
)2cos1(421
cossin321
axx
aaxx
Suy ra x1
2
+x2
2
=(x1+x2)
2
-2x1x2=
aaaaaaa
222
cos17cossin6sin9)2cos1(8)cossin3( +−=++−
Khi đó BĐT:x1
2
+x2
2
⇔+≤+−⇔≤ )cos(sin18cos17cossin6sin918
2222
aaaaaa

2
)cossin3(0 aa +≤

luôn đúng
Bài 2: Cho
xmmxmxxf )24()1(
3
2
)(
223
+++++=
1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1.
3.Gọi các điểm cực trị là x1,x2.tìm max của A=
)21(221 xxxx +−
Giải:
Đạo hàm
34)1(22)('
22
+++++= mmxmxxf
1 5<m<-1
2.hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1
0)(' =⇔ xf
có hai nghiệm phân biệt
x1,x2 thỏa mãn
)23;5(
3
)23()23(
15
)23,23(

2
1
0)1('.1
0'
0)1('.2
211
211
+−−∈⇔












−<
+−≥∪−−≤
−<<−
+−−−∈
⇔

















<
>
>∆
<
⇔



<≤
<<
m
m
mm
m
m
S
f
f
xx

xx
3.Theo định lý viét ta có





++=
+−=+
)34(
2
1
21
)1(21
2
mmxx
mxx
Khi đó A=
2
9
9.
2
1
])4(9[
2
1
)1(2
2
34
)21(221

2
2
=≤+−=++
++
=+− mm
mm
xxxx
Với m=-4
)1;5( −−∈
thì Max A=
2
9