Cực trị hàm số (tt)

Chuyên đề
Giá trị cực trị của hàm số
Biên soạn: Thầy Bùi Anh Tuấn
Cộng tác viên truongtructuyen.vn
Nội dung

Tóm tắt lý thuyết

Ví dụ minh hoạ

Bài tập tự giải
Tóm tắt lý thuyết

Cho hàm số y = f(x), nếu x
0
là điểm cực trị của hàm số thì f(x
0
) gọi là giá
trị cực trị của hàm số và M(x
0
; f(x
0
)) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Đối với hàm bậc ba: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d có 2 điểm cực trị x
1
; x

2
. Để
tính giá trị cực trị của hàm số ta có thể thực hiện theo cách sau:
•
Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho f’(x)
•
f(x) = f’(x) (mx + n) + Ax + B (trong đó mx + n là thương của phép
chia và Ax + B là số dư của phép chia)
•
Vì f’(x
1
) = f’(x
2
) = 0 nên
-
f(x
1
) = Ax
1
+ B
-
f(x
2
) = Ax
2
+ B
Giá trị cực trị của hàm số

Đối với hàm hữu tỉ . Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x
0

với v’(x
0
) ≠ 0
thì

Vậy giá trị cực trị của hàm số là
u(x)
y
v(x)
=
0 0
0 0 0 0 0
0 0
u(x ) u'(x )
y'(x ) = 0 u'(x )v(x ) - u(x )v'(x ) = 0
v(x ) v'(x )
⇔ ⇔ =
0 0
0
0 0
u(x ) u'(x )
y(x )
v(x ) v '(x )
= =
Giá trị cực trị của hàm số
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 1
Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị hàm số
luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách 2 điểm cực trị không đổi.
Lời giải
2 2

x (2m 1)x m m 4
y
2(x m)
+ + + + +
=
+
1
2
2
2
1 2
1 2
1 2
x 2 m m
1 2
Ta có y ' 0 (x m) 4 0
2 x 2 m m
(x m)
Hàm s có 2 i m c c tr x = 2 - m và x = - 2 - m
2x 2m 1 2x 2m 1
5 3
y(x ) ;y(x )
2 2 2 2
V y th hàm s luôn có 2 i m c c tr
5
M 2 m; ;
2
= − ≠ −

= − = ⇔ + − = ⇔


= − − ≠ −
+

+ + + +
⇒ = = = = −
 
−
 ÷
 
è ® Ó ù Þ
Ë ®å Þ è ® Ó ù Þ
[ ]
2
2
3
N 2 m; và
2
5 3
MN (2 m) ( 2 m) 4 2 kh ng i
2 2
 
− − −
 ÷
 
 
 
= − − − − + − − =
 ÷
 

 
 
« ®æ
Giá trị cực trị của hàm số
Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 2
Cho hàm số . Giá trị nào của m để đồ thị hàm số có điểm
cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆:
x + 2y – 3 = 0.
Lời giải
Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ f(x) = mx
2
– 2x + m = 0 (*) có 2 nghiệm
phân biệt khác
2
x mx 2
y
mx 1
+ −
=
−
2
2
mx 2x m
Ta có: y'
(mx 1)
− +
=
−
' 2
m 0 m 0

m 0
1
0 1 m 0 1 m 1
m
1 m 1
1
m 0
f 0
m
m



≠ ≠

≠



 
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ − < <
  
  
≠ ±
 

 
− ≠
≠
 ÷



 

Giá trị cực trị của hàm số
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt)
Gọi (x
1
; y
1
) ; (x
2
; y
2
) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nên:
Tọa độ hai điểm cực trị (x
1
; y
1
) ; (x
2
; y
2
) thỏa mãn phương trình:
Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là
{ }
m ( 1;1) \ 0⇔ ∈ −
1
1 1 1
2

2 2 2
2x 2m
2
y y(x ) x 2
m m
2x 2m
2
y y(x ) x 2
m m
+
= = = +
+
= = = +
2
y x 2
m
= +
Giá trị cực trị của hàm số
2
y x 2
m
= +