Tài liệu Bài tập nguyên hàm tích phân nâng cao doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (704.27 KB, 23 trang )
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
ĐS. F(x) =
Cx
xx
ln
2
3
3
23
2. f(x) =
2
4
32
x
x
ĐS. F(x) =
C
x
x
3
3
2
3
. f(x) =
2
1
x
x
ĐS. F(x) = lnx +
x
1
+ C
4. f(x) =
2
22
)1(
x
x
ĐS. F(x) =
C
x
x
x
1
2
3
3
5. f(x) =
4
3
xxx
ĐS. F(x) =
C
xxx
5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3
6. f(x) =
3
21
xx
ĐS. F(x) =
Cxx
3
2
32
7. f(x) =
x
x
2
)1(
ĐS. F(x) =
Cxxx ln4
8. f(x) =
3
1
x
x
ĐS. F(x) =
Cxx
3
2
3
5
9. f(x) =
2
sin2
2
x
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan
2
x ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos
2
x ĐS. F(x) =
Cxx 2sin
4
1
2
1
12. f(x) = (tanx – cotx)
2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =
Cx 3cos
3
1
16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx cos5cos
5
1
17. f(x) = e
x
(e
x
– 1) ĐS. F(x) =
Cee
xx
2
2
1
18. f(x) = e
x
(2 +
)
cos
2
x
e
x
ĐS. F(x) = 2e
x
+ tanx + C
19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
ĐS. F(x) =
C
a
a
xx
3ln
3
ln
2
20. f(x) = e
3x+1
ĐS. F(x) =
Ce
x
13
3
1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x
2
+ x + 3
2. f’(x) = 2 – x
2
và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) =
1
3
2
3
x
x
3. f’(x) = 4
xx
và f(4) = 0 ĐS. f(x) =
3
40
23
8
2
xxx
4. f’(x) = x -
2
1
2
x
và f(1) = 2 ĐS. f(x) =
2
3
2
1
2
2
x
x
x
5. f’(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x
4
– x
3
+ 2x + 3
6. f’(x) = ax +
2)1(,4)1(,0)1(',
2
fff
x
b
ĐS. f(x) =
2
51
2
2
x
x
II. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phƣơng pháp đổi biến số.
Tính I =
dxxuxuf )(')].([
bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)
dxxudt )('
I =
dttfdxxuxuf )()(')].([
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
dxx )15(
2.
5
)23( x
dx
3.
dxx
25
4.
12x
dx
5.
xdxx
72
)12(
6.
dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1
2
8.
dx
x
x
5
2
9.
dx
x
x
3
2
25
3
10.
2
)1( xx
dx
11.
dx
x
x
3
ln
12.
dxex
x 1
2
.
13.
xdxxcossin
4
14.
dx
x
x
5
cos
sin
15.
gxdxcot
16.
x
tgxdx
2
cos
17.
x
dx
sin
18.
x
dx
cos
19.
tgxdx
20.
dx
x
e
x
21.
3
x
x
e
dxe
22.
dx
x
e
tgx
2
cos
23.
dxx .1
2
24.
2
4 x
dx
25.
dxxx .1
22
26.
2
1 x
dx
27.
2
2
1 x
dxx
28.
1
2
xx
dx
29.
xdxx
23
sincos
30.
dxxx .1
31.
1
x
e
dx
32.
dxxx .1
23
2. Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay
vduuvudv
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
xdxx sin.
2.
xdxxcos
3.
xdxx sin)5(
2
4
xdxxx cos)32(
2
5.
xdxx 2sin
6.
xdxx 2cos
7.
dxex
x
.
8.
xdxln
9.
xdxxln
10.
dxx
2
ln
11.
x
xdxln
12.
dxe
x
13.
dx
x
x
2
cos
14.
xdxxtg
2
15.
dxxsin
16.
dxx )1ln(
2
17.
xdxe
x
cos.
18.
dxex
x
2
3
19.
dxxx )1ln(
2
20.
xdx
x
2
21.
xdxxlg
22.
dxxx )1ln(2
23.
dx
x
x
2
)1ln(
24.
xdxx 2cos
2
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx
2.
2
2
1
11
()
e
x x dx
xx
2.
3
1
2x dx
3.
2
1
1x dx
4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
5.
1
0
()
x
e x dx
6.
1
3
0
()x x x dx
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx
8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx
10.
2
2
3
1
()x x x x dx
11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx
12.
3
3
1
x 1 dx( ).
13.
2
2
2
-1
x.dx
x
14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x
15.
x2
5
2
dx
x2
16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
17.
2
3
3
6
x dx
x
cos .
sin
18.
4
2
0
tgx dx
x
.
cos
19.
1
xx
xx
0
ee
ee
dx
20.
1
x
xx
0
e dx
ee
.
21.
2
2
1
dx
4x 8x
22.
3
xx
0
dx
ee
ln
.
22.
2
0
dx
1xsin
24.
1
1
2
)12( dxxx
25.
2
0
3
)
3
2
2( dxxx
26.
2
2
)3( dxxx
27.
4
3
2
)4( dxx
28.
dx
xx
2
1
32
11
29.
2
1
3
2
2
dx
x
xx
30.
e
e
x
dx
1
1
31.
16
1
.dxx
32.
dx
x
xx
e
2
1
752
33.
dx
x
x
8
1
3
2
3
1
4
II. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
32
3
sin xcos xdx
2.
2
23
3
sin xcos xdx
3.
2
0
sin
13
x
dx
cosx
3.
4
0
tgxdx
4.
4
6
cot gxdx
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
6.
1
2
0
1x x dx
7.
1
2
0
1x x dx
8.
1
32
0
1x x dx
9.
1
2
3
0
1
x
dx
x
10.
1
32
0
1x x dx
11.
2
3
1
1
1
dx
xx
12.
1
2
0
1
1
dx
x
13.
1
2
1
1
22
dx
xx
14.
1
2
0
1
1
dx
x
15.
1
22
0
1
(1 3 )
dx
x
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
17.
2
4
sin
cosx
e xdx
18.
2
1
2
0
x
e xdx
19.
2
32
3
sin xcos xdx
20.
2
sin
4
x
e cosxdx
21.
2
4
sin
cosx
e xdx
22.
2
1
2
0
x
e xdx
23.
2
32
3
sin xcos xdx
24.
2
23
3
sin xcos xdx
25.
2
0
sin
13
x
dx
cosx
26.
4
0
tgxdx
27.
4
6
cot gxdx
28.
6
0
1 4sin xcosxdx
29.
1
2
0
1x x dx
30.
1
2
0
1x x dx
31.
1
32
0
1x x dx
32.
1
2
3
0
1
x
dx
x
33.
1
32
0
1x x dx
34.
2
3
1
1
1
dx
xx
35.
1
1 ln
e
x
dx
x
36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
37.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x
38.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
xx
40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x
41.
2
1
11
x
dx
x
42.
1
0
21
x
dx
x
43.
1
0
1x x dx
44.
1
0
1
1
dx
xx
45.
1
0
1
1
dx
xx
46.
3
1
1x
dx
x
46.
1
1 ln
e
x
dx
x
47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
48.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x
49.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
50.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
xx
51.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x
52.
1
23
0
5
x x dx
53.
2
4
0
sin 1 cos
x xdx
54.
4
2
0
4 x dx
55.
4
2
0
4 x dx
56.
1
2
0
1
dx
x
57.
dxe
x
0
1
32
58.
1
0
dxe
x
59.
1
3
0
x
dx
(2x 1)
60.
1
0
x
dx
2x 1
61.
1
0
x 1 xdx
62.
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
63.
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
64.
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1
65.
6
66
0
(sin x cos x)dx
66.
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
67.
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
68.
2
4
0
cos 2xdx
69.
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx
70.
1
x
0
1
dx
e1
.
71.
dxxx )sin(cos
4
0
44
72.
4
0
2sin21
2cos
dx
x
x
73.
2
0
13cos2
3sin
dx
x
x
74.
2
0
sin25
cos
dx
x
x
75.
0
2
2
32
22
dx
xx
x
76.
1
1
2
52xx
dx
77.
2
32
0
cos xsin xdx
78.
2
5
0
cos xdx
79.
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
80.
1
32
0
x 1 x dx
81.
2
23
0
sin2x(1 sin x) dx
82.
4
4
0
1
dx
cos x
83.
e
1
1 lnx
dx
x
84.
4
0
1
dx
cosx
85.
e
2
1
1 ln x
dx
x
86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
87.
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
88.
3
4
0
tg x
dx
cos2x
89.
4
0
cos sin
3 sin2
xx
dx
x
90.
2
0
22
sin4cos
2sin
dx
xx
x
91.
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
92.
2
0
2
)sin2(
2sin
dx
x
x
93.
3
4
2sin
)ln(
dx
x
tgx
94.
4
0
8
)1(
dxxtg
95.
2
4
2sin1
cossin
dx
x
xx
96.
2
0
cos31
sin2sin
dx
x
xx
97.
2
0
cos1
cos2sin
dx
x
xx
98.
2
0
sin
cos)cos(
xdxxe
x
99.
2
1
11
dx
x
x
100.
e
dx
x
xx
1
lnln31
101.
4
0
2
2sin1
sin21
dx
x
x
102.
1
2
0
1 x dx
103.
1
2
0
1
dx
1x
104.
1
2
0
1
dx
4x
105.
1
2
0
1
dx
x x 1
106.
1
42
0
x
dx
x x 1
107.
2
0
1
1 cos sin
dx
xx
108.
2
2
2
2
0
x
dx
1x
109.
2
22
1
x 4 x dx
110.
2
3
2
2
1
dx
x x 1
101.
3
2
2
1
9 3x
dx
x
112.
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
113.
2
2
2
3
1
1
dx
xx
114.
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
115.
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
116.
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
117.
0
1
2
22xx
dx
118.
1
0
311 x
dx
119.
2
1
5
1
dx
x
xx
120.
8
2
3
1
1
dx
xx
121.
7
3
3
2
0
1
x
dx
x
122.
3
52
0
1x x dx
123.
ln2
x
0
1
dx
e2
124.
7
3
3
0
1
31
x
dx
x
125.
2
23
0
1x x dx
126.
32
5
2
4xx
dx
II. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
bb
b
a
aa
x d u x v x v x u x dx
Tch phân cc hm s d pht hin u v dv
@ Dng 1
sin
()
ax
ax
f x cosax dx
e
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ee
@ Dng 2:
( )ln( )f x ax dx
Đặt
ln( )
()
()
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx
@ Dng 3:
sin
.
ax
ax
e dx
cosax
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1
2
2
0
( 1)
x
xe
dx
x
đă
̣
t
2
2
( 1)
x
u x e
dx
dv
x
b/
3
8
43
2
( 1)
x dx
x
đă
̣
t
5
3
43
( 1)
ux
x dx
dv
x
c/
1 1 1 1
2 2 2
12
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
Tính I
1
1
2
0
1
dx
x
bằng phương pha
́
p đô
̉
i biến số
Tính I
2
=
1
2
22
0
(1 )
x dx
x
bằng phương pha
́
p tư
̀
ng phần : đă
̣
t
22
(1 )
ux
x
dv dx
x
Bài tập
1.
3
3
1
ln
e
x
dx
x
2.
1
ln
e
x xdx
3.
1
2
0
ln( 1)x x dx
4.
2
1
ln
e
x xdx
5.
3
3
1
ln
e
x
dx
x
6.
1
ln
e
x xdx
7.
1
2
0
ln( 1)x x dx
8.
2
1
ln
e
x xdx
9.
2
0
( osx)sinxx c dx
10.
1
1
( )ln
e
x xdx
x
11.
2
2
1
ln( )x x dx
12.
3
2
4
tanx xdx
13.
2
5
1
ln x
dx
x
14.
2
0
cosx xdx
15.
1
0
x
xe dx
16.
2
0
cos
x
e xdx
Tính các tích phân sau
1)
1
0
3
. dxex
x
2)
2
0
cos)1(
xdxx
3)
6
0
3sin)2(
xdxx
4)
2
0
2sin.
xdxx
5)
e
xdxx
1
ln
6)
e
dxxx
1
2
.ln).1(
7)
3
1
.ln.4 dxxx
8)
1
0
2
).3ln(. dxxx
9)
2
1
2
.).1( dxex
x
10)
0
.cos. dxxx
11)
2
0
2
.cos.
dxxx
12)
2
0
2
.sin).2(
dxxxx
13)
2
5
1
lnx
dx
x
14)
2
2
0
xcos xdx
15)
1
x
0
e sinxdx
16)
2
0
sin xdx
17)
e
2
1
xln xdx
18)
3
2
0
x sinx
dx
cos x
19)
2
0
xsinxcos xdx
20)
4
2
0
x(2cos x 1)dx
21)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
22)
1
2 2x
0
(x 1) e dx
23)
e
2
1
(xlnx) dx
24)
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
25)
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x
26)
1
2
0
xtg xdx
27)
1
0
2
)2( dxex
x
28)
1
0
2
)1ln( dxxx
29)
e
dx
x
x
1
ln
30)
2
0
3
sin)cos(
xdxxx
31)
2
0
)1ln()72( dxxx
32)
3
2
2
)ln( dxxx
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1.
5
3
2
23
12
dx
xx
x
2.
b
a
dx
bxax ))((
1
3.
1
0
3
1
1
dx
x
xx
4.
dx
x
xx
1
0
2
3
1
1
5.
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
6.
1
0
22
)3()2(
1
dx
xx
7.
2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
8.
0
1
2
23
23
9962
dx
xx
xxx
9.
3
2
22
4
)1(
dx
x
x
10.
1
0
2
32
)1(
dx
x
x
n
n
11.
2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
12.
2
1
4
)1(
1
dx
xx
13.
2
0
2
4
1
dx
x
14.
1
0
4
1
dx
x
x
15.
dx
xx
2
0
2
22
1
16.
1
0
32
)1(
dx
x
x
17.
4
2
23
2
1
dx
xxx
18.
3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
19.
2
1
4
2
1
1
dx
x
x
20.
1
0
3
1
1
dx
x
21.
1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
22.
1
0
2
4
1
2
dx
x
x
23.
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
24.
1
2
0
4 11
56
x
dx
xx
25.
1
2
0
1
dx
xx
26.
3
2
1
2
dx
x
x
27.
dx
x
x
1
0
3
1
22
28.
0
1
12
12
2
dxx
x
x
29.
dxx
x
x
2
0
1
2
13
30.
dx
x
xx
1
0
2
3
32
31.
dxx
x
xx
0
1
2
12
1
1
32.
dxx
x
xx
1
0
2
1
1
22
33.
1
0
2
34xx
dx
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC:
1.
xdxx
4
2
0
2
cossin
2.
2
0
32
cossin
xdxx
3.
dxxx
2
0
54
cossin
4.
2
0
33
)cos(sin
dxx
5.
2
0
44
)cos(sin2cos
dxxxx
6.
2
0
22
)coscossinsin2(
dxxxxx
7.
2
3
sin
1
dx
x
8.
2
0
441010
)sincoscos(sin
dxxxxx
9.
2
0
cos2
x
dx
10.
2
0
sin2
1
dx
x
11.
2
0
2
3
cos1
sin
dx
x
x
12.
3
6
4
cos.sin
xx
dx
13.
4
0
22
coscossin2sin
xxxx
dx
14.
2
0
cos1
cos
dx
x
x
15.
2
0
cos2
cos
dx
x
x
16.
2
0
sin2
sin
dx
x
x
17.
2
0
3
cos1
cos
dx
x
x
18.
2
0
1cossin
1
dx
xx
19.
2
3
2
)cos1(
cos
x
xdx
20.
2
2
3cos2sin
1cossin
dx
xx
xx
21.
4
0
3
xdxtg
22.
dxxg
4
6
3
cot
23.
3
4
4
xdxtg
24.
4
0
1
1
dx
tgx
25.
4
0
)
4
cos(cos
xx
dx
26.
2
0
5cos5sin4
6cos7sin
dx
xx
xx
27.
2
0
sin1 dxx
28.
4
0
13cos3sin2
xx
dx
29.
4
0
4
3
cos1
sin4
dx
x
x
30.
2
0
cossin
2sin2cos1
dx
xx
xx
31.
2
0
cos1
3sin
dx
x
x
32.
2
4
sin2sin
xx
dx
33.
4
0
2
3
cos
sin
dx
x
x
34.
2
0
32
)sin1(2sin
dxxx
35.
0
sincos dxxx
36.
3
4
3
3
3
sin
sinsin
dx
xtgx
xx
37.
2
0
cossin1
xx
dx
38.
2
0
1sin2
x
dx
39.
2
4
53
sincos
xdxx
40.
4
0
2
cos1
4sin
x
xdx
41.
2
0
3sin5
x
dx
2.
6
6
4
cossin
xx
dx
43.
3
6
)
6
sin(sin
xx
dx
4.
3
4
)
4
cos(sin
xx
dx
45.
3
4
6
2
cos
sin
x
xdx
46.
dxxtgxtg )
6
(
3
6
47.
3
0
3
)cos(sin
sin4
xx
xdx
48.
0
2
2
)sin2(
2sin
x
x
49.
2
0
3
sin
dxx
50.
2
0
2
cos
xdxx
51.
2
0
12
.2sin
dxex
x
52.
dxe
x
x
x
2
0
cos1
sin1
53.
4
6
2cot
4sin3sin
dx
xgtgx
xx
54.
2
0
2
6sin5sin
2sin
xx
xdx
55.
2
1
)cos(ln dxx
56.
3
6
2
cos
)ln(sin
dx
x
x
57.
dxxx
2
0
2
cos)12(
58.
0
2
cossin xdxxx
59.
4
0
2
xdxxtg
60.
0
22
sin xdxe
x
61.
2
0
3sin
cossin
2
xdxxe
x
62.
4
0
)1ln(
dxtgx
63.
4
0
2
)cos2(sin
xx
dx
64.
2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(
dx
xx
xx
65.
2
2
sin 2 sin7
x xdx
66.
2
44
0
cos (sin cos )
x x x dx
67.
2
3
0
4sin
1 cos
x
dx
x
68.
2
2
3cos.5cos
xdxx
69.
2
2
2sin.7sin
xdxx
70.
4
0
cos
2
sin
xdx
x
71.
4
0
2
sin
xdx
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
b
a
dxxfxR ))(,(
Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
+) R(x,
xa
xa
) §Æt x = a cos2t, t
]
2
;0[
+) R(x,
22
xa
) §Æt x =
ta sin
hoÆc x =
ta cos
+) R(x,
n
dcx
bax
) §Æt t =
n
dcx
bax
+) R(x, f(x)) =
xxbax
2
)(
1
Víi
(
xx
2
)’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t =
xx
2
, hoÆc ®Æt t =
bax
1
+) R(x,
22
xa
) §Æt x =
tgta
, t
]
2
;
2
[
+) R(x,
22
ax
) §Æt x =
x
a
cos
, t
}
2
{\];0[
+) R
1 2 i
n n n
x x x; ; ;
Gäi k = BCNH(n
1
; n
2
; ;
n
i
)
§Æt x = t
k
1.
32
5
2
4xx
dx
2.
2
3
2
2
1xx
dx
3.
2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
4.
2
1
3
1xx
dx
5.
2
1
2
2008dxx
6.
2
1
2
2008x
dx
7.
1
0
22
1 dxxx
8.
1
0
32
)1( dxx
9.
3
1
22
2
1
1
dx
xx
x
10.
2
2
0
1
1
dx
x
x
11.
1
0
32
)1( x
dx
12.
2
2
0
32
)1( x
dx
13.
1
0
2
1 dxx
14.
2
2
0
2
2
1 x
dxx
15.
2
0
2cos7
cos
x
xdx
16.
2
0
2
coscossin
dxxxx
17.
2
0
2
cos2
cos
x
xdx
18.
2
0
cos31
sin2sin
dx
x
xx
19.
7
0
3
2
3
1 x
dxx
20.
3
0
23
10 dxxx
21.
1
0
12x
xdx
22.
1
0
2
3
1xx
dxx
23.
7
2
112x
dx
24.
dxxx
1
0
815
31
25.
2
0
5
6
3
cossincos1
xdxxx
26.
3ln
0
1
x
e
dx
27.
1
1
2
11 xx
dx
28.
2ln
0
2
1
x
x
e
dxe
29.
1
4
5
2
8412 dxxx
30.
e
dx
x
xx
1
lnln31
31.
3
0
2
35
1
dx
x
xx
32.
dxxxx
4
0
23
2
33.
0
1
3
2
)1( dxxex
x
34.
3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x
35.
3
0
2
2
cos
32
cos
2cos
dx
x
tgx
x
x
36.
2ln
0
3
)1(
x
x
e
dxe
37.
3
0
2cos2
cos
x
xdx
38.
2
0
2
cos1
cos
x
xdx
39.
dx
x
x
7
0
3
3
2
40.
a
dxax
2
0
22
VI. MT S TCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi
đó:
aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3
] thỏa mãn
f(x) + f(-x) =
x2cos22
,
Tính:
2
3
2
3
)(
dxxf
+) Tính
1
1
2
4
1
sin
dx
x
xx
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a],
khi đó:
a
a
dxxf )(
= 0.
Ví dụ: Tính:
1
1
2
)1ln( dxxx
2
2
2
)1ln(cos
dxxxx
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a,
a], khi đó:
a
a
dxxf )(
= 2
a
dxxf
0
)(
Ví dụ: Tính
1
1
24
1xx
dxx
2
2
2
cos
4 sin
xx
dx
x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a,
a], khi đó:
aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1
b>0,
a)
Ví dụ: Tính:
3
3
2
21
1
dx
x
x
2
2
1
5cos3sinsin
dx
e
xxx
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
], thì
2
0
2
0
)(cos)(sin
dxxfxf
Ví dụ: Tính
2
0
20092009
2009
cossin
sin
dx
xx
x
2
0
cossin
sin
dx
xx
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:
00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf
Ví dụ: Tính
0
sin1
dx
x
x
0
cos2
sin
dx
x
xx
Bài toán 6:
b
a
b
a
dxxfdxxbaf )()(
bb
dxxfdxxbf
00
)()(
Ví dụ: Tính
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
4
0
)1ln(4sin
dxtgxx
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu
kì T thì:
TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(
TnT
dxxfndxxf
00
)()(
Ví dụ: Tính
2008
0
2cos1 dxx
Các bài tập áp dụng:
1.
1
1
2
21
1
dx
x
x
2.
4
4
4
357
cos
1
dx
x
xxxx
3.
1
1
2
)1)(1( xe
dx
x
4.
2
2
2
sin4
cos
dx
x
xx
5.
2
1
2
1
)
1
1
ln(2cos dx
x
x
x
6.
dxnx)xsin(sin
2
0
7.
2
2
5
cos1
sin
dx
x
x
8.
1
)1(1
cot
1
2
1
2
ga
e
tga
e
xx
dx
x
xdx
(tga>0)
VII. TCH PHN HM GI TR TUYT I:
1.
3
3
2
1dxx
2.
2
0
2
34 dxxx
3.
1
0
dxmxx
4.
2
2
sin
dxx
5.
dxxsin1
6.
3
6
22
2cot
dxxgxtg
7.
4
3
4
2sin
dxx
8.
2
0
cos1 dxx
9.
5
2
)22( dxxx
10.
3
0
42 dx
x
11.
3
2
3
coscoscos
dxxxx
12. 2)
4
2
1
x 3x 2dx
13.
5
3
( x 2 x 2)dx
14.
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
15.
3
x
0
2 4dx
16.
0
1 cos2xdx
17.
2
0
1 sinxdx
18.
dxxx
2
0
2
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x
-1
, trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 1
b/ Đồ thị hàm số y = e
x
+1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x
3
- 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x
-1
, trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 1
b/ Đồ thị hàm số y = e
x
+1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x
3
- 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Bµi 1: Cho (p) : y = x
2
+ 1 vµ ®-êng th¼ng (d): y = mx +
2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®-êng
trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt
Bµi 2: Cho y = x
4
- 4x
2
+m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi
h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa
d-íi 0x b»ng nhau
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng
giới hạn bởi
0
1
3
y
xo
xx
y
Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y
2
=2x chia hình phẳng giới bởi x
2
+y
2
= 8 thành
hai phần.Tính diện tích mỗi phần
Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
4
2
4
22
1
1
32
a
axa
y
a
aaxx
y
Tìm a để diện tích lớn nhất
Bài 6: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng sau:
1) (H
1
):
2
2
x
y4
4
x
y
42
2) (H
2
) :
2
y x 4x 3
y x 3
3) (H
3
):
3x 1
y
x1
y0
x0
4) (H
4
):
2
2
yx
xy
5) (H
5
):
2
yx
y 2 x
6) (H
6
):
2
y x 5 0
x y 3 0
7) (H
7
):
lnx
y
2x
y0
xe
x1
8) (H
8
) :
2
2
y x 2x
y x 4x
9) (H
9
):
2
33
y x x
22
yx
10) (H
10
):
2
y 2y x 0
x y 0
11)
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
12)
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x
13)
1
12
2
xy
xy
14)
03
4
2
2
yx
xy
15)
0
02
y
yx
xy
16
2
2
1
1
2
x
y
x
y
17
3,0,
2
2
yyxy
xy
18)
ex
e
x
yxy
,
1
0,ln
19.
3
;
6
cos
1
;
sin
1
22
xx
x
y
x
y
20): y = 4x x
2
; (p) và tiếp
tuyến của (p) đi qua M(5/6,6)
21)
114
42
54
2
xy
xy
xxy
22)
153
34
56
2
2
xy
xxy
xxy
23)
ex
y
x
y
xy
0
1
24)
5//
/1/
2
xy
xy
25)
xy
xy
2
3
26)
0
2//3
2
y
xxy
27)
xy
xy
4
2
2
28)
1
54
22
2
2
y
xxy
xxy
29)
7
/1/
2
2
xy
xy
30)
1;2
0
3
xx
y
xy
31)
xx
y
xxy
;0
3
cos2sin
32)
0
2
3
y
x
xy
33)
2
2
2
xy
xxy
34)
4;0
63
22
2
2
xx
xxy
xxy
35)
6
/65/
2
y
xxy
36)
2
12
2
2
2
y
xxy
xy
37)
2
/23/
2
y
xxy
38)
1
/65/
2
xy
xxy
39)
2
2
/23/
xy
xxy
40)
3
/34/
2
y
xxy
41)
1x
ey
ey
x
Ï
42)
1;0
62
2
xx
xx
x
y
43)
//
/sin/
xy
xy
44)
8
44
2
2
2
y
xxy
xy
45)
0
0122
2
2
y
yx
xy
46)
0
)(
2222
a
xaxy
47)
yx
xy
sin
)1(
2
48)
2
/1/
2
x
xy
49)
2
/1/
2
x
yx
32)
0
sin
)1(
2
x
xy
yx
33)
24
4
4
2
2
x
y
x
y
34)
0;
1
2
1
;0
4
y
x
x
y
x
x
35)
xyx
y
y
x
3;0
0
5
2
36)
16
6
22
2
yx
xy
37)
x
y
x
y
xy
27
27
2
2
38)
xy
xy
4
)4(
2
32
39)
10,
10
1
0
/log/
xx
y
xy
40)
2
2
xay
yax
(a>0) 41)
x
xxy
xy
0
sin
2
42)
22
2
)1(827
2
xy
xy
43)
x
2
/25+y
2
/9 = 1 vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x
2
vµ ®iÓm A(2;5) ®-êng th¼ng (d) ®i qua
A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi
h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt
45)
0
342
23
y
xxxy
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Công thức:
a
b
0y
)(:)( xfyC
b
ax
bx
x
y
O
b
a
x
y
0x
O
)(:)( yfxC
by
ay
dxxfV
b
a
2
)(
dyyfV
b
a
2
)(
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x
2
+ x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
y x;y 2 x;y 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường :
2
y (x 2)
và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường :
22
4 ; 2y x y x
.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
2
2
1
;
12
x
yy
x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x
2
và y = 2x + 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y
2
= 4x và y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y =
22
1
.
x
ex
; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x
)1ln(
3
x
; y = 0 ; x = 1
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
1)
4
)2(
2
y
xy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
2)
4
4,
22
y
xyxy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
3)
1,0,0
1
1
2
xxy
x
y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4)
0
2
2
y
xxy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
5)
exx
y
xxy
;1
0
ln.
quay quanh trôc a) 0x;
6) (D)
1
103
)0(
2
y
xy
xxy
quay quanh trôc a) 0x; ( H)
n»m ngoµi y = x
2
7)
xy
xy
2
quay quanh trôc a) 0x;
8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)
2
+ y
2
= 1 quay quanh
trôc a) 0x; b) 0y
9) MiÒn trong (E):
1
49
22
yx
quay
quanh trôc a) 0x; b) 0y
10)
10;,1
0
xx
y
xey
Ï
quay quanh trôc 0x;
11)
xx
y
xxy
;
2
0
sincos
44
quay quanh trôc 0x;
12)
xy
xy
310
2
quay quanh trôc 0x;
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc
a) 0x; b) 0y
14)
2;0
4
4
xx
x
y
quay quanh trôc 0x;
15)
0;0
2
1
yx
y
xy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
