Phân tích dầm tựa đơn chịu vật thể chuyển động xét đến biến dạng nền và móng

I H C QU C GIA TP. H CHÍ MINH
TR
NG
I H C BÁCH KHOA
------o0o------

PH M ÀM S N TÙNG

PHÂN TÍCH D M T A
NG XÉT

N CH U V T TH CHUY N

N BI N D NG N N VÀ MÓNG

Chuyên ngành: XÂY D NG C U H M
Mã ngành:

60 58 25

LU N V N TH C S

Thành ph H Chí Minh, tháng 8 n m 2014


Cơng trình

c hồn thành t i: Tr

Cán b h

ng d n khoa h c: PGS.TS.

ng

i h c Bách Khoa - HQG - HCM

KI N QU C

Cán b ch m nh n xét 1: TS. PH M QUANG NH T

Cán b ch m nh n xét 2: TS. L

Lu n v n th c s

c b o v t i Tr

NG V N H I

ng

i h c Bách Khoa, HQG Tp. HCM

Ngày 30 tháng 8 n m 2014.

Thành ph n H i

ng ánh giá lu n v n th c s g m:

1. PGS.TS. LÊ TH BÍCH TH Y
2. TS. NGUY N DANH TH NG

3. TS. PH M QUANG NH T
4. TS. L
5. PGS.TS.

NG V N H I
KI N QU C

Xác nh n c a Ch t ch H i

ng ánh giá lu n v n và Tr

ngành sau khi lu n v n ã

c s a ch a.

CH T CH H I

NG

PGS.TS. LÊ TH BÍCH TH Y

ng Khoa qu n lý chuyên

TR
NG KHOA
K THU T XÂY D NG


TR

I H C QU C GIA TP. HCM
NG
I H C BÁCH KHOA

C NG HÒA XÃ H I CH NGH A VI T NAM
c l p - T do - H nh phúc

NHI M V LU N V N TH C S
H và tên h c viên: PH M

ÀM S N TÙNG

MSHV: 11380348

Ngày, tháng, n m sinh: 27-02-1987

N i sinh: TP.HCM

Chuyên ngành: Xây d ng C u h m

Mã s : 60 58 25

I. TÊN
XÉT

TÀI: PHÂN TÍCH D M T A

N CH U V T TH CHUY N

NG

N BI N D NG N N VÀ MÓNG.

II. NHI M V VÀ N I DUNG: Lu n v n g m các n i dung sau:
Ch

ng 1: T ng quan.

Ch

ng 2: C s lý thuy t.

Ch

ng 3: Thi t l p công th c.

Ch

ng 4: Ví d s .

Ch

ng 5: K t lu n, ki n ngh .

III. NGÀY GIAO NHI M V : 20/01/2014
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHI M V : 20/6/2014
V. CÁN B

H

NG D N: PGS.TS.

KI N QU C
Tp. HCM, ngày ….. tháng ….. n m 2014

CÁN B

PGS.TS.

H

NG D N

KI N QU C
TR

CH NHI M B

MÔN ÀO T O

TS. LÊ BÁ KHÁNH

NG KHOA K THU T XÂY D NG


L IC M

N

Trong th i gian hoàn thành lu n v n này r t chân thành c m n PGS. TS

Ki n Qu c là ng

i ã t n tình ch b o và

tr ng, ánh giá và cho nh n xét sâu s c
Xin c m n s giúp

c a

Cu i cùng xin c m n s
ng l c r t l n v m t tinh th n

hồn thành

ng nghi p

tơi ang làm vi c, ã h tr m i m t

a ra nh ng ý ki n óng góp quan
tài này.

S Giao thơng v n t i TP.HCM, n i

tơi có th hồn thành t t

tài này.

ng h c a ba, m cùng gia ình c a tơi ó là m t
tơi có th hồn thành lu n v n này.

TĨM T T
Tên

tài: PHÂN TÍCH D M T A

NG XÉT

l

ng c a d m t a

n ch u v t th chuy n

n bi n d ng c a n n và móng. V t th mang kh i l

d m

CHUY N

N BI N D NG N N VÀ MÓNG.

Lu n v n phân tích ng x
xét

N CH U V T TH

c mơ hình g m m t kh i l

ng chuy n

ng

ng trên

ng và m t lò xo liên k t gi a d m v i kh i

ng. Tính bi n d ng c a n n và móng

c mơ hình b i g i àn h i. Khi v t di

chuy n d c theo chi u dài d m, ngoài tr ng l c c a v t th cịn có l c qn tính tác
d ng vào d m. Do d m t a trên g i àn h i nên chuy n v c a d m g m có chuy n
v u n c a d m và chuy n v c a g i t a àn h i.
ng,
và d m

c ng c a d m,
n ph n ng

c ng c a g i àn h i,
ng c a d m

c kh o sát.

nh h

ng c a v n t c chuy n

c ng liên k t gi a kh i l

ng


Thesis title: “Analysis of simple beam subjected a moving ocsillator with
considering deformation of foundation”.
In this thesis, a simple beam subjectec a moving oscillator is analyzed with
considering deformation of foundation. Deformation of foundation is modeled on
effects of boundary flexibility. Since a moving oscillator moves along the deflected
curve of beam, effects of inertial force are considered with gravitation force.
Because of flexible boundary, components of beam displacement are bending beam
and flexible boundary. The effects of velocity of moving oscillator, stiffness of
beam, stiffness of foundation, stiffness of moving oscillator on response of beam
are discussed.


1

M CL C
DANH M C CÁC HÌNH
NG QUAN ................................................................................... 5
tv

. ........................................................................................................ 5

1.2. M c tiêu nghiên c u c a Lu

................................................................. 6

1.3. Nhi m v c a Lu

................................................................................... 6

1.4. C u trúc c a Lu

..................................................................................... 6

1.5. Tình hình nghiên c u........................................................................................ 7
1.5.1. Tình hình nghiên c u trên th gi i. ............................................................... 7
1.5.2. Tình hình nghiên c

c. ................................................................. 9

LÝ THUY T...................................................................... 11
n t h u h n gi

ng c a d m ch u

u n. ........................................................................................................................ 11
2.1.1. Nguyên lý công kh

................................................................................ 11

2.1.2. Hàm n i suy c a ph n t d m ch u u n. ..................................................... 11
2.

ng c a ph n t d m ch u u n. ..................................... 13

2.1.4. Ghép n i ma tr n thành ma tr n t ng th . ................................................... 19
u ki n biên. ............................................................................................ 23

ng c
c u

ng l c h c k t

.............................................................................. 24
........................................................................... 24

2.2.2. Phân lo

g pháp s . .................................................................... 25
gi i h

ng. .................. 26


2

2.3. Gi i thi u các mơ hình tính tốn d m ch u tác d ng c a t i tr

ng. .. 29

T L P CÔNG TH C ............................................................ 33
3.1. Mơ hình. ......................................................................................................... 33
3.2. Thi t l p cơng th

ng c a ph n t d m khi có kh

ng di chuy n

trên d m. ................................................................................................................ 34
3.3. Thi t l

ng c a toàn k t c u. ........................................ 41
i. ........................................................................................... 42

3.5. Thu t toán gi

ng c a d m t

và móng khi ch u h kh

n bi n d ng c a n n

ng di chuy n trên d m. ........................................... 42

3.6. Gi i pháp th c hi n. ....................................................................................... 47
S . ...................................................................................... 48
4.1. Các bài toán ki m ch ng. ............................................................................... 48
4.1.1. Ví d 01: T n s t nhiên c a d m t
4.1.2. Ví d 02: D m t

u ch u t i tr

4.1.3. Ví d 03:D m t

u h kh

............................................... 48
ng. ................................... 49

ng chuy

ng. ........................... 51

4.2. Các ví d kh o sát. ......................................................................................... 53
4.2.1. Ví d 04: Kh o sát h s

ng chuy n v

m gi a d m theo v n t c. ..... 53

4.2.2. Ví d 05: Kh o sát chuy n v và l c tác d ng vào d

c ng c a

n n (Kn). ................................................................................................................ 57
4.2.3. Ví d 06: Kh o sát chuy n v l n nh t c a d m theo v n t c và h s n n.
............................................................................................................................... 59
4.2.4. Ví d 07: Kh
h kh

võng l n nh t c a d

c ng c a n n (Kn) và

ng (Ko). ............................................................................................... 61
T LU N VÀ KI N NGH ........................................................ 63


3

5.1. K t lu n. ......................................................................................................... 63
5.2. Ki n ngh . ....................................................................................................... 63


4

DANH M C CÁC HÌNH
Hình 2.1 Ph n t d m ch u u n ............................................................................. 12
Hình 2.2 Mơ hình 1 ............................................................................................... 29
Hình 2.3 Mơ hình 2 ............................................................................................... 30
Hình 2.4 Mơ hình 3 ............................................................................................... 31
Hình 3.1. Mơ hình d m t
Lu

n bi n d ng n n và móng l a ch n trong

......................................................................................................................... 33
Hình 3.2. Mơ hình v t th l a ch n trong Lu
Hình 3.3. Mơ hình d m t
ng chuy

n bi n d ng n n và móng khi ch u kh i

ng trên d m l a ch n trong Lu

Hình 4.1. D m t
Hình 4.3.H s

............................................. 34

u t i tr

................................................. 35
ng....................................................... 49

ng chuy n v t i x/L=0.5 tính tốn t Matlab. ......................... 50

Hình 4.5. Chuy n v t i x/L=0.5 theo Gou W.H và Xu Y.L ................................. 52
Hình 4.7.H s

ng chuy n v t i gi a nh p khi d m t a trên g

Hình 4.8. H s

ng chuy n v t i gi a nh p khi d m t a trên g i c ng. ........... 54

Ví d 04: Kh o sát chuy n v
Hình 4.9.Chuy n v
Hình 4.10.Chuy n v

m gi a d

m gi a d
m gi a d

Hình 4.12. Chuy n v l n nh t c a d

i. ........ 54

c ng c a d m. .................. 55
c ng c a d m. ................................. 56
c ng c a n n. ................................ 58
c ng c a n n và v n t c chuy n

ng c a v t th . ............................................................................................................ 60
Hình 4.13. Chuy n v l n nh t c a d

c ng c a n n và v n t c chuy n

ng c a v t th . ............................................................................................................ 62


5

T NG QUAN
1.1.

tv

.

Vi c nghiên c
th c ti

ng c a k t c u ch u t i tr

ng g

ng xu t phát t yêu c u

v c: xây d ng, giao thông v n t

ch y trên c

ng ray, c n tr c ch y trên d m c u ch y trong
n hình v tác d ng c a t i tr

khác nhau. Th c t ch ra r ng,

ng do tính ch t di chuy n c a t i tr ng

n ph n ng c a k t c u là r
mu

ng lên các d ng k t c u

, phát sinh nh ng hi

ng không mong

chuy n v - n i l c, nguy hi m nh t là xu t hi n hi n
ng c

ng trong nh

u ki n nh

nh

ng trên k t c u thì ngồi vi c phát sinh t i tr
b n thân kh
c u, nh

i v i các h

ng

ng, và ph n

ng c a

c quan tâm khơng kém gì ph n ng c a k t
iv

n giao thơng.

Ngồi ra cùng v i s phát tri n c a khoa h c k thu t, k t c u ph
ch u t i tr ng l n và di chuy n v i t
càng tr nên nh

c thi t k

ngày càng cao. M t khác, k t c u ngày

nh d

n b v v t li u, thi t k , công

ngh xây d ng và yêu c u m quan. Khi t i tr ng di chuy n trên k t c u, r t nhi u

tham s ph

n t c di chuy

ng h

u ki n

ti p xúc c a t i v i k t c
Bên c

k tc

t trên h n n, móng c c và làm vi

th i v i k t c u khi ch u t i tr
ng ch u các tác d
c

ng

n n và móng c c

ng gây ra do v n hành máy móc thi t b , do chuy
ng t

t ho c do các tá

ng
ng

ng u nhiên khác.
Vì v y, vi c nghiên c u hi u
n bi n d ng n

ng c a d

i tác d ng c a v t th

ng

ng c a m t vài thông s k t c u


6

và v t th chuy

n ph n ng c a toàn h là v

thuy t l n th c ti n trong cu c s

to l n c v lý

c bi t là trong ngành giao thông v n t i.

1.2. M c tiêu nghiên c u c a Lu
nghiên c u ph n

ng c a d m t

bi n d ng n n và móng, Lu
-T ns

u v t th chuy

p trung kh o sát các v

ng t nhiên c a d m t

-H s

ng chuy n v c a d m t

n

sau:

n bi n d ng c a n n và móng.
u v t th chuy

n bi n

d ng n n và móng.
-

võng l n nh t c a d m.

-V nt
-

c ng liên k t c a v t th chuy

ng trên d m.

c ng c a h n n và móng.

1.3. Nhi m v c a Lu
th c hi n m c tiêu nói trên, h c viên th c hi n các công vi c sau:
-S d

nt h uh

có k thêm kh

ng c a v t chuy

- Thi t l p ma tr

thi t l p ma tr n kh

ng t ng th

ng.

c ng t ng th

n bi n d ng c a n n và móng.

- Xây d

ng c a h

th ng b ng ngơn ng l p trình Matlab.
- Ki

tin c y c

ng cách so sánh k t qu c

trình v i các k t qu nghiên c

a tác gi khác cùng v i ph n m m

Midas/Civil.
- Th c hi n các ví d s
ng c a bài tốn. T

kh o sát
t lu n.

1.4. C u trúc c a Lu
Lu

ng

và ph l c:

ng c

n ph n ng


7

-

tv

, m c tiêu, nhi m v , c u trúc c a Lu

và tình hình nghiên c

c v các v

tài c a

Lu
-

lý thuy t v

nt h uh

ph n t d m ch u u n thu n túy, thi t l

ng c a k t c u,

c ti

gi

ng, các

mô hình c a bài tốn d m ch u tác d ng c a t i tr
-

iv i

ng.

3: l a ch n mơ hình cho bài tốn d m t

u v t th chuy

n bi n d ng n n và móng, thi t l

ng

ng cho mơ hình

c l a ch n, trình bày thu

vi

ng

ngơn ng l p trình Matlab.
-

s

kh o sát

ki m ch

ng c

n ph n

-

t lu

phát tri n c

tin c y c
ng c a d m.

c rút ra t các kh

xu

ng

tài.

- Ph l c: code c

u tham kh o.

1.5. Tình hình nghiên c u.
1.5.1. Tình hình nghiên c u trên th gi i.
Ismail Esen
ng có gia t c. V t chuy
xét

u ng x

ng c

ng có gia t

ph n t chuy n

ng c a l c qn tính, ngồi ra trong thành ph n l c tác d ng lên d m có xét

n

ng c a l

gia t c v t chuy

ng tâm, l c coriolis. Trong nghiên c u này,
nl cd

ng c a

c kh o sát.

Huajiang Ouyang [6] nghiên c u k t c u ch u t i tr
này tác gi

ng, trong nghiên c u

ng c a lý thuy t d m và t m. Mesut

Simsek [13] nghiên c
t

ng c a d m mang v t chuy n

u v t mang kh

ng c a d m phân l p ch
ng chuy

ng dùng lý thuy t d m Euler-Bernoulli


8

ng chuy

ng

c suy ra t

Lagrange.
Lu Sun [16] nghiên c

t i tr

ng c a d m trên n

t (viscoelastic) ch u

ng. Trong nghiên c u này, l i gi i kín (A closed-form solution ) c a dao

ng d

Hàm Green c a d

tuy

c t bi

cs d

võng c a d m.

P.Sniady [17] nghiên c

ng c a d m ch u t i tr

ng v i v n t c

ng u nhiên (stochastic) không theo quy lu t. Fahim Javid [20] nghiên c u kh dao
ng c a d m ch u t i tr
Mass

ng s d ng t

th ng gi m ch n TDM (Tuned

Damper). Nghiên c u th c hi n trên hai lo i d m có hình h c khác nhau:

d m cong và d m th ng.
Zhuchao Ye, Huaihai Chen [24] nghiên c u d m t
chuy

ng (mass moving). Tác gi

c a v t chuy

o sát

u v t kh

ng

ng c a v n t c và kh

ng

n ng x c a d m.

Arash Yavari [

g

t

i r c ph n

phân tích ph n

ch u v t mang kh
d m liên t

ng c a d m Timoshenko

ng chuy

nt u nc a

c thay th b i các h

th ng các thanh c ng (rigid bar) và các kh p

d o (flexible joints).
A. Nikkhoo [27] nghiên c
ng. Hàm dirac-

cs d

ng d m Euler- Bernoulli ch u v t kh
th hi n v trí c a v t chuy

chi u dài d

th hi n c a l c quán tính. Thu

tuy n tính c

n (a linear classical optimal control algorithm) v i th

cs d
trong vi c kh
khi

u khi

ng c a d m. Hi u qu c a thu

ng c a h th ng ch u
u ch

ng c a v t chuy
c kh o sát.

ng

ng d c su t
u khi n t
i
u khi n
ng v

u

9

Jia-Jang Wu [51] nghiên c

ng c a d m nghiêng ch u t i tr

Trong nghiên c u này, tác gi i s d
ng c a l c quán tính, l

ph n t chuy

ng tâm, l c coriolis v

tác gi còn xét l c ma sát gi a v t tròn chuy
Raid Karoumi [52] nghiên c

a xe và c u, d

xét nh

ng c a d m. Ngoài ra

ng và d m.
ng c a c u treo và c

ut i

n hành kh o sát

ng h s c n

tr ng di d ng. Trong nghiên c u này tác gi
c

ng.

ng c a dây cáp, m t c u gh gh , t

xe ch y,

và h th ng gi m ch n TMD. T nh ng s li u tính tốn c a mình tác gi i
r t l n c a m t c u gh gh

ng c a c u.

1.5.2. Tình hình nghiên c
M t s lu

ng

c.

c ngành xây d ng t

bài toán k t c u ch u t i tr ng chuy

ng:

Nguy

ng, trong nghiên c

i quy t các

ng c

h u t i tr ng di

c

ng c a

n

c u.
Nguy

phân tích d m gi
n kh

tb

cs d

ng v

ng v t chuy
m có k

n kh

u hòa di

ng. Trong nghiên c u này lý thuy t bi n d ng

phân tích d m.

Nguy n T
kh

u t i tr

ng c a t m trên n
ng. Tác gi
ng v t chuy

t l p ma tr n kh

n
ng t m t i t ng th i

ng, ngoài ra trong nghiên c

mơ hình moving sprung mass nh m kh o sát s

n
ng t

n dao

ng c a xe.
Nguy n Anh Duy [50] phân tích d m Timoshenko ch u t i tr
nghiên c u này có s d ng h c n kh

ng (T

gi

ng. Trong
ng c a d m.


10

Nguy n Th
n

ng Phong [53] phân tích ng x

i Winkler ch u t i tr

d m phân l p ch

c phân tích d a trên lý thuy t d m

Timoshenko và quan h bi n d ng chuy n v phi tuy n Vonli

c gi thuy t tuân theo lu

av is

c

av t


11

LÝ THUY T
2.1.

pháp ph n t h u h n gi

ng c a d m

ch u u n.
2.1.1. Nguyên lý công kh
Cho kh

.

ng mi

m t chuy n v kh

Pi (t) mi vi (t )

kh

W c a các

vi ph i tri

l c tác d ng lên mi trên chuy n v kh

Nguyên lý công kh

vi , công kh

vi

(2.1)

0

p cho h ph c t p g m các kh

m và

ng có quán tính xoay. Các s h

ng nên

vi c l
vi l

N u chon h các chuy n v kh
a chuy
Ký hi u công kh

t theo các b c t do s

cn

ng.

a ngo i l c Pi (t ) là W , t

2.1) ta có bi n

phân cơng kh
..

W

Pi (t ) vi

(2.2)

mi vi (t ) vi

2.1.2. Hàm n i suy c a ph n t d m ch u u n.
n t h u h n, k t c u d ng d

c r i r c thành các

ph n t d m ch u u n thu n túy. Trên m i ph n t này g n m t h t
xy (Hình 2.1).

12

Hình 2.1 Ph n t d m ch u u n
Kh o sát m t ph n t d m ch u u n thu n túy. Vào th
trên thanh có t

nt im

mb tk

n v u(x,t):
v( x, t )
( x, t )

u ( x, t )

v( x, t ) :

m t, t

(2.3)

võng c a d m.

( x, t ) : thành ph

ng v i chuy n v v:
( x, t )

T

dv( x, t )
dx

(2.4)

n v c a d m trùng v

n v nút. G i q là

n v nút c a ph n t d m:
v1 (t )
q(t )

u1 (t )
u2 (t )

1

u2

ng chuy n v

(2.5)

v2 (t )
2

1,

(t )
(t )

n v t i các nút 1 và 2 c a ph n t .
cx px

a các chuy n v t i nút:


13

u( x, t )

(2.6)

N( x)q(t )

N(x) là ma tr n các hàm d ng (hàm n i suy) chuy n v c a ph n t :

N ( x)

V i các hàm Ni(x)

N1 ( x)

N2 ( x)

dN1 ( x)
dx

dN2 ( x)
dx

N3 ( x)
dN3 ( x)
dx

N4 ( x)
dN4 ( x)
dx

(2.7)

c ch n là các hàm Hermit có d ng:
x2
x3
2
L2
L3
x2 x3
N2 ( x) x 2
L L2
x2
x3
N3 ( x) 3 2 2 3
L
L
2
x
x3

N4 ( x)
L2 L3

N1 ( x) 1 3

(2.8)

L là chi u dài ph n t .
2.1.3.

ng c a ph n t d m ch u u n.

xây d
tr d ng c a th

ng c a ph n t h u h n, s d ng nguyên lý giá
n. Bi u th c th

n d ng c a n i l c trong ph n

t thanh có d
A

1
2V

x x

(2.9)

dV

V : th tích ph n t .
x

x

: ng su t pháp t i ti t di n có t
: bi n d ng d c tr c t i ti t di n có t

x.
x.


14

Theo lý thuy t d m, môment u n M t i v trí có t
ad

x trong h t

a

c tính b ng bi u th c:
M ( x, t )

d 2v( x, t )
EI
dx2

(2.10)

Trong
E

i c a v t li u.

I: Mơment qn tính c a ti t di n d m.
ng su t t i t

y c a ti t di n có t

x:
M ( x, t )
y
I

( x, y, t )

(2.11)

Và bi n d ng:
x

( x, y, t )

( x, y, t )
E

Thay (2.12) và (2.11) vào (2.9) nh

E
A
2

L

0

M ( x, t )
y
EI

(2.12)

c:

d 2v( x, t )
dx2

2

y2 dS dx

(2.13)

S

Trong cơng th c trên, thành ph n th hai chính là mơment qn tính c a ti t di n
d m:
y2 dS

I

(2.14)

S

Thay (2.14) vào (2.13), nh

c:
EI
A
2

L

0

2

d 2v( x, t )
dx
dx2

(2.15)


15

Bên c

võng c a d m t i t

c n i suy qua các

chuy n v t i nút:
v( x, t )

(2.16)

Nv ( x)q(t )

Nv là ma tr n hàm n i suy c

võng t i x t các thành ph n chuy n

v nút:
Nv ( x)

Thay (2.16) vào (2.15), nh

c:

L

1
2
EI Bq dx
20

A

1 T
q
2

n liên h bi n d ng
B

d2
Nv ( x)
dx2

d 2 N1 ( x)
dx2

Thay (2.8) vào (2.19), nh
B

6
L2

(2.17)

N1 ( x) N2 ( x) N3 ( x) N4 ( x)

L

BT EIBdx q

(2.18)

0

chuy n v c a ph n t d m:

d 2 N2 ( x)
dx2

d 2 N3 ( x)
dx2

d 2 N4 ( x)
dx2

(2.19)

c:
12 x
L3

4 6x
L L2

6
L2

12 x
L3

2 6x
L L2

(2.20)

Công c a ngo i l c b ng t ng công do các thành ph n gây ra:
W Wf

WP Wqt Wc

(2.21)

Wf : công do các thành ph n l c phân b gây ra:
L

f T ( x, t )u ( x, t )dx

Wf
0

WP : công do các thành ph n l c t p trung gây ra:

(2.22)


16

PiT (t )u ( xi , t )

WP

(2.23)

i

Wqt : công do các thành ph n l c quán tính gây ra:
l

..
1
u ( x, t )dx
20

Wqt

(2.24)

Wc : công do các thành ph n l c c n nh t gây ra:
L

.
1
c u ( x, t )dx
20

Wc

(2.25)

Trong các công th c trên:

f(x,t)

c phân b trên d m g m các thành ph n l c phân b vng góc v i

tr c d m và môment phân b trong m t ph ng d m:
p y ( x, t )

f ( x, t )

P i(t)

(2.26)

mz ( x, t )

c t p trung g m các thành ph n l c vng góc v i tr c d m và

môment u n c a d m t

m có t

xi:
Pi (t )

: kh

ng phân b trên m

Pi ( x, t )

(2.27)

Mi ( x, t )

chi u dài d m.

c: h s c n nh t phân b trên m

chi u dài d m.

Bi u di n theo (2.6), vi t l
L

W

q

T

T

N qdx q

T

T

N Pi

0

Theo nguyên lý giá tr d ng c a th
d ng:

1 ..T
q
2

L

0

L

.
.
1 .T
N N dx
q c N T N dx
2 0
T

..

(2.28)

u ki n cân b ng c a h có


17

(U W)
dqi

dqi

0 v i qi

v1 , 1 , v2 ,

2

Thay (2.18) và (2.28) vào (2.29) nh

(2.29)
ng c a ph n t

d m:
..

.

mq c q kq

k: ma tr

p(t )

(2.30)

c ng c a ph n t
L

BT EIBdx

k

(2.31)

0

m: ma tr n kh

ng c a ph n t
L

..

..

N T Ndx

m

(2.32)

0

c: ma tr n c n nh t c a ph n t
L

.

.

N T N dx

c

(2.33)

0

p(t)

c quy nút c a các t i tr ng tác d ng lên ph n t
L

N T q(t )dx

p(t )

n (2.34) s nh

h u h n cho ph n t d m ch u u n thu n túy.
Ma tr

c ng c a ph n t :

(2.34)

i

0

Th c hi n các tích phân t

N T Pi (t )

c các ma tr n ph n t


18

k

Ma tr n kh

6L
4 L2

12
6L

6L
2 L2

6L
2 L2

12
6L

6L
4 L2

156
22 L

22 L
4 L2

54
13L

135 L
3L2

54
135L

13L
3L2

156
22 L

22 L
4 L2

156
22 L

22 L
4 L2

54
13L

135 L
3L2

54
135L

13L
3L2

156
22 L

22 L
4 L2

12
EI 6 L
L3 12
6L

(2.35)

ng c a ph n t :

m

L
420

(2.36)

Ma tr n c n nh t c a ph n t :

c

cL
420

Trong th c t r

c tham s c n nh t c c a k t c u do

các tham s này ph thu c vào các t n s
ng l c h c c a k t c
tính c a ma tr n kh

ng và ma tr

là các h ng s

ng c a các t n s

trong tính tốn ch

ng c a h

c t tính

ng gi thi t r ng ma tr n c n nh t c là t h p tuy n
c ng c a h :
c

và

(2.37)

m

(2.38)

k

c g i là h s c

ng

n giá tr c a h s c
n

ng c n do hai t n s

nên

ng riêng th p nh t

c ah .
Các h s c n liên h v i t s c n theo d ng riêng b

[5]:


19

1
1

1 1
2 1

1

(2.39)

2
2

2

1

1

,

,

2

2

: t ns

ng riêng th nh t và th hai c a h .

: t s c

Gi

ng v i các t n s
(2.39) nh

ng riêng.

c:
2(

1

2

2
2
2

2(

2

2
2
2

)

1
2
1

1 1
2
1

1

2

(2.40)

)

2.1.4. Ghép n i ma tr n thành ma tr n t ng th .
n t h u h n, k t c
t

u t o t các ph n

c liên k t v i nhau t i nút. T i nút chung, các ph n t n

có cùng

n v nút. Các ma tr n ph n t h u h n c a toàn h

c thi t l p d a

m

l p ghép các ma tr n ph n t h u h n c a các ph n t .
Kh o sát s làm vi c c a toàn b k t c u g m nhi u ph n t h u h n liên k t
nhau t i nút. T

i tr ng tác d ng và chuy n v

i v i m t k t c u có n

n v c a toàn k t c

ng.
c bi u di

sau:
u1
U

u2
un

(2.41)