Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ

Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh trung
học phổ thơng thơng qua dạy học chun đề
phương trình vơ tỷ
Phan Văn Tiến
Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS ngành: Lý luận và PP giảng dạy; Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn
Năm bảo vệ: 2012

Abstract: Nghiên cứu lý luận về tư duy toán học, tư duy sáng tạo. Đề xuất một số biện
pháp tổ chức thực hiện giảng dạy chun đề phương trình vơ tỷ. Thiết kế các hoạt động,
các ví dụ về nội dung phương trình vơ tỷ. Thực nghiệm sư phạm kiểm nghiệm tính khả
thi và tính hiệu quả của đề tài trong dạy học.
Keywords: Phương pháp giảng dạy; Toán học; Tư duy sáng tạo; Phương trình vơ tỷ

Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình dạy học, việc rèn luyện cho học sinh có rất nhiều cách khác nhau như rèn
luyện cách trình bày, rèn luyện tính cẩn thận, rèn luyện kỹ năng phân tích, rèn luyện kỹ năng
tổng hợp, kỹ năng đánh giá một bài toán hoặc một vấn đề khoa học là rất quan trọng.
Chúng ta đang trong giai đoạn đổi mới sách giáo khoa và phương pháp giảng dạy chương
trình phổ thơng, nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập của học sinh, để học sinh đáp ứng
được yêu cầu của xã hội và đáp ứng được xu thế hội nhập toàn cầu hiện nay.
Rèn luyện được tư duy cho học sinh để học sinh có khả năng phân tích tình huống hoặc vấn
đề mà bài toán nêu ra và cao hơn nữa là tư duy sáng tạo ra bài toán mới trên nền kiến thức đã
tích lũy được lại càng khó khăn hơn, điều đó địi hỏi người giáo viên phải có phương pháp giáo
dục.
Về phương pháp giáo dục, điều 4, Luật Giáo dục 2003 quy định:
“Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của
người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vương lên”.

Còn theo chương II điều 28 Luật Giáo dục 2006 thì: " Phương pháp giáo dục phổ thơng phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp
học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học
sinh".
Trong quá trình dạy học ở trường Trung học phổ thơng tác giả nhận thấy việc rèn luyện và
phát triển tư duy sáng tạo, mục tiêu giáo dục học sinh của những người làm công tác giáo dục là
hết sức quan trọng. Điều đó được nêu cụ thể trong Luật giáo dục, Chương I, điều 2:
"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có
đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và
chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp
ứng nhu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ quốc". Cụ thể hóa mục tiêu này, mục tiêu dạy học của mơn
Tốn là:
- Trang bị kiến thức cơ bản, cần thiết nhất cho học sinh;
- Rèn luyện kỹ năng ứng dụng khoa học nói chung và tốn học nói riêng vào thực tiễn cuộc sống;
- Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh;
- Phát triển và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu tốn học.
Qua tìm hiểu thực tế cũng như trong quá trình nghiên cứu, giảng dạy, tác giả thấy rằng đa
phần học sinh hiện nay mới chỉ tập trung vào việc hiểu được vấn đề, ghi nhớ và vận dụng kiến
thức của mình để giải quyết một bài toán, một vấn đề cụ thể mà chưa thể sáng tạo ra các bải toán
mới, cách làm mới và việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh cịn gặp rất nhiều khó khăn.
Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi đại học - cao đẳng thì chuyên đề Phương trình vơ tỷ xuất
hiện khá đều, mà ở đó bài tốn đưa ra rất đa dạng và giàu tính sáng tạo cũng như phương pháp
giải, cho nên để làm được những bài tốn này học sinh phải có cái nhìn tổng qt, ngồi việc biết
sử dụng kiến thức đã có u câu học sinh phải biết tìm ra mối liên hệ của bài tốn và phải có tư
duy sáng tạo.
Với ý tưởng rèn luyện tư duy giải quyết bài tốn thơng qua giảng dạy chun đề “ Phương
trình vô tỷ ” để nâng cao kiến thức, khâ năng tư duy cho học sinh, từ đó hình thành tính sáng tạo

cho các em trong việc nhận thức và giải quyết câc bài tốn khác mà xa hơn là có thể tư duy sáng
tạo giải quyết vấn đề thường gặp trong cuộc sống. Thực tế đã có nhiều cơng trình, đề tài viết về
phương trình vơ tỷ, tác giả thấy rằng những đề tài đó phần nhiều mới chỉ dừng lại ở việc phân
tích bài tốn, rèn kỹ năng giải tốn mà thơi. Và tác giả cũng muốn góp thêm vào đó một chun
đề của mình nhằm mục tiêu rèn cho học sinh tư duy sáng tạo trong các bài tốn về phương trình
vơ tỷ.


Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là: “Rèn luyện tư duy
sáng tạo của học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học chun đề phương trình vơ tỷ”
làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề ra một số biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học
chun đề phương trình vơ tỷ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về tư duy toán học, tư duy sáng tạo.
- Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hiện giảng dạy chun đề phương trình vơ tỷ.
- Thiết kế các hoạt động, các ví dụ về nội dung phương trình vơ tỷ.
- Thực nghiệm sư phạm kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài trong dạy học.
4. Phạm vi nghiên cứu
Quá trình dạy học chun đề phương trình vơ tỷ ở trường Trung học phổ thông.
5. Mẫu khảo sát
Lớp 12A2, 12A3 Trường Trung học phổ thơng Bất Bạt - Ba Vì - Hà Nội năm học 2011 2012.
6. Vấn đề nghiên cứu
Ở trường Trung học phổ thông dạy học chuyên đề phương trình vơ tỷ như thế nào để rèn
luyện được cho học sinh tư duy sáng tạo?
7. Giả thuyết khoa học
Nếu giảng dạy chun đề phương trình vơ tỷ theo định hướng rèn luyện tư duy sáng tạo
cho học sinh thì có thể nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề này ở trường Trung học phổ
thông.

8. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu liên
quan đến đề tài của luận văn.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Điều tra chất lượng học sinh trước và sau thực nghiệm, dự
giờ, trao đồi kinh nghiệm, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh.
- Thực nghiệm sư phạm.
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình
bày trong ba chương:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận.
Chƣơng 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học
chuyên đề phương trình vơ tỷ.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sư phạm.


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tƣ duy
1.1.1. Khái niệm về tư duy
Theo X L. Rubinstêin, tư duy thường bắt đầu từ một vấn đề hay một câu hỏi, từ sự ngạc
nhiên, sự thắc mắc hay từ một mâu thuẫn nào đó lơi cuốn cá nhân vào hoạt động tư duy. Những
vấn đề đó được ơng gọi là tình huống có vấn đề. Để một vấn đề trở thành tình huống có vấn đề
của tư duy, địi hỏi chủ thể phải có nhu cầu, mong muốn giải quyết vấn đề đó. Mặt khác, chủ thể
cũng phải có tri thức cần thiết có liên quan thì việc giải quyết vấn đề mới có thể diễn ra, q trình
tư duy mới được diễn ra. Tư duy là sản phẩm cao cấp của một dạng vật chất hữu cơ có tổ chức
cao, đó là bộ não của con người. Trong quá trình phản ánh hiện thực khách quan bằng những
khái niệm, phán đốn... tư duy bao giờ cũng có mối liên hệ nhất định với một hình thức hoạt
động của vật chất, sự hoạt động của não người. Trong khi xác đính sự giống nhau giữa tâm lý
người và động vật, các nhà tâm lý học Mác - xít cũng chỉ ra sự khác nhau căn bản giữa tư duy
của con người và hoạt động tâm lý động vật. Một trong những khác nhau ấy là tư duy con người

sử dụng khái niệm để ghi lại những kết quả trừu tượng hoá, tư duy được ra đời do lao động và
trên cơ sở của sự phát triển xã hội. Thông qua hoạt động thực tiễn, thế giới tự nhiên tác động vào
các giác quan tạo ra cảm giác, tri giác và biểu tượng là cơ sở ban đầu của tư duy.
Tư duy khái quát những thu nhận của cảm giác bằng những khái niệm và những phạm trù
khoa học, mang lại cho chúng ta những quan điểm rộng hơn, sâu hơn những cảm giác trực tiếp.
Nhờ trừu tượng hoá mà tư duy đã chỉ ra được những mối liên hệ, quan hệ của rất nhiều sự vật,
hiện tượng, nêu ra được những khái niệm, những phạm trù, những quy luật phản ánh các mối
liên hệ, quan hệ nội tại của các sự vật, hiện tượng đó.
Như vậy, tư duy trước hết là sự phản ánh ở trình độ cao bằng con đường khái quát hoá, hướng sâu vào
nhận thức bản chất, quy luật của đối tượng. Phản ánh ở đây hiểu theo quan niệm của chủ nghĩa Mác là phản
ánh biện chứng, "Là một quá trình phức tạp và mâu thuẫn của sự tác động qua lại giữa nhận thức cảm tính
và nhận thức lý tính, giữa hoạt động tư duy và hoạt động thực tiễn, như là một quá trình trong đó con người
khơng thích nghi một cách thụ động với thế giới bên ngồi, mà tác động tới nó, cải tạo nó và bắt nó phải
phục tùng những mục đích của mình"[17,tr.430].
Theo V.I. Lê nin, tư duy là sự phản ánh thế giới tự nhiên sâu sắc hơn, trung thành hơn, đầy
đủ hơn, đi sâu một cách vô hạn, tiến gần đến chân lý khách quan hơn. Tư duy của người ta - đi
sâu một cách vô hạn, từ giả tưởng tới bản chất, từ bản chất cấp một, nếu có thể như vậy, đến bản
chất cấp hai... đến vơ hạn. X.L. Rubinstêin thì cho rằng: Tư duy là sự thâm nhập vào những tầng
mới của bản thể, là giành lấy và đưa ra ánh sáng những cái cho đến nay vẫn giấu kín trong cõi
sâu bí ẩn: Đặt ra và giải quyết vấn đề của thực tại và cuộc sống, tìm tịi và giải đáp câu hỏi thực


ra nó là như thế nào, câu trả lời đó là cần thiết để biết nên sống thế nào cho đúng và cần làm
gì?[18,tr9 - 10]. A. Spiếckin lại cho rằng: Tư duy của con người, phản ánh hiện thực, về bản chất
là q trình truyền đạt gồm hai tính chất: Một mặt, con người hướng về vật chất, phản ánh những
nét đặc trưng và những mối liên hệ của vật ấy với vật khác, và mặt khác con người hướng về xã
hội để truyền đạt những kết quả của tư duy của mình.
Cịn theo tác giả Đặng Phương Kiệt quan niệm: "Tư duy là một q trình tâm trí phức tạp, tạo ra
một biểu tượng mới bằng cách làm biến đổi thơng tin có sẵn", tác giả Mai Hữu Khuê cho rằng "Tư
duy là quá trình tâm lý phản ánh những mối liên hệ và quan hệ giữa các đối tượng hay các hiện

tượng của hiện thực khách quan". Tác giả cho rằng, tư duy khác hẳn với tri giác ở chỗ tư duy không
chỉ thực hiện được những bước như đã xảy ra ở tri giác, là tách các phần riêng lẻ của sự vật, mà còn
cố gắng hiểu các phần đó có quan hệ với nhau như thế nào. Tư duy phản ánh bản chất của sự vật, và
do đó là hình thức phản ánh hiện thực cao nhất. Với việc xem tư duy như là quá trình phân tích, tổng
hợp... Nguyễn Đình Trãi cho rằng: Tư duy là q trình phân tích, tổng hợp, khái qt những tài liệu
đã thu được qua nhận thức cảm tính, nhận thức kinh nghiệm để rút ra cái chung, cái bản chất của sự
vật. Với tư cách là quá trình nhận thức, tập thể tác giả: Trần Minh Đức, Nguyễn Quang Uẩn, Ngơ
Cơng Hồn, Hồng Mộc Lan lại coi " Tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính
của bản chất, những mối liên hệ và quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta
chưa biết ”.
1.1.2. Các bước của q trình tư duy
1.1.2.1. Tư duy tích cực
1.1.2.2. Tư duy độc lập
1.1.3. Tư duy sáng tạo
Tác giả V.A Krutexcki, nhà tâm lý học đã chỉ ra ba vòng tròn đồng tâm phản ánh mối quan
hệ của ba dạng tư duy như sau:
Tư duy tích cực
Tư duy độc lập
Tư duy sáng tạo

Hình 1.1. Mối quan hệ của ba dạng tƣ duy
1.2.

Sáng tạo


1.2.1. Khái niệm về sáng tạo
Theo tác giả Nguyễn Cảnh Tồn thì “ Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ những hiểu biết
đã có đến những hiểu biết mới ”
Cịn theo từ điển tiếng Việt thì “ Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, khơng bị gị

bó, phụ thuộc vào cái đã có ”
Với mơ hình cấu trúc tài năng của Renzuli (Nhật, 93) dưới đây thì sáng tạo là cơ sở của cấu
trúc tài năng.
I: Intelligence (thông minh)
C: Creativity (sáng tạo)
M: Motivation (sự thúc đẩy)
G: Gift (năng khiếu, tài năng)

C
I
G
G
M

Hình 1.2. Mơ hình cấu trúc tài năng

Như vậy, sáng tạo liên quan đến việc khám phá về các ý tưởng hoặc khái niệm mới. Có
khả năng tạo ra hoặc nếu khơng thì mang một cái gì đó mới mẻ vào những cái đã tồn tại, và có
giá trị – như là một giải pháp mới để giải quyết một vấn đề, một phương pháp hay một thiết bị
mới, hoặc một vật thể, một hình dáng hay một ý tưởng nghệ thuật mới. Dù bằng cách nào, kết
quả cuối cùng của tư tưởng sáng tạo đều phải độc đáo và thiết thực.
1.2.2. Các giai đoạn của quá trình sáng tạo
Các giai đoạn của quá trình sáng tạo trải qua các bước sau:
1.2.2.1. Giai đoạn chuẩn bị
1.2.2.2. Giai đoạn ấp ủ
1.2.2.3. Giai đoạn bừng sáng
1.2.2.4. Giai đoạn kiểm chứng
1.3. Tƣ duy sáng tạo
1.3.1. Khái niệm về tư duy sáng tạo
Phần này trình bày dựa theo “ tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ

thơng chu kì III ( 2004 - 2007 ) trang 113”
Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ về sự vật mới, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ
về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị.


Lecne đã chỉ ra các thuộc tính của q trình tư duy sáng tạo (Xem trong luận văn)
Như vây, từ các quan điểm đã chỉ ra rằng có sự đồng ý nhất định về khái niệm sáng tạo, cái
mới là thành phần cốt lõi của tư duy sáng tạo, không chỉ là sản phẩm mới mà quá trình tư duy
cũng mới, khắc phục thói quen khơng phù hợp trong tư duy.
1.3.2. Các thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo
Năm thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo là:
1.3.2.1. Tính mềm dẻo
1.3.2.2. Tính nhuần nhuyễn
Ví dụ 1: Cho các phương trình sau:

2x2  x  6  x2  x  2  x 

2x 2  x  6  x  x2  x  2

4
x

(1)
(2)

Nếu nhìn hai phương trình trên với điêu kiện x>0 thì khó có thể nhận ra mối quan hệ của
chúng, nhưng với phép biến đổi tương đương đơn giản thì ta sẽ được chúng là các phương trình
tương đương, thật vậy từ phương trình (1) ta có:

x2  4

2x 2  x  6  x 2  x  2



x2  4
x

(3)
Đến đây chỉ cần biến đổi chút ít là ta rất dễ nhận ra mối liên hệ giữa phương trình (2) và
phương trình (3), rõ ràng với sự biến đổi nhuần nhuyễn sẽ giúp học sinh nhanh chóng tìm ra
hướng giải quyết bài tốn.
1.3.2.3. Tính độc đáo
Ví dụ 1:
Giải phương trình:

x  x2  x  1  x  1  x2  x  1  1
* Điều kiện:

x  R

Phương trình đã cho có dạng:

x  x 2  x  1  x  x  1  ( x  1)2  ( x  1)  1  x  1
2
Xét hàm số: f (t )  t  t  t  1  t

f '(t ) 

2 t 2  t  1  2t  1
4 t  t2  t 1 t 2  t 1



(2t  1)2  3  2t  1
4 t  t  t  1. t  t  1
2

0

t

2

Hàm số f(t) đồng biến trên R.
f(x) = f(x + 1)  x + 1 = x, phương trình vơ nghiệm.
Kết luận: Phương trình đã cho vơ nghiệm.
1.3.2.4. Tính hồn thiện
1.3.2.5. Tính nhạy cảm vấn đề
1.3.3. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
(Phần này trình bày dựa theo “ Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ thơng
chu kì III ( 2004 - 2007 ) ” trang 115
1.4. Dạy học giải bài tập Toán học ở trƣờng Trung học phổ thông
1.4.1. Nội dung phần phương trình vơ tỷ trong chương trình tốn phổ thơng
1.4.2.Vai trị của bài tập trong quá trình dạy học
1.4.3. Phương pháp giải bài tập Toán học
Theo Polya(1975), phương pháp chung cho q trình tìm lời giải một bài tốn bao gồm 4
bước sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn
Bƣớc 2: Tìm cách giải

Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO
CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ
2.1. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ
2.1.1. Phương pháp biến đổi tương đương và biến đổi hệ quả
Lý thuyết:
1.

g  x  0

f  x  g  x  
 f  x  g  x


2.

g  x  0

f  x  g  x  
2
 f  x  g  x


Các ví dụ: (Được trình bày chi tiết trong luận văn)


2.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Để giải một phương trình vô tỷ nếu cứ biến đổi tương đương ta sẽ ra một phương trình
phức tạp, như là bậc quá cao. Khi đó, ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương
trình đã cho về một phương trình đơn giản và dễ dàng giải quyết hơn. Các bước trong phương
pháp này:
Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện đối với ẩn phụ.
Bước 2: Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ, giải phương trình vừa biến
đổi ra ( phương trình ẩn mới ), đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm thích hợp.
Bước 3: Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm.
Phương pháp đặt ẩn phụ thường dùng:
2.1.3. Phương pháp dùng các tính chất của vectơ




Lý thuyết: Cho các vectơ u   x1 ; y1  , v   x2 ; y2  , w   x3 ; y3 
   
  

u  v  w  0 hoặc u  v  w . Khi đó




2
2
2
2
u  x12  y12 , v  x2  y2 , w  x3  y3
1.

thỏa mãn:

   
2
2
2
2
u  v  u  v  x3  y3  x12  y12  x2  y2


Dấu bằng xảy ra  u  v .
  
2
2
u.v  u . v  x1 x2  y1 y2  x12  y12 x2  y2 .
2.
Dấu bằng xảy ra

.

 
 u || v .

 
2
3. u  0 . Dấu bằng xảy ra khi u  0 .
Từ các kết quả trên cho ta thiết lập mối quan hệ giữa biểu thức đại số và độ dài vectơ trong mặt
phẳng.
2.1.4. Phương pháp đánh giá
Ví dụ 1: Giải phương trình:

32 x 4  80 x 3  50 x 2  4 x  3  4 x  1  0

(1)

Giải:
* Điều kiện:

x 1

Khi đó: pt (1)  4( x 
Với

x  1 , ta có :

x  1)  32 x 4  80 x3  50 x 2  3 (2)


1
4( x  x  1)  4( x  1  x  1  1)  4( x  1  ) 2  3  3
2

x 1 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

1
1
5
 x 1   x 

2
4
4

+) Lại có:

5
25 

 32 x 4  80 x 3  50 x 2  3  32 x 2  x 2  x    3
2
16 

2

5

 32 x  x    3  3
4

2




Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x x 
Từ đó (2) có nghiệm x 

5
5

  0  x  0 hoặc x 
4
4

5
(TM)
4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:

x

5
4

2.1.5. Phương pháp hàm số
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:

x x  x  12  m





5  x  4  x (1) có nghiệm.

Giải:
* Điều kiện:

0 x4

pt (1)  ( x x  x  12)
xét hs



y  f  x   ( x x  x  12)

Miền xác định:



5 x  4 x  m



5 x  4 x

.

D  0; 4

Hàm số

h  x   x x  x  12

đồng biến trên D.

Hàm số

Nhận xét:

g  x  5  x  4  x

đồng biến trên D.

Suy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D. Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

f  0  m  f  4  2 3(2  5)  m  16


Vậy pt(1) có nghiệm khi:

2 3(2  5)  m  16

2.1.6. Phương pháp lượng giác
2.2. Rèn luyện các yếu tố của tƣ duy sáng tạo trong các bài toán phƣơng trình vơ tỷ
2.2.1. Rèn luyện tính nhuần nhuyễn
* Dự kiến tình huống xảy ra:
+ Hướng 1 : Sắp xếp lại các biểu thức trong pt được pt

5 x  8 x 8

 5  x 8  x 

là một pt chứa căn thức có các vế đều khơng

âm nên có thể biến đổi tương đương.
+ Hướng 2 : Nhận xét rằng : Biểu thức dưới dấu căn là

5  x  8  x  13 , không phụ

u  3  x, v  6  x

thì ta được hệ hai pt hai ẩn u và v.

thuộc vào

x

nên có thể đặt

Đây là một hệ pt khá cơ bản nên học sinh có thể đặt ẩn phụ và giải
+ Hướng 3: Đây là một pt vô tỷ khá quen thuộc, nó có dạng :

f  x  , g  x  , f  x . g  x  , f  x   g  x 

f  x 

t

g  x và tính được

là

f  x . g  x 

hằng

số

nên

ta

có

thể

đặt

theo t . Từ đó học sinh có thể giải bài

tốn trên bằng cách đặt ẩn phụ và đưa về pt hữu tỷ một ẩn.
Bài toán tổng quát:
Học sinh nêu lên dạng tổng quát của bài toán:

xa  bx 

 x  a  b  x   c

Sau đó giáo viên cho trình bày các cách giải trên vào vở ghi.
Như vậy, qua hoạt động trên, học sinh đã được rèn luyện việc giải một bài toán cụ thể
bằng nhiều phương pháp khác nhau như: Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ để đưa về hệ, đặt ẩn
phụ để đưa về pt hữu tỷ. Bằng các phương pháp giải khác nhau, học sinh sẽ biết nhìn một đối
tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, giúp cho học sinh thấy được cái hay, cái mới, cái lạ mà
mình chưa biết trong mỗi bài cụ thể. Qua đó lảm tăng cảm hứng học tập cho học sinh.
2.2.2. Rèn luyện tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo được bộc lộ ở các kỹ năng như:
+ Kỹ năng biến thiên cách giải quyết vấn đề phù hợp với biến thiên của điều kiện.

+ Kỹ năng xác lập sự phụ thuộc giữa những kiến thức đã có (dấu hiệu, thuộc tính, quan hệ của
một loại sự vật hay hiện tượng nào đó) sang một trật tự khác ngược với hướng và trật tự đã tiếp
thu.


+ Kỹ năng đề cập một hiện tượng theo những quan điểm khác nhau, có sự chuyển hóa trong tư
duy như chuyển từ cách nhìn này sang cách nhìn khác, từ giải pháp này sang giải pháp khác, kịp
thời điều chỉnh hướng tư duy khi gặp trở ngại, khi mà tư duy theo hướng đã biết không giải
quyết được, hay giải quyết khơng triệt để.
2.2.3. Rèn luyện tính nhạy cảm
Tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo là khả năng nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu
thuẫn, sai lầm, thiếu lơgic, chưa tối ưu. Từ đó đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới. Cụ thể
với việc gải bài tốn phương trình vơ tỷ thì u cầu học sinh phải nắm vững các định lý, các tính
chất và hệ quả của nó, các kỹ năng biến đổi và hiểu rõ đâu là biến đổi tương đương, đâu là biến
đổi hệ quả, điều kiện của phương trình đề từ đó tìm được nghiệm chính xác của phương trình.
Nhận xét:
Qua các hoạt động trên ta nhận thấy ở mỗi bài toán đều yêu cầu học sinh phải nắm vững
kiến thức, có tư duy nhạy cảm , biết phân tích và xử lý bài tốn một cách lơgic, hồn chỉnh các
kỹ năng biến đổi để tránh các lỗi thường mắc phải, nhất là biến đổi tương đương và biến đổi hệ
quả. Mỗi bài tốn cụ thể có thể giải theo các cách khác nhau, nhưng phải có cùng một đáp số,
giáo viên khơng chỉ dạy cho các em biết tìm ra đáp án của bài toán mà phải biết định hướng tư
duy cho các em, để các em thể hiện được tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo. Từ đó sẽ giúp các
em làm tốt các bước của quá trình giải bài và các em sẽ say mê hơn trong giờ học tốn.
2.2.4. Rèn luyện tính độc đáo
Tính độc đáo của tư duy sáng tạo được đặc trưng sau bởi các khả năng:
+ Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.
+ Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như khơn có liên
hệ với nhau.
+ Khả năng tìm ra các giải pháp lạ tuy đã biết những phương pháp khác.
Dưới đây là một số hoạt động để rèn luyện tính độc đáo của tư duy sáng tạo cho học sinh.

CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, phƣơng pháp, kế hoạch thực nghiệm
3.1.1. Mục đích
Kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết khoa học: Nếu giảng dạy chun đề phương trình vơ tỷ theo
định hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thì có thể nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề
này ở trường Trung học phổ thông.
3.1.2. Nhiệm vụ
1. Thiết kế bài giảng theo hướng phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh.


2. Tiến hành thực nghiệm: Thu thập, phân tích kết quả ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng, so
sánh kết quả để đánh giá hiệu quả của luận văn.
3. Đánh giá tính khả thi, điều chỉnh bổ sung, hồn thiện việc thiết kế bài giảng trong quá trình
dạy học chun đề phương trình vơ tỷ .
3.1.3. Phương pháp
Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
3.1.4. Kế hoạch thực nghiệm
- Đề tài được tiến hành thực nghiệm tại trường Trung học phổ thơng Bất Bạt - Ba Vì - Hà Nội
năm học 2011- 2012.
- Đối tượng thực nghiệm:
+ Học sinh lớp 12A2, 12A3 là hai lớp học sách giáo khoa cơ bản của trường Trung học phổ thơng
Bất Bạt - Ba Vì - Hà Nội năm học 2011-2012.
- Thời gian thực nghiệm sư phạm: Từ ngày 24/02/2012 đến ngày 24/03/2012.
3.2. Tiến trình thực nghiệm sƣ phạm
- Thăm dị trình độ học sinh mơn Tốn.
- Triển khai thực nghiệm.
- Kiểm tra đánh giá.
- Chuẩn bị phương tiện dạy học.
- Trao đổi với giáo viên về, mục đích, nội dung và cách thức tiến hành bài dạy. Tác giả dạy thử

nghiệm.
- Rút kinh nghiệm sau buổi dạy.
- Cho học sinh làm các bài kiểm tra để đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.3. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm
3.3.1. Bài giảng số 1: Giải và khai thác bài tốn phương trình vơ tỷ.
Mục đích: Luyện tập giải phương trình vơ tỷ bằng nhiều cách. Khai thác các bài toán mới từ bài
toán đã cho. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải phương trình vơ tỷ.
Bài tốn 1: Cho pt sau:

x  1  3  x  2 (1). Hãy giải phương trình sau bằng nhiều cách.
Cách giải 1:
Biến đổi tương đương:
Phương trình (1)

1  x  3


1  x  3


 x  1  3  x  2 ( x  1)(3  x)  4
 ( x  1)(3  x)  1



1  x  3
1  x  3

 2
x2

( x  1)(3  x)  1
x  4x  4  0




Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất:

x  2.

Biến đổi tương đương là một phương pháp chủ đạo trong việc giải phương trình vơ tỷ. Ưu điểm
nổi bật của phương pháp biến đổi tương đương là không làm thừa nghiệm hay thiếu nghiệm của
phương trình gốc .
Cách giải 2:
Phương trình (1) là phương trình vơ tỷ nhưng lại chỉ có một nghiệm duy nhất, Điều đó có gợi cho
chúng ta các cách giải khác hay khơng? Ta có thể thử đi chứng minh vế trái của phương trình nhỏ
hơn hoặc bằng 2 hay không? Hãy áp dụng bất đẳng thức xem thế nào?
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số: (1, 1) và ( x  1, 3  x ) Ta có:

( x  1  3  x ) 2  (12  12 )( x  1  3  x)


( x 1  3  x )2  4



x  1  3  x  2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

x 1  3  x  x  2.
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  2 .

Cách giải 3:
Ta có thể áp dụng bất đẳng thức cơ si để giải phương trình hay khơng? Câu trả lời nằm ở chỗ
nghiệm của phương trình là x = 2. Ta có cách giải như sau:

1( x  1) 

1 x 1
2

và

1(3  x) 

1 3  x
.
2

Cộng

vế

với

vế

ta

có:

1  x  1

x2
1 3 x


x  1  3  x  2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất:

x  2.

Cách giải 4:
Áp dụng bất đẳng thức tích vơ hướng để giải phương trình:
Chọn
:

a  (1,1) , b  ( x  1, 3  x )  a  2

 
 
a.b  a b

Ta có:

b  2 . Áp dụng bất đẳng thức

x  1  3  x  2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

x 1  3  x  x  2 .
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất:
Cách giải 5:

và

x  2.


u  x  1

Đặt : 
Ta có hệ phương trình:
v  3  x


u  v  2
 2
u  1
2
u  v  2  
 x  2 . Vậyphương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  2 .
v 1
u , v  0


Cách giải 6:
Đặt x = 2 + a. Phương trình (1) trở thành:

 1  a  1
 1  a  1

1 a  1 a  2  


 a  0  x  2.
2  2 1  a 2  4
a  0

phương trình (1) có nghiệm duy nhất:

Vậy

x  2.

Cách giải 7:
Đặt f(x) =
Điều kiện:

x 1  3  x

1  x  3 , f’(x)

f(1) = 2 , f(3) =

1
=

2 x 1

2 , f(2) = 2



1

2 3 x

, f’(x) = 0

 x  2 . Ta có:

 f ( x)  2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  2 . Vậy

phương trình (1) có nghiêm duy nhất: x  2 .
Cách giải 8: Nhìn nhận theo hình học giải tích lớp 10.

u  x  1

Đặt : 
Ta có hệ phương trình:
v  3  x

Phưng trình (C) với điều kiện

u, v  0

u  v  2()
 2
2
u  v  2(c)
u, v  0


là một phần tư đường tròn tâm O(0, 0) bán kính R =

2.

Đường thẳng (  ) tiếp xúc với (C) tai điểm M(1,1).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

x  2 . Cách giải này có thể khai thác cho các bài

tốn phưng trình vơ tỷ chứa tham số.
Cách giải 9:
Phương trình (1) tương đương với phương trình:

4  2 x 1  2 3  x  0  x 1  2 x 1 1  3  x  2 3  x 1  0
 x 1 1  0

 ( x  1  1) 2  ( 3  x  1) 2  0  
 x  2.
 3  x 1  0



x  2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất:
Cách giải 10:
Đặt

t  x 1

(0  t

 x  t 2 1

 2 ).

Phương

trình

(1)

trở

thành:

2  t 2  2  t  2t 2  4t  2  0  t  1  x  2 .
Vậy phương trình (1) có một nghiệm:

x  2.

Kết luận:
Một bài tốn giải phương trình vơ tỷ có thể có nhiều phương án để tìm được đáp số. Rèn
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh bằng bài toán nhiều cách giải là một biện pháp có tính thực thi
cao. Qua việc giải phương trình trên học sinh huy động nhiều kiến thức tốn học ở các phân mơn
khác nhau từ đó có cái nhìn tồn diện hơn về bộ mơn tốn và qua đó cũng lựa chọn được cách giải
tối ưu, phát huy tính độc đáo trong tư duy sáng tạo.
3.3.2. Bài giảng số 2: Giải phương trình vơ tỷ bằng phương pháp đưa về hệ phương trình.
Mục đích bài soạn: Rèn luyện kĩ năng giải phưng trình vơ tỷ bằng phưng pháp đặt ẩn phụ
đưa về hệ phương trình.
Nội dung bài giảng:
Bài tốn 1: Giải phương trình:

4

57  x  4 x  40  5(1)

Với phương trình này nếu làm theo cách biến đổi tương đương thì gặp trở ngại gì? Câu
trả lời sẽ rõ khi học sinh thực hiện thao tác lũy thừa 4 hai vế. Sau khi lũy thừa 4 hai vế học sinh
sẽ không muốn làm tiếp nữa vì nó q dài dịng. Học sinh có tâm lý ngại biến đổi. Để khắc phục
điều đó các em cần tìm ra một con đường khác để giải được bài. Làm thế nào để khơng cịn các
biểu thức chứa căn bậc bốn nữa? Các biểu thức trong căn bậc bốn có tổng bằng bao nhiêu? Từ
đây ta sẽ giải phương trình này bằng cách đưa về hệ phương trình.
Bài giải:
Điều kiện: 40  x  57 .
Đặt u  4 57  x , u  0 ; v 

4

x  40 , v  0 . Ta có u 4  v4  97

u  v  5(2)
 4
4
Khi đó phương trình (1) ta được hệ phương trình (I): u  v  97(3)
u  0, v  0(4)

Biến đổi (3) có: u  v  97 
4

4

2

u

2

 v 2   2u 2v 2  97
2

 (u  v)2  2uv   2u 2v 2  97 (5)




uv  6
uv  44

Thay (2) vào (5) có: (uv)  50(uv)  264  0  
2

 u  3
u  v  5


v  2
+ Khi uv  6 hệ (I)  uv  6

 u  2
u  0, v  0



 v  3


57  x  81
u  3
ta có 
 x  24
x  40  16
v2


57  x  16
u  2
 x  41
- Với 
ta có 
x  40  81
v3


- Với 

u  v  5

+ Khi uv  44 , hệ (I)  uv  44
(hệ phương trình này vơ nghiệm do phương trình
u  0, v  0


t 2  5t  44  0 vô nghiệm)

Kết hợp với điều kiện ta có phương trình có hai nghiệm: x  24 và x  41
3.3.3. Thực nghiệm sư phạm
Nhằm đánh giá kết quả thực nghiệm, tác giả đã soạn một đề kiểm tra với thời gian làm
bài 60 phút, sau đó cho hai lớp cùng làm trong cùng một điều kiện tổ chức lớp như nhau và đánh
giá kết quả của cả hai lớp.
3.3.3.1. Đề kiểm tra và kết quả bài làm của học sinh
Trường THPT Bất Bạt
Bài kiểm tra: Giải phương trình
Họ tên:
Thời gian: 60 phút
Lớp:
Đề bài
Bài 1: Giải phương trình:

x  3  5  x  2 bằng ít nhất là 3 cách.

Bài 2: Giải phương trình:

x  3 x  7  3 bằng ít nhất hai cách.

Bài 3: Cho phương trình:

1  x  8  x  (1  x)(8  x)  m

a) Giải pt với m = 3.
b) Tìm m để pt có nghiệm.
Kết quả bài kiểm tra:
Tính theo số học sinh làm bài đúng ở từng bài:

Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra làm đúng
của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng
Bài
Lớp

1

2

3

12A2
Lớp thực nghiệm

45/45
100%

42/45
93.33%

40/45
88.89%

12A3
Lớp đối chứng

35/45
77.78%

25/45

55,56%

11/45
24.44%

Thông qua quan sát quá trình làm bài kiểm tra của học sinh và qua việc chấm bài, tác giả có
nhận xét:
Ở bài 1: Giải pt

x  3  5  x  2 bằng nhiều cách

+ Lớp thực nghiệm: Các em đều nhanh chóng tìm ra các cách làm khác nhau, có em cịn tìm ra
hơn ba cách.
* Cách giải 1: Biến đổi tương đương, các em đều tìm ra nghiệm x  4
* Cách giải 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số: (1, 1) và

x  3, 5  x ) Ta có: ( x  3  5  x ) 2  (12  12 )( x  3  5  x)

(



( x  3  5  x )2  4

và chỉ khi:



x  3  5  x  2 . Đẳng thức xảy ra khi

x 3  5 x  x  4.

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  4 .
*Cách giải 3: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi để giải phương trình . Ta có cách
giải như sau:

1( x  3) 

1 5  x
1 x  3
và 1(5  x) 
. Cộng vế với vế ta có:
2
2

x 3  5 x  2.
1  x  3
x4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
1  5  x
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  4 .
*Cách giải 4:
Áp dụng bất đẳng thức tích vơ hướng để giải phương trình:
Chọn

a  (1,1) , b  ( x  3, 5  x )  a  2

đẳng thức :

và

b  2 . Áp dụng bất


 
 
a.b  a b
chỉ khi:

Ta có:

x  3  5  x  2 . Đẳng thức xảy ra khi và

x 3  5 x  x  4.

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất:
*Cách giải 5:

x  4.

u  x  3

Đặt : 
Ta có hệ phương trình:
v  5  x


u  v  2
 2
u  1

2
u  v  2  
 x 4.
v 1
u , v  0


Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x  4 .
+ Lớp đối chứng: các em chỉ tìm ra ba cách giải là cách 1, cách 2 và cách 3
như ở trên.
Ở bài 2: Giải phương trình: x  x  7  3 (a) bằng ít nhất hai cách.
+ Lớp thực nghiệm: Các em dễ dàng tìm được hai cách giải khác nhau
3

* Cách giải 1: Điều kiện:
Đặt:

x0

x  u; x  7  v , u, v  0 . Sau đó đưa về hệ pt:
3

u  v  2
 3
2
v  u  7

u  1
 x  1.
Và tìm được: 

v  2
x  1.

Vậy pt đã cho có nghiệm:
*Cách giải 2: Điều kiện:
Xét hàm số:

x0

f ( x)  x  3 x  7 , sau đó tính đạo hàm và được hàm đồng biến x  0 ,

còn vế phải của pt(a) là một hằng số nên pt có nghiệm duy nhất

x  1.

+ Lớp đối chứng: Học sinh chỉ có vài em biết làm theo cách 1 là đặt ẩn phụ như trên và không em
nào biết làm theo các cách khác.
Ở bài 3: Cho phương trình:
a) Giải pt với m = 3.
b) Tìm m để pt có nghiệm.
Phần a:

1  x  8  x  (1  x)(8  x)  m


+ Lớp thực nghiệm: Các em nhanh chóng tìm ra các cách giải khác nhau
*Cách giải1: Điều kiện:

1  x  8

t2  9
Đặt t  1  x  8  x ,3  t  3 2 , biến đổi (1  x)(8  x) 
.
2
Từ đó thay vào pt ban đầu được:

t  3
 x  1
t 2  2t  15  0  

(TM )
t  5( KTM )
x8


Vậy pt có nghiệm: x  1; x  8.
+ Lớp đối chứng: Các em cũng biết đặt
nhưng khơng biết tìm điều kiện của t (

t  1  x  8  x ,3  t  3 2

t  1  x  8  x ,3  t  3 2 ) sau

đó các em cứ giải pt ẩn t và tìm ra nghiệm t rồi thay trở lại bước đặt ẩn phụ t,
cuối cùng các em cũng tìm đúng kết quả là

x  1; x  8. .

Phần b:
+ Lớp thực nghiệm:

Vì các em biết đặt ẩn phụ

t  1  x  8  x ,3  t  3 2 và tìm điều kiện

3  t  3 2 nên các em dễ dàng chuyển qua pt ẩn t: t 2  2t  9  2m . Sau đó
xét hàm số:

y  f (t )  t 2  2t  9 và đường thẳng y  2m .

Các em lập được bảng biến thiên của hàm số
Bảng biến thiên:

t

y  f (t )  t 2  2t  9 như sau:

3

y’

3 2
+

y

9+6 2
6

Kết luận:

6  t  9  6 2 là giá trị cẩn tìm.

+ Lớp đối chứng: Các em khơng tìm được điều kiện đúng của t nên khơng biết
cách giải, một số em thì biết cách làm nhưng sai điều kiện t nên bài toán bị sai.
3.3.3.2. Đánh giá của giáo viên và học sinh về giờ dạy
* Đánh giá của giáo viên về giờ dạy:
- Soạn bải theo hướng tư duy mở rất tốt, phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo cách
làm bài của học sinh.


- Bài soạn có tính khả thi cao.
- Hiệu quả giảng dạy tốt, nhưng vẫn còn hơi nặng so với học sinh trung bình.
* Đánh giá của học sinh về giờ dạy:
- Giờ dạy tạo được khơng khí học tập sơi nổi, hứng thú với học sinh.
- Có sự sáng tạo trong phát hiện hướng giải, học sinh tích cực làm bài.
- Hiệu quả rất tốt, các em đã nắm chắc kiến thức trong việc giải những dạng toán đã được rèn luyện.
- Có sự sáng tạo trong việc tìm ra cách giải hay, mới lạ và điều quan trọng nữa là rèn cho các em có
sự bình tĩnh, tự tin trước những bài tốn khó, các em có hướng tư duy và xử lý bài toán nhanh hơntốt
hơn.
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Luận văn tập trung một số vấn đề sau:
- Hệ thống hóa một số quan điểm về tư duy và tư duy sáng tạo, cách thức rèn luyện để có được tư
duy sáng tạo và áp dụng vào bài tốn cụ thể phương trình vơ tỷ.
- Làm rõ môt số phương pháp giảng dạy chuyên đề phương trình vơ tỷ đối với học sinh trung
học phổ thơng.
- Xây dựng bài giảng nhằm mục đích rèn luyện tư duy giải toán bằng nhiều cách và tư duy sáng
tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học chun đề phương trình vơ tỷ, đồng thời
cũng có bài tập tương ứng để các em tự rèn luyện.
- Bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài thông qua thực nghiệm sư phạm.

- Luận văn có thể là tài liệu tham khảo cho giáo viên Tốn ở trường Trung học phổ thơng.
2. Khuyến nghị
Với những nghiên cứu về lý luận và thực tế trong quá trình dạy học ở trường Trung học phổ
thơng chúng tơi có một số khuyến nghị:
- Việc dạy và học chun đề “Phương trình vơ tỷ” ở cấp Trung học phổ thông chưa được quan
tâm đúng mức, một số giáo viên cịn coi đó là chun đề khó chỉ dành cho học sinh khá giỏi cho
nên đã đặt học sinh trung bình vào trạng thái bị động.
- Giáo viên cần xây dựng chun đề “phương trình vơ tỷ ” một cách phù hợp để mọi học sinh có
thể tiếp thu và phát triển kỹ năng giải bài toán này một cách có hệ thống.
References
1.

Bộ Giáo dục và Đào tạo (2008), Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội.

2.

Bộ Giáo dục và Đào tạo (2007), Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo


dục, Hà Nội.
3.

Bộ Giáo dục và Đào tạo, Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà
Nội.

4.

Bộ Giáo dục và Đào tạo (1999), Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm Nhà xuất
bản giáo dục, Hà Nội.

5.

Nguyễn Cam (1997), Giải toán đại số, Nhà xuất bản trẻ, Hà Nội.

6.

Nguyễn Vĩnh Cận - Lê Thống Nhất - Phan Thanh Quang (2003), Sai lầm phổ biến
khi giải toán, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

7.

Lê Hồng Đức (2005), Phương pháp giải toán Hàm số, Nhà xuất bản Hà Nội.

8.

Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan (1999), Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, Nhà
xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

9.

Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học bộ mơn Tốn, Nhà xuất bản Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội.

10.

Luật giáo dục (sửa đổi và bổ xung 2005), Nhà xuất bản chính trị quốc gia Hà Nội.

11.

Bùi Văn Nghị - Vƣơng Dƣơng Minh - Nguyễn Anh Tuấn, Tài liệu bồi dưỡng thường

xuyên giáo viên Trung học phổ thông chu kỳ III (2004-2007), Nhà xuất bản Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội.

12.

Phạm Quốc Phong (2004), Các chuyên đề nâng cao TOÁN THPT Đại số và giải tích,
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

13.

M.N. Sacđacơv (1970), Tư duy của học sinh, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

14.

Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội (2009), Phân phối chương trình mơn Tốn trung học
phổ thơng (Tài liệu lưu hành nội bộ).

15.

Đỗ Đức Thái, Đỗ Thị Hồng Anh (2006), Bồi dưỡng Toán 10 Ban Khoa học Tự nhiên tập
1, Nhà xuất bản Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

16.

Nguyễn Minh Tuấn, Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dung (2008), Chuyên đề chọn lọc
dãy số và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

17.

Nguyễn Trọng Tuấn - Đặng Phúc Thanh (2006), Rèn luyện giải toán Đại số 10, Nhà

xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

18.

Từ điển Triết học (1975), Nhà xuất bản Mátxcơva.

19.

Phạm Viết Vƣợng, Giáo dục học, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.