GIÚP ÔN THI ĐẠI HỌC ĐẠT KẾT QUẢ CAO
BS: ThS. Hồng Tuấn Sinh
HỆ THỐNG CƠNG THỨC TỐN GIÚP ƠN THI ĐẠI HỌC
I. CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
'
1. (� ± �) = �' ± �'
()=
(�.�)' = �.�'
6. � =
5.
2
�� + �� + �
�.�' ‒ �'.�
(�'� + �')2
1 '
�
�'� + �'
'
'
2. (�.�) = � .� + �.�'
‒ �'
�2
=> �' =
3.
2
�.�'� + 2�.�'� + (�.�' ‒ �'.�)
1
'
8. (���) = �
�
�
( )' =
�'.� ‒ �.�'
�2
4.
�� + �
'
7. � = �'� + �' => � =
(�'� + �')2
II. ĐẠO HÀM VÀ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN
(��)' = �.�� ‒ 1
HÀM CƠ BẢN
(sinx)’=cosx
(cosx)’= -sinx
1
(����)' =
= 1 + ����2
���2�
‒1
(����)' =
=‒ (1 + ����2)
���2�
1
(log� �)' =
�.���
1
(���)' =
�
(� � )' = � �
(��)' = ��.���
∫
HÀM CƠ BẢN
�� + 1
+ �, (� ≠‒ 1)
� �� =
�+1
�
∫������ =‒ ���� + �
∫������ = ���� + �
1
∫��� ��� = ���� + �
1
∫��� ��� =‒ ���� + �
1
∫��� = ��|�| + �
2
2
∫� �� = � + �
�
∫� �� = ��� + �
�
�
Trang 1/6
�
�
BẢNG ĐẠO HÀM
(��)' = �.�'.�� ‒ 1
HÀM SỐ HỢP
(sinu)’=u’.cosu
(cosu)’= -u’. sinu
�'
(����)' =
= �'.(1 + ���2�)
���2�
‒ �'
(����)' =
=‒ �'.(1 + ���2�)
���2�
�'
(log� �)' =
�.���
�'
(���)' =
�
(��)' = �'.��
(��)' = �'.��.���
BẢNG NGUYÊN HÀM
∫
HÀM SỐ HỢP
1 (�� + �)� + 1
+ �, (� ≠‒ 1)
(�� + �) �� = .
�+1
�
1
���(�� + �)�� =‒ . .���(�� + �) + �
�
1
���(�� + �)�� = .���(�� + �) + �
�
1
1
�� = .���(�� + �) + �
�
���2(�� + �)
1
1
�� =‒ .���(�� + �) + �
2
�
��� (�� + �)
1
1
�� = .��|�� + �| + �
�
(�� + �)
∫
∫
∫
∫
∫
�
∫�
∫�
ThuVienDeThi.com
1
�� = .��� + � + �
�
1 ��� + �
�� + �
+�
�� = .
� ���
�� + �
GIÚP ÔN THI ĐẠI HỌC ĐẠT KẾT QUẢ CAO
∫�
∫�
��
2
‒�
2
��� = .� � + �
3
�� =
2
1
2�
.��
�‒�
+�
�+�
| |
��
�� �ℎì Đặ� � = �.sin � ;� ∈ ‒ ;
22
+�
1
2
∫
2
[ ]
BS: ThS. Hoàng Tuấn Sinh
∫
1
∫
�� + �
��
�� = ��|� + �2 ± �2| + �
� ± �2
2
2
�� = �. �� + � + �
21
; ∫ �� + ��� = 3.�(�� + �) �� + � + �
��
��
�� �ℎì Đặ� � = tan � , � ∈ ‒ ;
2
2
22
� ‒�
∫
( )
III. CÔNG THỨC HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT THƯỜNG GẶP
Hàm số mũ
Hàm số Logarit
log� � = �⇔� = �� � > 0;0 < � ≠ 1
log� 1 = 0; log� � = 1; log� �� = �.log� �
1
�
log � � = .log� � ; log� �� = � ;
�
�
1
�
�
� ‒ � = �; �� = � �� ; ��.�� = �� + � ; � �� ‒; �log �.� = log � + log �
�
�
�
�
�
� �
log� �
log �
log �
�
�
=� � ; � � =�
�
� � log�� = log� � ‒ log� � ; �
�.�
� �
� �
� = (� ) = (� ) ; (�.�) = � .� ;
� �
�
�
log� �
log� � = log� �.log� � =
log� �
()
1
{
�� = ��⇔� = � 0 < � ≠ 1
� > 1:�� > �� ≤> � > �
0 < � ≠ �:�� < �� <=> � < �
; log� � = log� �
log� � = log� � <=> � = �
� > log � <=> � > �
{0 <� >� ≠1:log
1:log � > log � <=> � < �
�
�
�
�
IV. LƯỢNG GIÁC ÔN LUYỆN
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. HỆ THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
sin x
cos x
tan x
; cot x
;
cos x
sin x
1
1
1 tan 2 x
; 1 cot 2 x 2
2
cos x
sin x
sin2x
+
cos2x
= 1; tanx.cotx = 1
���2� = (1 ‒ ����)(1 + ����)
���2� = (1 ‒ ����)(1 + ����)
1
1
���2� = 2 ‒ 1 ; ���2� = 2
���2� =
1
2
��� �
��� �
��� �
‒1
=
���2�
1 + ���2�
1 + ���2�
2
��� �
;
���2�
2
; ��� � = 1 + ���2�
1
2
��� �
=
1 + ���2�
���2�
2. CƠNG THỨC QUY VỀ GĨC NHỌN
900 - ∝ 900 + ∝ 1800 - ∝ 1800 + ∝
π
π
- ∝
π‒ ∝
π+ ∝
+ ∝
- ∝
2
2
Trang 2/6
ThuVienDeThi.com
GIÚP ƠN THI ĐẠI HỌC ĐẠT KẾT QUẢ CAO
Sin
Cos
Tan
Cot
Góc
HSLG
Sin
Cos
Tan
Cot
- sin ∝
cos ∝
- tan ∝
- cot ∝
- ∝
- sin ∝
cos ∝
- tan ∝
- cot ∝
cos ∝
sin ∝
cot ∝
tan ∝
BS: ThS. Hoàng Tuấn Sinh
cos ∝
- sin ∝
- cot ∝
- tan ∝
sin ∝
- cos ∝
- tan ∝
- cot ∝
- sin ∝
- cos ∝
tan ∝
cot ∝
1800 + ∝ 2700 - ∝ 2700 + ∝ 3600 + ∝
3π
3π
π+ ∝
2π + ∝
+ ∝
- ∝
2
2
sin ∝
- sin ∝
- cos ∝
- cos ∝
cos
∝
sin
∝
sin ∝
cos ∝
tan ∝
cot ∝
tan ∝
- cot ∝
cot ∝
tan ∝
cot ∝
- tan ∝
3. CÔNG THỨC CỘNG
tana + tanb
1. cos (� + �) = ����.����
5. tan (a + b) = 1 - tana.tanb
2. cos(a ‒ b) = cosa.cosb + sina.sinb
tana - tanb
6. tan (a - b) = 1 + tana.tanb
3. sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
cota.cotb - 1
4. sin (a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
7. cot (a + b) = cota + cotb
8. cot (a - b) =
Nhân đơi
cota.cotn + 1
cota - cotb
4. CƠNG THỨC NHÂN
Nhân ba
1. sin2a = 2sina.cosa
= (sina + cosa)2 ‒ 1
= 1 ‒ (sina ‒ cosa)2
2. cos2a = 2cos2a ‒ 1
= 1 ‒ 2sin2a = cos2a ‒ sin2a
2tana
3. tan2a =
2
1. cos3a = 4cos3a ‒ 3cosa
2. sin3a = 3sina ‒ 4sin3a
3. tan3a =
3tana ‒ tan3a
1 ‒ 3tan2a
1 ‒ tan a
5. CÔNG THỨC HẠ BẬC
6. CƠNG THỨC GĨC CHIA ĐƠI
�
(Với � = ����)
Trang 3/6
ThuVienDeThi.com
GIÚP ÔN THI ĐẠI HỌC ĐẠT KẾT QUẢ CAO
1. cos2a =
1 + cos2a
BS: ThS. Hoàng Tuấn Sinh
2t
1. sinx =
2
2
= > 1 + ���2� = 2cos a
1 ‒ cos2a
2. sin2a = 2
2. cosx =
3. tanx =
= > 1 ‒ ���2� = 2sin2a
1 ‒ cos2a
3. tan2a = 1 + cos2a ;
1 + t2
1 ‒ t2
1 + t2
2t
1 ‒ t2
1
4.sina.cosa = 2sin2a
5. cos3a =
3
6. sin a =
3cosa + cos3a
4
3sina ‒ sin3a
4
7. CÔNG THỨC TỔNG THÀNH TÍCH
8. CƠNG THỨC TÍCH THÀNH TỔNG
1.
1. cosa.cosb = 2[cos (a ‒ b) + cos (a + b)]
2.
3.
4.
5.
6.
7.
a‒b
a+b
cosa + cosb = 2 cos 2 .cos 2
a‒b
a+b
cosa ‒ cosb = ‒ 2 sin 2 .sin 2
a‒b
a+b
sina + sinb = 2 sin 2 .cos 2
a‒b
a+b
sina ‒ sinb = 2 cos 2 .sin 2
sin (a + b)
tana + tanb = cosa.cosb
sin (a ‒ b)
tana ‒ tanb = cosa.cosb
sin (a + b)
cota + cotb = sina.sinb
- sin (a ‒ b)
8. cota ‒ cotb =
1
1
2. sina.sinb = 2[cos (a ‒ b) ‒ cos (a + b)]
1
3. sina.cosb = 2[sin (a ‒ b) + sin (a + b)]
sina.sinb
Chú ý: 1. 1 ‒ cos2x = 2sin2x;1 + cos2x = 2cos2x;
x
x
1 + cosx = 2cos22;1 ‒ cosx = 2sin22
(
π
)
π
(
)
sinx ‒ cosx = 2sin(x ‒ );cosx ‒ sinx = 2(x + )
3. sinx + 3cosx = 2 cos(x ‒ ) = 2sin(x + );
3sinx + cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x ‒ )
2. sinx + cosx = 2sin x + 4 = 2cos x ‒ 4 ;
π
4
π
6
π
6
π
3
π
3
π
4
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Trang 4/6
ThuVienDeThi.com
GIÚP ÔN THI ĐẠI HỌC ĐẠT KẾT QUẢ CAO
BS: ThS. Hồng Tuấn Sinh
1. Dạng phương trình: ����� + ����� = � (�,� ≠ �)
+ Điều kiện phương trình có nghiệm: �2 + �2 ≥ �2
2. Cách giải:
Cách 1: Đưa phương trình về dạng:
�
�
�
2
2���� +
2
2���� =
2
2 (1)
� +�
Đặt
{
���� =
���� =
� +�
�
� 2 + �2
�
2
� +�
2
� +�
Khi đó, phương trình (1) sin (� + �) = ����
Cách 2. Xét 2 khả năng sau:
�
+ Nếu � + � = 0 => ���2 = 0 thỏa mãn phương trình
=> � = � + �2�, ��� thuộc vào tập hợp nghiệm
�
�
+ Nếu � + � ≠ 0 => ���2 ≠ 0. Khi đó đặt � = ���2
2�
1 ‒ �2
Áp dụng công thức ���� = 1 + �2, ���� = 1 + �2, ta quy phương trình đã cho
�
về phương trình bậc 2 đối với t, sau đó giải � = ���2
* Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này người ta thường hay quên xét khả
�
�
năng ���2 = 0, mà đặt ngay � = ���2. Khi đó sẽ dẫn đến khả năng có thể
mất nghiệm của phương trình
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2, BẬC 3 ĐỐI VỚ SINX
VÀ COSX
1. Dạng phương trình
a. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx có dạng:
����2� + ����2� + ��������� + � = 0
b. Phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với sin x và cosx có dạng
����3� + ����2����� + ��������2� + ����3� = 0
2. Cách giải:
+ Kiểm tra cosx =0 có phải là nghiệm hay khơng?
+ Sau đó xét tiếp trường hợp ���� ≠ 0. Đặt tanx = t
Bằng cách chia cả 2 vế của phương trình cho ���2� với phương trình đẳng
cấp bậc 2 và cho ���3� với phương trình đẳng cấp bậc 3, ta quy về phương
trình bậc 2 (hoặc bậc 3) đối với t. Tìm được t, ta giải tiếp phương trình cơ
bản: tanx = t. Ta sẽ dẫn đến nghiệm x cần tìm.
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX
1. Dạng phương trình
�(���� + ����)� + �(����.����)� + � = 0 (1)
hoặc �(���� ‒ ����)� + �(����.����)� + � = 0 (2)
Trang 5/6
ThuVienDeThi.com
GIÚP ÔN THI ĐẠI HỌC ĐẠT KẾT QUẢ CAO
BS: ThS. Hồng Tuấn Sinh
2. Cách giải:
+ Với phương trình (1) dựa vào hệ thức: ����.���� =
Sau đó, đặt � = ���� + ���� ( ‒ 2 ≤ � ≤ 2)
(���� + ����)2 ‒ 1
2
1 ‒ (���� ‒ ����)2
+ Với phương trình (2) dựa vào hệ thức: ����.���� =
2
Sau đó, đặt � = ���� ‒ ���� ( ‒ 2 ≤ � ≤ 2).
Như vậy ta đã đưa được phương trình (1) hoặc (2) về dạng phương trình đại
số theo t. Sau đó giải phương trình ���� ± ���� = � để suy ra đáp số ần
tìm.
Trang 6/6
ThuVienDeThi.com